高等数学课件--第十二章 微分方程12-7 高阶线性微分方程

ax
x
,e
bx
(a b )
[解答]
2 验证 y C 1 x C 2 x ln x ( C 1 , C 2 是任意常数 )是方程 x y 3 x y 4 y 0的通解 .
1 x
对应齐次方程一特解为 y 1 e , 由刘维尔公式
x
y2 e
x
e2x e
1

1 x dx
x
dx x ,
对应齐方通解为 Y C 1 x C 2 e x .
设原方程的通解为 y c 1 ( x ) x c 2 ( x ) e x ,
c 1 ( x )， c ( x ) 应满足方程组 2
I 那 么 称 这n 个 函 数 在 区 间 内 线 性 相 关 ．否 则 称 线 性 无 关
例如 当 x ( , )时， e x， x , e 2 x 线性无关 e
1，cos x , sin x 线性相关
2 2
特别地 若 在 I 上 有
y1 ( x ) y2 ( x )
常数， 函 数 y 1 ( x ) 与 y 2 ( x ) 则
第七节
高阶线性微分方程
一、二阶线性微分方程举例
二、线性微分方程解的结构 三、常数变易法 四、小结 习题
一、二阶线性微分方程举例
1 方程举例
例 1 设 有 一 弹 簧 下 挂 一 重 物 ,如 果 使 物 体 具 有 一 个 初 始 速 度 v 0 0 ,物 体 便 离 开 平 衡 位 置 ,并 在 平 衡 位 置 附 近 作 上 下 振 动 .试 确 定 物 体 的 振 动 规 律 x x (t ) .
2n
dx dt
k x h sin pt
2
强迫振动的方程
例2 设有一个由电阻 R 、自感 L 、电容 C 和电源 E 串联
组成的电路 , 其中 R 、 L 及 C 为常数 ,电源电动势是时间 t 的函数 : E E m sin t , 这里 E m 及 也是常数 .
解 设电路中的电流为 i ( t ), 电容器
dx ,
非齐次方程通解为
y C1 y1 C 2 y2 y1 y2 f ( x ) w( x ) dx y2 y1 f ( x ) w( x ) dx .
例3 求方程 y
解 1
x 1 x
x 1 x
1
y
0,
1 1 x
y x 1 的通解.
x
e
x
C2
原方程的通解为 y C1 x C 2e x x 2 x 1.
四、小结 习题
主要内容 线性方程解的结构； 线性相关与线性无关； 降阶法与常数变易法； 补充内容
y P ( x ) y Q ( x ) y 0
可观察出 一个特解
(1 ) 若 P ( x ) xQ ( x ) 0 ,
解 受力分析
1 恢复力 f cx ;
o
2 阻力 R
dx dt
;
x
x
F ma ,
d x dt
2 2
m
2
d x dt
2
2
cx
dx dt
,
2n
dx dt
k x 0 物体自由振动的微分方程
若受到铅直干扰力
F H sin pt ,
d x dt
2
2
令v u,
则有
y 1 v ( 2 y 1 P ( x ) y 1 )v 0 ,
y 1 v [ 2 y 1 P ( x ) y 1 ]v 0
v 的一阶方程
降阶法
解得 v
1 y1
2
P ( x ) dx , e

u

1
y1
P ( x ) dx dx e 2
* *


[Y P ( x )Y Q ( x )Y ] [ y
*

P( x) y
*

Q ( x ) y ].
*
定理 4
设非齐次方程(2)的右端 f ( x ) 是几个函数
*
y 之和,如 y P ( x ) y Q ( x ) y f 1 ( x ) f 2 ( x ) 而 1
2 二阶非齐次线性方程的解的结构
定理 3 设 y 是二阶非齐次线性方程
( 2)
*
y P ( x ) y Q ( x ) y f ( x )
的一个特解, Y 是与(2)对应的齐次方程(1)的通解, 那 么 y Y y 是二阶非齐次线性微分方程(2)的通解.
*
证 (Y y ) P ( x )( Y y ) Q ( x )( Y y * )
y c1 ( x ) y1 c 2 ( x ) y 2
y c1 ( x ) y1 c ( x ) y 2 c1 ( x ) y1 c 2 ( x ) y 2 2
设
c1 ( x ) y1 c ( x ) y 2 0 2
(4)
y c1 ( x ) y 1 c ( x ) y c 1 ( x ) y 1 c 2 ( x ) y 2 2 2
特解 y x;
( 2) 若1 P ( x ) Q ( x ) 0, ( 3) 若1 P ( x ) Q ( x ) 0,
特解 y e ;
x
特解 y e
x
;
习题12-7
1 下列函数组在定义区间
(1 ) x 无关的
( 2 ) x ,2 x ;
将 y , y , y 代入方程 ( 2 ), 得
c 1 ( x ) y 1 c ( x ) y c 1 ( x )[ y 1 P ( x ) y 1 Q ( x ) y 1 ] 2 2 c 2 ( x )[ y P ( x ) y Q ( x ) y 2 ] f ( x ) 2 2

y 2 y1
1
y1
P ( x ) dx dx , e 2

齐次方程通解为
y C 1 y1 C 2 y1 1 y1 e 2
P ( x ) dx
刘维尔公式
dx .
2 非齐次线性方程通解求法---常数变易法
设对应齐次方程通解为 y C 1 y1 C 2 y 2 设非齐次方程通解为 (3)
在 I 上线性无关. 定理 2 如果 y1 ( x ) 与 y 2 ( x ) 是方程(1)的两个线性无关的
特解, 那么 y C1 y1 C 2 y2 就是方程(1)的通解.
例如 y y 0 ,
且 y2 y1
y 1 cos x , y 2 sin x ,
tan x 常数, y C1 cos x C 2 sin x .
令 y2 u( x ) y1 代入(1)式, 得
y 1 u [ 2 y 1 P ( x ) y 1 ]u [ y 1 P ( x ) y 1 Q ( x ) y 1 ]u 0 ,
即 y 1 u [ 2 y 1 P ( x ) y 1 ]u 0 ,
y1 y 2 y1 y 2
0,
c1 ( x )
y2 f ( x ) w( x)
,
c ( x ) 2
y1 f ( x ) w( x) dx ,
,
积分可得
c1 ( x ) C 1 c2 ( x ) C 2

y2 f ( x ) w( x)
y1 f ( x ) w( x)




问题 y C1 y1 C 2 y2一定是通解吗？
定义
n I 设 y 1 , y 2 , , y n 为 定 义 在 区 间 内 的 个 函 数 ．如
果 存 在 n 个 不 全 为 零 的 常 数 ，使 得 当 x 在 该 区 间 内 有 恒 等 式成立
k 1 y1 k 2 y 2 k n y n 0 ，
极板上的电荷量为 q ( t ), 两极板
R
i
E
L 间的电压为 u c ,自感电动势为 E L . C dq q di i , uc , E L L , q dt C dt di q 由回路电压定律 , E L Ri 0 , dq C 2 d uc duc Em 2 即 Lc 2 0 uc sin t . 2 dt LC dt
:
,3 e
2x
;
(4) e
x
,e ;
x
( 5 ) cos 2 x , sin 2 x ; ( 7 ) sin 2 x , cos x sin x ; ( 9 ) ln x , x ln x ;
2 2
(6) e
x
2
, xe
x
2
;
x
( 8 ) e cos 2 x , e sin 2 x ; (10 ) e
与 y 2 分别是方程,
*
y P ( x ) y Q ( x ) y f 1 ( x ) y P ( x ) y Q ( x ) y f 2 ( x )
的特解, 那么 y1 y 2 就是原方程的特解. 解的叠加原理
* *
证
( y1
*
y 2 ) P ( x )( y 1 y 2 ) Q ( x )( y 1 y 2 )
( n1 )
Pn1 ( x ) y Pn ( x ) y f ( x ).