一线三等角中点相似模型证明
一线三等角模型相似证明
一线三等角模型相似证明好嘞，今天咱们聊聊一线三等角模型相似证明的事儿。
听起来挺高大上的，但其实说白了就是个有趣的几何故事。
你想啊，几何这个东西，跟生活其实是有很多相似之处的。
就像我们在生活中总是喜欢找到一些规律、一些相似性，这些其实也能帮助我们理解这个世界。
一线三等角模型，其实就是一个很简单的图形构造。
你可以想象一下，就像把三根小棒子拼成一个三角形，哎呀，没事儿，别紧张，这三角形可不复杂。
它的角都是等的，等于是给你一个平等的机会，不管你是哪个角，都是那样的。
这个想法，感觉就像是朋友之间的公平交易，大家都有发言权。
每个角都在发光发热，绝对不是“独角戏”。
再说这相似证明，哈哈，感觉就像是在做一道拼图。
你只要找到那几个对应的边和角，就能搞定。
就像生活中，朋友之间的默契，彼此之间总有些共同点，这种相似感就像是在说：“嘿，我也懂你！”每当你发现这种相似性，心里那个乐啊，真是巴适得很。
想象一下，假如我们把这个模型带到生活中，大家都在一个大舞台上，三角形的三个角分别代表不同的人。
有的人热情似火，有的人冷静如水，还有的人嘛，幽默搞笑，三者相辅相成，缺一不可。
就像在团队中，每个人的特长都能让这个团队更加出彩。
这个时候，你就会发现，只要大家心往一处想，劲往一处使，那绝对能完成一场精彩的表演。
这时候就要提到相似的概念了。
模型里的每个部分都有相同的比例，就像我们生活中那些互相借鉴的经验。
你说我今天遇到的麻烦，你也可能经历过，咱俩一交流，嘿，问题就解决了。
这种相似就像是生活的魔法，能让我们从彼此的经验中获益。
别小看这种分享，生活中的每一份理解都是让人暖心的存在。
咱们再说说那些三等角的性质吧。
这可是个亮点，三角形的内角加起来就是180度，哦，真是太妙了。
这就像是在说，无论你的人生经历如何，最终都要回归到一个平衡的状态。
这种平衡在我们的生活中也很重要。
就像一盘菜，调料、主料、辅料，每样东西都得有适量，才能做出美味佳肴。
否则，光放盐可不行啊，得有个搭配，才能味道更佳。
一线三等角模型结论及证明
一线三等角模型结论及证明
摘要
一线三等角模型是几何学中的重要概念，它指的是在一个给定的直线上，存在三个等角，它们的夹角均为120度。
本文将详细阐述一线三等角模型的结论及证明，以及如何使用它来解决实际问题。
一、定义
一线三等角模型是几何学中的重要概念，它指的是在一个给定的直线上，存在三个等角，它们的夹角均为120度。
二、结论
一线三等角模型的结论如下：
1、如果在一条直线上有三个等角，则它们的夹角均为120度。
2、如果三条直线的夹角均为120度，则它们共线。
三、证明
1、证明一：假设在一条直线上有三个等角，设它们的夹角为α，β，γ，则有
α+β+γ=360°，由等角性质可知α=β=γ=120°，得证。
2、证明二：假设三条直线的夹角均为120°，设它们的夹角分别为α，β，γ，则有α+β+γ=360°，此时α=β=γ=120°，由此可知，三条直线共线，得证。
四、实际应用
一线三等角模型可以用来解决实际问题，比如，在建筑设计中，可以根据一线三等角模型设计出美观的建筑结构，如三角形的屋顶，具有特殊的视觉效果。
结论
一线三等角模型是几何学中的重要概念，它指的是在一个给定的直线上，存在三个等角，
它们的夹角均为120度。
本文详细阐述了一线三等角模型的结论及证明，并且给出了如何使用它来解决实际问题的实例。
相似三角形的基本模型(一线三等角)
【根本模子】
1.如图 , ∽ （一线三等角）
如图 , ∽ （一线三直角）
如图 ,特殊地,当 是 中点时： ∽ ∽ 等分 , 等分 .
2.一线三等角帮助线添加：一般情形下,已知一条直线上有两个等角（直角）或一个直角时,可结构“一线三等角”型类似.
【巩固进步】
1.已知 中 , 是 的中点, 边上有一点 延伸线上有一点 ,使 已知 ,则
提醒：作过点 作 ∥ ,分离交 . 于 . .
∵ ,
∴
设 ,由翻折可得：
∵ ∽
∴ ,即
∴ ,∴
5.已知△ , , ,边长 ,点 在 上,且 ,点 是 上一动点,联络 ,将线段 绕点 逆时针扭转 得到线段 ,要使点 正好落在 上,则 的长是 .
提醒：结构“一线三等角”
∴△ ≌△
∴ , ,
∴
6.如图,已知 ∥ , , ,点 是射线 上的一个动点（点 与点 不重合）,点 是线段 上的一个动点（点 与点 . 不重合）,联络 ,过点 作 的垂线,交射线 于点 ,联络 ．设 , ．
提醒： , 是 的中点
∴
由 ∽
∴ ,
2.如图,等边 中, 是边 上的一点,且 ,把 折叠,使点 落在 边上的点 处．那么 的值为 ．
提醒：由翻折可得：
设： 则
∵ ∽ ,
∴
3.在矩形 中, , ,把矩形 沿直线 翻折,点 落在边 上的 点处,若 ,那么 的长等于
提醒：作 于 ,则
∵ ∽ ,
∴
∵
∴
4.在矩形 中, ,点 在边 上,联络 ,△ 沿直线 翻折后点 落到点 ,过点 作 ,垂足为点 ,假如 ,那么 ．
（1）当 时,求 关于 的函数关系式,并写出它的界说域;
一线三等角中点相似模型证明
一线三等角中点相似模型证明一线三等角中点相似模型是指在一个三角形中，如果从一个顶点引一条线段，使其与对边中点相连，那么这条线段将把三角形分成两个相似的三角形。
这个模型可以用来证明一些三角形的性质。
我们来证明一个三角形的中线相等。
假设三角形ABC的中线DE与BC相交于点F，我们需要证明EF=FD。
根据一线三等角中点相似模型，我们可以将三角形ABC分成两个相似的三角形ADE和BDE。
因为ADE和BDE相似，所以我们可以得到以下比例：AD/BD = AE/BE = DE/DE因为DE/DE=1，所以我们可以得到AD=BD。
因此，EF=FD，证明了三角形ABC的中线相等。
接下来，我们来证明一个三角形的中线平行于另一边。
假设三角形ABC的中线DE与AB相交于点F，我们需要证明DE平行于BC。
根据一线三等角中点相似模型，我们可以将三角形ABC分成两个相似的三角形ADE和CDE。
因为ADE和CDE相似，所以我们可以得到以下比例：AD/CD = AE/CE = DE/DE因为DE/DE=1，所以我们可以得到AD=CD。
因此，DE平行于BC，证明了一个三角形的中线平行于另一边。
我们来证明一个三角形的中线长度等于半周长。
假设三角形ABC 的中线DE与BC相交于点F，我们需要证明DE=1/2(AB+AC)。
根据一线三等角中点相似模型，我们可以将三角形ABC分成两个相似的三角形ADE和BDE。
因为ADE和BDE相似，所以我们可以得到以下比例：AD/BD = AE/BE = DE/DE因为DE/DE=1，所以我们可以得到AD=BD。
因此，DE=2AD=AB+AC，证明了一个三角形的中线长度等于半周长。
一线三等角中点相似模型是一个非常有用的工具，可以用来证明一些三角形的性质。
通过这个模型，我们可以更深入地理解三角形的性质，从而更好地解决相关问题。
相似的一线三等角模型
相似的一线三等角模型一、 一线三等角模型已知，如图①②③中：∠B =∠ACE =∠D 。
结论：△ABC ∽△CDE 模型分析在一线三等角的模型中，难点在于当已知三个相等的角的时候，容易忽略隐含的其它相等的角，此模型中的三垂直相似应用较多，当看见该模型的时候，应立刻能看出相应的相似三角形。
例1：如图在等边△ABC 中，P 为BC 上一点，D 为AC 上一点，且∠APD =60°，BP =1，CD =23，则△ABC 的边长为 。
例2：如图，∠A =∠B =90°，AB =7，AD =2，BC =3，在边AB 上取一点P ，使得△PAD 民△PBC 相似，则这样的P 点共有 个。
精练1．如图，△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =1，点D 是BC 边上的一个动点 （不与B 、C 点重合），∠ADE =45°。
（1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）设BD =x ，AE =y ，求y 关于x 的函数关系式； （3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长。
精练2．如图，在△ABC 中，AB =AC =10，点D 是边BC 上一动点（不与B 、C 重合）， ∠ADE =∠B =α，DE 交AC 于点E ，且4cos 5α=，下列结论。
①△ADE ∽△ACD ；②当BD =6时，△ABD 与△DCE 全等；图3BCAED图2BCAED1图ABDCE O60ABDCE BCAPDABDCEA BDCE③△DCE 为直角三角形时，BD 等于8或12.5；④0<CE ≤6.4.其中正确的结论是 。
（把你认为正确结论的序号都填上） 精练3．如图，已知矩形ABCD 的一条边AD =8，将矩形ABCD 折叠，使得顶点B 落在CD 边上 的P 点外，折痕与边BC 交于O ，连接AP 、OP 、OA 。
（1）求证：△OCP ∽△PDA ；（2）若△OCP 与△PDA 的面积比为1：4，求边AB 的长。
初中数学几何模型(五)一线三等角模型
初中数学几何模型（五）一线三等角模型一线三等角模型：指有三个相等角的顶点在同一直线上构成的相似或全等（相等角所对的边相等）图形，相等的角可以是锐角，也可以是直角或钝角。
（一）全等1、相等的三个角和全等三角形在直线同侧。
已知：如图，点A、B、C在同一直线上，∠1=∠2=∠3，且CD=CE，则△ACD≌△BEC。
证明：∵∠BCD=∠1+∠D，∠BCD=∠3+∠BCE，∠1=∠3，∴∠D=∠BCE，∵∠1=∠2，CD=CE，∴△ACD≌△BEC（AAS）。
2、相等的三个角和全等三角形在直线异侧。
已知：如图，点A、B、C在同一直线上，∠1=∠2=∠3，且CD=CE，则△ACD ≌△BEC。
证明：∵∠2=∠D+∠ACD，∠3=∠BCE+∠ACD，∠2=∠3，∴∠D=∠BCE，∵∠2=∠1，∴∠DAC=∠CBE，∵CD=CE，∴△ACD≌△BEC（AAS）。
一线三等角结论1：当等角所对边相等时，则两个三角形全等。
（二）相似1、相等的三个角和相似三角形在直线同侧。
已知：如图，点A、B、C在同一直线上，∠1=∠2=∠3，则△ACD∽△BEC。
证明：∵∠BCD+∠1+∠D，∠BCD=∠3+∠BCE，∠1=∠3，∴∠D=∠BCE，∵∠1=∠2，∴△ACD∽△BEC。
2、相等的三个角和相似三角形在直线异侧。
已知：如图，点A、B、C在同一直线上，∠1=∠2=∠3，则△ACD∽△BEC。
证明：∵∠1=∠D+∠ACD，∠3=∠BCE+∠ACD，∠1=∠3，∴∠D=∠BCE，∵∠1=∠2，∴∠DAC=∠CBE，∴△ACD∽△BEC。
一线三等角结论2：一线三等角两个三角形相似。
（三）一线三等角变式：中点型如图，点C在相等AB上，且AC=BC，∠1=∠2=∠3。
求证：△ACD∽△BEC∽△CED证明：∵∠1=∠2=∠3，∴△ACD ∽△BEC ，∴AD BC =CD CE ， ∵AC=BC ，∴AD AC =CD CE ，∵∠1=∠3，∴△ACD ∽△CED ，∴△ACD ∽△BEC ∽△CED ，∴∠4=∠5=∠8，∠9=∠6=∠7。
一线三等角相似模型
在物理学中，可以利用一线三等角 相似模型来研究物理现象和规律， 如光的反射和折射、波的传播等。
04 一线三等角相似模型的证 明方法
直接证明法
定义
直接证明法是通过直接使用已知条件和定理来证明结论的 方法。
步骤
首先，根据已知条件，明确一线三等角的定义和性质；然后， 通过比较两个三角形中的角度和边长，利用相似三角形的性质
03
注意事项
反证法需要熟练掌握反证法的原理和 推理技巧，以及能够灵活运用已知条 件。
综合法与分析法
定义
综合法是从已知条件出发，逐步推导出结论的方法；分析法是从结论出发，逐步推导出已知条件的方法。
步骤
在综合法中，首先明确已知条件和目标结论；然后，根据已知条件逐步推导所需结论；最后，总结推导过程。在分析 法中，首先明确目标结论和已知条件；然后，根据结论逐步推导所需条件；最后，总结推导过程。
，逐步推导出所需的结论。
注意事项
直接证明法需要熟练掌握相似三角形的性质和定理，以及 灵活运用已知条件。
反证法
01
定义
反证法是通过假设结论不成立，然后 推导出矛盾，从而证明结论成立的方 法。
02
步骤
首先，假设结论不成立；然后，根据 已知条件和反证法的原理，推导出与 已知条件相矛盾的结论；最后，根据 矛盾的结论，得出结论成立。
相似变换的性质
相似变换具有一些重要的性质，如保持角度不变、线 段长度比例不变等。
相似变换的应用
相似变换在几何学、物理学、工程学等领域有着广泛 的应用，如建筑设计、机械制造、航天技术等。
相似多边形的性质与应用
1 2
相似多边形的定义
相似多边形是指各对应角相等、各对应边成比例 的多边形。
相似三角形中的 “一线三等角”模型-2023年新九年级数学核心知识点与常见题型(沪教版)(解析版)
重难点专项突破：相似三角形中的“一线三等角”模型【知识梳理】一线三等角指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。
或叫“K字模型”。
三直角相似可以看着是“一线三等角”中当角为直角时的特例，三直角型相似通常是以矩形或者正方形形为背景，或者在一条直线上有一个顶点在该直线上移动或者旋转的直角，几种常见的基本图形如下：当题目的条件中只有一个或者两个直角时，就要考虑通过添加辅助线构造完整的三直角型相似，这往往是很多压轴题的突破口，进而将三角型的条件进行转化。
一般类型：基本类型：同侧“一线三等角”异侧“一线三等角”【考点剖析】例1.如图，直角梯形ABCD 中，AB // CD ，90ABC ∠=︒，点E 在边BC 上，且34AB BE EC CD ==， AD = 10，求AED ∆的面积．【答案】24．【解析】90ABC ∠=，//AB CD ， ∴90DCB ABC ∠=∠=．又34AB BE EC CD ==， ABE ECD ∴∆∆∽．∴AEB EDC ∠=∠． ∴34AE AB ED EC ==．90EDC DEC ∠+∠=，∴90AEB DEC ∠+∠=． ∴90AED ∠=．在Rt AED ∆中，10AD =，68AE ED ∴==，． 24AED S ∆∴=．【总结】本题考查一线三等角模型的相似问题，还有外角知识、平行的判定等．例2.已知：如图，△ABC 是等边三角形，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，∠ADE ＝60°．（1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）如果AB ＝3，EC ＝，求DC 的长．【分析】（1）△ABC 是等边三角形，得到∠B ＝∠C ＝60°，AB ＝AC ，推出∠BAD ＝∠CDE ，得到△ABD∽△A B C DEDCE ；（2）由△ABD ∽△DCE ，得到＝，然后代入数值求得结果．【解答】（1）证明：∵△ABC 是等边三角形，∴∠B ＝∠C ＝60°，AB ＝AC ，∵∠B+∠BAD ＝∠ADE+∠CDE ，∠B ＝∠ADE ＝60°，∴∠BAD ＝∠CDE∴△ABD ∽△DCE ；（2）解：由（1）证得△ABD ∽△DCE ，∴＝，设CD ＝x ，则BD ＝3﹣x ，∴＝，∴x ＝1或x ＝2，∴DC ＝1或DC ＝2．【点评】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，注意数形结合和方程思想的应用． 例3.已知，在等腰ABC ∆中，AB = AC = 10，以BC 的中点D 为顶点作EDF B ∠=∠， 分别交AB 、AC 于点E 、F ，AE = 6，AF = 4，求底边BC 的长．【答案】46．【解析】EDC B BED ∠=∠+∠，而EDC EDF FDC ∠=∠+∠，∴B BED EDF FDC ∠+∠=∠+∠． 又EDF B ∠=∠，∴BED FDC ∠=∠．AB C D EFAB AC=，∴B C∠=∠．EDB DCF∴∆∆∽．BE BDDC CF∴=．106104BDDC−∴=−，24DC BD∴=．又12CD DB BC==，BC∴=【总结】本题是对“一线三等角”模型的考查．例4.已知：如图，AB⊥BC，AD // BC， AB = 3，AD = 2．点P在线段AB上，联结PD，过点D作PD的垂线，与BC相交于点C．设线段AP的长为x．（1）当AP = AD时，求线段PC的长；（2）设△PDC的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）当△APD∽△DPC时，求线段BC的长．满分解答：（1）过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E．∵AB⊥BC，CE⊥AD，PD⊥CD，AD // BC，∴∠ABC =∠AEC =∠PDC = 90°，CE = AB = 3．∵AD // BC，∴∠A +∠ABC = 180°．即得∠A = 90°．又∵∠ADC =∠DCE +∠DEC，∠ADC =∠ADP +∠PDC，∴∠ADP =∠DCE．又由∠A =∠DEC = 90°，得△APD∽△DCE．∴AD APCE DE=．于是，由AP = AD = 2，得DE = CE = 3．…………………………（2分）在Rt△APD和Rt△DCE中，得PD=，CD=1分）AB CDPAB CD（备用图）于是，在Rt △PDC 中，得 PC = （1分）（2）在Rt △APD 中，由 AD = 2，AP = x ，得 PD 1分）∵ △APD ∽△DCE ，∴AD PD CE CD =．∴ 32CD PD ==1分）在Rt △PCD 中，22113332224PCD S PD CD x ∆=⋅⋅=⨯=+．∴ 所求函数解析式为2334y x =+．…………………………………（2分） 函数的定义域为 0 < x ≤ 3．…………………………………………（1分）（3）当△APD ∽△DPC 时，即得 △APD ∽△DPC ∽△DCE ．…………（1分）根据题意，当△APD ∽△DPC 时，有下列两种情况：（ⅰ）当点P 与点B 不重合时，可知 ∠APD =∠DPC ．由 △APD ∽△DCE ，得 AP PD DE DC =．即得AP DE PD CD =． 由 △APD ∽△DPC ，得AP AD PD DC =． ∴AD DE CD CD =．即得 DE = AD = 2． ∴ AE = 4．易证得四边形ABCE 是矩形，∴ BC = AE = 4．…………………（2分）（ⅱ）当点P 与点B 重合时，可知 ∠ABD =∠DBC ．在Rt △ABD 中，由 AD = 2，AB = 3，得 BD =．由 △ABD ∽△DBC ，得AD BD BD BC =．即得 =． 解得 132BC =．………………………………………………………（2分）∴ △APD ∽△DPC 时，线段BC 的长分别为4或132．方法总结本题重点在于：过点C 作CE ⊥AD ，交AD 的延长线于点E ．(构造一线三角，出现相似三角形，进行求解) 例5.在梯形ABCD 中,AD ∥BC ，︒=∠===90,2,1A BC AB AD .（如图1）(1)试求C ∠的度数；(2)若E 、F 分别为边AD 、CD 上的两个动点(不与端点A 、D 、C 重合),且始终保持︒=∠45EBF ,BD 与EF交于点P .（如图2）①求证:BDE ∆∽BCF ∆；②试判断BEF ∆的形状（从边、角两个方面考虑），并加以说明；③设y DP x AE ==,,试求y 关于x 的函数解析式,并写出定义域.答案：（1）作BC DH ⊥，垂足为H ，在四边形ABHD 中，AD ∥BC ，︒=∠==90,1A AB AD ，则四边形ABHD 为正方形又在CDH ∆中，1,1,90=−====∠︒BH BC CH AB DH DHC ， ∴︒︒=∠−=∠452180DHC C .（2）①∵四边形ABHD 为正方形，∴︒=∠45CBD ,︒=∠45ADB ，又∵︒=∠45EBF ，∴CBF DBE ∠=∠又∵︒=∠=∠45C BDE ,∴BDE ∆∽BCF ∆.②BEF ∆是等腰直角三角形，∵BDE ∆∽BCF ∆， ∴CB FB BD BE =,又∵︒=∠=∠45DBC EBF ,∴EBF ∆∽DBC ∆，又在DBC ∆中，︒=∠=∠45C DBC ,为等腰直角三角形，∴BEF ∆是等腰直角三角形. ③x x x x x x y +−=+−⨯=1221222，（0<x <1）.方法总结 第三问方法提示：过点P 作AD 的垂线于点H ，构造一线三直角相似，进行求解，很简单。
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一线三等角中点相似模型证明
在初中数学学习中，一线三等角中点相似模型是一个重要的知识点。
它不仅是数学学科中的基础概念，也是日常生活中的实用知识型模型。
一线三等角中点相似模型包含了三个关键要素，即一线、三等角和中
点相似。
其中，一线指在一个三角形中连接两个角的线段，三等角指
三角形中三个角的度数相等，中点相似则是指两个图形中对应线段的
长度相等。
理解这个模型需要我们首先了解一些基础概念。
在三角形中，连接一
个角的两边的线段称为这个角的平分线，平分线的中点称为这个角的
顶点角平分线中点。
而三角形中线则是一条连接两个角的中点的线段。
在一个三角形中，三个顶点连成一条线段即为三角形的一条边。
有了这些基础概念之后，我们可以开始理解一线三等角中点相似模型
的证明过程。
在证明这个模型时，我们需要使用到的基本公式是：在
一个三角形中，连接一个角的两边的长度的比等于另外一个角的两边
的长度的比，那么这个角的平分线上任意一点到两边的距离之比等于
这两边的长度之比。
首先，证明一线三等角中点相似模型的前提是三角形ABC和DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。
我们需要构造中线DG与CB、EH与AC的交点K，LK为EF的平行线，并证明LK=AB/BG=AC/CH。
我们先考虑LK=AB/BG的证明。
因为LK∥EF，我们可以通过小学奥数中的对应角相等的定理，得出∠LBL～∠ABC，∠LKF～∠ACB。
由于LK是EF的平行线，所以LK=EF×BL/AC=AB/BG，得证。
接下来，我们需要证明LK=AC/CH。
由于AC是三角形ABC的中线，所以AC=2CH。
而LK=EF×BL/AC，因为∠LBL～∠ABC，所以
BL=AC/AB。
代入LK中得LK=EF/AB×AC/CH=AC/CH，得证。
综上可知，LK=AB/BG=AC/CH，所以三角形ABC与DEF是相似的。
由于ABC与DEF相似，因此它们的相应线段比例相等。
因为CB与EF平行且有相同比例，在DG与EH交于K的情况下，由于ABC与DEF相似，所以三角形ABE与CDG也相似。
因此，AB/CD=BE/DG，而BE=BG。
又因为AC是三角形ABC的中线，DG是三角形DEF的中线，所以AC=2DG。
代入AB/CD=BE/DG中得到
AB/BG=CD/DG=2CA/DG。
即在三角形ABC和DEF中，一线三等角中点相似模型成立，证毕。
总之，一线三等角中点相似模型证明过程依照基础概念和公式推导，考虑到图形间的相似性以及平行线理论，需要使用一定的数学知识点和算式。
在数学学习中，我们需要加强对基础概念的理解，掌握一定的几何知识和推理能力，才能更好地理解和应用这些模型。