基于矩阵方法的量子纠错码构造

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【国家自然科学基金】_量子纠错_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140802

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2014年序号 1 2 3 4 5 6 7 8
2014年科研热词量子计算量子纠错编码量子密钥分发重叠法汉明码容错量子计算仿真分析 cnot门扩展矩形推荐指数 1 1 1 1 1 1 1 1
2011年序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27
2011年科研热词量子纠错码量子纠错编码量子信息校验矩阵量子通信量子计算量子自动请求重传量子线路模型量子线路仿真量子稀疏图码量子密钥分配量子密码协议量子卷积码量子信息直传量子turbo乘积码量子css码稳定子码差错症状图像与信息处理和积算法半色调技术全息低密度奇偶校验码二维条码 pauli算子 kronecker矩阵积 css码推荐指数 3 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2008年序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
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2009年序号 1 2 3 4
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科研热词量子纠错码量子密钥分发纠错码生物认证模糊承诺密钥协商信息安全 winnow算法
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2013年序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

量子计算中的量子误差纠正方法探究

量子计算中的量子误差纠正方法探究引言：量子计算是一种基于量子力学原理的计算模型，具有在某些特定问题上比传统计算更高效的潜力。

然而，由于量子系统的不稳定性和易受干扰的特点，量子计算中的量子误差成为了一个严重的问题。

为了克服这个问题，研究人员提出了各种量子误差纠正方法，本文将对其中一些方法进行探究。

一、量子误差的来源和影响量子误差是指在量子计算过程中由于噪声、干扰等因素导致的计算结果与理论预期结果之间的差异。

量子系统容易受到环境的干扰，例如温度变化、电磁波辐射等都可能导致量子态的退相干和退相干。

此外，量子比特之间的相互作用也可能引起误差，如量子比特之间的耦合和非理想的操作。

量子误差对量子计算的影响是巨大的。

在量子计算中，误差会导致量子态的退化和信息的丢失，从而破坏计算的准确性和稳定性。

因此，寻找有效的量子误差纠正方法成为了量子计算领域的重要研究方向。

二、量子误差纠正方法的基本原理量子误差纠正方法的基本原理是通过引入冗余量子比特和量子纠错码来实现对量子系统的保护和纠正。

冗余量子比特是指在进行计算时，对每个原始量子比特引入额外的冗余量子比特。

量子纠错码是一种编码方式，通过将原始量子比特的信息分布到多个冗余量子比特上，实现对误差的检测和纠正。

在量子计算中，最常用的量子纠错码是量子重校验码和量子表征码。

量子重校验码通过对冗余量子比特进行测量，检测和纠正量子系统中的误差。

量子表征码则通过将量子信息映射到多个冗余量子比特上，实现对误差的纠正。

三、量子重校验码的应用量子重校验码是一种常用的量子误差纠正方法。

它通过测量冗余量子比特的状态，检测和纠正量子系统中的误差。

量子重校验码通常使用的是奇偶校验码、CSS码等。

奇偶校验码是一种简单且易于实现的量子重校验码。

它通过对冗余量子比特的测量结果进行奇偶判断，来检测和纠正量子系统中的误差。

CSS码是一种更为复杂的量子重校验码，它结合了两个经典的纠错码，通过对冗余量子比特的测量和纠正，实现对量子系统中的误差纠正。

利用立方图的线图构造量子纠错码

，
ｃｏｄｅｓ，ＢＣＨｃｏｄｅｓ，ＲＳｃｏｄｅｓａｎｄＲｅｅｄ — Ｍｕｌｌｅｒｃｏｄｅｓ．Ａｎｅｗｍｅｔｈｏｄｔｏｏｅｓａｎｄａｓｙｍｍｅｔｒｉｃｑｕａｎｔｕｍｃｏｄｅｓｉｓ
ｔａｔｉｏｎ．Ｍａｎｙｇｏｏｄｑｕａｎｔｕｍｅｒｒｏｒ ‘ ｃｏｒｒｅｃｔｉｎｇｃｏｄｅｓｈａｖｅｂｅｅｎｃｏｎｓｔｒｕｃｔｅｄｂｙｕｓｉｎｇｃｌａｓｓｉｃａｌｌｉｎｅａｒｃｏｄｅｓｆｏｒｅｘａｍｐｌｅ，Ｈａｍｍｉｎｇ
ｃａｔｉｏｎｓ，２０１３，４９（６）：１６ — １８．
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｑｕａｎｔｕｍｅｒｒｏｒ — ｃｏｒｒｅｃｔｉｎｇｃｏｄｅｓｐｌａｙａｎｉｍｐｏｒｔａｎｔｒｏｌｅｉｎｎｏｔｏｎｌｙｑｕａｎｔｕｍｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｂｕｔａｌｓｏｑｕａｎｔｕｍｃｏｍｐｕ．
ＣｏｍｐｕｔｅｒＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇａｎｄＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ计算机工程与应用
利用立方图的线图构造量子纠错码
钱建发，张莉娜’
ＱＩＡＮＪｉａｎｆａ，ＺＨＡＮＧＬｉｎａ

量子计算中的量子纠错技术

量子计算中的量子纠错技术量子计算是一种基于量子力学原理的计算方式，其具有超越传统计算机的潜力。

然而，由于量子比特的不稳定性和干扰，实现可靠的量子计算一直面临挑战。

因此，量子纠错技术的发展变得至关重要。

本文将探讨量子计算中的量子纠错技术，包括其原理、应用和未来发展。

1. 量子计算的挑战与错误来源量子计算的特殊之处在于量子比特的叠加和纠缠性质，使得量子计算机具备并行计算和处理复杂问题的潜力。

然而，这也导致了量子比特的易受环境噪声和干扰的影响，从而引起误差。

主要的误差源包括量子比特的退相干、量子门操作的失真、量子比特的失控和通信错误等。

2. 量子纠错的原理量子纠错技术通过检测和校正量子比特上的错误来提高量子计算机的可靠性。

其基本原理是利用冗余比特和量子纠错码，实现对量子比特错误的检测和纠正。

其中，冗余比特是一种额外添加的量子比特，用于存储原始比特的信息，而量子纠错码则是一种编码方式，通过量子门操作对错误进行检测和修复。

3. 量子纠错技术的应用量子纠错技术对于实现可靠的量子计算具有重要的应用价值。

它可以用于减少量子比特的失真和退相干，提高量子计算机的稳定性和运算精度。

同时，量子纠错技术还可以在量子通信中实现高效的量子密钥分发和量子远程传输。

4. 量子纠错技术的发展现状目前，量子纠错技术仍处于发展的初级阶段，但已经取得了一些重要的进展。

研究人员已经设计出了多种类型的量子纠错码，并且在实验中实现了对比特错误的检测和纠正。

然而，目前的量子纠错技术仍存在一些困难和挑战，例如纠错码的复杂性和纠错操作对计算资源的要求。

5. 量子纠错技术的未来发展随着量子计算的持续发展，量子纠错技术将会得到进一步的改进和完善。

研究人员正在探索更高效的量子纠错码设计和优化算法，以提高纠错算法的效率和可靠性。

同时，量子纠错技术还需要与其他量子技术相结合，如量子存储和量子通信，来实现全面的量子计算可靠性和安全性。

结论量子纠错技术是实现可靠的量子计算的关键所在。

量子纠错码的一个统一构造方法

量子纠错码的一个统一构造方法
钱建发;马文平
【期刊名称】《计算机科学》
【年(卷),期】2010(037)003
【摘要】在量子通信和量子计算中,量子纠错码起着至关重要的作用.人们已经利用Hamming码、BCH码、ReedSolomon码等各种循环码、常循环码、准循环码来构造量子纠错码.利用准缠绕码将这些构造方法统一起来,给出了准缠绕码包含其对偶码的充分必要条件及准缠绕码的一个新构造方法,并且利用准缠绕码构造了新的量子纠错码.
【总页数】3页(P70-72)
【作者】钱建发;马文平
【作者单位】西安电子科技大学ISN国家重点实验室,西安,710071;安徽理工大学理学院,淮南,232001;西安电子科技大学ISN国家重点实验室,西安,710071
【正文语种】中文
【中图分类】TN918
【相关文献】
1.一类统一的零(低)相关序列构造方法 [J], 杨益;施保昌;何艳艳
2.舰载作战指挥系统一种新的软件构造方法 [J], 李孝明;李峻林;熊俊
3.量子纠错码[[7,1,4]]p(p＞3)存在性的图论构造方法 [J], 程茜;于慧
4.偶阶幻方的一个统一构造方法 [J], 郝宝军;金淑芝;孙多青
5.小波滤波器的统一构造方法与软件 [J], 严中洪
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纠错码原理

纠错码原理介绍纠错码（Error Correction Code，ECC）是一种在数字通信和存储中常用的技术，它能够在出现错误的情况下恢复原始数据。

纠错码原理通过在发送数据时加入冗余信息，并在接收数据时利用这些冗余信息进行错误检测和恢复。

本文将深入探讨纠错码原理，包括不同类型的纠错码以及它们的工作原理。

奇偶校验码（Parity Check Code）奇偶校验码是最简单、最基础的纠错码。

它通过在每个数据块末尾加入一个校验位来实现错误检测。

具体而言，奇偶校验码在每个数据块末尾加入一个额外的位，使得整个数据块中1的个数为奇数或偶数。

在接收数据时，接收方会对每个数据块进行奇偶校验，如果检测到校验错误，则表明数据传输出现了错误。

海明码（Hamming Code）海明码是一种更高级的纠错码。

它不仅可以检测错误，还可以纠正错误。

海明码通过在数据中插入冗余位实现纠错功能。

插入的冗余位数目根据所需的错误检测和纠正能力而定。

海明码的生成生成海明码的过程分为两步：构造海明矩阵和计算校验位。

假设要构造一个 r 位的海明码，其中含有 m 位的数据和 m＋r 位的冗余位。

1.构造海明矩阵：海明矩阵是一个r×(m＋r) 的矩阵，它的每一行都代表一个冗余位。

构造海明矩阵的规则如下：–第一列到第 m 列分别代表数据位的位置，每一列只有一个 1；–最后的 r 列分别代表冗余位的位置，每一列包含的 1 的个数有特定的规律，如第一个冗余位的位置是第 1、2、4、8…位，第二个冗余位的位置是第 3、4、6、8…位；–每一列的 1 的位置互不相同。

2.计算校验位：校验位的值是根据数据位的值计算出来的。

对于每个冗余位，根据它所在行的数据位值计算出校验位的值。

计算方法是将每一列的值乘以对应的权重，并求和。

如果和为偶数，则校验位为 0，否则为 1。

海明码的纠错接收方在收到海明码后，会进行错误检测和纠错操作。

错误检测是通过将接收到的码字与海明矩阵的每一行进行比较，计算出错位的位置。

量子计算机中的量子错误纠正方法

量子计算机中的量子错误纠正方法量子计算机是一种基于量子力学原理的计算设备，具有在某些特定任务上超越传统计算机的潜力。

然而，由于量子比特（qubit）的易失性，量子计算机在实际应用中面临着巨大的挑战。

量子错误纠正方法是解决这一问题的关键技术之一，本文将介绍量子计算机中的量子错误纠正方法及其应用。

在传统计算机中，我们使用二进制位（bit）作为信息的基本单位，可以表示0和1两种状态。

而在量子计算机中，使用的是量子比特（qubit），它可以同时处于0和1的叠加态，以及在不同状态之间的干涉和纠缠。

这种特性赋予了量子计算机强大的计算能力，但同时也带来了量子比特易失性的问题。

量子比特的易失性是指量子比特容易受到环境噪声的干扰，导致信息的丢失和错误。

这是由于量子比特的量子态容易与外界环境发生相互作用，导致量子态的退相干和退相位。

为了解决这个问题，量子错误纠正方法应运而生。

量子错误纠正方法的基本思想是通过增加冗余的量子比特和量子门操作，来检测和纠正量子比特的错误。

其中最常用的方法是量子编码和量子纠错码。

量子编码是通过将一个逻辑量子比特编码为多个物理量子比特的组合来实现的。

最著名的量子编码方法是Shor编码和Steane编码。

Shor编码使用9个物理量子比特来编码一个逻辑量子比特，可以实现单比特错误的纠正。

Steane编码则使用7个物理量子比特来编码一个逻辑量子比特，可以实现单比特和双比特错误的纠正。

量子纠错码是一种用于检测和纠正量子比特错误的编码方法。

最常用的量子纠错码是三位翻转码（bit-flip code）和相位翻转码（phase-flip code）。

三位翻转码通过对一个逻辑量子比特使用三个物理量子比特进行编码，可以检测和纠正单比特错误。

相位翻转码则通过对一个逻辑量子比特使用三个物理量子比特进行编码，可以检测和纠正相位错误。

除了量子编码和量子纠错码，还有一些其他的量子错误纠正方法，如量子重复码、量子迭代纠错等。

基于经典线性码构造的纠缠辅助量子码

第60卷第3期吉林大学学报(理学版)V o l .60 N o .32022年5月J o u r n a l o f J i l i nU n i v e r s i t y (S c i e n c eE d i t i o n )M a y2022d o i :10.13413/j .c n k i .jd x b l x b .2021252基于经典线性码构造的纠缠辅助量子码林晶晶,唐西林(华南理工大学数学学院,广州510640)摘要:首先,利用有限域F q 上参数为[n ,k ,d ]经典线性码C 的线性互补对偶(L C D )线性子码的一个正交基,构造一类参数为[[n +l ,k -h ,d ᶄ;n -k -h +l ]]的纠缠辅助量子码,其中h =d i m (H u l l E (C )),0ɤl ɤk -h ,d ɤd ᶄɤd +l .特别地,当经典线性码C 为E u c l i d e 对偶包含线性码时,存在一个参数为[[n +l ,2k -n ,d ᶄ;l ]]的纠缠辅助量子码,其中0ɤl ɤ2k -n ,d ɤd ᶄɤd +l .其次,通过对有限域F q 上参数为[n ,k ,d ]的E u c l i d e 对偶包含线性码C 的校验矩阵H 作一类变换,构造另一类参数为[[n +l ,2k -n +l ,d ᶄ;2l ]]的纠缠辅助量子码,其中0ɤl ɤn -k ,d ɤd ᶄɤd +l .关键词:纠缠辅助量子码;E u c l i d e 对偶;L C D 码;校验矩阵;线性码中图分类号:O 236.2 文献标志码:A 文章编号:1671-5489(2022)03-0521-10E n t a n gl e m e n t -A s s i s t e d Q u a n t u mC o d e s C o n s t r u c t e db y Cl a s s i c a l L i n e a rC o d e s L I NJ i n g j i n g,T A N G X i l i n (S c h o o l o f M a t h e m a t i c s ,S o u t hC h i n aU n i v e r s i t y o f T e c h n o l o g y ,G u a n gz h o u 510640,C h i n a )A b s t r a c t :F i r s t l y ,a c l a s s o f e n t a n g l e m e n t -a s s i s t e d q u a n t u mc o d e sw i t h p a r a m e t e r s [[n +l ,k -h ,d ᶄ;n -k -h +l ]]a r e c o n s t r u c t e db y u s i n g a no r t h o g o n a l b a s i so f t h e l i n e a r c o m p l e m e n t a r y du a l (L C D )l i n e a r s u b c o d e o f t h ec l a s s i c a l l i n e a rc o d e C w i t h p a r a m e t e r s [n ,k ,d ]o v e raf i n i t ef i e l d F q ,w h e r e h =d i m (H u l l E (C )),0ɤl ɤk -h ,d ɤd ᶄɤd +l .I n p a r t i c u l a r ,w h e nt h ec l a s s i c a l l i n e a rc o d e C i s E u c l i d e a n d u a l -c o n t a i n i n g l i n e a r c o d e ,t h e r e a r e e n t a n g l e m e n t -a s s i s t e d q u a n t u mc o d e sw i t h p a r a m e t e r s [[n +l ,2k -n ,d ᶄ;l ]],w h e r e0ɤl ɤ2k -n ,d ɤd ᶄɤd +l .S e c o n d l y ,b y m a k i n g a ki n d o f t r a n s f o r m a t i o no n t h e p a r i t y c h e c k m a t r i x H o f E u c l i d e a n d u a l -c o n t a i n i n g l i n e a r c o d e C w i t h p a r a m e t e r s [n ,k ,d ],a n o t h e r k i n d o f e n t a n g l e m e n t -a s s i s t e d q u a n t u m c o d e s w i t h p a r a m e t e r s [[n +l ,2k -n +l ,d ᶄ;2l ]]a r e c o n s t r u c t e d ,i nw h i c h0ɤl ɤn -k ,d ɤd ᶄɤd +l .K e y w o r d s :e n t a n g l e m e n t -a s s i s t e d q u a n t u m c o d e s ;E u c l i d e a n d u a l i t y ;L C D c o d e s ;p a r i t y -c h e c k m a t r i x ;l i n e a r c o d e s收稿日期:2021-07-09.第一作者简介:林晶晶(1995 ),女,汉族,硕士研究生,从事纠错码理论和编码的研究,E -m a i l :1974460277@q q .c o m.通信作者简介:唐西林(1962 ),男,汉族,教授,从事半群理论和密码学的研究,E -m a i l :x l t a n g@s c u t .e d u .c n .基金项目:国家自然科学基金(批准号:11571119).量子纠错码在量子信息和量子计算中具有重要作用.目前,关于量子码[1-2]的研究已得到广泛关注.许多具有良好参数的量子码都是由包含其E u c l i d e 对偶码的经典线性码构造的.B r u n 等[3]提出了一种简单而基本的量子码,称为纠缠辅助量子码(简称E A Q E C C ).通过放松对偶性条件并增加量子纠缠辅助位,可从经典线性码(包括对偶包含和非对偶包含的经典线性码)出发构造纠缠辅助量子码.这些纠缠辅助量子码具有纠缠辅助和量子纠错的双重优点.此外,纠缠辅助量子码可从任意的经典码中通过共享量子纠缠比特得到.近年来,对纠缠辅助量子码的构造研究得到广泛关注,已构造了各种不同类型的纠缠辅助量子码[4-8].文献[9]利用常循环码构造了参数较灵活的纠缠辅助量子码;文献[10-11]利用广义R S(R e e d-S o l o m o n)码构造了具有灵活参数c的新的纠缠辅助量子M D S (m a x i m u m-d i s t a n c e-s e p a r a b l e)码.本文通过经典的线性码构造码长和最小距离更灵活的两类纠缠辅助量子码.1预备知识设q=p e,其中p是一个素数,eȡ1是一个正整数.设F q表示含有q个元的有限域, F*q=F q\{0}.一个长度为n㊁维数为k㊁极小距离为d的q元线性码记为[n,k,d]q.一个长度为n㊁维数为k㊁极小距离为d㊁量子纠缠辅助位为c的q元纠缠辅助量子码记为[n,k,d;c]q.对于任意两个向量x=(x1,x2, ,x n)ɪF n q,y=(y1,y2, ,y n)ɪF n q,其E u c l i d e内积定义为<x,y>E=ðn i=1x i y i.假设C是F q上长度为n的线性码,则C的E u c l i d e对偶码定义为Cʅ={xɪF n q:<x,y>E=0,∀yɪF n q}.若C满足Cʅ⊆C,则称C为E u c l i d e对偶包含码;若C满足C⊆Cʅ,则称C为E u c l i d e自正交码;若C 满足C=Cʅ,则称C为E u c l i d e自对偶码.称CɘCʅ为C的E u c l i d eH u l l,记为H u l l(C).G R S(g e n e r a l i z e d R e e d-S o l o m o n)码是常被用于构造纠缠辅助量子码的经典线性码.假设a1,a2, ,a n是F q上n个不同的元素,v1,v2, ,v n是F q上n个非零元素,则关于向量a=(a1,a2, ,a n)和v=(v1,v2, ,v n)的G R S码定义为G R S k(a,v)={(v1f(a1),v2f(a2), ,v n f(a n)):f(X)ɪF q[X]k},其中F q[X]k表示F q上所有次数小于k的多项式集合.选取F q[X]k的一组基{1,x, ,x k-1},则G R S k(a,v)的生成矩阵为G=v1v2 v nv1a1v2a2 v n a n v1a21v2a22 v n a2n ︙︙⋱︙v1a k-11v2a k-12 v n a k-1æèççççççöø÷÷÷÷÷÷n.G R S k(a,v)是一个参数为[n,k,n-k+1]q的M D S码.定义1[12]假设C是F q上的一个线性码,若H u l l(C)=CɘCʅ={0},则称C为F q上的一个线性互补对偶(l i n e a r c o m p l e m e n t a r y d u a l)码,简称L C D码.性质1[12]假设C是F q上的一个线性码,并且G和H分别为C的一个生成矩阵和校验矩阵,则下列性质等价:1)C是一个L C D码;2)矩阵G G T非奇异;3)矩阵H H T非奇异.性质1给出了L C D线性码与线性码的生成矩阵和校验矩阵之间的关系.W i l d e等[13]证明了纠缠辅助量子码可由经典的线性码构造,得到如下结果.性质2[13]假设H1和H2分别是两个参数为[n,k1,d1]q和[n,k2,d2]q的线性码的校验矩阵,则存在一个参数为[[n,k1+k2-n+c,m i n{d1,d2};c]]q的纠缠辅助量子码,其中c=r a n k(H1H T2).下面引入纠缠辅助量子码的S i n g l e t o n界.性质3[3]一个参数为[[n,k,d;c]]q的纠缠辅助量子码满足:225吉林大学学报(理学版)第60卷n +c -k ȡ2(d -1),其中0ɤc ɤn -1.如果一个参数为[[n ,k ,d ;c ]]q 的纠缠辅助量子码能达到纠缠辅助量子Si n g l e t o n 界,即2(d -1)=n -k +c ,则该纠缠辅助量子码称为极大距离可分纠缠辅助量子码,简称M D SE A Q E C C .如果c =n -k ,则该纠缠辅助量子码称为极大纠缠的纠缠辅助量子码.性质4[8] 假设C 是一个参数为[n ,k ,d ]q 的线性码,并且H 和G 分别是C 的校验矩阵和生成矩阵,则r a n k (H H T )=n -k -d i m (H u l l E (C ))=n -k -d i m (H u l l E (C ʅ)),r a n k (G G T )=k -d i m (H u l l E (C ))=k -d i m (H u l l E (C ʅ)). 性质4表明,r a n k (H H T )独立于线性码C 的校验矩阵H ,且可通过H u l l E (C )的维数求得.2 构造第一类纠缠辅助量子码下面将构造一些新的纠缠辅助量子码.假设C 是一个参数为[n ,k ,d ]q 的经典线性码,h ʒ=d i m (H u l l E (C )),M (F q ,k ˑk )表示由F q 上k ˑk 矩阵构成的集合.情形1)q =p e,其中p 为奇素数,e ȡ1为正整数.引理1[14] 假设q 是一个奇素数幂,则对任意的对称矩阵A ɪM (F q ,k ˑk ),存在一个非奇异矩阵Q ɪM (F q ,k ˑk ),使得Q T A Q 是F q 上的k ˑk 阶对角矩阵,即Q TA Q =d i a g {λ1,λ2, ,λk },其中λi ɪF q ,1ɤi ɤk .下面给出一种利用引理1获得L C D 线性码C 的一组正交基方法.引理2 假设q 是一个奇素数幂,C 是一个参数为[n ,k ]q 的LC D 线性码,则存在C 的一组基{c 1,c 2, ,c k },使得对任意的i ,j ɪ{1,2, ,k },均有c i c Tj =0,i ʂj ,λi ɪF *q ,i =j {. 证明:假设G 是码C 的一个生成矩阵.由于C 是一个L C D 码,则由性质1可知G G T 是F q 上k ˑk 阶非奇异对称矩阵.再根据引理1可知:存在一个非奇异矩阵N ɪM (F q ,k ˑk ),使得N G G T N T =N G (N G )T=d i a g {λ1,λ2, ,λk },其中λi ɪF *q ,1ɤi ɤk .假设G ᶄ=N G ,则G ᶄ也为码C 的一个生成矩阵.用c i 表示矩阵Gᶄ的第i 行,这里1ɤi ɤk .由于G ᶄG ᶄT =N G (N G )T =d i a g {λ1,λ2, ,λk },其中λi ɪF *q ,1ɤi ɤk ,因此,{c 1,c 2, ,c k }即为希望得到的一组基.证毕.引理3 假设C 是一个参数为[n ,k ]q 的经典线性码,0<h =d i m (H u l l E (C ))<k ,则存在C 的一个线性子码C ᶄ,使得C ᶄ是一个参数为[n ,k -h ]q 的LC D 码.证明:假设B ={c 1,c 2, ,c h }是线性码H u l l E (C )的一组基,将B 扩充成为线性码C 的一组基{c 1,c 2, ,c h ,c h +1, ,c k }.假设C ᶄ=s p a n {c i :i =h +1,h +2, ,k },x =(x 1,x 2, ,x n )ɪC ᶄɘC ᶄʅ,则对于任意的x ᶄ=(x ᶄ1,x ᶄ2, ,x ᶄn )ɪC ᶄ,x ᵡ=(x ᵡ1,x ᵡ2, ,x ᵡn )ɪH u l l E (C ),均有(x ,x ᶄ)E =ðni =1x i x ᶄi =0, (x ,x ᵡ)E =ðni =1x i x ᵡi =0,因此,x ɪC ʅ.由于x ɪC ʅ,x ɪC ᶄ⊆C ,因此x ɪH u l l E (C ).又因为H u l l (C )ɘC ᶄ={0},所以x =0.于是C ᶄ是一个参数为[n ,k -h ]q 的L C D 码.证毕.综上所述,首先可通过引理3找到经典线性码C 的一个参数为[n ,k -h ]q 的LC D 线性子码C ᶄ,然后再通过引理2找到线性子码C ᶄ的一组正交基,最后利用这组正交基可构造具有如下参数的新的纠缠辅助量子码.325 第3期林晶晶,等:基于经典线性码构造的纠缠辅助量子码命题1 假设q =p e >3,p 是一个奇素数,并且C 是一个参数为[n ,k ,d ]q 的经典线性码,记h ʒ=d i m (H u l l E (C )),则对于满足0ɤl ɤk -h 的任意l ,均存在一个参数为[[n +l ,k -h ,d ᶄ;n -k -h +l ]]q 的纠缠辅助量子码,这里d ɤd ᶄɤd +l .证明:1)当l =0时,根据性质2和性质4,结论显然成立.2)首先考虑1ɤl ɤk -h 并且h >0.如果h >0,则根据引理3,存在C 的一个线性子码C ᶄ,使得C ᶄ是一个参数为[n ,k -h ]q 的L C D 码.再根据引理2,存在C ᶄ的一组基{x 1,x 2, ,x k -h },使得对于任意的i ,j ɪ{1,2, ,k -h },均有x i x Tj=0,i ʂj ,λi ɪF *q ,i =j {.由于q >3,则{a 2a ɪF *q }至少包含2个元素,于是对于每个i ɪ{1,2, ,k -h },都至少存在一个αi ɪF *q ,使得α2i ʂ-x i x Ti ,这里每个αi 均可取相同值.假设췍C是一个以췍H 为校验矩阵的线性码,췍H =0(n -k )ˑl H α1⋱αc x 1︙x ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈æèçççççöø÷÷÷÷÷c ,其中H 是码C 的校验矩阵.此时췍H 췍H T =H H T 0(n -k )ˑl 0l ˑ(n -k )α21+x 1x Τ1⋱α2l +x l x T┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈æèçççççöø÷÷÷÷÷l .由于α2i ʂ-x i x T i (i =1,2, ,l ),因此有r a n k (췍H 췍H T )=n -k -h +l .由于H 的任意(d -1)列线性无关并且αi ʂ0(i =1,2, ,l ),则췍H 的任意(d -1)列也线性无关.故可得췍C 的参数为[n +l ,k ,d ᶄ]q ,其中d ɤd ᶄɤd +l .因此,根据性质2,对于满足0ɤl ɤk -h 的任意l ,均存在一个参数为[[n +l ,k -h ,d ᶄ;n -k -h +l ]]q 的纠缠辅助量子码.其次,当h =0时,C 是L C D 码,结论仍成立.由命题1可得:推论1 假设q =p e >3,p 是一个奇素数,并且C 是一个参数为[n ,k ,d ]q 的Eu c l i d e 对偶包含线性码,即C ʅ⊆C ,则对于满足0ɤl ɤ2k -n 的任意c ,均存在一个参数为[[n +l ,2k -n ,d ᶄ;l ]]q 的纠缠辅助量子码,这里d ɤd ᶄɤd +l .推论2 假设q =p e>3,p 是一个奇素数,并且C k 是F q 上一个参数为[q ,k ,q -k +1]q 的GR S 码,其中a =(a 1,a 2, ,a q ),a 1,a 2, ,a q 是F q 上q 个不同的元素,v =(1,1, ,1),则对于1ɤk ɤq -1且2k >q ,存在一个参数为[[q +1,2k -q ,q -k +2;1]]q 的MD S 纠缠辅助量子码.证明:显然C ʅk =C q -k ,因此当2k >q ,有C ʅk =C q -k ⊆C k ,即C k 是一个对偶包含的MD S 线性码.于是,C k 的生成矩阵和校验矩阵分别为G k =111a1a 2 a q a 21a 22 a 2q︙︙︙a k -11a k -12a k -1æèççççççöø÷÷÷÷÷÷q , H k =111a1a 2 a q a 21a 22 a 2q︙︙︙a q -k -11a q -k -12 a q-k -1æèççççççöø÷÷÷÷÷÷q.取췍H =0H k αx æèçöø÷1,其中x 1=(a q -k 1,a q -k 2, ,a q -k q )ɪC k 和αɪF *q 满足α2ʂ-x 1x T 1.假设췍C 是一个以췍H 为校验矩阵的线性码,则췍C 是一个参数为[q +1,k ,d ]q 的线性码,其中425 吉林大学学报(理学版) 第60卷q -k +1ɤd ɤq-k +2,并且r a n k (췍H 췍H T )=1.由于以H k x æèçöø÷1为校验矩阵的线性码是G R S 码,因此췍C 是一个扩展的G R S 码.于是,췍C 是一个参数为[q +1,k ,q -k +2]q 的M D S 线性码.因此根据性质2,存在一个参数为[[q +1,2k -q ,q -k +2;1]]q 的MD S 纠缠辅助量子码.情形2)q =2.定理1[15] 假设A ɪM (F 2,k ˑk )是秩为t 的对称矩阵,则:1)如果A 的所有对角元素都为0,则t 为偶数,并且存在一个非奇异矩阵Q ɪM (F 2,k ˑk ),使得Q TA Q =di a g {J 2,J 2, J 췍췍췍 2t /2,0,0, ,0},这里J 2=01æèçöø÷10.2)如果A 的对角元素至少有一个不为0,则存在一个非奇异矩阵Q ɪM (F 2,k ˑk ),使得Q TA Q =di a g {1,1, ,췍췍췍 1t,0,0, ,0}. 利用定理1,可对F 2上的L C D 线性码C 的生成矩阵分两类进行讨论,进而对不同类的生成矩阵可得到相对应的两类不同的基.引理4 假设C 是一个参数为[n ,k ]2的L C D 码,并且G 为C 的生成矩阵,如果至少存在一个g i ,使得ðnj =1gi j=1,这里g i 表示矩阵G 的第i 行,则存在C 的一组基{c 1,c 2, ,c k },使得对任意的i ,j ɪ{1,2, ,k },均有c i c Tj =0,i ʂj ,1,i =j {.证明:由于C 是一个L C D 码,因此由性质1可知,G G T 是F 2上k ˑk 阶非奇异对称矩阵.因为至少存在一个g i ,使得ðnj =1gi j=1,则至少存在一个g i ,使得g i g Ti=ðnj =1g 2i j=ðnj =1g i j =1,即可逆对称矩阵G G T的对角元素至少有一个不为0.于是根据定理1知,存在一个非奇异矩阵N ɪM (F 2,k ˑk ),使得N G G T N T =N G (N G )T=d i a g{1,1, ,1}. 假设G ᶄ=N G ,则G ᶄ也是码C 的一个生成矩阵.用c i 表示矩阵Gᶄ的第i 行,这里1ɤi ɤk .由于G ᶄG ᶄT =N G (N G )T=d i a g {1,1, ,1},因此{c 1,c 2, ,c k }即为希望得到的一组基.证毕.引理5 假设C 是一个参数为[n ,k ]2的LC D 码,并且G 为C 的生成矩阵,如果对所有的gi (1ɤi ɤk )均有ðnj =1gi j=0,这里g i 表示矩阵G 的第i 行,则k 为偶数并且存在C 的一组基{c 1,c ᶄ1, ,c k /2,c ᶄk /2},使得对于任意的i ,j ɪ{1,2, ,k /2},均有:1)c i c Τj =c ᶄi c ᶄTj =0;2)c i c ᶄT j =0,i ʂj ;3)c i c ᶄTi =1.证明:由于C 是一个L C D 码,因此由性质1可知,G G T 是F 2上k ˑk 阶非奇异对称矩阵.又由于对所有的g i 均有ðnj =1gi j=0,故对所有的g i 均有g i g Ti=ðnj =1g 2i j=ðnj =1g i j =0,其中1ɤi ɤk .即可逆对称矩阵G G T 的所有对角元素均为0,于是根据定理1知,k 为偶数且存在一个非奇异矩阵N ɪM (F 2,k ˑk ),使得N G G T N T =N G (N G )T=d i a g {J 2,J 2, ,J 췍췍췍 2k /2},这里J 2=01æèçöø÷10.525 第3期林晶晶,等:基于经典线性码构造的纠缠辅助量子码假设G ᶄ=N G ,则G ᶄ也是码C 的一个生成矩阵.再假设c i 表示矩阵G ᶄ的第(2i -1)行,c ᶄi 表示矩阵G ᶄ的第2i 行,其中i ɪ{1,2, ,k /2}.由于G ᶄG ᶄT =N G (N G )T=d i a g {J 2,J 2, ,J 췍췍췍 2k /2},因此{c 1,c ᶄ1, ,c k /2,c ᶄk /2}即为要求的基.证毕.于是,首先可通过引理3找到经典线性码C 的一个参数为[n ,k -h ]2的LC D 线性子码C ᶄ,然后对线性子码C ᶄ的生成矩阵进行分类,再通过引理4和引理5找到线性子码C ᶄ相对应的一组基,最后利用找到的基构造具有如下参数的新的纠缠辅助量子码.命题2 假设C 是参数为[n ,k ,d ]2的经典线性码,如果h =d i m (H u l l E (C )),则对于满足0ɤl ɤk -h 的任意l ,均存在一个参数为[[n +l ,k -h ,d ᶄ;n -k -h +l ]]2的纠缠辅助量子码,其中d ɤd ᶄɤd +l .证明:1)当c =0时,根据性质2和性质4,结论显然成立.2)考虑1ɤl ɤk -h 且h >0.如果h >0,根据引理3,则存在C 的一个线性子码C ᶄ,使得C ᶄ是一个参数为[n ,k -h ]2的LC D 码.假设G ᶄ是C ᶄ的生成矩阵,gᶄi 表示G ᶄ的第i 行(1ɤi ɤk -h ),则对于生成矩阵G ᶄ有以下两种情形:情形①至少存在一个j ɪ{1,2, ,k -h },使得ðnl =1gᶄjl =1.根据引理4,存在C ᶄ的一组基{x 1,x 2, ,x k -h },使得对于任意的i ,j ɪ{1,2, ,k -h },均有x i x Tj=0,i ʂj ,1,i =j {.假设H 是C 的校验矩阵,췍C 是一个以췍H 为校验矩阵的线性码,这里췍H 有以下3种子情形:(i )当l =1时,췍H =0(n -k )ˑ1H 1x 1+g ᶄæèçöø÷j ,此时有췍H 췍H T =H H T 0(n -k )ˑ101ˑ(n -k )æèçöø÷1,于是r a n k (췍H 췍H T )=r a n k (H H T )+1=n -k -h +1.(i i )当l =3时,췍H=0(n -k )ˑ3H Q 3æèçöø÷P ,其中Q3=110011æèçççöø÷÷÷001, P =(x 1x 2x 3)T.此时有췍H 췍H T=H H T 0(n -k )ˑ303ˑ(n -k )æèçöø÷D ,其中D =110111æèçççöø÷÷÷010,于是r a n k (췍H 췍H T )=r a n k (H H T )+3=n -k -h +3.(i i i )当l =2或l ȡ4时,췍H=0(n -k )ˑl H Q læèçöø÷P ,其中625 吉林大学学报(理学版) 第60卷Ql =E l -10(l -1)ˑ110 æèçöø÷01, P =(x 1+x 2x 2+x 3 x l )T.此时有췍H 췍H T=H H T 0(n -k )ˑl 0l ˑ(n -k )æèçöø÷D ,其中:当l =2时,D =10æèçöø÷01;当l ȡ4时,D =11000011110 0000111 000︙︙︙︙︙︙︙0000 1111000æèççççççççöø÷÷÷÷÷÷÷÷011.于是r a n k (췍H 췍H T )=r a n k (H H T )+l =n -k -h +l .情形②对于所有的i ɪ{1,2, ,k -h }均有ðnl =1gᶄi l=0.根据引理5知,k -h 是偶数并且存在C ᶄ的一组基,使得对任意的i ɪ{1,2, ,(k -h )/2},均有x i x T j =x ᶄi x ᶄT j =0;如果i ʂj ,则x i x ᶄT j =0;x i x ᶄTi =1.假设H 是C 的校验矩阵,췍C是一个以췍H 为校验矩阵的线性码,这里췍H 有以下4种子情形:(i )当l =1时,췍H=0(n -k )ˑ1H 1x 1+x ᶄæèçöø÷1,此时有췍H 췍H T =H H T 0(n -k )ˑ101ˑ(n -k )æèçöø÷1,于是r a n k (췍H 췍H T )=r a n k (H H T )+1=n -k -h +1.(i i )当l =2时,췍H =0(n -k )ˑ2H E 2x 1+x ᶄ1x (k -h )/2+x ᶄ(k -h )/æèçççöø÷÷÷2,此时有췍H 췍H T =H H T 0(n -k )ˑ202ˑ(n -k )E æèçöø÷2,于是r a n k (췍H 췍H T )=r a n k (H H T )+2=n -k -h +2.(i i i )当l ȡ3且l 为偶数时,췍H=0(n -k )ˑl H Q læèçöø÷P ,其中Ql =1000 0000110 0000011 000︙︙︙︙︙︙︙0000 0110000æèççççççççöø÷÷÷÷÷÷÷÷001, P =(x 1x ᶄ1 x l /2x ᶄl /2)T.此时有췍H 췍H T =H H T 0(n -k )ˑl 0l ˑ(n -k )æèçöø÷D ,其中725 第3期林晶晶,等:基于经典线性码构造的纠缠辅助量子码D =11000 00010100 00001000 00000001 0000001000︙︙︙︙︙︙︙︙00000 01000000 1000000æèçççççççççççççöø÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷001.于是r a n k (췍H 췍H T )=r a n k (H H T )+l =n -k -h +l .(i v )当l ȡ3且l 为奇数时,췍H=0(n -k )ˑl H Q læèçöø÷P ,其中Ql =1000 0000110 0000011 000︙︙︙︙︙︙︙0000 0110000æèççççççççöø÷÷÷÷÷÷÷÷001, P =(x 1x ᶄ1 x (l -1)/2x ᶄ(l -1)/2x (l +1)/2)T.此时有췍H 췍H T =H H T 0(n -k )ˑl 0l ˑ(n -k)æèçöø÷D ,其中D =11000 000010100 000001000 000000001 000000010 0000︙︙︙︙︙︙︙︙︙00000 010000000 100000000 000100000æèççççççççççççççöø÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷0011.于是r a n k (췍H 췍H T )=r a n k (H H T )+l =n -k -h +l .由于H 的任意(d -1)列线性无关,因此췍H 的任意(d -1)列也线性无关.从而可得췍C 的参数为[n +l ,k ,d ᶄ]2,其中d ɤd ᶄɤd +l .因此根据性质2,对于满足0ɤl ɤk -h 的任意l ,均存在一个参数[[n +l ,k -h ,d ᶄ;n -k -h +l ]]2的纠缠辅助量子码.当h =0时,C 是L C D 码,结论也成立.由命题2可得:推论3 假设C 是一个参数为[n ,k ,d ]2的Eu c l i d e 对偶包含线性码,即C ʅ⊆C ,则对于任意的0ɤl ɤ2k -n 均存在一个参数为[[n +l ,2k -n ,d ᶄ;l ]]2的纠缠辅助量子码,这里d ɤd ᶄɤd +l .推论4 假设C 是一个参数为[2n ,2n ,1]2的线性码,C 的生成矩阵为E 2n ,则存在一个参数为[[2n +1,2n ,2;1]]q 的纠缠辅助量子码.证明:由已知条件可知,C 的校验矩阵为H =(00 0)1ˑ2n ,假设췍C 是以췍H 为校验矩阵的线性码,췍H=0H 1(11 1)1ˑ2æèçöø÷n ,则췍C 的参数为[2n +1,2n ,2]2,并且ra n k (췍H 췍H T )=1.于是,根据引理5知,存在一个参数为825 吉林大学学报(理学版) 第60卷[[2n +1,2n ,2;1]]q 的纠缠辅助量子码.3 构造第二类纠缠辅助量子码命题3 假设q ȡ2是一个素数幂,C 是一个参数为[n ,k ,d ]q 的Eu c l i d e 对偶包含线性码,即C ʅ⊆C ,则对于满足l ɤn -k 的任意l ,均存在一个参数为[[n +l ,2k -n +l ,d ᶄ;2l ]]q 的纠缠辅助量子码,这里d ɤd ᶄɤd +l .证明:假设H =(E n -k A (n -k )ˑk )是C 的一个校验矩阵,并且췍C 是一个以췍H 为校验矩阵的线性码,췍H =0(n -k )ˑl E n -k A (n -k )ˑk α1⋱αl (E l 0l ˑ(n -k -l ))0l ˑ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈æèçççççöø÷÷÷÷÷k ,其中对每个i ɪ{1,2, ,l }均有αi ɪF *q .则췍H 췍H T =0E l0(n -k -l )ˑl E l 0l ˑ(n -k -l )α21+1 α1αl ︙⋱︙αl α1 α2l +┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈æèççççççöø÷÷÷÷÷÷1,于是r a n k (췍H 췍H T )=2l .由于H 的任意(d -1)列线性无关且αi ʂ0(i =1,2, ,l ),则췍H 的任意(d -1)列也线性无关.从而可知췍C 的参数为[n +l ,k ,d ᶄ]q ,其中d ɤd ᶄɤd +l .因此根据性质2,对于满足l ɤn -k 的任意l ,均存在一个参数为[[n +l ,2k -n +l ,d ᶄ;2l ]]q 的纠缠辅助量子码.例1 假设H =1001æèçöø÷0110是线性码C 在F 2上的一个校验矩阵,则存在一个参数为[[6,2,3;4]]2的纠缠辅助量子码.证明:以H =1001æèçöø÷0110为校验矩阵的线性码C 是一个参数为[4,2,2]2的对偶包含线性码.假设췍C是一个以췍H 为校验矩阵的线性码,췍H =0000100101101001100100┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈æèççççöø÷÷÷÷00,于是췍C 的参数为[6,2,3]2,并且r a n k (췍H 췍H T )=4.因此根据性质2,存在一个参数为[[6,2,3;4]]2的纠缠辅助量子码.综上可见,从基于E u c l i d e 对偶包含线性码的对称量子码的C S S 构造[16-17]出发,当且仅当存在一个E u c l i d e 对偶包含线性码[n ,k ,d ]q 时,可以构造一个参数为[[n ,2k -n ,d ]]q 的量子码.结合上述命题可知,如果存在一个参数为[[n ,2k -n ,d ]]q 的量子码,则可构造出具有下列参数的纠缠辅助量子码:1)[[n +l ,2k -n ,d ᶄ;l ]]2,其中0ɤl ɤ2k -n ,d ɤd ᶄɤd +l ;2)[[n +l ,2k -n +l ,d ᶄ;2l ]]q ,其中lɤn -k ,d ɤd ᶄɤd +l .参考文献[1] C A L D E R B A N K A R ,R A I N SE M ,S HO RP M ,e t a l .Q u a n t u m E r r o rC o r r e c t i o nv i aC o d e so v e rG F (4)[J ].I E E ET r a n s I n f o r m T h e o r y,1998,44(4):1369-1387.[2] A S H I K HM I N A ,K N I L L E .N o n b i n a r y Q u a n t u m S t a b i l i z e rC o d e s [J ].I E E E T r a n sI n f o r m T h e o r y,2001,925 第3期林晶晶,等:基于经典线性码构造的纠缠辅助量子码035吉林大学学报(理学版)第60卷47(7):3065-3072.[3] B R U 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rA,1996,452:2551-2577.(责任编辑:赵立芹)。

量子码的编码和解码方法研究

量子码的编码和解码方法研究量子计算是当今科学与技术领域最具挑战性的研究方向之一。

在量子计算中，量子位（qubit）是信息的基本单位，其拥有超强的计算能力和加密安全性。

为了实现量子计算的高效性和可靠性，研究人员提出了多种量子码的编码和解码方法。

本文将重点探讨这些方法以及它们对量子计算的应用。

1. 量子码编码方法1.1. Shor码Shor码由Peter Shor于1995年提出，是第一个能够实现量子纠错编码的方法。

它可以很好地克服量子位的易受干扰与退化的问题。

Shor码利用了量子纠错编码来修复量子位的错误，并可重现原始信息。

它可以实现对一定数量的错误进行纠正，在实际的量子计算中被广泛应用。

1.2. Steane码Steane码是一种更加通用的量子纠错编码方法，由Andrew Steane于1996年提出。

该编码方法采用了7个量子位的码字来纠正任意单量子位错误以及少量两量子位错误。

Steane码通过一系列的量子门操作来将非对角错误转化为对角错误，进而纠正错误。

它具有较高的纠错效率和可扩展性，是量子计算中常用的编码方法之一。

2. 量子码解码方法2.1. 迭代解码迭代解码是一种常见的量子码解码方法，基于经典计算机的思想，通过多次迭代来逼近正确的结果。

在迭代过程中，通过测量和纠错操作来减小错误的概率，并最终恢复原始信息。

迭代解码方法可以应用于不同类型的量子码，但由于其需要大量的计算资源和时间，实际应用中存在一定的限制。

2.2. 多边形解码多边形解码是一种针对量子反馈通道的解码方法，它通过构造多边形来描述量子位的可能状态，并通过测量和判断来确定最可能的状态。

该解码方法可以提高解码的准确性和效率，并在高误差率的环境中表现出良好的性能。

多边形解码方法对量子纠错编码的性能有着重要的影响。

3. 量子码的应用3.1. 量子通信量子通信是一种利用量子位来传输和处理信息的通信方式。

量子码的编码和解码方法在量子通信中起着关键的作用。

利用射影Cap构造极大纠缠的纠缠辅助量子纠错码

利用射影Cap构造极大纠缠的纠缠辅助量子纠错码
李瑞虎;付强;郭罗斌
【期刊名称】《空军工程大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2014(000)005
【摘要】依据经典四元线性码理论和纠缠辅助量子纠错码理论,由四元线性码的生成矩阵给出四元线性码稳定极大纠缠的纠缠辅助量子码的几何特征。

在给定几何特征基础上,由射影空间的Cap 理论,设法用组合数学方法和搜索算法构造出给定几何特征的Cap,确定Cap 码的参数。

利用所得到的参数优良的Cap 码,结合纠缠理论,构造出一些参数优良的极大纠缠的纠缠辅助量子码。

其中,所构造的极大纠缠的纠缠辅助量子码有许多是最优码,还有一些纠缠辅助量子码改进了前人所得到的纠缠辅助量子码的参数,这些纠缠辅助量子纠错码是无法用已有方法得到的。

这也证明了结合组合与搜索的方法来构造极大纠缠的纠缠辅助量子纠错码是有效的。

【总页数】4页(P80-83)
【作者】李瑞虎;付强;郭罗斌
【作者单位】空军工程大学理学院，陕西西安，710051;空军工程大学理学院，陕西西安，710051;空军工程大学理学院，陕西西安，710051
【正文语种】中文
【中图分类】O157.4
【相关文献】
1.六类纠缠辅助量子MDS码的构造 [J], 张琳雪; 唐西林
2.环Fp+vFp上LCD码构造纠缠辅助量子码 [J], 胡鹏; 李慧
3.环Fp+vFp上LCD码构造纠缠辅助量子码 [J], 胡鹏; 李慧
4.基于常循环码构造的两类纠缠辅助量子MDS码 [J], 王伟伟;李建涛
5.利用纠缠催化作用辅助恢复纠缠态转化中丢失的量子纠缠 [J], 周卫东
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文献标识码：Ａ
中图分类号：９８１１．
基于矩阵方法的量子纠错码构造
钟淑琴，马智，许亚杰
（放军信息工程大学信息工程学院，州４００）解郑５０２
摘
要：根据由简单无向图构造的量子纠错码与量子稳定子码的炎系，用与图对应的对称矩阵直接给出量子稳定子码的稳定子，利由此提出一
［ｓｒｃＡｃｒｉｇｔｅｒｌｔｎｈｐｂｔｅｕｎｕｃｄｏｒｓｏｄｎｏｓｍｐｅｕｄｒｃｅｒｐｎｕｎｕｓａｉｚｒｏｅｈｓａｅＡｂｔａｔｃｏｄｎｏｔｅｉｓｉｅｗｅｎｑａｔｍｏｅｃｒｅｐｎｉｇｔｉｌｎｉｔｄｇａｈａｄｑａｔｍｔｂｌｅｄ，ｔｉｐｐｒ］ｈａｏｅｉｃ
第３６卷第２３期
ＶＯ．６１３
・
计
算
机
工
程
２１００年１２月
Ｄｅｅｂｅ１ｃｍｒ２００
Ｎｏ２．３
ＣｏｐｕｅｇｎｅｒｎｇｍｔｒＥｎｉｅｉ
开发研究与设计技术・
文章编１０一４（１） —ｏ６２号：３２２０２２一ｏ０８ｏ３６
ＺＨＯＮＧｈ－ｉ，ＭＡｈ，ＸＵ＿ｉＳｕｑｎＺｉＹａｊｅ
（ｎｔｔｔｆＩｏｍａｉｇｎｅｉｇ，ＰＬＡｎｏｍａｉｎＥｎｉｅｒｎｉｅｓｔ＇Ｚｈｎｚｏ５０２，Ｃｈｎ）ＩｓｉｕｅｏｎｆｒｔｏｎＥｎｉｅｒｎＩｆｒｔ０ｇｎｅｉｇＵｎｖｒｉｙ，ｅｇｈｕ４００ｉａ
的权为ｎ（ａ ∈ Ｆ。显然，样的图由一）这（＋是 × （＋志对称矩阵：ｎ））
Ａ— Ａ（一（），ｖＧ）ｎｕｖｅ
（对于任意一个量子码［７ｋ］，ｒ，， ≤ｎ２，ｌ／十１ ≥七一２＋２
关键词：非二元量子码；量子ＭＤＳ码；量子稳定子码
ＣｏｓｒｃｉｎｏａｔｍｒｒｃｒｅｔｎｄｓｄｏａｒｘＭｅｈｄｎｔｕｔｏｆＱｕｎｕＥｒｏ —ｏｒｃｉｇＣｏｅＢａｅｎＭｔｉｔｏ
，
Ｅ８４３３ｘｓｆｒｌｐｉｓ＞３ａｄ［９３４３ｘｓｆｒｌｐｉｓ＞７ｂｓｇｍａｒｔｏ．Ｅ，，３ｅｉｏｌｒｔａｍｅｐｎＥ，，］ｐｅｉｏｌｒｔａｍｅｐｙｕｉｔｉｍｅｈｄｎｘ
［ｙｗｒｓｎｎｉａｙｑａｔｍｏｅｑａｔｍＳｃｄ；ｑａｔｍｔｂｌｅｏｅＫｅｏｄ］ｏｂｎｒｕｎｕｃｄ；ｕｎｕＭＤｏｅｕｎｕｓａｉｚｒｄｉｃ
１概述
量子纠错码［］克服量子消相干的重要手段，１是在量子密
均成立，７４２２时，为量子ＭＤＳ码量子纠错当２＝ｋ－ｄ一称的
码是参数良好的量子纠错码。图方法被认为是构造量子纠错码的好方法。量子纠错码的图描述是由文献［］３提出的，其通过构造具有特殊性质的图（或者说矩阵）来构造量子码。文献［］４用此方法构造出达到量子Ｓｎｌｏｉｇｅｎ界的量子纠错码ｔ［６２３３［，，３和［７３３３户３。进一步地，献［］出Ｅ，，３（ ≥ ）文５给了非二元量子循环码的图论构造方法，并证明了对任意的奇
ｃｎｔｕｔｎｍｅｈｄｏｕｎｕｅｒｒｃｒｅｔｇｃｄａｅｎｍａｒｔｏ．ＩｉｐｏｅａｏｂｎｒｕｎｕＭＤｏｅ［，，３ａｄｏｓｒｃｉｔｏｆａｔｍｒｏ。ｒｃｉｏｅｂｓｄｏｔｘｍｅｈｄｔｓｒｖｄｔｔｎｉａｙｑａｔｍＳｃｄｓ［９５３３ｎｏｑｎｉｈｎ
ｇｉｅｈｔｂｌｅｆｔｅｃｎｓｒｃｅｕｎｔｍｔｂｌｅｏｅｂｈｅｍａｒｘｃｒｓｏｄｎｏｔｉｌｎｉｅｔｄｇｒｐｖｓｔｅｓａｉｚｒｏｈｏｔｕｔｄｑａｕｓａｉｚｒｃｄｙｔｔｉｏｒｅｐｎｉｇｔｈｅｓｍｐｅｕｄｒｃｅａｈ，ａｄｐｏｏｅｉｉｎｒｐｓｓａ
子码之问的关系。设ｎｎ，２ …，，一（ｂ，， ∈ 一（１口，％）６６，ｚ … ）
，
量子纠错码的图描述如下：
设Ｘ和ｙ是２个不相交的集合，ｌｌ，ｙｌ。且 —ｋｌ — ｘ
Ｇ一（Ｇ，（）Ｖ（）ＥＧ）是一个以Ｖ＝Ｖ（）Ｇ一ＸＵＹ为顶点集、Ｅ— Ｅ（＝ＶＸＶ为边集的加权图，的任意边 “ Ｇ）它 ∈Ｅ（，）ｕ ∈
２图和量子稳定子码
本节研究利用简单无向图构造的量子纠错码与量子稳定
钥分配、纠缠纯化、容错量子计算等方面具有广泛应用，并保证了量子通信的可靠性。量子纠错码的一个重要研究课题就
是构造参数良好的量子纠错码，中，足量子Ｓｇｅｏ其满ｉｌｎ界ｎｔ
种基于矩阵方法的量子纠错码构造方法，通过将子矩阵变换为循环矩阵，找到满足特殊性质的矩阵，并证明对任意素数户，＞３量子ＭＤＳ码［９［，５３３，３ｐ和［８４３］存在，［，，３ｐ对任意素数户，＞７量子ＭＤＳ码［９３４］［，，３ｐ存在。