保险精算课件 第4章生存年金
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保险精算生存金
调整策略
定期评估：根据市场环境和公司策略，定期对保险精算生存金进行调整。
风险控制：根据风险评估结果，对保险精算生存金进行调整，以降低风险。
客户需求：根据客户需求和市场反馈，对保险精算生存金进行调整，以提 高客户满意度。 竞争环境：根据市场竞争情况，对保险精算生存金进行调整，以提高竞争 力。
PART 5
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保险精算生存金的计算通常基于被保险人的年龄、性别、生命表数据和预定利率等因素，通过精算技 术来确定。
单击此处添加标题
保险精算生存金的给付通常在合同约定的时间点或期间内进行，例如每年或每几年给付一次。 给付的金额通常与合同约定的金额或比例相符，但也可能受到某些因素的影响，例如市场利 率的变化或公司的经营状况。
PART 1
保险精算生存金的定义
保险精算生存金的含义
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保险精算生存金是指在保险合同有效期内，被保险人生存的情况下，保险公司按照合同约定的金额或 比例给付给被保险人或受益人的保险金。
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保险精算生存金通常作为长期人寿保险合同的附加条款，旨在为被保险人提供一种经济保障，以应对 未来可能出现的生存风险。
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保险精算生存金
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汇报人：XX
时间：20XX-XX-XX
目录
01
02
03
04
05
保险精算生 存金的定义
保险精算生 存金的计算 方法
保险精算生 存金的应用 场景
保险精算生 存金的评估 与调整
保险精算生 存金的未来 发展
保险精算生存金的未来发展
科技对保险精算生存金的影响
社会保障精算--人寿与年金保险精算PPT课件
3 两全保险
精算现值
Ax:n
A1 x:n
A1 x:n
4 变额寿险 (IA)1x:n
投保时点
[t 1]vt
[t 1]
t
死亡
赔付时点
0
理论公式 实用公式
x
xt
n
时间
(IA)1x:n
n
[t
0
1]vt
t
px
xt dt
(
IA
)
1 x:n
i
(
IA)
1 x:n
习题： P.61 第1、2题。
人寿与年金保险精算（1）
§2.1 人寿保险 ： 终身寿险、定期寿险、两全寿险、 变 额寿险的精算现值的计算
§2.2 生存年金：生存年金的精算现值的计算 §2.3 保险费： 均衡保险费、总保费 §2.4 责任准备金：均衡净保费责任准备金、修正的责任准
备金
基本概念
2.1 人寿保险（Life Insurance）
广义
以人的死亡、伤残、疾病和年老 等为保险标的。
狭义 以人的死亡为保险标的。
终身寿险
定期寿险
两全寿险
终身寿险
保险期从投保到被保险人死亡。
被保险人死亡时，对指定受益人赔付保 险金。
定期寿险
保险期由契约规定。
被保险人如果在契约期内死亡，赔付保 险金。如果期满时没有死亡，不赔付。
两全寿险
保险期由契约规定。
v d xk 1 xk
Ax
k 0
vx lx
k0 vxlx
Ax
Mx Dx
2 定期寿险
A1x:n
投保时点
v k 1
1
k
死亡
赔付时点
保险精算第4章(2)
6
10 2 Ax
10
v2t
fT
( t )dt
0.04 e 10(2 0.04)
2 0.04
0.1486
Var( Z ) 10 2Ax ( 10 Ax )2 0.1249
Pr( Z 0.5 ) Pr( Z 0) Pr(0 Z 0.5 )
10
Pr( Z 0) Pr(T 10) 0 fT (t) dt 0.32968
(
A1 x:n
)2
8
例4.6：设s( x) 1 x , 0 x 100，i 0.1, 100
计算（1）A30:110|
(2)Var(Z )
(1)
A1 30:10
v10 10 p30
1.110 60 70
0.33
(2) Var( Z ) v20 10 p30
A1 30:10
NSP
20000 A1 30:20|
30000
A1 30:20|
11
思考：延期m年的n年期两全保险的精算现值如何表示 ？
12
第四章 人寿保险的精算现值
1
死亡即付的人寿保险复习
• 趸缴纯保费的厘定原则
净均衡原则，趸缴纯保费就等于 E(zt )
• n年定期寿险的精算现值
A1 x:n
E(ZT )
n vt
0
fT
(t )dt
n e t
0
fT (t )dt
Var ( ZT
)
2 A1 x:n
( A1 x:n
)2
2
死亡即付的人寿保险复习
Pr(0 Z 0.5 ) 0.5 0.32968 0.17032
Pr(0
Z
《寿险精算讲义》第四章均衡纯保费
（2）半连续式的年缴纯保费
答案
答案
全离散式分两次缴付的年缴纯保费计算 半连续式分两次缴付的年缴纯保费计算
例 4.5.2
对于（40）的人，投保5000元的全离散 式25年定期保险，用换算函数表和年利 率6%。在UDD假设下求：
（1）普通年缴纯保费 （2）季缴纯保费 （3）月缴纯保费
x xx
xa
x
终身寿险-普通
下面考察保险人损失L的方差
(3)Var
(
L)
Var
(v
K
1
Px
a K
1
)
Var(vK 1
Px
1 vK 1 d
)
Var(vK 1(1
Px d
)
Px d
)
(1 Px )2Var(vK 1) d
(1
Px d
)
2[
2
Ax
( Ax )2 ]
2 Ax ( Ax )2 (dax )2
60
【每年分m次缴费的年均纯保费】
在每年分m次缴付的年均纯保费P,每次 缴付纯保费为x元,其计算方法是:
用符号 P(xm)表示保险金额为一个单位的全
离散式普通终身寿险,且每年分m次缴付
的年均衡纯保费.m=2、4、12，故每次缴
纳的纯保费应该是
P(m) x
m
【每年分m次缴费的年均纯保费】
条件：在每一保单年度内，保费分m次缴纳。 终身寿险半连续式寿险为例
m年递延终身生存 保险
P1 x：n
A1 x：n
ax：n Dxn
(Nx Nxn)
P(m
ax
)
A1 x:m
axm
a x:m
Dxm N xm
答案
答案
全离散式分两次缴付的年缴纯保费计算 半连续式分两次缴付的年缴纯保费计算
例 4.5.2
对于（40）的人，投保5000元的全离散 式25年定期保险，用换算函数表和年利 率6%。在UDD假设下求：
（1）普通年缴纯保费 （2）季缴纯保费 （3）月缴纯保费
x xx
xa
x
终身寿险-普通
下面考察保险人损失L的方差
(3)Var
(
L)
Var
(v
K
1
Px
a K
1
)
Var(vK 1
Px
1 vK 1 d
)
Var(vK 1(1
Px d
)
Px d
)
(1 Px )2Var(vK 1) d
(1
Px d
)
2[
2
Ax
( Ax )2 ]
2 Ax ( Ax )2 (dax )2
60
【每年分m次缴费的年均纯保费】
在每年分m次缴付的年均纯保费P,每次 缴付纯保费为x元,其计算方法是:
用符号 P(xm)表示保险金额为一个单位的全
离散式普通终身寿险,且每年分m次缴付
的年均衡纯保费.m=2、4、12，故每次缴
纳的纯保费应该是
P(m) x
m
【每年分m次缴费的年均纯保费】
条件：在每一保单年度内，保费分m次缴纳。 终身寿险半连续式寿险为例
m年递延终身生存 保险
P1 x：n
A1 x：n
ax：n Dxn
(Nx Nxn)
P(m
ax
)
A1 x:m
axm
a x:m
Dxm N xm
《保险精算学年金》PPT课件
a
(m)
1 1 v v .... m m 1 v 1 1 ( m) 1 1 m i m m 1 v m[(1 i ) 1]
1 m
1 m
2 m
(m) an (m) an
1 vn m i n 1 v m d
(m) Sn (m) Sn
直接法
如果期末年金每次的收付额为R, 则终值为RSn .
. 如果期首年金每次的收付额为R, 则现值为RS n
II
推导法
由（3-1）与（3-2）知：
n n (1 v ) (1 i ) 1 n n S n (1 i ) an (1 i ) i i n n (1 v ) (1 i ) 1 n (1 i ) n a S (1 i ) n n d d
0
证明 : 记Lx 表示x岁的人在一年内存活的总人年数. lx lx 1 1 Lx lx 1 d x 2 2 记Tx 表示x岁的在未来存活的总人年数. Tx
0
x 1
t 0
L
x t
Tx 1 x 1 e x Lx t lx lx t 0 1 x 1 1 1 1 lx t 1 d x t lx 1 lx 2 ... l 1 lx t 0 2 2 lx Tx 1 x 1 1 x 1 lx t lx t 1 1 x 1 1 另,e x Lx t t d x t lx lx t 0 lx t 0 2 lx t 0 2
例子
Ex2.10在上例中，如果退休后个人帐户累积 额以固定年金的方式在20年内每月领取一 次，求每月领取的数额。 Ex2.11某人贷款50000元购买汽车，从贷款 第9个月开始用5年的时间每月还款，利率 为6%，求每月的还款额。
保险精算第4章(3)
i=10%，求这一保单的精算现值。
64
解： 20000 A40 20000 vk1 q k| 40 20000 vk1 k|q40
k0
k0
q k| 40
k
p40 q40k
l40k l41k l40
1 ,(0 k 65) 65
于是20000
A40
20000
64
（
1
）k + 1
4
一、终身寿险
模型：(x)，bk 1, k 0,1, ,贴现函数vk1 于是 Zk 1 vk1; k 0,1, ,
精算现值E(Zk ) vk1 k|qx k0 记为 Ax
5
Ax表示x岁投保，保险金额为1个单位的终身寿险， 并在死亡年度末给付的保单的精算现值。
A v q x
k0
k 1 k|
x
v k 1
k0
dxk lx
lx Ax v k1d xk k0
表明：lx在 x 投保终身寿险的趸缴纯保费总额正好
等于生命表中在死亡年度末死亡人数的单位赔付。
6
例4.8：某人在40岁时买了保险额为20000元的终身
寿险，死亡年度末给付，假设他的生存函数可以表示
为
x
lx
1000
(1
) 105
4
解：
1000
A1 55:5|
50000
v k 1 k p55 q55k
k0
1000
k
4
0
1 1.06
k
1
l55 k l55
l55k l55k 1 l55 k
1000
k
4 0
1 1.06
k
保险精算第四章
1. 设生存函数为()1100xs x =-(0≤x ≤100)，年利率i =0.10，计算(保险金额为1元)： (1)趸缴纯保费130:10Ā的值。
(2)这一保险给付额在签单时的现值随机变量Z 的方差Var(Z)。
1010130:10001010211222230:1030:10()1()1100()100110.0921.17011()()0.0920.0920.0551.2170t x x t ttt x x t tt tx x t x s x t s x p s x xAv p dt dt Var Z A Avp dt dt μμμ+++'+=-⇒=-=-⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎛⎫=-=-=-= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰2．设年龄为35岁的人，购买一张保险金额为1 000元的5年定期寿险保单，保险金于被保险人死亡的保单年度末给付，年利率i=0.06，试计算： (1)该保单的趸缴纯保费。
(2)该保单自35岁～39岁各年龄的自然保费之总额。
(3)(1)与(2)的结果为何不同？为什么？ （1）法一：4113536373839234535:53511000()1.06 1.06 1.06 1.06 1.06k k x x k k d d d d d Av p q l ++===++++∑ 查生命表353536373839979738,1170,1248,1336,1437,1549l d d d d d ======代入计算：4113536373839234535:53511000() 5.7471.06 1.06 1.06 1.06 1.06k k x x k k d d d d d Av p q l ++===++++=∑ 法二：1354035:53510001000M M A D -=查换算表1354035:53513590.2212857.61100010001000 5.747127469.03M M A D --===（2）1353535:1351363636:1361373737:1371383838:138143.581000100010001000 1.126127469.03144.471000100010001000 1.203120110.22145.941000100010001000 1.29113167.06100010001000100C p A D C p A D C p A D C p A D =============== 1393939:1393536373839148.050 1.389106615.43150.551000100010001000 1.499100432.541000() 6.457C p AD p p p p p =====++++=（3）1112131413523533543535:535:136:137:138:139:11353637383935:5A A vp A v p A v p A v p A Ap p p p p =++++∴<++++3. 设0.25x =A , 200.40x +=A , :200.55x =A , 试计算： （1）1:20x A 。
第四章 年金保险 《人身保险》PPT课件
开始领取的这一段时期，即为递延的年金的基金积累期，这通常为数年，甚至 数十年。
11
• （二）年金发放期 • 通常又可以称为清偿期或年金给付期，一般而言，年金保险在积累期终了，即
是年金发放期的开始，年金发放期的长短要看保险合同的约定，有一次性领取
的，也有在确定保证期间领取的，还有以被保险人生存为领取条件的。
投保人利益得到较好保护。 • 4、 可提供最低保险利益保证，投资人免受较大的投资损失。 • 5、 提供年金给付方式或年金转换权 • 6、 在一些国家和地区可享受税收优惠 • 7、 个人财务出现困境时，人身保险可免于强制清偿债务。
23
作为投资连接保险，变额年金保险与变额寿险一样，其投资收益的高低取决于 不同的投资组合和保险公司的投资管理能力，同时还受到宏观经济环境的影响。
26
第五节 个人税收递延型商业养老保险
• 一、个人税收递延型商业养老保险的含义和特点
• 含义： • 所谓个人税收递延型商业养老保险，简称个人税延型养老保险，是指
以养老保障为目的的年金保险。它是投保人缴纳的保费在一定金额之内 可以在税前工资中扣除，而在将来退休后领取保险金时再缴纳个人所得 税的养老保险。 它不是政府主导强制购买的保险，而是一种个人自主缴费的商业保险 • 特点： • 税收递延、收益稳健、管理透明、转换方便
可以按年、季、月、日等进行，一般以按年的居多。 •。
2
• 2.年金保险(Annuity Insurance) • 年金保险是指在被保险人生存期间，保险人按照合同约定的金额、方式，在
约定的期限内，有规则的、定期的向被保险人给付保险金的保险。 年金保险具有生存保险的特点 年金产品的保险金可以按年、半年、季度、月支付，一般支付的时间较长，且
11
• （二）年金发放期 • 通常又可以称为清偿期或年金给付期，一般而言，年金保险在积累期终了，即
是年金发放期的开始，年金发放期的长短要看保险合同的约定，有一次性领取
的，也有在确定保证期间领取的，还有以被保险人生存为领取条件的。
投保人利益得到较好保护。 • 4、 可提供最低保险利益保证，投资人免受较大的投资损失。 • 5、 提供年金给付方式或年金转换权 • 6、 在一些国家和地区可享受税收优惠 • 7、 个人财务出现困境时，人身保险可免于强制清偿债务。
23
作为投资连接保险，变额年金保险与变额寿险一样，其投资收益的高低取决于 不同的投资组合和保险公司的投资管理能力，同时还受到宏观经济环境的影响。
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第五节 个人税收递延型商业养老保险
• 一、个人税收递延型商业养老保险的含义和特点
• 含义： • 所谓个人税收递延型商业养老保险，简称个人税延型养老保险，是指
以养老保障为目的的年金保险。它是投保人缴纳的保费在一定金额之内 可以在税前工资中扣除，而在将来退休后领取保险金时再缴纳个人所得 税的养老保险。 它不是政府主导强制购买的保险，而是一种个人自主缴费的商业保险 • 特点： • 税收递延、收益稳健、管理透明、转换方便
可以按年、季、月、日等进行，一般以按年的居多。 •。
2
• 2.年金保险(Annuity Insurance) • 年金保险是指在被保险人生存期间，保险人按照合同约定的金额、方式，在
约定的期限内，有规则的、定期的向被保险人给付保险金的保险。 年金保险具有生存保险的特点 年金产品的保险金可以按年、半年、季度、月支付，一般支付的时间较长，且
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m E x axm
延期m年期初付 n年定期生存年金
m n1
m n a x
k Ex
km
a a x : mn x : m
m Ex
a xm : n
编辑课件ppt
11
延期期末付生存年金
险种
精算 现值
延期m年期末 终身生存年金
m a x
kEx
k m 1
ax
a x :m
m E x a xm
延期m年期末付 n年定期生存年金
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15
例：某30岁的人购买了从60岁起的生存年金， 契约规定，在被保险人60岁～69岁时每年的 给付额为6000元，70岁～79岁每年的给付额 为7000元，80岁以后每年的给付额为8000元。 用精算符号表示该保单的趸缴净保费。
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16
例：某30岁的人投保养老年金保险，保险契约 规定，如果被保险人存活到60岁，则确定给付 10年年金，若被保险人在60～69岁间死亡， 由其指定的受益人继续领取，直到领满10年为 止；如果被保险人在70岁仍然存活，则从70
2. 某年龄为40岁的人以1万元纯保费购买了 30年纯生存保险，试以附表1计算，他在70 岁可以领取的保险金额。
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5
5.2 年付一次的生存年金精算现值
期初、期末支付的
终身生存年金 定期生存年金 延期终身生存年金 延期定期生存年金
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6
1.终身生存年金
• (x)的每年1单位元期初付终身生存年金精算现值
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25Байду номын сангаас
推导：对终身寿险和终身生存年金，有
Ax E(vK1)
axE (aK 1)E (1d vK 1)1 dA x
即 1dax Ax
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26
公式二：
1iaxiAxAx
解释：x岁时的1单位元等于(x)死亡年末的1元
赔付现值 A x ，加上(x)存活期每年 i 元的利息
＊期初付和期末付年金之间的关系
ax ax 1
max maxmEx
a x:n
1a x:n
nEx
m ax m1 ax
a 1a
x:n
x:n1
mnax m1nax
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14
例：对于（30）的从60岁起每年6000元的生
存年金，利息力 0.03 。死亡密度为
f(x)0.02e0.02x.
求保单的趸缴净保费。
（1）ax
E(a ) T
a
0t
fT(x)(t)dt
1vt
0
t
pxxtdt
(2) ax
vt
0
t
pxdt
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19
2.连续定期生存年金
n
(1 )a x： n0a ttp x x tdtnp xa n
(2)
a x:n
nvt
0
t
pxdt
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20
例：设随机变量T= T (x)的概率密度函数为
lxnE x(1i)nlxn
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2
例：某人立有遗嘱：其儿子年满21岁时可获 得其5万元遗产。其子现年12岁，因有急事需 提前支取这笔遗产。若利率为6%，利用附表1 的生命表求其子现在可以支取的金额。
解：500009 E12 50000 v9 9 p12
500001.069 l21 l12
4.延期m年n年定期连续生存年金
m a x :n m m n v ttp x d t a x :m n a x :m m E xa x m :n
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23
※生存年金递推公式
ax1vpxax1
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24
5.4 生存年金与寿险的关系
公式一： 1dax Ax
解释： (x)投保时的1单位元等于(x)在存活期 每年初的1单位元的预付利息d和 (x)死亡年末 1单位元赔付现值之和
岁起以生存为条件得到年金。假设年金每年支 付一次，一次支付6000元。用精算符号表示 该保单的趸缴净保费。
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17
5.3 连续生存年金
＊连续年金
年支付额为1个单位的t年期连续年金的现值为
a t a1(s)ds
t
0
常数利率情形下：
a t vsds 1vt
t
0
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18
1.连续终身生存年金
ax kEx vkk px
k0
k0
它是一系列保险期逐步延长的纯生存保险之和
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7
• 期末付终身生存年金
ax kEx vkk px a x 1
k1
k1
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8
例：某人现年30岁，欲在其生存期间每年年 初向保险公司领取50元，则此人在30岁时的 趸缴净保费是多少？
f(t)0.015e0.015t(t0), 利息力为0.05。试计算精算现值 a x ，
并求该现值足够用于实际支付年金的概率。
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21
例：设生存函数为 S(x) 1 x , 利息力 110
0.05, 试计算精算现值 a 50 :10
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22
3.延期m年连续生存年金
m a xm v ttp x d t a x a x:m m E xa x m
50000 0.5918985 991353 995225
29479.78 (元)
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3
＊利率和生者利下的
累积系数 折现系数
1 1 (1i)n lx
nEx vn n px
lxn
nEx t Ex nt Ext
也叫精算累积因子和精算折现因子。
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4
练习:
1. 计算(25)购买40年定期纯生存险的趸缴纯 保费。利率i＝6％，保险金额为3万元。
m n1
m n a x
kEx
k m 1
a a
x:mn
x:m
m E x axm :n
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12
例：某人30岁时购买了从60岁起年支付额为 10000元的终身生存年金，求其趸缴净保费。 如果他在68.8岁时死亡，求此人所获年金在 30岁时的现值（假定利率为6% ）。
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13
第4章 生存年金精算现值
5.1 生存年金的概念 生存年金（Life Annuity）是以被保险
人存活为条件，按预先约定的金额以间隔相 等的时期（年、半年、季、月）进行一系列 给付的保险。
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1
注：在生存年金研究中，习惯用 n E x 表示1
单位元纯生存保险的精算现值，即
nEx Ax:1n vnnpx
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9
2.定期生存年金
• 期初付定期生存年金
n1
n1
a x:n
kEx
vkkpx
k0
k0
• 期末付定期生存年金
n
n
a x:n
kEx
vk k px
k1
k1
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10
3.延期期初付生存年金
险种
延期m年初付 终身生存年金
m a x k E x
km
精算
现值
ax
a x:m