保险精算培训课件
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《保险精算学》课件
总结词
准备金的管理策略包括静态管理、动态管理以及风险管理等 。
详细描述
静态管理是指基于历史数据和当前市场环境确定准备金的数 额；动态管理则是根据市场变化和公司经营状况调整准备金 的数额；风险管理则强调通过建立风险管理体系来降低准备 金的风险。
05
保险风险管理与控制
风险识别与分类
风险识别
识别潜在的风险因素，分析风险发生 的可能性和影响程度。
识，为保险行业的决策提供了更加全面和精确的依据。
02
保险精算的基本原理
概率论基础
随机变量
表示随机事件的数 值结果。
期望值
随机变量的平均值 。
概率
描述随机事件发生 的可能性。
概率分布
描述随机变量取值 的概率规律。
方差
衡量随机变量取值 分散程度的指标。
统计推断
参数估计
根据样本数据推断总体参数的方法。
保险人用于赔付损失的资金。
附加保费确定
附加保费包括经营费用、预期利 润等，是保险人在纯保费基础上
额外收取的费用。
保险费率分类
保险费率可分为单一费率和分类 费率，单一费率适用于相同风险 的多个被保险人，分类费率则根 据被保险人的不同风险等级收取
不同费率。
附加费用的确定
01
02
03
初始费用
初始费用是保险合同签订 时收取的一次性费用，用 于覆盖保险公司的初期成 本。
再保险业务精算案例
比例再保险精算案例
以某保险公司的比例再保险业务为例， 介绍如何根据原保险业务的风险和损失 情况，确定再保险的比例和保费。
VS
非比例再保险精算案例
以某保险公司的非比例再保险业务为例， 介绍如何根据原保险业务的风险和损失情 况，确定再保险的限额和保费。
保险学课件-保险精算
第十二章 保險精算
第一節 保險精算概述 第二節 非壽險精算 第三節 壽險精算
1
本章教學目的
讓學生在瞭解保險精算的產生與發展、基本 任務和基本原理的基礎上，掌握非壽險精算中保 險費率的厘定方法、“大數”的測定、財務穩定 性分析，以及自留額與分保額的決策；掌握壽險 精算中生命表，躉繳純保險費、年金保險純保險 費、年度純保費和毛保險費的計算，以及理論責 任準備金和實際責任準備金的計算。
lim
n
P
1 n
n k 1
Xk
1 n
n k 1
E(Xk )
1
• 這一法則的結論運用可以說明，在承保標的數量足夠大時，
被保險人所交納的純保險費與其所能獲得賠款的期望值相
等。
• 這個結論反過來，則說明保險人應如何收取純保費。
10
第一節 保險精算概述
（二）貝努利(Bernoulli)大數法則
• 設 Mn 是n次貝努利實驗中事件A發生的次數，而p是事件A 在每次實驗中出現的概率，則對於任意的ε>0，都有：
a np(1 p) p(1 p)
K
anq
qn
23
第二節 非壽險精算
• 假定保險公司承保有兩類業務，第一類業務承保n1 個單位， 每個單位的保險金額為 元a1，純費率為 ，q1 第二類業務承
保則：個n2單位，每個單位的保險金額為元 ，a2 純費率為q2 。
̶ 第一類業務上的出險次數標準差為： 1 n1q1(1 q1)
6
第一節 保險精算概述
二、保險精算的基本任務
• 保險精算最初的定義是“通過對火災、盜竊以及人的死亡 等損失事故發生的概率進行估算以確定保險公司應該收取 多少保費。”
• 在壽險精算中，利率和死亡率的測算是厘定壽險成本的兩 個基本問題。 –由於利率一般是由國家控制的，所以在相當長的時期 裏利率並不是保險精算所關注的主要問題. –死亡率的測算即生命表的建立成為壽險精算的核心工 作，現在也仍然是精算研究的課題。
第一節 保險精算概述 第二節 非壽險精算 第三節 壽險精算
1
本章教學目的
讓學生在瞭解保險精算的產生與發展、基本 任務和基本原理的基礎上，掌握非壽險精算中保 險費率的厘定方法、“大數”的測定、財務穩定 性分析，以及自留額與分保額的決策；掌握壽險 精算中生命表，躉繳純保險費、年金保險純保險 費、年度純保費和毛保險費的計算，以及理論責 任準備金和實際責任準備金的計算。
lim
n
P
1 n
n k 1
Xk
1 n
n k 1
E(Xk )
1
• 這一法則的結論運用可以說明，在承保標的數量足夠大時，
被保險人所交納的純保險費與其所能獲得賠款的期望值相
等。
• 這個結論反過來，則說明保險人應如何收取純保費。
10
第一節 保險精算概述
（二）貝努利(Bernoulli)大數法則
• 設 Mn 是n次貝努利實驗中事件A發生的次數，而p是事件A 在每次實驗中出現的概率，則對於任意的ε>0，都有：
a np(1 p) p(1 p)
K
anq
qn
23
第二節 非壽險精算
• 假定保險公司承保有兩類業務，第一類業務承保n1 個單位， 每個單位的保險金額為 元a1，純費率為 ，q1 第二類業務承
保則：個n2單位，每個單位的保險金額為元 ，a2 純費率為q2 。
̶ 第一類業務上的出險次數標準差為： 1 n1q1(1 q1)
6
第一節 保險精算概述
二、保險精算的基本任務
• 保險精算最初的定義是“通過對火災、盜竊以及人的死亡 等損失事故發生的概率進行估算以確定保險公司應該收取 多少保費。”
• 在壽險精算中，利率和死亡率的測算是厘定壽險成本的兩 個基本問題。 –由於利率一般是由國家控制的，所以在相當長的時期 裏利率並不是保險精算所關注的主要問題. –死亡率的測算即生命表的建立成為壽險精算的核心工 作，現在也仍然是精算研究的課題。
保险精算培训课件
保险精算培训课件1. 简介保险精算是指借助统计学方法和数学模型来评估和管理风险的一门学科。
它是保险行业中非常重要的一个领域，通过精确的风险评估和合理的定价策略，可以帮助保险公司更好地管理风险、优化产品设计以及提高盈利能力。
本课程将介绍保险精算的基本概念、方法和应用，帮助学员全面了解保险精算的核心知识和技能。
2. 保险精算基础知识2.1 保险精算的概念和发展历程 - 保险精算的定义 - 保险精算的起源和发展历程 - 保险精算的作用和意义2.2 保险精算的基本原理 - 风险评估和定价原理 - 分类及核算方法 -保险精算的数据分析方法2.3 保险精算的基础模型 - 保费决策模型 - 赔付率模型 - 盈余风险模型3. 保险精算方法和技术3.1 保费测算方法 - 标准保费计算方法 - 风险调整计算方法 - 保费报价策略3.2 风险评估方法 - 赔款预测方法 - 风险度量方法 - 风险分析方法3.3 盈余管理方法 - 盈余分配方法 - 盈余再投资方案 - 盈余调整策略4. 保险精算在实际应用中的案例分析4.1 车险精算实践 - 车险精算的基本原理和方法 - 车险精算实际案例分析4.2 健康险精算实践 - 健康险精算的基本原理和方法 - 健康险精算实际案例分析4.3 寿险精算实践 - 寿险精算的基本原理和方法 - 寿险精算实际案例分析5. 保险精算的发展趋势5.1 数字化技术对保险精算的影响 - 人工智能在保险精算中的应用 -大数据分析在保险精算中的应用5.2 风险管理对保险精算的要求 - 保险精算在风险管理中的地位 - 风险管理对保险精算师的要求5.3 保险精算的未来发展方向 - 保险精算在产品创新中的作用 - 保险精算师的职业发展前景6. 结语保险精算作为保险行业中的重要一环，对保险公司和保险消费者都具有重要意义。
通过本课程的学习，学员将能够掌握保险精算的基本理论和方法，提升自身的保险精算能力，为保险行业的发展做出贡献。
保险精算培训课件
明确培训目标
培训目标与内容设计
培训形式与安排
采用线上+线下的形式，利用多媒体教学资源，实现互动式、案例式、讨论式教学。
培训形式
根据学员实际情况，制定详细的培训时间表和课程安排，确保学员有足够的时间学习和消化所学知识。
培训安排
通过考试、作业、课堂表现等多种方式对学员的学习成果进行评估，了解学员掌握保险精算的程度。
损失分布
索赔频率与索赔强度
预测模型
损失分布与索赔预测的运用
掌握索赔频率和索赔强度的概念及其计算方法，用于评估财产保险的风险。
掌握预测模型的基本原理和方法，如回归分析、时间序列分析等，用于预测索赔行为。
运用损失分布和索赔预测进行保险产品的定价和准备金评估。
保费定价与资金运用
研究保险产品的定价原理和方法，为保险精算提供保费计算工具。
详细描述
保险风险控制与防范
总结词
保险风险监测与报告是保险精算师在风险管理中的重要职责之一，是指对已经实施的风险管理措施进行监测和评估，及时发现和处理潜在的风险。
详细描述
监测是指对已经实施的风险管理措施进行持续的监督和检查，及时发现和处理潜在的风险。报告则是将监测结果和分析结论向保险公司管理层和相关部门进行汇报，以便及时采取相应的措施。在这一过程中，保险精算师需要运用精算技术和风险管理知识，制定科学合理的监测指标和报告制度，以确保风险管理工作的有效性和科学性。
保险精算定义
保险精算具有强烈的数据分析和数理统计特征，需要掌握概率论、统计学、风险理论等相关知识，同时还需要了解保险业务和财务管理的相关知识。
保险精算特点
保险精算的定义与特点
保险精算的角色
保险精算师是保险公司的重要专业人才，负责产品设计、费率厘定、理赔处理等关键环节的数据分析和决策支持。
培训目标与内容设计
培训形式与安排
采用线上+线下的形式，利用多媒体教学资源，实现互动式、案例式、讨论式教学。
培训形式
根据学员实际情况，制定详细的培训时间表和课程安排，确保学员有足够的时间学习和消化所学知识。
培训安排
通过考试、作业、课堂表现等多种方式对学员的学习成果进行评估，了解学员掌握保险精算的程度。
损失分布
索赔频率与索赔强度
预测模型
损失分布与索赔预测的运用
掌握索赔频率和索赔强度的概念及其计算方法，用于评估财产保险的风险。
掌握预测模型的基本原理和方法，如回归分析、时间序列分析等，用于预测索赔行为。
运用损失分布和索赔预测进行保险产品的定价和准备金评估。
保费定价与资金运用
研究保险产品的定价原理和方法，为保险精算提供保费计算工具。
详细描述
保险风险控制与防范
总结词
保险风险监测与报告是保险精算师在风险管理中的重要职责之一，是指对已经实施的风险管理措施进行监测和评估，及时发现和处理潜在的风险。
详细描述
监测是指对已经实施的风险管理措施进行持续的监督和检查，及时发现和处理潜在的风险。报告则是将监测结果和分析结论向保险公司管理层和相关部门进行汇报，以便及时采取相应的措施。在这一过程中，保险精算师需要运用精算技术和风险管理知识，制定科学合理的监测指标和报告制度，以确保风险管理工作的有效性和科学性。
保险精算定义
保险精算具有强烈的数据分析和数理统计特征，需要掌握概率论、统计学、风险理论等相关知识，同时还需要了解保险业务和财务管理的相关知识。
保险精算特点
保险精算的定义与特点
保险精算的角色
保险精算师是保险公司的重要专业人才，负责产品设计、费率厘定、理赔处理等关键环节的数据分析和决策支持。
《保险精算简介》课件
生命表
根据大量人口统计数据编制的，反映不同年龄和性别的人群 死亡率水平的表格。
风险模型的建立与评估
风险识别
识别潜在的风险因素，为 建立风险模型提供基础数 据。
风险量化
对识别出的风险进行量化 和评估，确定风险大小和 可能造成的损失。
风险控制
采取措施降低风险发生概 率和减少潜在损失。
保费计算与调整
保费计算
THANKS
感谢观看
总结词
保费定价的公平性和竞争性是保险精算 的重要考虑因素，需要平衡保险公司和 消费者的利益。
VS
详细描述
在制定保费时，保险精算师需要考虑公平 性和竞争性问题。过高的保费可能导致消 费者负担过重，过低的保费则可能影响保 险公司的偿付能力。因此，保险精算师需 要在保费定价时进行权衡和取舍。
准备金评估的透明度与监管问题
风险模型的适用性问题
总结词
不同的风险模型适用于不同的保险产品和风险类型，选择合适的风险模型对于保险精算 是至关重要的。
详细描述
在实践中，保险精算师需要根据具体的保险产品和风险类型选择合适的风险模型。然而 ，由于风险模型的假设和局限性，其适用性可能会受到限制，导致精算结果出现偏差。
保费定价的公平性与竞争性问题
财产保险精算有助于保险公司降低风险、提高盈利能力。
再保险精算
再保险精算是对再保险合同的评 估和定价进行的研究。
精算师在再保险业务中负责评估 分出公司的风险，制定再保险费 率和分保条件，以保障分出公司
和再保险公司双方的利益。
再保险精算对于维护保险市场的 稳定和促进再保险业务的发展具
有重要意义。
投资与风险管理
未到期责任准备金
为应对未来可能发生的未到期 保险责任而提取的准备金。
根据大量人口统计数据编制的，反映不同年龄和性别的人群 死亡率水平的表格。
风险模型的建立与评估
风险识别
识别潜在的风险因素，为 建立风险模型提供基础数 据。
风险量化
对识别出的风险进行量化 和评估，确定风险大小和 可能造成的损失。
风险控制
采取措施降低风险发生概 率和减少潜在损失。
保费计算与调整
保费计算
THANKS
感谢观看
总结词
保费定价的公平性和竞争性是保险精算 的重要考虑因素，需要平衡保险公司和 消费者的利益。
VS
详细描述
在制定保费时，保险精算师需要考虑公平 性和竞争性问题。过高的保费可能导致消 费者负担过重，过低的保费则可能影响保 险公司的偿付能力。因此，保险精算师需 要在保费定价时进行权衡和取舍。
准备金评估的透明度与监管问题
风险模型的适用性问题
总结词
不同的风险模型适用于不同的保险产品和风险类型，选择合适的风险模型对于保险精算 是至关重要的。
详细描述
在实践中，保险精算师需要根据具体的保险产品和风险类型选择合适的风险模型。然而 ，由于风险模型的假设和局限性，其适用性可能会受到限制，导致精算结果出现偏差。
保费定价的公平性与竞争性问题
财产保险精算有助于保险公司降低风险、提高盈利能力。
再保险精算
再保险精算是对再保险合同的评 估和定价进行的研究。
精算师在再保险业务中负责评估 分出公司的风险，制定再保险费 率和分保条件，以保障分出公司
和再保险公司双方的利益。
再保险精算对于维护保险市场的 稳定和促进再保险业务的发展具
有重要意义。
投资与风险管理
未到期责任准备金
为应对未来可能发生的未到期 保险责任而提取的准备金。
保险精算学课件
5
5500
5520
( 4 ) 2 % 复贴现计息 5000 A (5 ) 5531 5 （1 2 % ）
利息的度量三——利息转换频率不同
实质利率：以一年为一个利息转换期，该利率记 为实质利率，记为 。 i 名义利率：在一年里有m个利息转换期，假如每 (m ) i 一期的利率为j，记 为 这一年的名义利 率，i m j 。 利息力：假如连续计息，那么在任意时刻t的瞬 间利率叫作利息力，记为 t。 实质贴现率和名义贴现率的定义与实质利率、名 义利率类似。
i 0 . 08
ln 2 0 . 08 i ln 1 . 08
0 . 72 i
(1) i i
( 12 )
12 % n 12 % n 2% n
0 . 72 0 . 12
6 12 36
A (1) I
2
d
2
A(2)
利息度量二——积累方式不同
线形积累
指数积累
单利
a ( t ) 1 it in i 1 ( n 1) i
复利
a ( t ) (1 i ) in i
t
单贴现
a d
1
复贴现
a d
1
( t ) 1 dt d 1 ( n 1) d
(m )
实质利率与实质贴现率
初始值 利息 积累值
1
i
d
1 i
v
v 1 d 1 i） （
1
1
名义利率
名义利率
i
(m )
(m ) i 1 m
5500
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( 4 ) 2 % 复贴现计息 5000 A (5 ) 5531 5 （1 2 % ）
利息的度量三——利息转换频率不同
实质利率：以一年为一个利息转换期，该利率记 为实质利率，记为 。 i 名义利率：在一年里有m个利息转换期，假如每 (m ) i 一期的利率为j，记 为 这一年的名义利 率，i m j 。 利息力：假如连续计息，那么在任意时刻t的瞬 间利率叫作利息力，记为 t。 实质贴现率和名义贴现率的定义与实质利率、名 义利率类似。
i 0 . 08
ln 2 0 . 08 i ln 1 . 08
0 . 72 i
(1) i i
( 12 )
12 % n 12 % n 2% n
0 . 72 0 . 12
6 12 36
A (1) I
2
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A(2)
利息度量二——积累方式不同
线形积累
指数积累
单利
a ( t ) 1 it in i 1 ( n 1) i
复利
a ( t ) (1 i ) in i
t
单贴现
a d
1
复贴现
a d
1
( t ) 1 dt d 1 ( n 1) d
(m )
实质利率与实质贴现率
初始值 利息 积累值
1
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名义利率
名义利率
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保险精算精选PPT演示文稿
偿付能力测试等重要工作。
•1
❖ 由于精算师是一项非常专门的职业，一般需要经过资格考试来认定从业资格。国际 上著名的精算学会有：北美精算学会、英国精算学会、日本精算学会和澳大利亚精 算学会，不同的精算师学会具有不同的资格认证和考试课程和制度。其中在国际上 最具代表性和权威性，规模最大、拥有最多会员精算师的组织是美国的北美精算师 协会（Society of Actuaries，简称SOA），享有极高的声誉。目前拥有正式会员 和准会员约16，500名。作为一个国际性的精算教育和研究机构，SOA的主要任务 是提供人寿保险、健康保险、员工福利和养老金领域的精算教育计划，以后续教育 的方式提高精算师的咨询和解决涉及不确定事件的金融、保险、财务及社会问题的 能力。
•4
我国的精算师考试
❖ 准精算师考试基础课程
课程编号 课程名称
学分
001
数学基础Ⅰ
30
002
数学基础Ⅱ
30
003
复利数学
20
004
寿险精算数学
50
005
风险理论
20
006
生命表基础
30
007
寿险精算实务
30
008
非寿险精算数学与实务 30
009
综合经济基础
30
❖ 每门报名200元
考试时间 3 3 2 4 2 3 3 3 3
备注 必考 必考 必考 必考 必考 必考 必考 必考 必考
•5
❖ 精算师考试高级课程
课程编号 课程名称
学分
011
财务
30
012
保险法规
30
013
资产/负债管理
30
014
社会保险
寿险精算学课件-(3)精选全文
费用分类
成分
投资费用
（1）投资分析成本（2）购买、销售及服务成本
1、新契约费 （1）销售费用，包括代理人佣金及宣传广告费（2）风
保
险分类，包括体检费用（3）准备新保单及记录
险 2、维持费 （1）保费收取及会计
费
（2）给付变更及理陪选择权准备
用
（3）与保单持有人进行联络
3、营业费用 （1）研究、开发新险种费用（2）精算及一般法律服务 （3）普通会计（4）税金、许可证等费用
0
Ax
P( Ax )ax
0
P( Ax )
Ax ax
方差确定
Var(L)
Var[vt
P(
Ax
)
1
v d
k
1
]
Var[v(k 1)(s1)
P
(
Ax
)
1
v d
k
1
]
Var[(vs1 P( Ax ) )vk1] d
记Z s
vs1
P( Ax d
)
，Z
k
vk 1
由于分数剩余寿命和整值剩余寿命相互独立，
(
Z
k
)
方差的确定
终身寿险场合有
E
(Z
2 k
)
2 Ax，Var(Zk
)
2 Ax
-
Ax
2
在分数期死亡服从均匀分布的假定下，有
E(Zs )
E
v
s-1
P( Ax )
d
i
P( Ax ) d
Var(Zs
)
Var
v
s-1
P( Ax d
)
Var (v s -1 )
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与密度函数的关系：f (x) S(x) 新生儿将在x岁至z岁之间死亡的概率：
Pr(x X z) s(x) s(z)
剩余寿命
定义：已经活到x岁的人（简记(x)），还 能继续存活的时间，称为剩余寿命，记 作T(x)。
T分布函数记为 FT t
FT t Pr(T ( X ) t) Pr(x X x t X x) ＝F x t F x 1 F x
第三章
生命表函数与生命表构造
本章重点
生命表函数
生存函数 剩余寿命 死亡效力
生命表的构造
有关寿命分布的参数模型 生命表的起源 生命表的构造 选择与终极生命表
有关分数年龄的三种假定
第一节 生命表函数
分布函数
一个人的寿命从出生到死亡的时间长度 ，是无法事先确定的，在概率上称之为 随机变量，记为X。是连续型随机变量。
s(x) s(x t) s(x)
T的概率密度函数记为fT
t
,
fT
t
FT
t
s
s
xt
x
在精算学中，用国际通用的符号来表示有关T x
的各种概率。
用 t
q
x
Pr T
x
t ,t
0表示x岁的人在x
t岁以
前死亡的概率 t qx Pr(T ( X ) t) Pr(x X x t X x)
2-3
.00065 98648 64
98617
剩余寿命 总数
Tx
期初存活者平 均剩余寿命
ex
7387758 7387485 7385850
73.88 74.22 74.38
7387758 7288785 7190091
73.88 73.82 72.89
例3.1：
已知
lx
10000(1 x ) 100
生命表的特点
构造原理简单、数据准确（大样本场合）、不依赖总体分布 假定（非参数方法）
生命表的构造
原理
在大数定理的基础上，用观察数据计算各年龄人 群的生存概率。（用频数估计频率）
常用符号 新生生命组个体数：l0
年龄：x 极限年龄：
生命表的构造
l0个新生生命能生存到年龄X的期望个数：lx
使用这些参数模型推测未来的寿命状况会产生 很大的误差
寿险中通常不使用参数模型拟合寿命分布，而 是使用非参数方法确定的生命表拟合人类寿命 的分布。
在非寿险领域，常用参数模型拟合物体寿命的 分布。
生命表起源
生命表的定义
根据已往一定时期内各种年龄的死亡统计资料编制成的由每 个年龄死亡率所组成的汇总表.
70 .0175 .0249 .0313 .0388 .0474 .0545 75
71 .0191 .0272 .0342 .0424 .0518 .0596 76
72 .0209 .0297 .0374 .0463 .0566 .0652 77
73 .0228 .0324 .0409 .0507 .0620 .0714 78
lx l0 s(x)
l0 个新生生命中在年龄x与x+n之间死亡的期望
个数： n
d
x
特别：n=1时，记作 dx
n dx lx lxn
dx lx lx1
dx lx qx
生命表的构造
l0 个新生生命在年龄x至x+t区间共存活年数：t Lx
xt
t Lx x lydy
l0 个新生生命中能活到年龄x的个体的剩余寿 命总数：Tx
K ( X ) k, k T (x) k 1, k 0,1,
概率函数
Pr(K ( X ) k) Pr(k T (x) k 1) Pr(k T (x) k 1)
Pr T (x) k 1 Pr T x k
q k 1 x k qx k px p k 1 x
剩余寿命的期望与方差
49
e 25 e 1
0.14086 0.36788
0.38561
2.已知q80 0.07, d80 3129,求l81 .
l81 l80 d80
d80 l80 q80
l80
d80 q80
3129 0.07
44700
l81 44700 3129 41571
1、生存函数S( x)和分布函数F ( x)之间的关系正确的是( )
计算下面各值：
（1）d30 ,20 p30 ,30 q30 ,10 q30
（2）20岁的人在50~55岁死亡的概率。
（3）该人群平均寿命。
例3.1答案
1、d30 l30 l31 100
p 20 30
l50 l30
5/7
q 30 30
l30 l60 l30
3/ 7
q 10 30
l40 l41 l30
1/ 70
2、30 5q20
l50 l55 l20
1/16
e 0
3、
T0
100
(1
x )dx 50
0 l0
0
100
生命表的类型
国民生命表 经验生命表
国民生命表：是根据全国范围内的人口 统计资料构造出来的，反映的是一个特 定时期内全国人口的寿命分布情况。
经验生命表：是人寿保险公司经营寿险 业务死亡率的经验结果，它是以人寿保 险公司的被保险人群体为对象。它分为 终极表、选择表和综合表。
0
整值剩余寿命的期望与方差
期望整值剩余寿命：(x) 整值剩余寿命的期望值
(均值),简记 ex
ex E(K (x))
k ( k px k1 px ) k 0 1 px 2 px 2 2 px 3 px 3 3 px 4 px
1 px 2 px 3 px
p k1 x k 0
74 .0249 .0354 .0447 .0554 .0678 .0781 79
75 .0273 .0387 .0489 .0607 .0742 .0855 80
76 .0298 .0424 .0535 .0664 .0812 .0936 81
77 .0326 .0464 .0586 .0727 .0889 .1024 82
＝s 50 s 60
e 1
36
e 25
0.3679 0.2369 0.1310
2
q 10 50
s 50
s 50 s 50
10
e 1
36
e 25
e 1
0.37 0.24 0.37
0.35
3 Pr X
70
s 70
49
e 25
0.14086
4
20
p50
s 50 20 s 50
天
期初生 存数
lx
期间死亡 数
t dx
在年龄区间 共存活年数
t Lx
0-1
.00463 100000 463
273
1-7
.00246 99537 245
1635
7-28 .00139 99292 138
5708
年
0-1
.01260 10000 1260
98973
1-2
.00093 98740 92
98694
＝sxsx t sx
剩余寿命
剩余寿命的生存函数t px ：
t px Pr(T (x) t) Pr( X x t X x) s(x t) s(x)
表示x岁的人在x t岁仍活着的概率。
特别：
x p0 s(x)
剩余寿命
px ：x岁的人至少能活到x+1岁的概率
px 1 px
qx ：x岁的人将在1年内去世的概率
期望剩余寿命：(x) 剩余寿命的期望值(均值),简
记
o
ex o
ex
E(T (x))
tfT
0
t dt
t(
0
sx t s x )dt
0
t( t
px
)dt
t
t
px
0
0
t
px dt
t t px
0
0 t px dt
0 t px dt
剩余寿命的期望与方差
剩余寿命的方差
o2
Var(T (x)) E(T (x)2 ) E2T (x) 2 t t pxdt ex
Pr( x X x t X x)表示什么？
表示活到x岁的人在x～x t之间死亡的概率，即
Pr X x t Pr X x
1 Pr X x
Fx t Fx 1 Fx
E
X
0
xf
x dx
生存函数
定义 S(x) Pr( X x)
意义：新生儿能活到 x 岁的概率。
与分布函数的关系：S(x) 1 F (x)
整值剩余寿命的期望与方差
整值剩余寿命的方差
Var(K (x)) E(K 2 ) E2 (K ) (2k 1) k1 px ex2 k 0
死亡效力
定义：(x) 的瞬时死亡率，简记 x
x
s(x) s(x)
f (x) s(x)
ln[s(x)]
死亡效力与生存函数的关系
死亡效力与生存函数的关系
Tx x lydy
o
ex
Tx lx
生命表中列有的lx和d
的值会给计算各种概率带来方便。
x
k
px
lxk lx
,
k qx
1
k
px
lx
lxk lx
k m qx k px km px
lxk lxkm
lx
lx
lxk lxkm lx
生命表实例（美国全体人口生命表）
年龄区 死亡比
间
例
Pr(x X z) s(x) s(z)
剩余寿命
定义：已经活到x岁的人（简记(x)），还 能继续存活的时间，称为剩余寿命，记 作T(x)。
T分布函数记为 FT t
FT t Pr(T ( X ) t) Pr(x X x t X x) ＝F x t F x 1 F x
第三章
生命表函数与生命表构造
本章重点
生命表函数
生存函数 剩余寿命 死亡效力
生命表的构造
有关寿命分布的参数模型 生命表的起源 生命表的构造 选择与终极生命表
有关分数年龄的三种假定
第一节 生命表函数
分布函数
一个人的寿命从出生到死亡的时间长度 ，是无法事先确定的，在概率上称之为 随机变量，记为X。是连续型随机变量。
s(x) s(x t) s(x)
T的概率密度函数记为fT
t
,
fT
t
FT
t
s
s
xt
x
在精算学中，用国际通用的符号来表示有关T x
的各种概率。
用 t
q
x
Pr T
x
t ,t
0表示x岁的人在x
t岁以
前死亡的概率 t qx Pr(T ( X ) t) Pr(x X x t X x)
2-3
.00065 98648 64
98617
剩余寿命 总数
Tx
期初存活者平 均剩余寿命
ex
7387758 7387485 7385850
73.88 74.22 74.38
7387758 7288785 7190091
73.88 73.82 72.89
例3.1：
已知
lx
10000(1 x ) 100
生命表的特点
构造原理简单、数据准确（大样本场合）、不依赖总体分布 假定（非参数方法）
生命表的构造
原理
在大数定理的基础上，用观察数据计算各年龄人 群的生存概率。（用频数估计频率）
常用符号 新生生命组个体数：l0
年龄：x 极限年龄：
生命表的构造
l0个新生生命能生存到年龄X的期望个数：lx
使用这些参数模型推测未来的寿命状况会产生 很大的误差
寿险中通常不使用参数模型拟合寿命分布，而 是使用非参数方法确定的生命表拟合人类寿命 的分布。
在非寿险领域，常用参数模型拟合物体寿命的 分布。
生命表起源
生命表的定义
根据已往一定时期内各种年龄的死亡统计资料编制成的由每 个年龄死亡率所组成的汇总表.
70 .0175 .0249 .0313 .0388 .0474 .0545 75
71 .0191 .0272 .0342 .0424 .0518 .0596 76
72 .0209 .0297 .0374 .0463 .0566 .0652 77
73 .0228 .0324 .0409 .0507 .0620 .0714 78
lx l0 s(x)
l0 个新生生命中在年龄x与x+n之间死亡的期望
个数： n
d
x
特别：n=1时，记作 dx
n dx lx lxn
dx lx lx1
dx lx qx
生命表的构造
l0 个新生生命在年龄x至x+t区间共存活年数：t Lx
xt
t Lx x lydy
l0 个新生生命中能活到年龄x的个体的剩余寿 命总数：Tx
K ( X ) k, k T (x) k 1, k 0,1,
概率函数
Pr(K ( X ) k) Pr(k T (x) k 1) Pr(k T (x) k 1)
Pr T (x) k 1 Pr T x k
q k 1 x k qx k px p k 1 x
剩余寿命的期望与方差
49
e 25 e 1
0.14086 0.36788
0.38561
2.已知q80 0.07, d80 3129,求l81 .
l81 l80 d80
d80 l80 q80
l80
d80 q80
3129 0.07
44700
l81 44700 3129 41571
1、生存函数S( x)和分布函数F ( x)之间的关系正确的是( )
计算下面各值：
（1）d30 ,20 p30 ,30 q30 ,10 q30
（2）20岁的人在50~55岁死亡的概率。
（3）该人群平均寿命。
例3.1答案
1、d30 l30 l31 100
p 20 30
l50 l30
5/7
q 30 30
l30 l60 l30
3/ 7
q 10 30
l40 l41 l30
1/ 70
2、30 5q20
l50 l55 l20
1/16
e 0
3、
T0
100
(1
x )dx 50
0 l0
0
100
生命表的类型
国民生命表 经验生命表
国民生命表：是根据全国范围内的人口 统计资料构造出来的，反映的是一个特 定时期内全国人口的寿命分布情况。
经验生命表：是人寿保险公司经营寿险 业务死亡率的经验结果，它是以人寿保 险公司的被保险人群体为对象。它分为 终极表、选择表和综合表。
0
整值剩余寿命的期望与方差
期望整值剩余寿命：(x) 整值剩余寿命的期望值
(均值),简记 ex
ex E(K (x))
k ( k px k1 px ) k 0 1 px 2 px 2 2 px 3 px 3 3 px 4 px
1 px 2 px 3 px
p k1 x k 0
74 .0249 .0354 .0447 .0554 .0678 .0781 79
75 .0273 .0387 .0489 .0607 .0742 .0855 80
76 .0298 .0424 .0535 .0664 .0812 .0936 81
77 .0326 .0464 .0586 .0727 .0889 .1024 82
＝s 50 s 60
e 1
36
e 25
0.3679 0.2369 0.1310
2
q 10 50
s 50
s 50 s 50
10
e 1
36
e 25
e 1
0.37 0.24 0.37
0.35
3 Pr X
70
s 70
49
e 25
0.14086
4
20
p50
s 50 20 s 50
天
期初生 存数
lx
期间死亡 数
t dx
在年龄区间 共存活年数
t Lx
0-1
.00463 100000 463
273
1-7
.00246 99537 245
1635
7-28 .00139 99292 138
5708
年
0-1
.01260 10000 1260
98973
1-2
.00093 98740 92
98694
＝sxsx t sx
剩余寿命
剩余寿命的生存函数t px ：
t px Pr(T (x) t) Pr( X x t X x) s(x t) s(x)
表示x岁的人在x t岁仍活着的概率。
特别：
x p0 s(x)
剩余寿命
px ：x岁的人至少能活到x+1岁的概率
px 1 px
qx ：x岁的人将在1年内去世的概率
期望剩余寿命：(x) 剩余寿命的期望值(均值),简
记
o
ex o
ex
E(T (x))
tfT
0
t dt
t(
0
sx t s x )dt
0
t( t
px
)dt
t
t
px
0
0
t
px dt
t t px
0
0 t px dt
0 t px dt
剩余寿命的期望与方差
剩余寿命的方差
o2
Var(T (x)) E(T (x)2 ) E2T (x) 2 t t pxdt ex
Pr( x X x t X x)表示什么？
表示活到x岁的人在x～x t之间死亡的概率，即
Pr X x t Pr X x
1 Pr X x
Fx t Fx 1 Fx
E
X
0
xf
x dx
生存函数
定义 S(x) Pr( X x)
意义：新生儿能活到 x 岁的概率。
与分布函数的关系：S(x) 1 F (x)
整值剩余寿命的期望与方差
整值剩余寿命的方差
Var(K (x)) E(K 2 ) E2 (K ) (2k 1) k1 px ex2 k 0
死亡效力
定义：(x) 的瞬时死亡率，简记 x
x
s(x) s(x)
f (x) s(x)
ln[s(x)]
死亡效力与生存函数的关系
死亡效力与生存函数的关系
Tx x lydy
o
ex
Tx lx
生命表中列有的lx和d
的值会给计算各种概率带来方便。
x
k
px
lxk lx
,
k qx
1
k
px
lx
lxk lx
k m qx k px km px
lxk lxkm
lx
lx
lxk lxkm lx
生命表实例（美国全体人口生命表）
年龄区 死亡比
间
例