03-02空间问题的四面体单元
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第三章 轴对称、三维和高次单元
§ 3-2空间问题的四面体单元
空间问题的有限单元法,和平面问题及轴对称问题的有限单元法的原理和分析过程完 全相同。由于空间问题应采用三维坐标系,因此单元的自由度、刚度矩阵的元素个数,方 程组内方程个数等要较平面问题和轴对称问题多,所以空间问题的规模一般比轴对称问题 和平面问题大得多。它要求计算机的内存大,且计算时间长,费用高。这些问题都给三维 有限单元法的具体运用带来许多困难。
和平面问题一样,空间有限单元法采用单元 也是多种多样的,其中最简单的是四节点四面体 单元。采用四面体单元和线性位移模式来处理空 间问题,可以看作平面问题中三角形单元的推广。
在采用四面体单元离散化后的空间结构物 中,一系列不相互重叠的四面体之间仅在节点处 以空间铰相互连接。四节点四面体单元仅在四个 顶点处取为节点,其编号为i,j,m,p 。每个单元的 计算简图如图3-7所示。
在位移法中,取节点位移为基本未知量,四 节点四面体单元共有十二个自由度 (位移分量),
其节点位移列阵为
U i V i W i (i,j,m)
相应的节点力列阵为
U i
V
i
w i
U j V j
w j
U m T
W m U p V p W p
其子矩阵
图3-7空间四面体单元
F i F j F m F p V
V
其子矩阵
F i U i V i w
一、单元法位移函数
结构中各点的位移是坐标
X
、
y 、z 的函数。 当单元足够小时, 单元内各点的位移可用
简单的线性多项式来近似描述, 即
u
1 2 X 3y 4Z
v
5
6 X 7
y 8
Z
(3-49)
w
0 10X
ny
12Z
曰
2,…,
12是
卜二个待定系数,它们可由单元的节点位移和坐标确定。假定节 点 i,j,m,p 的坐标分别为(x i y i
Z i )、
、(x
j
y j z j )
、(X m
将它们代入 (3-49)式的第一式可得各个节点在
X 方向的位移
U i
1 2X i 3Y i 4
Z
u j
1 2X j
3Y j
4Z j
U m
1 2
X m 3Y m 4 Z m
U p
1
2
X p
3
Y p
4 Z p
解上述线性方程组,可得到
1 ,
2 ,
3 ,
4 , 再代入
U
6V
[(a i bX
cy d i Z)U i (a j
b j x
(a m b m X C m y
d m z)U m
(a p b p X C
(3-50)
y d p Z )U p ] 1 X i
Y i Z i 1 X j y j Z j 1 X m y m Z m
1 X P
Y P
Z P
(3-52)
(3-50)式,得
y m Z m
)、(X p y p Z p ),
5y 3)5 (3-51)
式中1 ,
其中V 为四面体ijmp 的体积,a,b i ,…,c p ,d P 为系数。
为了使四面体的体积 v 不致为负值,单元四个节点的标号 在右手坐标系中,要使得右手螺旋在按照
3-1中单元那样。
综合表达式(3-51)、(3-54)及(3-55),可以将位移分量表示成为
T
e
f u v w
[ N ]
IN i IN j IN m IN p
e
(3-56)
其中1是三阶的单位矩阵, [N]为形函数矩阵,而各个形函数为
N i (a i b i x c i y d i z)/6V
(i,m) (3-57)
N j (a b i x c y d i z)/6V (j, p)
1 , 5 , 6代表刚性移动
U 0 , V 0 , W o ;系
6个系数反映了刚性转动 W x , W y , W z 和常量
剪应变。这就是说,12个系数充分反映了单元的刚体位移和常量应变。同时,可以证明: 由于位移模式是线性的, 两个相邻单元的共同边界在变形过程中
,始终是相互贴合的,使 得
离散的模型变形中保持为连续体。这样,选用的位移函数满足收敛的充分必要条件,保 证了有限单元法解答收敛于精确解。
a i (i,j,m,p) (3-53) C
i
i,j,m,p
i T j T m 的转向转动时, 必须按照一定的顺序:
向 p 的方向前进,象图
用同样方法, 可以得出其余二个位移分量:
1
6V
(a m 1 6V
(a m [(a i b i x cy d i Z)v (a j b j X C j y d j Z)V j
b m X C m Y
d m Z)V m (a p b p X C p y d p Z)V p ]
[(a i b i x qy d j Z )w (a j b j X c I Y d j Z)W j
b m X C m Y d m Z)W m (a p b p X C p y d p Z)W p ]
和平面问题相似,(3-49)式中的系数
12代表常量的正应变;其余
(3-54)
(3-55)
二、载荷移置
空间问题的单元载荷移置和平面问题一样,也是根据静力等效原则,将不作用在节点上的集中力、体力、面力移置成作用在节点上的等效节点载荷。其通用公式的形式和平面问题也是一样的,只不过多出一维空间分量。
1.集中力
T
设单元上某点(x,y,z)作用有集中力P P x P y P z
则仍然得到等效节点载荷
R [N]T P (3-58)
这里e
R [X i Y 乙X j Y j Z
j X m Y m Z m
X p Y p Z p]
2.分布体力
单元上作用有分布体力P [X Y Z]T,则
R e[N]T PdV(3-59)其中dV是单元中的微分体积,对于直角坐标糸上式为
R e[N]T p dxdydz(3-60) e
3.分布面力
单元的某一边界面S上作用有一分布面力P X Y Z T
R e [N]T P dA
其中dA是边界面S上的微分面积。
4.常见载荷的移置
上列公式是空间问题载荷移置的通用公式。 对于四节点四 面体单元,由于其采用线性位移模式, 采用直接计算虚功的方 法求出节点载荷比较简单。下面介绍常见的二种载荷的移置。
⑴重力
四面体单元的自重为 W 作用在质心C 处(如图3-8)。为 求得节点载荷 X,Y i ,Z i ,可分别假想发生 u * 1 , V * 1或 w *
1的虚位移。
在U i* 1或V * 1时,整个单元上各点的均没有 z 方向上
的虚位移,重力 W 不做功,所以 X=Y i =O 。
*
1
“
W
W c 7, Z i
4
4
对于其余三个节点可得同样结论,于是有
e R i
0 0
T
W (i,j,m,p)
4
即,对于四节点四面体单元承受的重力载荷,只需要把共
(2)界面压力
设四面体的一个边界面
ijm 上受有一线性分布的压力
所得各节点载荷的方向和分布力的方向相同,要求各节点载荷分量还需乘上相应的方向余 弦。
由上述面力移置结果,可求出任意线性分布面的等效节点载荷。如在 ijm 面受有线性
分布面力在各点强度分别为
q i , q j ,q m ,时,在i 节点的等效载荷为
作用于
1/4。于
ijm 面上的d 点, 二是可得
d 点到ij
边和im 边的距离分别为 m 至U ij
及j 到im 边的距离的
T
T
e
P
P P c
1 ,1 1
R
i
-0
q ijm 1 -
(3-62)
2 4 4
6 j
2 2
q i ,0,0。很容易看出,该力向p 点移置的等效节点力为零。
由水力学知,总压力P 1 q i ijm ,
3
当w i 1时,jmp 面上各点的虚位移为零,即
*
1
W b 0,又因bc —bi ,所以有
4 (3-61)
1
移置到每个节点上即可。
4
P ,共在三个节点上的强度分别为
图3-8重力移置
111
P (q i q j q m) jm (i,j,m) (3-63)
6 2 2
三、应力应变矩阵
空间问题几何方程为
y
T
z x y u v w
x y z
u v
y x
u z w
y
w u
x z
z
将四面体单兀之位移表达式
(3-52)、(3-54)和(3-55)代入几何方程,即得单兀应变。用节点位移可表示为e
[B]
E3i B j B m B p e(3-64)
式中应变矩阵子矩阵为6X 3矩阵:
b i00
0C i0
1 00d i
[B i] c (i,j,m,p)(3-65)
6V c i b i0
0d i q
d i0b i
由上式可以看出,每一个单元的应变矩阵是一个常量矩阵;因此,采用线性位移模式的四面体单元是常应变单元。这与平面问题中的三角形单元是一样的。而与平面问题的不同之处仅在于应变矩阵的阶数不同。
将表达式(3-16)代入空间问题的物理方程,即可得出用单元节点位移表示的单元应力:
e e
[D] D[B] [S] (3-66)
式中弹性矩阵[D]为
应力矩阵[D]
11
00
12
2(1)
000
000
称
1 2
2(1 )
1 2
2(1 )
[S]
A1
S i S j S m S p (3-67)
A2
b i
Ab
[S i]
E(1 ) Ab
6(1 )(1 2 )V A2 G
A2d i
A?A?
C i A?
A?d i
(i,j,m,p) (3-68)
A2b i0
A2d i A2G
0A2b i
[S]是常量矩阵,所以,四面体单元是
显然,式(3-68)中各元素均为常量,应力矩阵常应
力单元。
四、单元刚度矩阵
空间问题的单元刚度由虚功方程导出。假设该单元发生某虚位移,相应节点虚位移为e
。此时相应的虚应变为
将上式及式(3-66)代入虚功方程,有
* e T e
*
e
T
e
( )F ([B]
)[D][B] dxdydz
v
通过与平面问题一样的处理,并注意到矩阵 [B]中的元素为常量,可以得到
F e [B]T [D][B]dxdydz e [B]T [D][B]
e
V [K]e e (3-69)
v
式中,[K]e 为单元刚度矩阵:
[K]e [B]T [D][B]dxdydz [B]T [D][B]V
(3-70)
e
将式(3-64)和(3-68)式代入,可以得出
其中,[K rs ]e 为3X 3阶方阵:
b r b s A 2(GC s d r d s )
有了单元节点力和节点位移之间的关系之后,通过分析每
个节点的平衡条件可得到
这个矩阵形式的方程实际上代表了关于 r 节点三个坐标轴方向的力平衡方程式。将关
于结构物所有节点的线性方程式集合起来,可以得到
[B]
K H K i
. ij
K.
K-
II [K]e
J 1
K mi
JJ
K mj
K pi K pj
K im K ip
K jm ?
K
mm K
mp
(3-71)
K
pm
K pp
Ab 「C s AWs Ab r d s A z d r b s :s A 2(b r b s d r d s ) AC r d s A z d r C s
Adi s AC r d s d r d s A 2(bR s C r C s )
[K ]e
E(1
)
AC r b s Ad r b s
AbrC s AbA
rs
36(1 )(1 )V
[K rs ]e s
e s i,j ,m, p
R r
e
(r,s=i,j,m,p) (3-72)
[K]
式中代表整个结构的节点的位移,是所求之基本未知量;R 代表整个结构的节点载荷;
[ K ]为整体刚度矩阵,其是由每个单元刚度矩阵升阶后组集得到,即
NE
e
[K] [K]e
e1
其为3NP阶方阵。显然,对每一个子矩阵,应有
NE
[K rs] [K rs ]
e1
和平面问题一样,[K]是对称、带状、稀疏矩阵,在消除刚体位移之后,它是正定的。
由平衡方程组可以解出节点位移,随后即可求得所需节点和单元应力。
五、形成四面体的对角线划分方法
在实际计算中,用一系列的四面体来组合成一个空间物体,这个形象是很难想象的。
但是如果先用一系列较为直观的六面体(图3-9)来划分弹性体,然后由计算机来将这些六面体及三棱柱划分为若干个四面体,则要方便得多。同时减少许多准备及输入工作,也为将来结果分析带来方便。
现在介绍一种适合计算机进行自动划分四面体的方法——对角线划分法。
1. 将六面体划分为四面体的方法
通过连接六面体上一些四边形的对角线,可以把一个六面体划分为五个或六个四面体。为叙述方便,先将六面体的八个角点进行局部编号,编号原则是先顶面后底面,对于顶面或底面的节点来说,则是先前后后,从左到右(见图3-9)排列。
(1)
将一个六面体划分为五个四面体
这种方法是先过六面体的一些四边形的对角线,
从六面体的四个角上切下四个四面体,
最后剩下中心的一个四面体,共得五个六面体单元。选择被切下的角点不同,有二种不同 的划分结果,如图
3-10(a )和(b )所示。我们分别称之为 A5型划分和B5型划分。A5型划
分所得五个四面体为 1246, 1347, 1467, 1567, 4678;而B5型划分则得到1235,2348, 2358 ,
2568, 3578五个四面体。
以上二种划分方法的共同特点是,六面体二对面四边形的剖分对角线是交叉的。这就 使得如果一个六面体按
A5型划分,那么与之相邻的各个六面体必定要按 B5型划分。
图3-10 六面体划分为五个四面体
(a) A5 型剖分; (b)B5 型剖分
(2) 将一个六面体划分成六个四面体
六面体和三棱柱
(a)
(b)
将六面体划分成六个四面体有很多种划分方法。这里介绍两种,如图3-11所示。它们
的共同特点是,六面体上两对面四边形的剖分对角线是“平行”的。所不同的是在A6型剖分中取大对角线36作为划分线,而在B6型中则是取大对角线45作为划分线。
为清楚起见,可将A6型划分理解为先将六面体沿2367分成两个三棱柱,再将每个三
棱柱分成三个四面体,分别得到1235,2356,3567和2346,3467, 4678六个四面体(见图
3-12。当然,A6型划分也可看成先将六面体沿3456面剖分,得到两个不同于前的三棱柱,
但最后得到的六个四面体是相同的(图3-13)。对于B6型划分,六面体先以折面2457为分
界面拆分成两个三棱柱,如图3-14所示。于是可见,每一个“三棱柱”被划分为三个四面
体,它们分别是1235,2345,3456和2456,4567,4678。同时,也不难证明,若以3456 为分界面按B6型划分将六面体拆成的二个“三棱柱”虽与前面的不同,但是划分成的六个
四面体和前面得到的完全相同。
(a) (b)
图3-11 六面体划分为六个四面体
(a) A6 型剖分;(b)B6 型剖分
图3-12 A6型划分,以折面2376为两个“三棱柱”的分界面
我们看到,A6型和B6型划分,由于其相对四边形的对角线“平行” ,而剖分大对角线
35和45并不在六面体表面上,其相邻的六面体可以全部采用
A6型划分或B6型划分,两
种划分也可以交替使用。一个六面体划分为六个四面体,各四面体的体积大小一般较为均 匀;但是在相等的
六面体数目下,
A6型和B6型划分所产生的四面体单元的总数,要比
A5
型和B5型产生的多六分之一。
此外,在A6型与B6型划分中,如果离散体的节点整体编号是按本节开头所述,从上 到下,从左到右连续进行的;同时每个六面体八个节点的整体编号的大小次序与其局部编 号的大小次序相一致(由小到大)的话,那么在划分中,对底面上任一节点,与它构成四面 体的三个节点中的最小号码,不会比其正上方那个节点的号码更小。这是由于在
A6型及
B6型划分中,注意到在连各个四边形对角线时,不使节点编号之差较大的三个节点出现在 同一个三角形中
的结果。
例如图3-11中,对于1357四边形,我们连接了 35对角线而使1、
7两节点分别属于两个三角形中。这样的划分能获得一个带宽较窄的刚度矩阵。
(3) 编号推算
如果将六面体的八个顶点的节点整个编号置于数组 D[ 1:8 ]中,而将前述图中的局
部编号1?8理解为数组
D[ 1:8 ]的下标时,于是上述问题就转化为:要在有八个元素
图3-13 A6 型划分,以折面3456为两个“三棱柱”的分界面
图3-14 B6 型划分拆成两个“三棱柱”
的数组中按一定规律,每次取四个元素构成一个四面体单元的节点编号问题。对于A6 型和A5 型划分所得四面体顶点编号的规律性进行一些分析之后,可以导出下列公式,分别表示按预定规律划分成的四面体的各节点编号:
D[m(1 3(l1)J(1 m)(l J)]
D[m(3l J1)(1 m)(1l J(J 1)/2)]
D[m(2(1 l J)J(l J)(1 m)(2 l J(5 J)/2)] (3-73)
D[m(5 l J(3J) /2 (1m)(4 l J)]
m 0,1)
(l 1,2; J0,1,2
;
通过直接代入数字检验,知道m=0对应着A6型划分所得的六个四面体,m=1则对应着A5型划分所得的五个四面体,(此时l=J=2形成的四面体应舍去)。例如m=0的情况,当1=1 ,J=0,1,2 时,得到D[1]D[2]D[3]D[5] ,D[2]D[3]D[5]D[6] ,D[3]D[5] D[6]D[7] 三个四面体,而l=2 ,J= 0,1,2 时,得到D[2]D[3]D[4]D[6] ,D[3]D[4]D[6]D[7] ,D[4]D[6]D[7]D[8] 三个四面体,与前述结果一致。
对于B6 型及B5 型划分,同样可以导出一个相似的计算公式。但是也可以利用(3-73) 式,只需将原来D〔1:8〕中元素位置作一定更动。更动的办法是,对于B6型划分,将8、6、4、2 位置的元素置于1、2、3、4 位置上,将7、5、3、1 位置的元素置于5,6,7,8 位置;对于B5 型划分,将5,6,7,8 位置的元素分别和1,2,3,4 位置的元素交换即可。以上讨论的是四面体八个顶点编号自动产生的情形,如果八个顶点的整体编号是外部输入的,则在输入前作位置的更换,不必增添更换位置的附加程序。
2. 三棱柱划分为四面体的方法
在弹性体的实际分割中,边角位置常出现六节点的三棱柱。由前述知道,任一三棱柱,可以看成是某个六面体的一半,并能划分成三个四面体。为直接使用公式(3-73) ,只需要
把图3-9 所示之三棱柱视情况添加两个节点,使之构成图3-11 所示六面体,利用式(3-73) 时,置数组D[1:8 ] 中两个添加点对应元素为零,并规定,所得四面体的四个节点编号中若有一个号码是零,就表示为空单元,不进行单元编号,从而只留下三个四面体单元。具体地说,如图3-9 所示的三棱柱,可以认为是图3-12 中六面体以折面2376 为分界面拆开的两个三棱柱中的一个——三棱柱234678。于是将数组D[1:8] 中的第一个和第五个元
素置零,其他元素则存入相应的节点整体编号。
实际计算中还可能遇到五节点的五面体,同样可以通过增添三个节点,使之构成一个六面体。此时应在D[1 :8] 的适当位置补上三个零,使用公式(3-73) 后,便得两个非空的四面体单元节点号数组。
最后,应当指出,在我们的划分中,都没有要求六面体某个四边形是平面的,即没有要求四个顶点在同一个平面内。因为在划分中出现的四边形,都是用连对角线的办法一分为二的,因此,任一四边形都可以是由二个折面构成的,也就是说,八个角点的位置可以是空间任意安置的。这对于将弹性体划分为一系列六面体、三棱柱来说是便利的。
空间问题的四面体单元
第三章 轴对称、三维和高次单元 § 3-2空间问题的四面体单元 空间问题的有限单元法,和平面问题及轴对称问题的有限单元法的原理和分析过程完 全相同。由于空间问题应采用三维坐标系,因此单元的自由度、刚度矩阵的元素个数,方 程组内方程个数等要较平面问题和轴对称问题多,所以空间问题的规模一般比轴对称问题 和平面问题大得多。它要求计算机的内存大,且计算时间长,费用高。这些问题都给三维 有限单元法的具体运用带来许多困难。 和平面问题一样,空间有限单元法采用单元 也是多种多样的,其中最简单的是四节点四面体 单元。采用四面体单元和线性位移模式来处理空 间问题,可以看作平面问题中三角形单元的推广。 在采用四面体单元离散化后的空间结构物 中,一系列不相互重叠的四面体之间仅在节点处 以空间铰相互连接。四节点四面体单元仅在四个 顶点处取为节点,其编号为i,j,m,p 。每个单元的 计算简图如图3-7所示。 在位移法中,取节点位移为基本未知量,四 节点四面体单元共有十二个自由度 (位移分量), 其节点位移列阵为 U i V i W i (i,j,m) 相应的节点力列阵为 U i V i w i U j V j w j U m T W m U p V p W p 其子矩阵 图3-7空间四面体单元
F i F j F m F p
其子矩阵 F i U i V i w 一、单元法位移函数 结构中各点的位移是坐标 X 、 y 、z 的函数。 当单元足够小时, 单元内各点的位移可用 简单的线性多项式来近似描述, 即 u 1 2 X 3y 4Z v 5 6 X 7 y 8 Z (3-49) w 0 10X ny 12Z 曰 2,…, 12是 卜二个待定系数,它们可由单元的节点位移和坐标确定。假定节 点 i,j,m,p 的坐标分别为(x i y i Z i )、 、(x j y j z j ) 、(X m 将它们代入 (3-49)式的第一式可得各个节点在 X 方向的位移 U i 1 2X i 3Y i 4 Z u j 1 2X j 3Y j 4Z j U m 1 2 X m 3Y m 4 Z m U p 1 2 X p 3 Y p 4 Z p 解上述线性方程组,可得到 1 , 2 , 3 , 4 , 再代入 U 6V [(a i bX cy d i Z)U i (a j b j x (a m b m X C m y d m z)U m (a p b p X C (3-50) y d p Z )U p ] 1 X i Y i Z i 1 X j y j Z j 1 X m y m Z m 1 X P Y P Z P (3-52) (3-50)式,得 y m Z m )、(X p y p Z p ), 5y 3)5 (3-51) 式中1 , 其中V 为四面体ijmp 的体积,a,b i ,…,c p ,d P 为系数。
GTP模型中四面体的引入及其空间模型扩展
收稿日期:2003-07-25; 修订日期:2003-08-01 基金项目:教育部“高校青年教师奖”专项基金;香港研究资助局(32Z B40);香港理工大学(1.34.9709) 作者简介:王彦兵(1972-),男,博士生,从事3D G IS 与3D G MS 研究。 GTP 模型中四面体的引入及其空间模型扩展 王彦兵1,2,吴立新1,2,史文中2 (1.中国矿业大学北京校区3S 与沉陷工程研究所,北京100083;2.香港理工大学土地测量与地理信息学系) 摘要:该文从空间拓扑概念出发,分析了基于广义三棱柱(G TP )模型建立空间实体间拓扑关系时的不足。针对G TP 进行平面剖切时存在的缺陷,讨论了在G TP 模型中加入新的几何元素———四面体作为辅助元素的必要性,并将空间实体的描述分为几何元素和实体元素两类。在此基础上,对原有G TP 模型进行了改进,建立了几何元素和实体元素之间的拓扑关系,并有效地解决了空间实体的3D 平面剖切问题。关键词:G TP 模型;单纯形;四面体;拓扑关系;3D 地学模拟系统 中图分类号:P208 文献标识码:A 文章编号:1672-0504(2003)05-0016-04 0 引言 GIS 与其它信息系统相比,其最主要的特性是对 实体空间关系的表达[1-4]。GIS 中表达的空间关系主要包括:度量关系、顺序关系和拓扑关系。度量关系是纯粹的计算方法,是对空间实体在欧氏空间上方位 的一种数值对比关系,是基于距离函数的计算方法。顺序关系是建立在数学关系(如“<”(严格顺序),“≤”(部分顺序))上的一种操作。拓扑关系是不考虑实体之间的距离的一种空间邻近关系,它主要的特点是基于拓扑变换(如旋转、放缩和转换等)下的不变性。 拓扑关系作为GIS 中主要表达和分析的空间关系之一[5-7],其表达有利于空间数据组织、空间分析、空间查询、空间推理和空间一致性检验[8]。3D 空间实体的拓扑描述是在2D 拓扑基础上的扩展,增加了新的空间实体元素———体,其拓扑关系也是2D 拓扑关系在3D 上的扩充。近年,众多学者提出了多种3D 拓扑数据 模型,主要思想是将空间对象抽象为点、线、面和体四类元素进行建模。但迄今为止,所提出的3D 拓扑数据模型均存在不同程度的缺陷和需要改进之处。 在拓扑学中,单纯形和复形如同组合数学一样都是解决拓扑问题的工具,通常利用单纯形和复形来对几何实体进行拓扑描述和空间关系的表达[9]。四面体是作为3D 空间建模最基本的几何元素之一,是3D 的单纯形。陈军、郭薇提出了顾及维数的3D 空间实体间拓扑关系描述框架[10],描述了欧氏空间中任意k —单纯形之间的空间拓扑关系,定义了相邻、包含、相交、部分覆盖、相离、相等6种基本拓扑 关系类型。根据3D 空间实体的可剖分性,将空间实体抽象为0~3—单纯形,并利用空间实体各单纯形间拓扑关系的组合形式描述3D 空间实体的拓扑关系,四面体就是对应的3—单纯形。 广义三棱柱(G eneralized Tri —Prism ,G TP )模型[11,12]是类三棱柱(Analogical Tri —Prism ,ATP )模 型[13,14]的发展。该模型是针对地质钻孔尤其是深 钻偏斜特点而提出的一种可以不受三棱柱棱边平行 (即钻孔垂直)限制的真3D 地学空间构模方法。G TP 模型主要用于地质体3D 建模,尤其适用于层状矿体的描述。G TP 模型直接基于原始钻孔数据构模,使得所构建的模型更符合实际地质状况并确保模型精度。G TP 模型同时建立了6类元素的6组基本拓扑 关系[12],可进行地学空间拓扑分析、查询和动态更新。由于G TP 的棱边不一定平行,即任意一个侧面的两条棱边不一定共面,这在进行空间分析和剖切时不可避免地会产生空洞。本文根据四面体属性和G TP 性质以及拓扑学理论,提出在G TP 模型中加入一个新的几何元素———四面体的解决方案。 1 G TP 模型中引入四面体的必要性 1.1 G TP 模型 G TP 模型的主要特点在于它不受三棱柱棱边平 行的限制,并将TP 模型[15]称为其特例;而且,基于TI N 边退化和TI N 面退化,可以由G TP 导出Pyramid 模型和TE N 模型[11,12]。G TP 构模原理是:用G TP 上下底面的三角形集合所组成的TI N 面来表达不同的地层面,然后利用G TP 侧面的空间四边形面来描述 第19卷 第5期2003年9月 地理与地理信息科学G eography and G eo -In formation Science V ol.19 N o.5 September 2003
03-02 空间问题的四面体单元
第三章 轴对称、三维和高次单元 §3-2 空间问题的四面体单元 空间问题的有限单元法,和平面问题及轴对称问题的有限单元法的原理和分析过程完全相同。由于空间问题应采用三维坐标系,因此单元的自由度、刚度矩阵的元素个数,方程组内方程个数等要较平面问题和轴对称问题多,所以空间问题的规模一般比轴对称问题和平面问题大得多。它要求计算机的内存大,且计算时间长,费用高。这些问题都给三维有限单元法的具体运用带来许多困难。 和平面问题一样,空间有限单元法采用单元也是多种多样的,其中最简单的是四节点四面体单元。采用四面体单元和线性位移模式来处理空 间问题,可以看作平面问题中三角形单元的推广。 在采用四面体单元离散化后的空间结构物中,一系列不相互重叠的四面体之间仅在节点处以空间铰相互连接。四节点四面体单元仅在四个顶点处取为节点,其编号为i,j,m,p 。每个单元的计算简图如图3-7所示。 在位移法中,取节点位移为基本未知量,四节点四面体单元共有十二个自由度(位移分量),其节点位移列阵为 {}[ ] T p p p m m m j j j i i i p m j i e w v u w v u w v u w v u =??????????????=δδδδδ 其子矩阵 {}[]i i i i w v u =δ (i,j,m) 相应的节点力列阵为 {}[ ] T p m j i e F F F F F - 图3-7 空间四面体单元
其子矩阵 {}[]T i i i i W V U F = 一、单元法位移函数 结构中各点的位移是坐标x 、y 、z 的函数。当单元足够小时,单元内各点的位移可用简单的线性多项式来近似描述,即 ?? ? ??+++=+++=+++=z y x w z y x v z y x u 121110087654321αααααααααααα (3-49) 式中1α,2α,…,12α是十二个待定系数,它们可由单元的节点位移和坐标确定。假定节点i,j,m,p 的坐标分别为(i x i y i z )、(j x j y j z )、(m x m y m z )、 (p x p y p z ),将它们代入(3-49)式的第一式可得各个节点在x 方向的位移 ?? ? ? ? ?? ??? ?? ? ?+++=+++=+++=+++=p p p p m m m m j j j j i i i i z y x u z y x u z y x u z y x u 4321432143214321αααααααααααααααα (3-50) 解上述线性方程组,可得到1α,2α,3α,4α,再代入(3-50)式,得 ] )()()()[(61p p p p p m m m m m j j j j j i i i i i u z d y c x b a u z d y c x b a u z d y c x b a u z d y c x b a V u +++-+++++++-+++= (3-51) 其中V 为四面体ijmp 的体积,a i ,b i ,…,c p ,d p 为系数。 p p p m m m j j j i i i z y x z y x z y x z y x V 1 111= (3-52)
四面体的性质
四面体的性质 不在一直线上的三点可以连成一个三角形,不共面的四点可以连成四个三角形,这四个三角形围成的几何体叫做四面体(如图1).它有四个顶点,六条棱,四个面. 研究四面体的有关性质可以加深对四面体,空间四边形的知识的理解,有利于提高熟练运用知识的能力. 性质1:四面体中相对的棱所在的直线是异面直线.如图1中AB 和CD ,BC 和AD ,AC 和BD 都是异面直线. 性质2:四面体中,若一个顶点在对面内射影是这个三角形的垂心,则四面体的三组对棱分别互相垂直. 证明:如图2的四面体中,设顶点A 在面BCD 内的射影H 是BCD △的垂心.AH BCD ⊥平面.连结BH ,CH ,DH ,则BH CD ⊥,CH BD ⊥,DH BC ⊥.根据三垂线定理得AB CD ⊥,AC BD ⊥,AD BC ⊥. 性质3:四面体中,若有两组对棱互相垂直,则第三组对棱也互相垂直. 证明:设四面体ABCD 中,AB CD ⊥,AC BD ⊥,过A 作AH BCD ⊥平面,H 为垂足(如图2).连结BH ,CH ,则BH 为AB 在平面BCD 内的射影,根据三垂线定理的逆定理,BH CD ⊥;同理CH BD ⊥,所以H 是BCD △的垂心.由性质2知AD BC ⊥. 根据性质2,3立即可以得到: 性质4:四面体中,若一个顶点在它对面内的射影是这个面的中心,则其余各顶点在其对面内的射影也分别是这些面的中心. 利用全等三角形的判定和性质,可以证明下面两条性质: 性质5:四面体中,若交于同一顶点的三条棱相等,则这个顶点在对面内的射影是这个三角形的外心,且这三条棱和顶点所对面所成的角相等.反之也真. 特别地,若这个顶点所对的面是一个直角三角形,则这顶点的射影是直角三角形斜边的中点. 性质6:四面体中,若一个顶点在对面内的射影是这个三角形的内心,则顶点到对面三角形三条边的距离相等,且以这三角形三角形三条边为棱的三个二面角相等. 性质7:四面体中,若交于同一点的三条棱两两互相垂直,则这个顶点所对面是一个锐角三角形. 证明:如图3,设90APB BPC CPA ∠=∠=∠=o ,PA a =,PB b =,PC c =,不妨设a b c ≤≤,则222AB a b =+,222BC b c =+,222CA c a =+.显然BC 是ABC △的最大边,BAC ∠是ABC △中最大内角.根据余弦定理,有
平面三角形与空间四面体之间的类比
平面三角形与空间四面体之间的类比 “类比是伟大的引路人,求解立体几何问题往往有赖于平面几何中的类比问题”(波利亚)。新教材中引入类比这一内容,从根本上改变了我以往对数学的看法。虽然我以前也知道到类比,但却不敢把它作为一种数学方法理直气壮地在课堂上讲授,让学生使用。如今总算可以放开手脚,大胆应用了。 首先,平面三角形是平面几何中的一个基本图形,而四面体是立体几何中的一个基本图形。二者之间有着密切的联系,同时它们之间的联系体现了平面与空间的联系,一维空间与二维空间的联系,进一步可能有助于对多维空间的理解。 一、从概念上看:三角形是边数最少的多边形,四面体是面数最少的多面体。 二、三角形的任意两边之和大于第三边。四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积。 三、任意一个三角形都有一个外接圆,即不共线三点确定一个圆,这个圆圆心称为三角形的外心,外心是各边垂直平分线的交点,外心到三角形各顶点距离相等。任意一个四面体都有一个外接球,即不共面四点确定一个球;这个球的球心在四面体各个面内的射影是各个面的外心,且它到四面体各顶点的距离也相等。 四、任意一个三角形都有一个内切圆,圆心称为三角形的内心,内心到各边距离相等,是三内角平分线的交点; 且设三角形的周长为c,内切圆半径为r,则三角形的面积为。任意一个四面体都有一个内切球,球心到各个面的距离相等,是从六条棱出发的六个二面角的平分面的交点。且设四面体的表面积为S,内切球半径为R,则四面体的 体积为。 五、正三角形棱长为a时,周长为3a,面积为,高为,外接圆半径为,内切圆半径为。外接圆半径是内切圆半径的2倍。 正四面体棱长为a时,表面积为,高为,外接球半径为, 内切接球半径为。外接球半径是内切球半径的3倍。 六、任意三角形的三条中线交于一点,称为三角形的重心,重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。(重心定理)如图1所示:G为的重心。且 任意四面体的顶点与对面重心的连线交于一点,正是四面体的物理重心,且四面体的重心到顶点的距离是它到对面重心距离的3倍。(重心定理的推广) 如图2所示:E,F分别为的重心,AE与BF相交于点G,则G为四面体A-BCD的重心。 七、三角形中三个顶点的坐标分别为,
平面三角形与空间四面体之间的类比
平面三角形与空间四面体之间的类比 山西原平一中任所怀 “类比是伟大的引路人,求解立体几何问题往往有赖于平面几何中的类比问题”(波利亚)。新教材中引入类比这一内容,从根本上改变了我以往对数学的看法。虽然我以前也知道到类比,但却不敢把它作为一种数学方法理直气壮地在课堂上讲授,让学生使用。如今总算可以放开手脚,大胆应用了。 在教学中,我进行了多种对象的类比。在我的启发下,学生也主动进行了研究。平面三角形与空间四面体是一组典型的类比对象。现把我和学生的一些研究总结如下,希望能与更多的同仁进行探究。 首先,平面三角形是平面几何中的一个基本图形,而四面体是立体几何中的一个基本图形。二者之间有着密切的联系,同时它们之间的联系体现了平面与空间的联系,一维空间与二维空间的联系,进一步可能有助于对多维空间的理解。 一、从概念上看:三角形是边数最少的多边形,四面体是面数最少的多面体。 二、三角形的任意两边之和大于第三边。四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积。 三、任意一个三角形都有一个外接圆,即不共线三点确定一个圆,这个圆圆心称为三角形的外心,外心是各边垂直平分线的交点,外心到三角形各顶点距离相等。任意一个四面体都有一个外接球,即不共面四点确定一个球;这个球的球心在四面体各个面内的射影是各个面的外心,且它到四面体各顶点的距离也相等。 四、任意一个三角形都有一个内切圆,圆心称为三角形的内心,内心到各边距离相等,是三内角平分线的交点;且设三角形的周长为c,内切圆半径为r,则三角形的面积为
。任意一个四面体都有一个内切球,球心到各个面的距离相等,是从六条棱出发的六个二面角的平分面的交点。且设四面体的表面积为S,内切球半径为R,则四面体的体积为 。 五、正三角形棱长为a时,周长为3a,面积为 ,高为 ,外接圆半径为 ,内切圆半径为 。外接圆半径是内切圆半径的2倍。 正四面体棱长为a时,表面积为 ,高为 ,外接球半径为 , 内切接球半径为 。外接球半径是内切球半径的3倍。 六、任意三角形的三条中线交于一点,称为三角形的重心,重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。(重心定理)如图1所示:G为
2019.12.26 【判断】空间重构(四面体、八面体) 程永乐 (讲义+笔记)
【判断】空间重构(四面体、八面体) (讲义+笔记) 主讲教师:程永乐 授课时间:2019.12.26
【判断】空间重构(四面体、八面体)(讲义) 1.(2017江苏)左边给定的是纸盒外表面的展开图,右边哪一项能由它折叠而成? 2.(2019江苏)左边给定的是纸盒外表面的展开图,右边哪一项能由它折叠而成? 3.(2016山西)左边给定的是纸盒外表面的展开图,右边哪一项能由它折叠而成? 4.(2019广东)如图所示是从两个不同角度观察到的同一个正四面体的外表面,将该四面体展开,可能得到的图形是()。
5.(2019江苏)左边给定的是纸盒外表面的展开图,右边哪一项能由它折叠而成? 6.(2017江苏)右边四个图形中,只有一个是左侧图形的展开的展开图,请把它找出来。 7.(2019上海)下列选项中,不能由展开图折叠而成的是()。
8.(2018浙江)左边给定的是纸盒外表面的展开图,右边哪一项能由它折叠而成? 9.(2019江苏)左边给定的是纸盒外表面的展开图,右边哪一项能由它折叠而成? 10.(2019江苏)左边给定的是纸盒外表面的展开图,右边哪一项能由它折叠而成? 11.(2014江苏)左边给定的是纸盒外表面的展开图,右边哪一项能由它折叠而成?
12.(2014四川、河南)左边给定的是纸盒外表面的展开图,右边哪一项能由它折叠而成? 13.(2013江苏)左边给定的是纸盒外表面的展开图,右边哪一项能由它折叠而成? 14.(2010江苏)左边给定的是纸盒外表面的展开图,右边哪一项能由它折叠而成?
15.(2010江苏)左边给定的是纸盒外表面的展开图,右边哪一项能由它折叠而成?