量子稳定子码的概率译码
【江苏省自然科学基金】_译码算法_期刊发文热词逐年推荐_20140816
推荐指数 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2010年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
科研热词 谱表示 离散傅里叶变换 有限环 循环码 同构映射 译码算法 深空通信 期望最大化(em)算法 最小和算法 导频符号辅助 信道估计 低密度校验码 turbo迭代译码 mimo-ofdm
推荐指数 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2009年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
科研热词 软值翻转 球形译码 满分集满速率 清浊音模式 正交频分复用 概率数据关联 最大后验概率 归一化最小和 差错隐藏 多输入多输出 信道软译码 伴随向量 ldpc码
推荐指数 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2011年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
2011年 科研热词 推荐指数 量子稳定子码 1 量子标准阵列 1 误比特率 1 计算复杂度 1 空时分组码 1 校验矩阵 1 快速最大似然译码 1 协作mimo 1 匙孔信道 1 分布式空时编码 1 分布式空时分组码 1 分布式垂直型贝尔实验室分层空时编码 1 准正交设计 1
2008年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28
科研热词 ldpc码 非正交译码转发 陪集 量子ldpc码 量子css码 迭代译码 语音编码 语音合成 译码 节点选择更新 节点选择 置信传播译码算法 编码 线谱对 筛选算法 矢量量化 环 无线通信 多元低密度奇偶校验码 外信息 和积译码 分集复用折衷 准循环低密度校验码 低密度奇偶校验码 二分图 π -旋转 bp译码 bp算法
信息论与编码复习题
一、填空题1. 设信源X 包含4个不同离散消息，当且仅当X 中各个消息出现的概率为___1/4___时，信源熵达到最大值，为__2__，此时各个消息的自信息量为__2 __。
2.如某线性分组码的最小汉明距dmin=4，则该码最多能检测出___3____个随机错，最多能纠正__1____个随机错。
3.克劳夫特不等式是唯一可译码___存在___的充要条件。
4.平均互信息量I(X;Y)与信源熵和条件熵之间的关系是___(X;Y)=H(X)-H(X/Y )___。
5._信源___提高通信的有效性，_信道____目的是提高通信的可靠性，_加密__编码的目的是保证通信的安全性。
6.信源编码的目的是提高通信的 有效性 ，信道编码的目的是提高通信的 可靠性 ，加密编码的目的是保证通信的 安全性 。
7.设信源X 包含8个不同离散消息，当且仅当X 中各个消息出现的概率为__1/8__时，信源熵达到最大值，为___3____。
8.自信息量表征信源中各个符号的不确定度，信源符号的概率越大，其自信息量越_小___。
9.信源的冗余度来自两个方面，一是信源符号之间的__相关性__，二是信源符号分布的__不均匀性__。
10.最大后验概率译码指的是 译码器要在已知r 的条件下找出可能性最大的发码 作为译码估值 ，即令 =maxP( |r)_ __。
11.常用的检纠错方法有__前向纠错___、反馈重发和混合纠错三种。
二、单项选择题1.下面表达式中正确的是（A ）。
A.∑=j i j x y p 1)/( B.∑=i i j x y p 1)/( C.∑=j j j iy y x p )(),(ω D.∑=ii j i x q y x p )(),( 2.彩色电视显像管的屏幕上有5×105 个像元，设每个像元有64种彩色度，每种彩度又有16种不同的亮度层次，如果所有的彩色品种和亮度层次的组合均以等概率出现，并且各个组合之间相互独立。
量子信息学中的量子编码与解码技术
量子信息学中的量子编码与解码技术量子信息学是一门研究如何有效地传输和处理量子信息的学科，量子编码与解码技术是其中的重要组成部分。
本文将探讨量子编码与解码技术在量子信息学中的应用。
一、量子编码技术量子编码是将经典信息转化为量子态的过程，以实现更高效的信息传输和保护。
在量子编码技术中，有几种常用的编码方法，下面将逐一进行介绍。
1. 量子纠缠编码量子纠缠编码是一种利用纠缠态进行信息编码的方法。
在这种编码方式中，发送方通过创建纠缠态将信息嵌入到量子系统中，接收方则通过测量接收到的量子系统，恢复出原始信息。
量子纠缠编码不仅可以有效地提高信息传输速率，还能够提供一定程度的信息保护，对于量子通信等领域具有重要应用。
2. 量子态编码量子态编码是一种将多个量子态组合在一起来编码信息的方法。
常见的量子态编码有多重态编码和编码球面的方法。
多重态编码是将多个量子态叠加在一起，以表示不同的信息；编码球面则是利用球面上的点来表示不同的量子态。
这些编码方式在量子计算和量子通信等方面具有重要意义。
3. 量子相干编码量子相干编码是一种利用量子系统的相干性质来编码信息的方法。
通过在量子系统中创建相干态，可以实现信息的高效传输和保护。
相干编码对量子计算和量子通信等领域具有重要意义，并且在量子计算机的设计中扮演着重要角色。
二、量子解码技术量子解码是指将编码后的量子信息进行解码的过程，以恢复出原始的经典信息。
在量子解码技术中，有几种常见的解码方法。
1. 量子测量解码量子测量解码是一种常用的解码方式，通过对编码后的量子系统进行测量，从而恢复出原始的经典信息。
量子测量解码的方法包括正交测量和非正交测量等，通过选择合适的测量基，可以恢复出不同的经典信息。
2. 量子纠错解码量子纠错解码是指通过纠错码来对编码后的量子系统进行纠错，以恢复出原始的经典信息。
在这种解码方式中，发送方对编码后的量子系统进行纠错码的处理，接收方则通过解码来恢复出原始信息。
【国家自然科学基金】_编译码_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140801
53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63
rls-mimo-dfe raptor码 petri网 peg算法 ml检测c码 hdb3 evenodd码 ccsds
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2011年 科研热词 错误地板 量子纠错编码 量子卷积码 量子turbo乘积码 迭代译码 迭代检测 连续相位调制 误码率 脉冲位置调制 联合信源信道编译码 置信传播算法 网络编码 网络-信道联合编译码 编码增益 篡改检测 篡改区域定位 空间网格图 相关列补偿算法 现场可编程门阵列 渐增高斯消去算法 深空通信 消息传递算法 有限域 映射 无线通信 文件传输 图像鉴别 喷泉码 后验概率 变长turbo码 原模图ldpc码 卫星通信 分组并行译码 分布式turbo码 再生转发 光通信 低密度校验码 低密度奇偶校验码 低发射功率 优化算法 交织多址 π -旋转 vls-app turbo码 rs编译码 rs码 ra码 ldpc码 gf(17) css码 ccsds标准 推荐指数 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
推荐指数 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2010年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52
量子通信 第七章量子编码
= p x x x
x
（7.25）
其中， x 是标准正交基， p x 是 的特征值。与概率分布相似， 的特征值非负且
和为 1，且有 H p x S 。与经典的典型序列类似， 典型序列 x1, x2 ,..., xn 满足：
1 n
log
p x1
2
a b2
cos2
8
sin4
8
0.0183,
bbb
M
2
b3
sin6
8
0.0031.
(7.50) (7.51) (7.52) (7.53)
7.1.3 量子信源编码实例
由上式可以看出， aaa , aab , aba , baa 定义的子空间是可能的 （most likely），而其正交子空间 abb , bab , bba , bbb 最不可能。 所以，用通过特征基 a , b 3 得到的状态 测量任意信息 M ，所得到的结果
对于连续变量，其平均失真为
d Q(u)PV|U (v | u)d (u,v)dudv
若 是L维向量，uv 则向量间的失真可定义为
r r
dL (u,v)
平均失真为
1 L
L l 1
d (ul ,vl )
dL
E[dL (u, v)]
1 L
L l 1
E[d (ul ,vl )]
1 L
L l 1
不常出现的消息码长较长。令第k个消息对应长为 nk 的D
元码，当信源为无记忆时，则每个信源字符所需码符号数
为
n p(ak )nk
（7.5）
k
无失真信源编码定理2：若任一唯一可译码满足 n log D H (U )
最小和译码算法-概述说明以及解释
最小和译码算法-概述说明以及解释1.引言1.1 概述最小和译码算法是一种重要的算法，在通信领域广泛应用。
它主要用于译码过程中的错误检测和纠正。
当数据在传输过程中出现错误或失真时，译码算法可以根据已知的编码规则来恢复原始的信息。
最小和算法是通过计算传输数据的累积和来实现错误检测和纠正的算法。
它的核心思想是将编码后的数据分割成若干个不重叠的窗口，并计算每个窗口中数据的和。
通过比较和的大小，可以判断出窗口中是否存在错误或者丢失的数据，并进行相应的纠正操作。
译码算法是在最小和算法的基础上进一步发展而来的。
它通过分析传输的数据和计算出的校验和来检测错误，并尝试恢复原始数据。
译码算法不仅可以检测单个窗口中的错误，还可以检测多个窗口之间的错误关系。
这使得译码算法在纠正连续错误方面有着很大的优势。
最小和译码算法在许多通信场景中都有广泛的应用。
例如，在无线传输中，信号可能会受到噪声、干扰或信道淡化等因素的影响，导致数据出现错误。
在这种情况下，最小和译码算法可以有效地检测和纠正错误，提高传输的可靠性。
总结而言，最小和译码算法是一种重要的错误检测和纠正算法，具有广泛的应用前景。
它在通信领域起着关键作用，可以有效提高数据传输的可靠性和稳定性。
本文将深入探讨最小和算法和译码算法的原理、应用场景以及未来的发展方向。
1.2 文章结构文章结构部分的内容可能如下所示：文章结构是指整篇文章的组织和安排方式。
一个良好的结构能够使读者更好地理解文章的主题和论点。
本文将按照以下结构进行组织：引言部分会概述本文所要介绍的最小和译码算法，并给出文章结构的布局。
接下来，正文部分将详细介绍最小和算法和译码算法，包括它们的定义、原理和实现方法。
最后，文中将探讨这两种算法的应用场景，并分析它们在实际问题中的应用效果。
在正文部分的第一节，我们将介绍最小和算法。
首先，我们将阐明最小和算法的概念和目的。
然后，会详细讲解该算法的基本原理和步骤，并给出具体的例子来说明其操作过程。
信息论与编码试题集与答案
一填空题（本题20分，每小题2分）1、平均自信息为表示信源的平均不确定度，也表示平均每个信源消息所提供的信息量。
平均互信息表示从Y获得的关于每个X的平均信息量，也表示发X前后Y的平均不确定性减少的量，还表示通信前后整个系统不确定性减少的量。
2、最大离散熵定理为：离散无记忆信源，等概率分布时熵最大。
3、最大熵值为。
4、通信系统模型如下：5、香农公式为为保证足够大的信道容量，可采用（1）用频带换信噪比；（2）用信噪比换频带。
6、只要，当N足够长时，一定存在一种无失真编码。
7、当R＜C时，只要码长足够长，一定能找到一种编码方法和译码规则，使译码错误概率无穷小。
8、在认识论层次上研究信息的时候，必须同时考虑到形式、含义和效用三个方面的因素。
9、1948年，美国数学家香农发表了题为“通信的数学理论”的长篇论文，从而创立了信息论。
按照信息的性质，可以把信息分成语法信息、语义信息和语用信息。
按照信息的地位，可以把信息分成客观信息和主观信息。
人们研究信息论的目的是为了高效、可靠、安全地交换和利用各种各样的信息。
信息的可度量性是建立信息论的基础。
统计度量是信息度量最常用的方法。
熵是香农信息论最基本最重要的概念。
事物的不确定度是用时间统计发生概率的对数来描述的。
10、单符号离散信源一般用随机变量描述，而多符号离散信源一般用随机矢量描述。
11、一个随机事件发生某一结果后所带来的信息量称为自信息量，定义为其发生概率对数的负值。
12、自信息量的单位一般有比特、奈特和哈特。
13、必然事件的自信息是 0 。
14、不可能事件的自信息量是∞。
15、两个相互独立的随机变量的联合自信息量等于两个自信息量之和。
16、数据处理定理：当消息经过多级处理后，随着处理器数目的增多，输入消息与输出消息之间的平均互信息量趋于变小。
17、离散平稳无记忆信源X的N次扩展信源的熵等于离散信源X的熵的 N倍。
18、离散平稳有记忆信源的极限熵，。
19、对于n元m阶马尔可夫信源，其状态空间共有 nm 个不同的状态。
《信息论与编码技术》复习提纲复习题
《信息论与编码技术》复习提纲复习题《信息论与编码技术》复习提纲复习题纲第0章绪论题纲：I.什么是信息？II.什么是信息论？III.什么是信息的通信模型？IV.什么是信息的测度？V.自信息量的定义、含义、性质需掌握的问题：1.信息的定义是什么？（广义信息、狭义信息——Shannon信息、概率信息）2.Shannon信息论中信息的三要素是什么？3.通信系统模型图是什么？每一部分的作用的是什么？4.什么是信息测度？5.什么是样本空间、概率空间、先验概率、自信息、后验概率、互信息？6.自信息的大小如何计算？单位是什么？含义是什么（是对什么量的度量）？第1章信息论基础㈠《离散信源》题纲：I.信源的定义、分类II.离散信源的数学模型III.熵的定义、含义、性质，联合熵、条件熵IV.离散无记忆信源的特性、熵V.离散有记忆信源的熵、平均符号熵、极限熵VI.马尔科夫信源的定义、状态转移图VII.信源的相对信息率和冗余度需掌握的问题：1.信源的定义、分类是什么？2.离散信源的数学模型是什么？3.信息熵的表达式是什么？信息熵的单位是什么？信息熵的含义是什么？信息熵的性质是什么？4.单符号离散信源最大熵是多少？信源概率如何分布时能达到？5.信源的码率和信息率是什么，如何计算？6.什么是离散无记忆信源？什么是离散有记忆信源？7.离散无记忆信源的数学模型如何描述？信息熵、平均符号熵如何计算？8.离散有记忆多符号离散平稳信源的平均符号熵、极限熵、条件熵（N阶熵）的计算、关系和性质是什么？9.什么是马尔科夫信源？马尔科夫信源的数学模型是什么？马尔科夫信源满足的2个条件是什么？10.马尔科夫信源的状态、状态转移是什么？如何绘制马尔科夫信源状态转移图？11.马尔科夫信源的稳态概率、稳态符号概率、稳态信息熵如何计算？12.信源的相对信息率和冗余度是什么？如何计算？㈡《离散信道》题纲：I.信道的数学模型及分类II.典型离散信道的数学模型III.先验熵和后验熵IV.互信息的定义、性质V.平均互信息的定义、含义、性质、维拉图VI.信道容量的定义VII.特殊离散信道的信道容量需掌握的问题：1.信道的定义是什么？信道如何分类？信道的数学模型是2.二元对称信道和二元删除信道的信道传输概率矩阵是什么？3.对称信道的信道传输概率矩阵有什么特点？4.根据信道的转移特性图，写出信道传输概率矩阵。
【国家自然科学基金】_汉明码_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140731
科研热词 1 汉明码 2 共享密钥 3 信息隐藏
推荐指数 1 1 1
2009年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
科研热词 汉明码 量子稳定子码 量子汉明码 量子常数循环码 迭代译码 视频认证 行程编码 篡改 算法 数字隐写 安全性 分组turbo码 像素 二值图像 乘积码 mpeg-4 gf(4)上常数循环码
2014年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
2014年 科研热词 汉明码 量子密钥分发 误码率 自适应chase算法 混沌 图像认证 图像修复 低复杂度 仿真分析 不可靠位数 turbo 乘积码 推荐指数 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
推荐指数 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2010年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
科研热词 隐写术 量子可逆逻辑电路 矩阵编码 湿纸码 汉明码 容错门 奇偶保持 垃圾位 在线错误检测
推荐指数 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2011年 序号 1 2 3 4
科研热词 汉明码 fpga 译码器 时序优化 串行数据传输 nand flash ecc 非合作通信 视觉质量 纠错码表 纠一检二码 盲估计 本原多项式 教学验证 教学实践 对偶码字 可重构平台 半色调图像 信息论与编码 从属像素 三值扩展汉明码 三值光学计算机 (toc)
推荐指数 4 4 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1
2012年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8
科研热词 纠错编码 离散小波变换 汉明码 数字水印 完整性认证 半脆弱水印 turbo码 hash函数
多元量子LDPC码的构造与译码
多元量子LDPC码的构造与译码邵军虎;白宝明;林伟;周林【摘要】基于多元稳定子理论,提出一类有限域上多元量子LDPC码的构造方法,在退极化信道模型下对多元量子码的BP译码算法进行了描述.举例构造了一类CSS 结构、码率为1/2和1/4的四元量子LDPC码,并对其纠错性能进行了Monte Carlo仿真.与现有同等参数的二元量子LDPC码相比,误帧率10-5时的信道转移概率阈值由0.016提高到0.025.【期刊名称】《西安电子科技大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2010(037)006【总页数】6页(P1005-1010)【关键词】量子信息;LDPC码;量子LDPC码;BP算法【作者】邵军虎;白宝明;林伟;周林【作者单位】西安电子科技大学,综合业务网理论及关键技术国家重点实验室,陕西,西安,710071;西安电子科技大学,综合业务网理论及关键技术国家重点实验室,陕西,西安,710071;西安电子科技大学,综合业务网理论及关键技术国家重点实验室,陕西,西安,710071;西安电子科技大学,综合业务网理论及关键技术国家重点实验室,陕西,西安,710071【正文语种】中文【中图分类】TN911.22量子纠错码是量子通信、量子计算、量子纠缠提纯等量子信息处理中对抗噪声影响的重要手段.自1995年Shor提出第一个9量子比特纠错码,基于二能级量子态系统(即二元)的量子纠错码理论和构造方法得到了迅速发展[1-3].关于量子好码的存在性,Calderbank等人已给出了非构造的证明[4].除了二元量子纠错码,多元(也称多进制)量子码对于高维量子态系统的团簇量子计算、多能级系统的量子存储等问题,均有重要的研究意义.经典信息论中,LDPC码具有很好的译码性能和可行的实现复杂度,是一类逼近Shannon容量限的好码[5].由于量子态信号的不可复制及不可直接测量等特点,稳定子形式成为研究量子纠错码的有效方式,且可与经典纠错码建立直接的联系.将经典LDPC码技术推广至量子信息领域,在二元量子LDPC码方面,MacKay等给出了基于稀疏循环矩阵构造对偶包含CSS结构的方法[6],Aly给出有限几何构造方法[7],Tan等给出非CSS结构量子LDPC码的构造方法[8],以及关于量子系统的相关BP算法[9-10]等.除了以上二元系统的量子码,多元量子纠错码的理论也一直在研究和完善.例如针对多能级量子系统的多元稳定子理论[11],基于有限域的错误基选取[12],以及多元量子码的有限域构造等[13].然而,针对多能级量子态系统的多元稀疏图码以及多元量子LDPC码构造和译码,现今尚无明确的研究结果.笔者基于多元量子码的稳定子理论,提出了一类CSS结构的多元量子LDPC码的构造方法,并对其可采用的迭代译码算法进行了分类描述.举例构造了两种四元量子LDPC码,对其在四进制对称信道下的纠错性能进行了Monte Carlo仿真.与同等参数条件下的二元码性能进行比较,发现多元量子LDPC码在BP译码算法下具有更好的纠错性能.1 多元量子LDPC码的构造假定一个有限域Fq,这里q=pm,且p是素数,m为一正整数.q能级量子系统的任意一个量子态|φ〉称为一个量子符号(即qudit).所有状态|φ〉张成一个q维复向量空间Cq,q进制量子码[[n,k]]q是qn维内积复向量空间(Cq)⊗n(即Hilbert空间)的一个qk维子空间.首先简要回顾一下多元稳定子码构造的相关理论,更多内容可参见文献[11-14].1.1 多元稳定子理论设元素a,b∈Fq,ω=exp(2πi/p)为单位元“1”的p次本元根.定义单量子符号的幅度错误算子和相位错误算子为X(a)|φ〉=|φ+a〉,Z(b)|φ〉=ωtr(bφ)|φ〉.集合ε={X(a)Z(b)}为单qudit上错误空间的一组完美基.对于n重向量a,b∈,则εn={X(a)Z(b)|a,b∈}为n长q进制量子码错误空间的一组完美基,此处,X(a)==1X(ai),Z(b)==1Z(bi)为单qudit错误的n阶张量积.从二进制的偶对内积推广得到q进制向量(a|b)和(a′|b′)的偶对内积形式,如公式(1)所示.设Gn={ωcX(a)Z(b)|a,b∈,c∈Fq}为基矢集合εn张成的群,则对于Gn的一个子群S,定义q元稳定外,以有限域Fq2上的经典码来构造q元量子码,假定β为Fq2的一个本原元,则集合{β,βq}为Fq2在Fq上的一组基,映射函数φ(a|b)=β a+βqb将(a|b)映射为Fq2上的元素.Fq2上的n重向量c=φ(a|b)和d=φ(a′|b′)之间的内积形式,也由偶对内积变为交互迹内积可证明公式(2)的交互迹内积与公式(1)的偶对内积是等价的[13].本文中我们将以符号“◦”来指示两个算符之间的对易关系,即其中,E,E′∈Gn.1.2 多元稳定子码的校验矩阵依据上节所述,如果量子码Q的稳定子群S由n-k个相互独立且对易的生成元g1,g2,…,gn-k所生成,则稳定子码Q的校验矩阵描述为其中,矩阵A对应X(a)向量,矩阵B对应Z(b)向量.由此,量子码的构造问题便等价于公式(4)中矩阵的构造问题.CSS结构的量子码是稳定子码的一个子类,其校验矩阵QH可写为公式(5)所示的形式.其中,H1=0.当H1=H2时,称该量子码为基于对偶包含的CSS码.1.3 多元量子LDPC码的校验矩阵构造LDPC码是一类线性分组码,其校验矩阵的稀疏性特点保障了码良好性能的同时,也使得所需量子门的数量大为降低.基于二进制稀疏矩阵构造二元量子LDPC码校验矩阵的已提出了多种方法,而关于多元量子LDPC码,目前尚无相关研究结果.这里笔者给出一类q元量子LDPC码的构造方法.定理1 为了构造行重为ρ的量子LDPC码[[n,k]]q,首先生成一个域Fq上含有ρ/2非零元素的n/2重向量C,将C循环右移位n/2次,得到行重为ρ/2的稀疏循环矩阵Mi,j=(C)(j-i)mod(n/2),级联矩阵M和其转置MT得到H0=(M,MT),将矩阵H0删除k/2行后得到H,依据公式(5)得到对偶包含的CSS量子码矩阵其中,H矩阵对应的经典LDPC码分别用来纠正幅度翻转错误和相位翻转错误.证明要满足自对偶条件,H0需满足(H0)=0,根据定理中的构造条件,可得矩阵相乘后的结果表达式如下:H0满足自对偶条件,其子矩阵H必满足自对偶的条件,则公式(6)成立.由于二进制量子比特对应的错误类型为四维,故信道模型为四进制对称信道.因此我们选择构造四进制量子LDPC码,此时q=4,p=2,且ω=-1.每四进制量子符号对应两位量子比特,每个量子比特有4种类型错误.表1中列出了四进制量子码中的符号错误类型,即有限域F16上的元素值与有限域F4元素值的对应关系φ(a|b)=βa+βqb,其中a,b∈F4,φ(a|b)∈F16.表1 四进制量子码的符号错误类型?此处,β为域F16的本原元,且满足β4+β+1=0,β的所有幂次构成F16上的全部域元素.α为F4域的本原元,满足α2+α+1=0,并且α=β5.按照定理1中所述方法,我们举例构造了两类四元量子LDPC码.一个是等效二进制码长为800、码率为1/2、行重为30、平均列重为15.8的四进制量子LDPC码[[400,200]]4.另一个四元量子 LDPC码[[1894,474]]4,其码参数与文献[6]中的码长为3786、码率为1/4、行重为24的二进制码等效.2 多元量子LDPC码的译码量子稀疏图码的译码策略主要有两种:一种是对具有CSS结构的码,可采用分量码独立译码;另一种是对于普通结构的q元稳定子量子码,采用域上的置信传播(BP)算法进行译码.Tanner图在LDPC码的迭代译码中起着重要的作用,因此我们先阐述一下多元量子LDPC码T anner图的特点.2.1 Tanner图表示与经典领域中的Tanner图不同,对于量子稀疏图码,其Tanner图表示的是稳定子生成元的稀疏结构.如图1中所示,变量节点(亦称符号节点)以xj表示;校验节点以zi 表示,对应各个稳定子生成元;连接xj和zi的边是对应生成元向量gi第j个分量的元素值,该值取自Fq2域的非零元素值;在迭代过程中,该Tanner图中边所传递的信息是变量节点取Fq2域各元素值的概率.另外,Tanner图中码的校验约束关系,也由经典编码领域中的奇偶校验方程约束,演变为稳定子生成元gi(zi)的正交投影约束.图1 q元量子码的Tanner图描述图2 对称信道传输经典信息的信道容量2.2 信道模型量子纠错码的研究中,常选择退极化信道(即四进制对称信道)作为仿真量子码性能的信道模型.对于二维量子系统的二元量子码,Pauli矩阵代表量子比特的4类离散错误类型,分别对应F4域上的四个元素.对于2m维量子系统,每量子符号可等效m位量子比特,符号错误类型为F22m域上的4m个元素.因此,对于四进制量子码,每qudit符号对应两位qubit,量子符号错误与比特错误的对应关系可参见表1.无论是二元码还是多元码,退极化信道作为一种四进制对称信道,可被广泛使用.由图2中对称信道的Shannon容量限可以看出二进制和四进制对称信道的容量随信道转移概率的变化曲线.对应到量子信息领域,此容量限也是退极化量子信道能够传输经典信息速率的上确界.2.3 多元量子LDPC码的译码算法与经典纠错码理论不同,量子纠错码的校验关系是各个稳定子生成元g1,g2,…,gn-k 与该量子码的合法码字彼此对易.在测量信道输出,得到信道所发生错误的伴随式之后,找出能够满足所有校验关系的最可能错误向量作为译码结果.依据译码结果,对信道输出的量子态码字做相应的算符操作,恢复得到正确量子码字,得到输入的量子态信息.对于具有CSS结构的量子码,可采用分量码独立译码的策略进行译码,即一个分量码用来纠正翻转错误,另一个分量码纠正相位错误.这种独立译码策略将量子错误直接转换为经典码字上的错误,从而可用经典LDPC码的译码算法进行译码.然而,对于通用稳定子形式的(非CSS结构)的量子LDPC码,则不可采用独立译码策略进行译码.因此,对于通用多元稳定子形式的q=2m进制量子稀疏图码,其译码方法可采用基于Tanner图的F22m域置信传播(BP)译码算法.该算法的流程如下:(1)错误伴随式测量:以生成元算子g1,g2,…,gn-k对信道接收到的量子态码字信号|φ′〉进行本征值的正交投影测量,gi|φ′〉=giE|φ〉= ω〈E,gi〉aEgi|φ〉,得到错误伴随式序列s={s1,s2,…sn-k},其中,si的计算见公式(3),对于特征为2(即p=2)的有限域,该序列元素值的集合为{+1,-1}.(2)信道信息初始化:对Tanner图中各个qudit变量节点,从四进制对称量子信道所获得的初始信息进行广播,传给与之相连的所有邻接校验节点.对于对称量子Pauli 信道,变量节点从信道获得的初始信息是一样的,其初始概率均为其中,1≤j≤n,1≤k≤m,Ej∈表示变量节点xj的符号错误值∈F4为符号错误值Ej的第k个分量值.(3)校验节点更新:在第l轮中校验节点的信息更新见公式(9)所示,即对于第i个校验节点zi,在第l轮中需向与之相连的变量节点xj传递的信息.其中示校验关系是否成立;参数γj是使(4)变量节点的更新:变量节点xj在第l轮向校验节点zi传递的置信度信息(概率度量),是将变量节点在上一轮迭代传递来的信息相乘,得到该变量节点新的概率向量分布其中,p(Ej)是从信道得到的变量节点xj取值Ej的初始概率(见公式(8)),λi是归一化系数.(5)判决:计算各个变量节点符号错误值的边缘概率分概率对应的元素值依据边缘最优结果,得到向量^E==1E^j,判断是否E^◦g=s.如果相等,则输出结果;如果不相等,则返回步骤(2)进入下一轮迭代,直到达到预先给定的最大迭代次数l=T.如果译码器译出的错误码字E^与信道发生的错误E相等,则认为正确译码,否则认为译码失败,错误帧数增加1,同时增加相应的误符号数和误比特数.3 仿真结果依据1.3节中的方法,我们构造了一个等效码长为800、行重为30、平均列重为15.8的四进制量子LDPC码[[400,200]]4.以分量码独立译码策略对其进行了性能仿真,与同等参数下的二元量子LDPC码,在相同的信道模型和译码算法下的仿真结果进行比较,得到性能曲线如图3中所示.可以看出在同等条件下,多元LDPC码比二元码具有更好的误码率(BER)性能.在信道转移概率f为0.01的条件下,仿真结果显示四进制量子LDPC码的误码率可以达到3.4×10-5,而同等参数和译码条件下,二进制LDPC码的误帧率(FER)为9.35×10-5,仿真中预设迭代次数为80次.图3 等效码长为800、码率为1/2的四进制量子LDPC码与对应的二元码性能图4 等效码长为3786、码率为1/4的四进制量子LDPC码与对应的二元码性能对于构造的等效码长为3786、码率为1/4、行重为24的四进制量子LDPC码[[1894,474]]4,其与文献[6]中MacKay等人给出的一个二元量子LDPC码具有相同的码参数.我们对这两类码进行了退极化信道模型下BP译码性能仿真,得到的相应性能曲线如图4所示.通过比较可以发现,本文中构造的多元量子LDPC码具有更好的纠错性能.在信道转移概率 f为0.025的条件下,仿真结果显示四进制量子LDPC码的误帧率(FER)可以达到1.1×10-5,而同等参数和译码条件下二进制LDPC 码达到该性能时所需信道转移概率f为0.016,仿真中同样设定迭代次数为80次. 上例中给出的码是自对偶CSS结构的多元量子LDPC码.如果分量码采用不同的经典LDPC码,即对矩阵H1和H2满足对易条件下进行矩阵优化设计,相信可以得到比上述结果更好的量子LDPC码.另外需指出,这一性能的提升,是以多元量子态系统的操作复杂度增加为代价的.将多元量子码映射到二元的方法来设计好的二元量子码,是多元量子码的另一个重要应用.4 结论基于多元稳定子理论,提出了一类多元量子LDPC码的构造方法,针对多元量子码Tanner图的特点,对通用多元量子LDPC码的迭代译码算法进行了描述,给出了q 元量子码基于Fq2域的BP译码算法.举例构造了两种不同码长和码率的四元LDPC码,采用分量码独立译码策略对其纠错性能进行了Monte Carlo仿真,在同等码参数和信道条件下,获得了比相应二元量子码更好的纠错性能.参考文献:[1] Shor P W.Scheme for Reducing Decoherence in Quantum Computer Memory[J].Phys Rev A,1995,52(4):2493-2496.[2] 李卓,刑丽娟,王新梅.量子常数循环码[J].西安电子科技大学学报,2009,36(1):48-51.Li Zhuo,Xing Lijuan,Wang Xinmei.Quantum ConstacyclicCodes[J].Journal of Xidian University,2009,36(1):48-51.[3] 李卓,刑丽娟,王新梅.一类量子循环码的构造方法[J].西安电子科技大学学报,2007,34(2):187-189.Li Zhuo,Xing Lijuan,Wang Xinmei.Encoding and Decoding of a Family of Quantum Stabilizer Codes[J].Journal of Xidian University,2007,34(2):187-189.[4] Calderbank A R,Shor P W.Good Quantum Error-correcting Codes Exist[J].Phys Rev A,1996,54(2):1098-1105.[5] MacKay D.Good Eoor-Correcting Codes Base on very SparseMatrix[J].IEEE Trans on Information Theory,1999,45(5):399-431.[6] MacKay D,Mitchison G,McFadden P.Sparse-graph Codes for Quantum Error Correction[J].IEEE Trans on Information Theory,2004,50(10):2315-2330.[7] Aly S A.A Class of Quantum LDPC Codes Constructed From Finite Geometries[C]//IEEE Globecom.New Orleans:IEEE,2008:1097-2101.[8] Tan Peiyu,Li Jing.New Classes of LDPC Stabilizer Codes Using Ideas from Matrix Scrambling[C]//IEEE International Conference on Communications.Beijing:IEEE,2008:1166-1170.[9] Leifer M,Poulin D.Quantum Graphical Models and Belief Propagation[J].Ann Phys,2008,323(8):1899-1946.[10] Poulin D,Chung 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Ｓｏ ｈ ｒ等 人将 复 杂 的量 子 差 错 归 结和 简 化 为 比 特 翻转 、 位翻 转 ｚ以及 比特 和相 位 同时翻转 ｌ３ 相 ｒ
本 文 通 过 定义 比特 翻 转 差 错 症 状 矩 阵和 相 位
翻 转差错 症 状矩 阵 ，将 任意 差错 算子 的差 错症 状表 示 为 比特 翻 转 差 错 症 状 矩 阵 和 相位 翻 转 差 错症 状 矩 阵 的相 关列线 性 叠加 。对 量 子稳 定子 码 的差错 症 状 表现 形 式进 行深 入研 究后 发现 ，量子 稳定 子码 的 比特 翻 转 差错 症状 矩 阵 和 相 位 翻 转 差 错 症 状 矩 阵 完全 由其 校验 矩 阵所 决定 。这 与经 典线 性码 的 差错 症 状 与其 奇偶校 验 矩 阵之 间的关 系类 似 。据 此 ，本 文提 出 了 一种 适 用 于 去 极 化 信 道 的量 子 稳 定 子 码
引言
量 子 算法 比之 经典 算法 具有 明显 的优 越 性 ，但 量 子 计算 过程 易 于遭受 噪 声 的干 扰 （ 为 量子 态 的 称
效 果好 的特 点，量 子纠 错编 码技 术 广泛 应用 于量 子
计 算机 的实现 、量 子 安全通 信 以及 容错 量子 计算 等 领 域 。衡 量一 个量 子纠 错码 是 否是 好码有 ２个基 本
类基本差错，详细分析这 ３ 类差错对研究量子译码
算 法 具有 重要 意义 。本 节将 给 出 比特 翻 转差错 症 状 和相 位翻 转 差 错症 状 的矩 阵表 示 ， 证 明任 意 Ｐ ｕｉ ａｌ 差错 的 差错 症 状 可 以表 示 为 比特 翻 转 差 错 症 状 矩 阵和 相位 翻转 差错 症状 矩 阵 的若干 列 的线性 组合 。
干 错误 的重要 手段 。由于其 具有 耗 费资源 少 ，纠错
收 稿 日期：２ １．２０ ；修 回 日期 ：２ １．９ １ ０ ０ １．７ ０ １０ ．２
子 校 验 矩 阵 的 方 法 构 造 量 子 稳 定 子 码 编 码 网络 的
基金项 目：国家 自然科学基金 资助 项 目 （０ ７ １ １ ；江苏省 自然科学基金资助项 目 （ ０ ８ ０ ） ６８３０ ） ２ ０ ２ ９ ：东南大学优秀博士论文基
摘
要 ：为 了提高量子稳 定子码 的译码速率，提 出了一种基于校验矩阵 的量子概率译码算法 。通过选择具有最 小
量 子权重 的算子作为差错算子来减少译码 出错概率 ，通过预先构造量子标准 阵列来缩短译码 时间。与 已有 的量子
最大似然 译码 算法相 比，该算法 对简并码和非简并码采用统一 的译码方式 ，从而提高 了简并码 的译码 可靠 性。此
［ ｌ ＝ ｉ ＦＺ ＝ ｉ ，［， ＝ ｉ ，】 ２ ， Ｚ，［，】 ２ Ｘ ＺＸ】 ２ Ｆ。
± ＋ ±， ，ｚ，ｆ ， 子 比特 的一般 Ｐｕｉ ，／ 】 ±ｙ± ±ｚ） ｎ量 － Ｘ， ， ａｌ 群 为
量子 卷积 码， 子 Ｔ ｒｏ码等 制 量 ｕｂ ，而 对译码 算 法鲜
（ Ａ ＱＳ ）ｗａ ｏ ｓ ｕ ｔｄｂｆｒ ｅｏ ｉｇ Ｃ ｍｐ ｉｇｗｉ ｅｑ ａｔ ｘｍｕ ｌ ｅｉｏ ｄｄ ｃｄｎ ｌｏｉ ｍ， ｅ ｓｃ ｎｔ ｃｅ ｅｏｅｄｃ ｄｎ ． ｏ ａ ｎ ｔ ｔ ｕ ｕ ｍａ ｉ ｍ ｋｌ ｏ ｅｏ ｉｇａｇｒ ｈ ｔ ｒ ｒ ｈｈ ｎｍ ｉ ｈ ｔ ｈ ＱＰ Ｄ ｍｐｏ ｅ ｈ ｅｉ ｉｔ ｆ ｄｇｎ ｒｔ ｅｏ ｉｇ ｕ ｏ ｕ ｉ ｒ ｅｏ ｉｇ ｍｅ ｏ ｓ ｆｒ ｄ ｇｎ ｒ ｅ ａ ｄ Ａ ｉ ｒｖ ｓ ｔｅ ｒｌ ｂｌｙ ｏ ｅ ｅｅａｅ ｃ ｄｎ ｄ ｅ ｔ ｎｆｍ ｄ ｃｄｎ ｔ ｄ ｅｅ ｅａ ａ ｉ ｄ ｏ ｈ ｏ ｔ ｎ
（ Ｄ ｂ ｓｄｏ ｅｃ ｅｋｍａｒ ｒ ｕｎｕ ｓ ｂｌ ｅ ｏ ｅ ｓ ｒｐ ｓｄ Ｔ ｃｉｖ ｗ ｒｒ ａｅ ｔｅｅ ｏ ｐ ＱＰ Ａ） ａｅ ｎｔ ｈ ｃ ｔｘｆ ａｔｍ ａｉｚｒ ｄ ｓ ｈ ｉ ｏｑ ｔ ｉ ｃ ｗａ ｏ ｏｅ ． ｏａｈｅｅｌ ｅ ｏ ｔｓ ｒ ｒ — ｐ ｏ ｒ ｒ ｈ ｏ
并 码 采 用 不 同 的译 码 方 法 ， 这 使 得 译码 算 法 的 复 杂 度 未 减 小 ，可 靠 性 却 降 低 了 。此 外 ，算 法 将 差
错 算 子 转 化 为 二 元 向量 表 示 ，找 出差 错 算 子 所 对
应 向量 空 间 的 一 组基 需要 进 行 ２ （一 时 次 加 法 运 算 （ 里 Ｆ是码 长 ，ｋ是 信 息位 数 ） 这 ／ ，从 而 增 加 了算 法复杂度 。
ＸＩ Ｏ ｎ ｙｉ ， Ａ Ｆａ ｇ－ ｎｇ ＣＨＥＮ ｎ— Ｈａ ｗｕ
（ ｃ ｏ ｌ ｆ ｏ ｐ ｔ ｃ ｎ ｅ ｎ ｎ ｉｅｒ ｇ Ｓ ｕｈ ａ ｔ ｉｅｓｙ Ｎａｊ ｇ２ ０ ９ ， ｈｎ ） Ｓ ｈ ｏ ｏ Ｃ ｍ ｕｅ Ｓ ｉ ｃ ｄＥ ｇｎ ｅｉ ， ｏ ｔｅｓ ｖ ｒｉ ， ｎｉ １ ０ ６ Ｃ ｉａ ｒ ｅ ａ ｎ Ｕｎ ｔ ｎ
第 ３ 第 １ ２卷 ０期 ２ １年 １ ０１ ０月
通
信
学
报
、 ｌ３ Ｎ ０ １ ， －２ ０ ．０
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｎ Ｃｏ ｏ ｒ ａ ｍｍｕ ｉａ ｉ ｎ ｏ ｎｃ ｔ ｓ ｏ
０ｃｏ ｅ ０ｌ ｔｂ ｒ ２ １
量子稳 定子码 的概率译码
肖芳英，陈汉武
（ 东南 大学 计算机 科 学与 工程 学 院． 苏 南 京 ２ ０９ ） 江 １０ ６
式得 不到 所预 期 的码字 。２ ０ 年 ，Ｃ ｉ ． ｉｇＷｕ ０５ ｈｅ Ｈｓ ｎ ｎ 等 人 给 出 了量子 稳 定子 码 的另 一种 编码 方 案 ，该 Ｊ 方 案 是在 对 量 子 稳 定 子 码 编 码 后 的码 字 进 行 逻 辑 分 析 的基础 上得 到 编码 电路 ，由于 码字 叠加 项数 随 码 长 呈指 数增 长 ，因此该 方案 对码 长较 大 的量子 稳 定子码 不 适用 。近 年来 ，量子 编译 码算 法 的研 究 引 起越 来越 多的重视 ，已有 成 果 中大多 是针对 特 定类 型 的量子 码 的编码 算法 的研 究 ，例 如 ：量 子循 环码 ，
ｅ ａ ｏ ｔ ｈ ｎ ｍｕ ｕ ｔ ｍ ｉ ｈ ｓ ｃ ｏ ｅ ｎ ｏ ｓ ｏ ｎ ｔ ｅ ｔ ｆｄ ｃ ｄ ｎ ｕ ｔ ｍ ｔ ｄ ｒ ｒａ ｒ ｔ ｒ ｗｉ ｔ ｅ ｍｉ ｉ ｍ ｑ ａ ｕ ｗｅｇ ｔｗａ ｈ ｓ ｎ ａ ｄ ｔ ｈ ￣ｅ ｈ ｉ ｈ ｎ ｍｅ ｏ ｅ ｏ ｉ ｇ ａ ｑ ａ ｕ ｓａ ａ ｄ ａｒ ｙ ｎ ｎ
ｒ ｓ ｏ ｄｎ ｅｅ ｏ ｐ ｒ ｔ ｒ ｅ ｐ ｎ ｉ ｇ ｔ ｔ ｒ ｒ ｅ ａ ｏ ． ｏ ｈ ｏ
Ｋ ｅ ｒ ｓ ｑ ａ ｔ ｍ ａ ｉ ｚ ｒ ｏ ｅ ； ｈ ｃ ｔｉ ； ｕ ｎ ｕ ｓａ ｄ ｄａ ｒ ｙ ｗｏ ｄ ： ｕ ｕ ｓ ｂ ｌ ｅ ｄ ｓ ｃ ｅ ｋ ｍａｒｘ ｑ ａ ｔ ｍ ｎ ａ ｒ ａ ｎ ｔ ｉ ｃ ｔ ｒ ｙ
条 件 ，其一 是码 率要 足够 大 ，其 二 是编 译码 算法 要
简 单 、快速 、 易实现 。至 今 ，量 子 纠错码 的理论 构
消相干 ） ，任 何微 小 的噪 声都 可 能 导致 计 算 结 果错
误 。因此 ，克服量 子 计算 过程 中量 子态 的消相 干是
造 取得 了丰 富 的研 究成 果［４ 但是 在编 译码 算法 方 ３Ｊ ’，
Ｐｏ ｉｃ （０ ８０ ）Ｔ ｅ ｓａｃ ｏ ｎ ａｉｎｏ ａｕ ｔ Ｓ ｈ ｏ ｏ ｕ ｅｓＵｎｖｒｉ Ｙ Ｊ８ ０ ｒｖｎ ｅ ２ ０ ２ ９； ｈ ｅ ｈＦ ｕ ｄｔ ｆ ｄ ａ ｃｏ ｌ ｆ ｏ ｔ ａｔ ｉｅｓｙ（ＢＪ０ ２ ） Ｒｅ ｒ ｏ Ｇｒ ｅ Ｓ ｈ ｔ
通
金 资助 项 目 （ Ｂ Ｊ８ ０ Ｙ Ｊ０ ２ ）
Ｆ ｕ ｄ ｔ ｎ Ｉ ｍｓ Ｔ ｅＮａｉｎｌ ｔｒｌＳｉｎｅＦ ｕ ｄｔ ｎ ｏ ｈｎ ６ ８３ ０ ） Ｔ ｅＮａ ｒｌ ｃｅｃ ｏｎ ａ ｏ ｆＪ ｎ ｓ ｏ ｎ ａｉ ｔ ： ｈ ｔ ａ Ｎａ ａ ｃｅｃ ｏ ａｉ ｆＣ ｉａ（０ ７ １ １； ｈ ｔ ａ Ｓ ｉ ｅＦ ｕ ｄｔ ｎ ｏ ａｇｕ ｏ ｅ ｏ ｕ ｎ ｏ ｕ ｎ ｉ ｉ
任 意 Ｐｕｉ 中的元素 ， 满足 】０ 称 ａｌ群 Ｂ∈ ＝（
与 日对 易 ）或 ｝ ０（ Ａ与 Ｂ反对 易【） ＝ 称 ２ 。因 】 为 ｌ＝／Ｘ ，所 以 Ｐ ｕｉ Ｇ 中 的任 意 元素 可表 示 ， Ｚ ａｌ 群
为 ｇ＝ｉ （ Ｚ ） 。
码 的最 大似 然 译码 算法 ， 该 算 法 对 简 并 码 与 非 简
面研 究较 少 。Ｒ． ｌｖ Ｃ ｅ ｅ和 Ｄ． ｔ ｓ ｎ首先 关注 编 Ｇｏｔ ｍａ ｅ 译 码 网络 的构 造 ，并 于 １９ ９ ７年 提 出 了标 准化 稳定
实 现量 子计 算 的关 键 。 子纠 错编 码 技术 ［１ 一种 量 １是 ， ２ 克服 量子 信 息在存 储 、传 输和 计 算过 程 中发 生消相
一
信
学
报
第 ３ 卷 ２
般 结 构ｌ。但 是， ５ 】 他们 给 出 的编 码 方案对 某 些稳 定
２ 差 错 症 状 分 析
子 码不 适用 。同年 ，Ｄ． ｔ ｓ ｎ给 出了改 进 的编 Ｇｏ ｅｍａ ｔ 码 网络 的构 建方法 【，但 是该 文给 出的编 码 公式 中 ６ Ｊ 稳 定子 群和 逻辑 ｘ 算 子之 间不 一致 ， 据其 编码 公 根
外 ，算法 不需要预 先寻找差错算子对应 的向量空 问的基 ，因此算法复杂度更小 。 关键 词：量子稳定子码 ；校验矩 阵；量子标准 阵列 中图分类号：Ｔ ３ ７ Ｐ ８ 文献标识码 ：Ａ 文章编号 ：１０ ．３ Ｘ ２ １）００ ５ ．８ ０ ０４ ６ （０ １１．０ ９０
Ｐｒ ｂ ｂ ｌ ｔｃ ｄ ｃ ｄ ｎ ｌ ｏ ｉｈ ｆ ｒ ｑ ａ ｔ ｍ ｔ ｂ ｌ ｅ ｏ ｅ ｏ ａ ｉ ｓ ｉ ｅ ｏ ｉ ｇ ａ ｇ ｒｔ ｍ ｏ ｕ ｎ ｕ ｓ ａ ｉ ｚ ｒｃ ｄ ｓ ｉ ｉ