由GRS码构造新的量子MDS码
基于Constacyclic码构造的一类新的量子MDS码
x n − η 的理想，并且 xc ( x ) 对应 c ( x ) 的 η-constacyclic 移位。而且，如果
知， C =
) 0} 称为集合 C 的定义集合。易 { j ∈ Ω g (ω =
C j 和 dim ( C )=
j∈Ω
n − Z 。此外，我们也定义 C ⊥ H 的定义集合 Z ⊥ H=
{ j ∈ Ω −qj ( mod rn ) ∉ Z } 。
那么 C ⊥ H ⊆ C 当且仅当 Z ( −qZ ) = 其中 −qZ =− 码， 并且其定义集合为 Z ⊆ Ω ， ∅， { qz ( mod rn ) z ∈ Z } 。
些码长为 n =
(
)
2. 预备知识
参数为 [ n, k , d ]q 2 的线性码 C 是指有限域 Fq 2 上 n 维向量空间中最小距离为 d 的 k 维子空间， 其中最小距离 Singleton 界，即 k = n − 2d + 2 ，则称此线性码 C 为极大距离可分码，简称 MDS 码。 给任意两个向量 = X 令 q 为一个奇素数的方幂。设 Fq 2 为具有 q 2 个元素的有限域， Fqn2 为 Fq 2 的 n 维向量空间，一个具有
d 为不同码字之间的 Hemming 距离的最小值，线性码 C 满足 Singleton 界： k ≤ n − 2d + 2 。如果 C 达到
x2 , , xn ) , Y ( y1 , y2 , , yn ) ∈ Fqn ，定义 ( x1 ,=
量子纠错编码的理论和应用
量子纠错编码的理论和应用随着信息技术的不断发展，数据的管理和传输越来越重要。
在传统的信息处理方法中，数据的传输和存储都是基于经典的物理原理，但是这种方法在处理大规模数据时会遇到一些难以克服的问题。
为了解决这些问题，人们开始探索利用量子力学的特殊性质进行信息的处理和传输。
量子纠错编码作为量子信息处理的重要组成部分之一，具有着重要的理论和应用价值。
一、量子纠错编码基础量子纠错编码的概念源于经典的纠错编码，其主要作用是在量子系统的传输过程中减少因噪声干扰等问题导致的误差。
量子纠错编码主要包含了量子态的变换、量子测量和纠错码的设计等几个方面。
1、量子态的变换在量子纠错编码中，量子态的变换被用于校正和保护数据在传输和存储的过程中发生的错误。
其中，最常用的方法是使用量子纠错码队量子态进行编码。
这种编码方法可以将一般的量子态转化为具有纠错和校正能力的量子态，从而在遭受噪声干扰时可以使数据得到更好的保护。
2、量子测量量子测量是量子纠错编码的核心方法之一。
在传统的错误检测方法中，根据错误检测码的设计，会在传输过程中添加一些冗余信息来检测数据是否出错。
而在量子纠错编码中，量子测量是实现错误检测的一种方式。
当接收方收到的量子态带有噪声时，测量可以帮助接收方检测出错误，并且根据纠错码的设计进行纠错和校正。
3、纠错码的设计纠错码的设计是量子纠错编码的重要组成部分之一。
在量子纠错编码中，不同的码型具有不同的特点和使用条件。
数量子的纠错码可以通过导出类似于传统纠错码的生成矩阵或校验矩阵来描述，并且通常使用类似于Hadamard变换的矩阵操作来实现。
二、量子纠错编码的应用量子纠错编码作为量子信息处理领域中的一个重要研究方向，具有广泛的应用前景。
下面列举了量子纠错编码在不同领域中的应用案例。
1、量子通信在量子通信中，传输的信息受到噪声干扰的影响是不可避免的。
通过使用量子纠错编码，可以在传输过程中减少噪声干扰对信息的影响，从而提高通讯的可靠性和安全性。
构造 量子MDS码
ord rn q 2 = m ， 引理 4： 设 r 是 q + 1 的正因子， 设 gcd ( q, n ) = 1 ， 0 ≤ x, y , z ≤ n − 1 。 η ∈ Fq*2 ， ord (η ) = r 。 m 1) Cs 是对称陪集当且仅当存在 t ≤ 使得 x ≡ xq 2t +1 ( mod rn ) 。 2 m 2) 如果 C y ≠ C z ， C y , Cz 形成一对不对称陪集当且仅当存在 t ≤ 使得 y ≡ yq 2t +1 ( mod rn ) 或者 2
写 成 多 项 式 c ( x ) = c0 + c1 x + + cn −1 x n −1 并 且 看 成 商 环
(x
n
− η 是商环 R 的一个理想。易
)
n
成式并且 dim ( c )= n − k ，其中 k = deg ( g ( x ) ) 。 假设 gcd ( n, q ) = 1 。ω 是个 rn 次本原单位根属于 Fq 2 的某些扩域中使得 ω n = η 。令 ξ = ω r ，那么 ξ 是
Meifang Zhao1, Pengfei Guo2*
1 2
Mathematics Institute, South China University of Technology, Guangzhou Guangdong College of Computational Science, Zhongkai University of Agriculture and Engineering, Guangzhou Guangdong
th th th
Received: Mar. 5 , 2019; accepted: Mar. 20 , 2019; published: Mar. 28 , 2019
一类新的q元量子MDS码
第 ３ ６卷 第 ５期 ２ ０ １ ６年 ９月
杭 州 电 子 科 技 大 学 学 报（ 自然 科学 版 ）
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｈａ ｎ ｇ ｚ ｈ ｏ ｕ Ｄｉ ａ ｎ ｚ ｉ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ （ Ｎａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ｓ ）
摘要 ： 量 子 纠 错 码 在 量 子 信 息 处 理 和 量 子 计 算 中有 着 重 要 的 应 用 ． ｑ元 量 子 ＭＤ Ｓ码 是 一 类 重 要 的
最 优 量 子 纠错 码 ， 此 类 量 子 码 的参 数 满 足 相 应 的量 子 Ｓ ｉ ｎ ｇ ｌ ｅ ｔ ｏ ｎ界 ． 构造 ｑ 元 量 子 ＭＤ Ｓ码 具 有 重 要
０ 引 言
量 子码 已经 发展 成为 计算科 学 、 通信 、 物 理和数 学 的前沿 领域 ． 同经典 的码 一样 ， 一个 口元量 子码 具 有 ３个 参数 ： 码长、 码 字数 和最小 距 离． 一 个具 有码 长 为 ， 码 字数 为 Ｋ 的 ｑ元 量 子码 Ｑ 是 ｑ 维 Ｈｉ ｌ ｂ ｅ ｒ ｔ 空间（ Ｃ ｑ ） 的一个 Ｋ 维 子空 间． 令 忌一 ｌ ｏ ｇ Ｋ， 则码 长为 ７ ＂ ／ ， 最小距 离 为 ｄ的量子 码被记 为 ［ Ｉ ｎ ， 是 ， ］ ］ ．
量子信息处理中的量子编码与解码技术
量子信息处理中的量子编码与解码技术量子信息处理是一门前沿的学科领域，涉及到许多重要的技术和理论。
其中，量子编码与解码技术是量子通信和量子计算的关键组成部分。
本文将详细介绍量子编码与解码技术的原理、应用和挑战。
一、量子编码技术的原理量子编码技术是指将经典信息转化为量子态的过程，以实现信息的安全传输和存储。
在量子编码中，最常用的编码方式是基于量子比特（qubit）的编码。
量子比特是量子信息的最小单位，可以表示为0和1的叠加态。
量子编码技术的原理主要基于量子纠缠和量子叠加的特性。
通过将经典信息的比特与量子比特进行纠缠，可以实现信息的编码。
在编码过程中，通过对量子比特的叠加态进行操作，可以实现信息的隐藏和保护，从而提高信息的安全性。
二、量子编码技术的应用量子编码技术在量子通信和量子计算领域有着广泛的应用。
在量子通信中，量子编码技术可以实现信息的安全传输。
由于量子比特的特殊性质，即使被窃听或干扰，也可以通过量子纠错码进行纠正，从而保证信息的完整性和可靠性。
在量子计算中，量子编码技术可以实现信息的存储和处理。
通过将经典信息编码为量子比特，可以将大量的信息存储在量子系统中，并进行高效的计算。
量子编码技术的应用可以大大提升计算机的运算速度和存储容量，从而推动量子计算的发展。
三、量子解码技术的原理量子解码技术是指将编码后的量子信息还原为经典信息的过程。
与量子编码技术相反，量子解码技术通过测量和操作量子比特，将量子信息转化为经典信息。
量子解码技术的原理主要基于量子测量和量子反演的原理。
通过对编码后的量子比特进行测量，可以获取量子比特的状态信息。
然后，通过量子反演的操作，将量子比特的状态还原为经典比特，从而实现信息的解码。
四、量子解码技术的应用量子解码技术在量子通信和量子计算中都有重要的应用。
在量子通信中，量子解码技术可以实现接收方对编码后的量子信息进行解码，从而获取原始的经典信息。
通过量子解码技术，可以实现信息的安全传输和解密。
量子码的编码和解码方法研究
量子码的编码和解码方法研究量子计算是当今科学与技术领域最具挑战性的研究方向之一。
在量子计算中，量子位（qubit）是信息的基本单位，其拥有超强的计算能力和加密安全性。
为了实现量子计算的高效性和可靠性，研究人员提出了多种量子码的编码和解码方法。
本文将重点探讨这些方法以及它们对量子计算的应用。
1. 量子码编码方法1.1. Shor码Shor码由Peter Shor于1995年提出，是第一个能够实现量子纠错编码的方法。
它可以很好地克服量子位的易受干扰与退化的问题。
Shor码利用了量子纠错编码来修复量子位的错误，并可重现原始信息。
它可以实现对一定数量的错误进行纠正，在实际的量子计算中被广泛应用。
1.2. Steane码Steane码是一种更加通用的量子纠错编码方法，由Andrew Steane于1996年提出。
该编码方法采用了7个量子位的码字来纠正任意单量子位错误以及少量两量子位错误。
Steane码通过一系列的量子门操作来将非对角错误转化为对角错误，进而纠正错误。
它具有较高的纠错效率和可扩展性，是量子计算中常用的编码方法之一。
2. 量子码解码方法2.1. 迭代解码迭代解码是一种常见的量子码解码方法，基于经典计算机的思想，通过多次迭代来逼近正确的结果。
在迭代过程中，通过测量和纠错操作来减小错误的概率，并最终恢复原始信息。
迭代解码方法可以应用于不同类型的量子码，但由于其需要大量的计算资源和时间，实际应用中存在一定的限制。
2.2. 多边形解码多边形解码是一种针对量子反馈通道的解码方法，它通过构造多边形来描述量子位的可能状态，并通过测量和判断来确定最可能的状态。
该解码方法可以提高解码的准确性和效率，并在高误差率的环境中表现出良好的性能。
多边形解码方法对量子纠错编码的性能有着重要的影响。
3. 量子码的应用3.1. 量子通信量子通信是一种利用量子位来传输和处理信息的通信方式。
量子码的编码和解码方法在量子通信中起着关键的作用。
量子计算的量子纠错码与纠错原理(Ⅱ)
量子计算的量子纠错码与纠错原理量子计算是一种利用量子力学原理来进行计算的新型计算方法。
相比于传统的经典计算，量子计算具有更高的计算速度和更大的计算容量。
然而，由于量子比特的特殊性质，量子计算在计算过程中容易受到干扰和误差的影响。
因此，量子纠错码的研究和应用成为了量子计算领域中一个重要的课题。
量子纠错码是一种利用量子比特的量子态叠加性质来保护量子信息的编码方法。
它通过引入额外的量子比特和一些特殊的量子门操作，使得在量子比特受到干扰或误差时，可以通过检测和修正来恢复原始的量子信息。
这种编码方法在量子计算中起到了类似于传统计算中纠错码的作用。
量子纠错码的研究和设计成为了解决量子计算中误差和干扰问题的重要手段。
量子纠错码的基本原理是利用量子态的叠加性质来构建一些特定的编码方式，使得在量子比特发生错误时可以通过量子门操作来修正。
其中一个经典的量子纠错码是Shor码，它利用特殊的量子门来构建一个三量子比特的编码方式，使得在第三个量子比特发生错误的情况下，可以通过量子门操作来恢复原来的量子信息。
另一个经典的量子纠错码是Steane码，它利用七个量子比特的编码方式来实现纠错功能。
这些量子纠错码的设计和应用为量子计算中的误差和干扰问题提供了重要的解决方案。
量子纠错码的研究不仅仅局限于上述的经典编码方式，还涉及到了更多的复杂情况和更高效的编码方法。
除了传统的纠错码，还有一些新型的量子纠错码被提出，例如Topological码、Surface码等。
这些编码方式利用了量子比特之间的拓扑结构和相互作用关系，从而实现了更高效的错误纠正和更大的容错能力。
这些新型的量子纠错码为量子计算中的误差和干扰问题提供了更多的解决方案。
量子纠错码的研究不仅仅局限于编码方式的设计，还涉及到了量子纠错原理的研究和应用。
量子纠错原理是指利用量子门操作和测量方法来实现对量子比特的错误检测和修正。
在量子计算中，由于量子比特的叠加性质，量子信息的错误判定和修正需要引入一些特殊的量子门操作和测量方法。
研究量子信息中的量子纠错与量子编码
研究量子信息中的量子纠错与量子编码随着科学技术的不断进步，量子信息领域逐渐引起人们的关注。
在经典信息传输中，信息的可靠性可以通过纠错编码来保证，在量子信息领域中，也需要寻找一种方法来保护信息的可靠性，这就是量子纠错与量子编码的研究内容。
一、量子纠错1.1 量子位的脆弱性量子位是量子信息的最基本单元，与经典比特不同，量子位处于一个状态的叠加态，而且容易受到外界的干扰而发生错误。
这种脆弱性限制了量子信息传输和处理的可靠性。
1.2 量子纠错的原理量子纠错是通过增加冗余度来检测和纠正量子位错误。
纠错码的设计需要考虑量子的叠加态和量子态之间的相干性质，以及受到干扰的概率等因素。
常见的量子纠错码有Shor码和Steane码等。
1.3 Shor码的应用Shor码是一种常用的量子纠错码，它能够在保护量子位的同时，还能恢复多个量子位中的错误。
Shor码的应用涉及到量子计算、量子通信等领域，对于实现可靠的量子信息传输具有重要意义。
二、量子编码2.1 量子态的编码表示在量子信息处理中，需要将信息通过量子位的方式进行编码。
与经典计算中的编码不同，量子编码还需要考虑量子态的相干性和叠加性质。
目前常用的量子编码方式有超密编码和量子密钥分发等。
2.2 超密编码超密编码是一种能够在量子通信中实现信息安全传输的编码方式。
它利用了量子态的非局域性质，可以在量子比特的传输过程中实现信息的加密和解密，具有很高的安全性。
2.3 量子密钥分发量子密钥分发是一种利用量子态的特性实现密钥安全传输的方法。
它通过量子比特的传输和测量，可以实现在通信过程中检测是否被窃听以及密钥的安全分发。
三、量子纠错与量子编码的应用3.1 量子通信量子纠错与量子编码在量子通信中起到了重要的作用。
通过纠错码的应用，可以实现在量子信道中的错误检测和纠正，提高量子通信的可靠性。
而量子编码则能够保证量子态的安全传输，保护通信过程中的密钥和信息。
3.2 量子计算量子计算是利用量子位的叠加性质和量子纠错编码来实现的。
量子力学中的量子纠错码
量子力学中的量子纠错码在量子力学中，量子纠错码（Quantum Error Correction Code）是一种用于保护量子信息免受噪声和干扰影响的编码技术。
量子纠错码是基于量子比特（Quantum Bit）的纠错码，通过特定的编码方式，可以有效地检测和修复量子比特的错误，从而提高量子计算和通信的可靠性。
1. 量子比特和量子错误量子比特是量子计算和通信的基本单元，类似于经典计算机中的比特。
在量子系统中，量子比特可以处于多个状态的叠加态，而非仅仅是0或1两个状态。
然而，受到量子系统的不确定性和环境干扰的影响，量子比特容易发生错误。
这些错误来源于量子力学的特性，例如量子态的退相干、测量过程的干扰以及与环境的相互作用。
2. 量子纠错码的原理量子纠错码利用冗余信息和纠错算法来检测和修复量子比特的错误。
其中，冗余信息是通过将原始的量子比特编码成多个量子比特所实现的。
纠错算法根据编码的模式和错误的位置，从冗余信息中推断出错误的比特，并对其进行修复。
量子纠错码的关键任务是实现高效的错误检测和修复，以保护量子信息的完整性和可靠性。
3. 量子纠错码的分类目前，已经发展出多种不同类型的量子纠错码。
常见的量子纠错码包括三阶量子码（Three-Qubit Code）、Steane码、Shor码等。
这些纠错码的主要区别在于它们所能纠正的错误类型和数量，以及纠错码的编码效率和纠错能力。
不同的纠错码适用于不同的量子计算和通信场景，可以根据具体需求选择合适的纠错码。
4. 量子纠错码的应用量子纠错码在量子计算和量子通信中有着广泛的应用。
在量子计算中，量子纠错码可以提高量子计算机的可靠性和稳定性，减少量子比特的错误率，从而提高计算结果的准确性。
在量子通信中，量子纠错码可以保护传输的量子信息免受信道噪声和信号损失的影响，保证信息的安全和完整性。
5. 量子纠错码的挑战和展望尽管量子纠错码在量子技术领域中发挥着重要的作用，但其实现和应用面临着一些挑战。
量子计算中的量子纠错编码与解码方法
量子计算中的量子纠错编码与解码方法在量子计算领域中，量子纠错编码与解码是一项重要的技术，其作用是增加量子计算的可靠性和稳定性。
量子计算是基于量子位（或称量子比特）进行运算和存储数据的一种计算模式，相较于传统的经典计算方式，量子计算能够在指数级速度上提升计算能力。
然而，由于量子位的特殊性质，量子计算过程容易受到各种误差的干扰，导致计算结果的不准确性。
为了解决这个问题，量子纠错编码与解码方法应运而生。
量子纠错编码的基本思想是通过添加冗余信息来检测和纠正量子位上的误差。
在量子纠错编码中，常用的编码方式有三态编码和五态编码。
三态编码将一个量子位分为三个相互正交的态，并通过测量不同态的组合来检测和纠正误差。
五态编码则将一个量子位分为五个态，通过测量不同态的组合来实现纠错。
在量子纠错编码的基础上，量子纠错解码是必不可少的。
量子纠错解码的目标是根据相应的编码规则和量子态的测量结果，恢复出原始的量子态。
这一过程通常需要使用一系列的量子门操作和量子测量技术，以实现测量结果的解码和误差的纠正。
除了基本的量子纠错编码与解码方法，还有一些更复杂的编码方案被提出来应对更高级的误差模型。
例如，著名的Shor编码方案利用了量子错误的特性，并结合了纠错码和量子运算，能够纠正多位量子比特的错误。
这种编码方案主要应用于量子计算中的量子位（或称量子比特）的长时间储存。
此外，量子纠错编码与解码方法还可以结合反错误检测和纠错码的技术，加强量子计算的鲁棒性和可靠性。
反错误检测主要利用量子态的非局部特性，通过对远程态的测量，来检测和纠正远程态的错误。
而纠错码则通过对量子位的冗余表示来实现错误的检测和纠正。
需要指出的是，量子纠错编码与解码方法既可以应用于量子计算中的量子位，也可以应用于量子通信系统中的量子比特传输。
量子纠错编码与解码的原理和方法在两者之间有着重要的联系和共通性。
在量子通信系统中，量子编码和解码的目标是确保量子比特的安全传输和可靠接收，并保证量子信息的完整性。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
因此 Fq*2= α0 × α1 × × αs 是 s +1个子群的直积。
( ) 设 γ i
α = piki i
，则 ord
γi
=
pti −ki i
，设 Γi
=γ i
以及
( ) ( ) Γi =1,γi ,
, γ 。 piti−ki −1 i
piki −1
则有 αi
∪ =
α
t i
γi
对任意的 i = 0,1,
由GRS码构造新的量子MDS码
陈 硕，唐西林 华南理工大学数学学院，广东 广州
收稿日期：2020年8月29日；录用日期：2020年9月18日；发布日期：2020年9月25日
摘要
量子MDS码的构造如今变得越来越重要。本文我们对
q2
−
1
作素数分解并讨论了q的奇偶性，在有限域
F q
2
上构造了4类新的量子MDS码。这些量子MDS码参数更灵活，最小距离大。此外，我们通过L1-forms和
别定义为：
n
n
∑ ∑ u, v E = uivi ， u, v H = uiviq
i =1
i =1
假设 C 是 Fqn 中一个长度为 n 的线性码，则 C 的厄米特对偶码定义为：
{ } C⊥H = u ∈ Fqn : u, v H = 0对任意的v ∈ C
如果 C 满足 C ⊆ C⊥H ，则 C 被称为厄米特自正交码。若 C 的参数为 [n, k, d ] ，则当 d = n − k +1 时，
q − ((n, K, d )) 。一个长度为 n，维数为 qk ，极小距离为 d 的量子码的 q 元量子码则记为
n, k, d
。
q
近年来，针对量子 MDS 码的构造进行了大量的研究工作，并构建了很多类新的量子 MDS 码(参考[1]-[7])。
在本文中，假设 q2 −1 =2t0 p1t1 psts 是对 q2 −1 的一个素数分解，我们通过 GRS 码构造了 4 类新的量子
(1) A 的任意 r 列线性无关。 (2) A(q) 与 A 行等价。
则方程组 AuT = 0= T 存在一个解 u (u0 ,u1,
证明：我们对 a 应用数学归纳法。
) ( ) , ur+a−1 ∈ Fq* r+a
(1) 当 a = 1 时，由引理 2.2.2，结论成立。
(2) 假设结论在 a ≤ x −1 时成立，其中 x ≥ 2 是一个正整数。
(2) A(q) 与 A 行等价。
( ) 则方程组 AuT = 0T 存= 在一个解 u (u0 ,u1,
) , ur
∈
Fq*
r +1
。
推论 2.2.3. 假设 r > 0 ，1 ≤ a ∈ »* 和 r + a < q +1。A 为元素在 Fq2 中的 r × (r +1) 阶矩阵并且满足以下
两个条件：
{ } = GRSk (a, v) (v1 f (a1 ), v2 f (a2 ), , vn f (an )) : f ( x) ∈ Fq [x], deg ( f ( x)) ≤ k −1 。
我们知道 GRSk (a, v) 是一个参数为 [n, k, n − k +1] 的 MDS 码。
DOI: 10.12677/pm.2020.109102
Received: Aug. 29th, 2020; accepted: Sep. 18th, 2020; published: Sep. 25th, 2020
Abstract
It becomes more important to construct quantum maximum-distance-separable (MDS) codes by means of the self-dual Generalized Reed-Solomon (GRS) codes. In this paper, we construct four classes of quantum MDS codes over a finite field Fq2 through the prime decomposition of q2 − 1 and the discussion of the parity of q. These quantum MDS codes have more flexible parameters with large minimum distance. Further, those quantum codes of the minimum distances larger than q + 1 can be found by L1-forms and L2-forms. 2
陈硕，唐西林
Copyright © 2020 by author(s) and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0). /licenses/by/4.0/
文章引用: 陈硕, 唐西林. 由 GRS 码构造新的量子 MDS 码[J]. 理论数学, 2020, 10(9): 876-888. DOI: 10.12677/pm.2020.109102
Keywords
Quantum MDS Code, Hermitian Self-Orthogonal, GRS Codes
,s 。
t=0
3. 主要结果
( ) 记
n
=
( r0
+1)(r1 +1)
2k0 p1k1
(rs +1)
psks
q2 −1
，在这一节，我们利用厄米特自正交的
GRS
码来构造新的长度
为1+ n 的量子 MDS 码。在此之前，我们先给出以下几个引理。
引理 3.1 [3]. 设 q > 2 和 r ≥ 1 ，则存在 u0 ,u1, ,ur 使得
2. 预备知识
在本节中，我们将介绍一些关于线性码和 GRS (Generalized Reed-Solomon)码的一些符号和结论。
2.1. 基本符号
假设 q = pm ，其中 p 是一个素数，m 是一个正整数，Fq 为含有 q 个元素的有限域， Fq* = Fq \ {0} 。 对于任意两个向量 u = (u1,u2= , ,un ) ，v (v1, v2 , , vn ) ∈ Fqn ，它们的欧几里得内积和厄米特内积被分
= α ⊗ β (a0β , a1β ,
) , an−1β
∈
F mn q2
。
可以看出
DOI: 10.12677/pm.2020.109102
878
理论数学
陈硕，唐西林
α ⊗ β ,α1 ⊗ β1 = α ,α1 β , β1 。
假设 Fq*2 = ω ，其中 ω 为 Fq2 的一个本原元。设 q2 −1 =2t0 p1t1 psts 是对 q2 −1 的一个素数分解，再
r
∑ ui = 0
i=0
根据引理 3.1，我们有如下推论。
推论 3.2. 设 q > 2 和 r ≥ 1 ， v ∈ Fq* ，则存在 u0 ,u1, ,ur 使得
元素
θ
∈
Fq*
\
u2
v2
,
u3 v3
,
,
ur
+
x
−1
vr + x−1
( ) = 取 x
(0,u) −θ (v, 0) ，则 x ∈
Fq*
r+x
，我们有
Ax
0 = A1uT
+
θ
Ar
vT
+ x−1
0
= 0
故结论成立。
引理 2.2.4 [1].
如果存在一个元素在
F q
2
上的
[n,
k,
者，我们可以假设 q −1 =2t0′ p1t1
pwtw
，
q + 1 =2t0′′
ptw+1 w+1Βιβλιοθήκη psts， M1=
2k0′
q −1
p1k1
pwkw
， M2
=
2k0′′
q +1 p kw+1
w+1
psks
和
p0 = 2 ， t0= t0′ + t0′′ ， k=0 k0′ + k0′′ ， M = M1M 2 ， 0 ≤ ki ≤ ti 对于 0 ≤ i ≤ s 。很容易可以看出
Open Access
1. 引言
近年来，量子纠错码的研究进展迅速。量子误差校正是实现量子计算和量子通信的重要保证。设 q
为一个素数的 m 次幂， Fq 为含有 q 个元素的有限域。一个长度为 n，维数为 K 的量子码是 qn 维希尔伯
特空间的一个 K 维子空间。同时我们把一个长度为 n，维数为 K，极小距离为 d 的 q 元量子码记为
(3) 当 a = x 时，假设 A1 ( Ar+x )为由矩阵 A 删除第一列(最后一列)获得的 r × (r + x −1) 阶矩阵。根据(2)
的假设， A1 和 Ar+x 对于结论成立，因此方程组 A1uT = 0T ， Ar+ x−1vT = 0T
分别存在一个非零解 u = (u2 , u3 , , ur+x ) 和 v = (v1, v2 , , vr+x−1 ) 。由于 r + x < q +1，我们可以选出一个