高考数学大一轮复习 第7章 第6节 空间向量及其运算课件 理
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高考数学总复习 专题07 第6节 空间向量及其运算课件 理
2. 空间向量的加法与数乘向量运算满足 如下运算律： a+b=b+a ； (1)加法交换律：_______________ (2)加法结合律：_______________； (a+b)+c=a +(b+c) (3)数乘分配律：_______________.
λ(a+b)=λa+λb
3 共线向量与共面向量
考点二
共线向量定理、共面向量定理的应用
【例 2】 如图所示，已知四边形 ABCD 是平行四边形，P点是四边形 ABCD 所在 平面外一点，连接PA、PB、PC、PD. 设点E、F、G、H分别为△PAB、△PBC、 △PCD、△PDA的重心． (1)试用向量方法证明E、F、G、H四点共面； (2)试判断平面EFGH与平面ABCD的位置关系， 并用向量方法证明你的判断．
互相平行或重合 (1)如果表示空间向量的有向线段所在的直线______________ ，则这些向量叫共线
向量或平行向量． 同一平面 的向量叫做共面向量． (2)平行于_________
(3)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ， 使a＝λb. (4)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条
解 (1)∵P 是 C1D1 的中点， 1→ 1 → ＝AA → ＋A→ → → 1 → ∴AP 1 1D1＋D1P＝a＋AD＋ D1C1＝a＋c＋ AB＝a＋c＋ b. 2 2 2 (2)∵N 是 BC 的中点， 1→ 1→ 1 → → → → ∴A 1N＝A1A＋AB＋BN＝－a＋b＋ BC＝－a＋b＋ AD＝－a＋b＋ c. 2 2 2 (3)∵M 是 AA1 的中点， 1 1 1 1 → ＝MA → ＋AP → ＝1A → → ∴MP 1A＋AP＝－ a＋a＋c＋2b＝ a＋ b＋c. 2 2 2 2 → ＝NC → ＋CC → ＝1BC → ＋AA → ＝1AD → ＋AA → ＝1c＋a， 又NC 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 → ＋NC → ＝ 2a＋2b＋c＋2c＋a ∴MP 1 3 1 3 ＝2a＋2b＋2c.
高考理科第一轮复习课件(7.6空间向量及其运算)
【解析】∵ OP (1 t)OA tOB, ∴ OP OA t(OB OA), ∴ AP tAB, ∴A,B,P三点共线. 答案：②
考向 1
空间向量的线性运算
【典例1】(1)若P为平行四边形ABCD所在平面外的一点,且G为
3
3
4.若 OP (1 t)OA tOB, 则下列结论中正确的序号是________.
①O,P,A,B四点一定共线； ②P,A,B共线； ③P,A,B不共线； ④O,P,A,B不共面.
试用a,b,c表示以下各向量： ① AP ； ② A1 N； ③ MP NC . 1
【思路点拨】(1)先将 AG 进行分解，求出x，y，z的值，再求
x+y+z的值.
(2)用已知向量表示未知向量时，在转化时要结合向量的线性
运算.
【规范解答】(1)如图, AG AP PG,
∵G是△PCD的重心, ∴ PG 2 PH (H为CD的中点),
3
2 ∴ AG AP PH 3
2 1 AP ［ (PC PD)］ 3 2 1 1 AP PC PD 3 3 1 1 AP (PA AC) (PA AD) 3 3 1 1 1 1 AP PA (AB AD) PA AD 3 3 3 3 1 2 1 AB AD AP, 3 3 3 1 2 1 4 x , y , z , x y z . 3 3 3 3
高考数学(理科)大一轮复习课件：第7章-第6节空间向量及其运算
＋ yb .
(3)空间向量基本定理：如果三个向量 a、b、c 不共面， 那么对空间任一向量 p，存在一个唯一的有序实数组{x，y， z}使得 p＝ xa＋yb＋zc .
应用共线向量定理、共面向量定理证明点共线、点共面 的方法比较： 三点(P，A，B)共线 → → PA＝λPB且同过点 P 对空间任一点 O， → ＝OA → ＋tAB → OP 对空间任一点 O， → ＋(1－x)OB → ＝xOA 空间四点(M，P，A，B)共面 → → → MP＝xMA＋yMB 对空间任一点 O， → ＝OM → ＋xMA → ＋yMB → OP 对空间任一点 O， → ＝xOM → ＋yOA → ＋(1－x－y)OB → OP
1→ 1 → → 1 → → → ∴A1O－2AB－2AD＝A1O－2(AB＋AD) 1→ → → → → ＝A1O－2AC＝A1O－AO＝A1A. → → → (2)∵EO＝ED＋DO 2 → 1→ 2 → 1 → → ＝3D1D＋2DB＝3D1D＋2(DA＋AB) 2 → 1 → 1→ ＝3A1A＋2DA＋2AB 1→ 1 → 2 → ＝2AB－2AD－3AA1.
规律方法 1
1.选定空间不共面的三个向量作基向量， 并
用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的基 → → → → → → → 本要求．如本例用AB，AD，AA1表示AP、A1N及MP＋NC1.解 题时应结合已知和所求观察图形，联想相关的运算法则和公 式等，就近表示所需向量． 2．首尾相接的若干个向量的和，等于由起始向量的起点 指向末尾向量的终点的向量，求若干个向量的和，可以通过 平移将其转化为首尾相接的向量求和问题解决．
图7－6－1
【尝试解答】
(1)∵P 是 C1D1 的中点，
高考数学一轮复习第7章立体几何第6讲空间向量及其运算课件理北师大版
(3)向量 的数量积的性质
①a·e＝|a|cos〈a，e〉(其中 e 为单位向量)； ② a⊥ b⇔ ___a_·_b_＝_0_____； ③ |a|2＝ a·a＝ a2； ④ |a·b|___≤ _____|a||b|.
(4)向量 的数量积满足如下运算律
① (λa)·b＝ λ(a·b)； ② a·b＝ b·a(交换律 )； ③ a·(b＋ c)＝ ___a·_b_＋_a_·c_______(分配律 )．
3．空间向量的坐标运算
(1)设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．
a＋ b＝ (a1 ＋ b1， a2＋ b2， a3＋ b3)，
a－ b＝ (a1 － b1， a2－ b2， a3－ b3)， λ a＝(λa1，λ a2，λ a3)，a·b＝__a1_b_1＋__a_2b_2＋__a_3b_3____，
＝a－b，那么可以与 m，n 构成空间另一个基底的向量是
( C)
A．a
B．b
C．c
D．2a
解析：因为 a＋b，a－b 分别与 a，b，2a 共面，
所以它们分别与 a＋b，a－b 均不能构成一组基底．
3．(选修 2-1 P35 例 3 改编)在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中，M 为 A1C1 与 B1D1 的交点．若A→B＝a，A→D＝b，A→A1＝c， 则下列向量中与B→M相等的向量是( A )
A．－12a＋12b＋c B.12a＋12b＋c C．－12a－12b＋c D.12a－12b＋c
解析：由题意，根据向量运算的几何运算法则，B→M＝B→B1＋ B→1M＝A→A1＋12(A→D－A→B)
＝c＋1(b－a)＝－1a＋1b＋c.
2
22
高考数学一轮总复习第七章立体几何第六节空间向量及其运算课件理
第十四页，共19页。
又∵|A→N|＝|M→C|＝ 23a， ∴A→N·M→C＝|A→N||M→C|cos θ ＝ 23a· 23a·cos θ＝a22. ∴cos θ＝23. ∴向量A→N与M→C的夹角的余弦值为23，从而异面直线 AN 与 CM 所成角的余弦值为32.
第十五页，共19页。
1．利用数量积解决问题的两条途径：一是根据数量积的定义， 利用模与夹角直接计算；二是利用坐标运算．
第十三页，共19页。
(2)解：设向量A→N与M→C的夹角为 θ. ∵A→N＝21(A→C＋A→D)＝12(q＋r)， M→C＝A→C－A→M＝q－21p， ∴A→N·M→C＝12(q＋r)·(q－12p) ＝12(q2－12q·p＋r·q－12r·p) ＝12(a2－12a2cos 60°＋a2cos 60°－12a2cos 60°) ＝12(a2－a42＋a22－a42)＝a22.
2．证明点共面问题可转化为证明向量共面问题，如要证明 P， A，B，C 四点共面，只要能证明P→A＝xP→B＋yP→C，或对空间任一点 O，有O→A＝O→P＋xP→B＋yP→C，或O→P＝xO→A＋yO→B＋zO→C(x＋y＋z＝ 1)．
第十页，共19页。
已知 A，B，C 三点不共线，对平面 ABC 外的任一点 O，若点 M 满足O→M＝13(O→A＋O→B＋O→C)．
第十七页，共19页。
解：记A→B＝a，A→D＝b，A→A1＝c， 则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°， ∴a·b＝b·c＝c·a＝12. (1)|A→C1|2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝1＋1＋1 ＋2×12＋12＋12＝6， ∴|A→C1|＝ 6.
第七章 立体几何 (lìtǐjǐhé)
又∵|A→N|＝|M→C|＝ 23a， ∴A→N·M→C＝|A→N||M→C|cos θ ＝ 23a· 23a·cos θ＝a22. ∴cos θ＝23. ∴向量A→N与M→C的夹角的余弦值为23，从而异面直线 AN 与 CM 所成角的余弦值为32.
第十五页，共19页。
1．利用数量积解决问题的两条途径：一是根据数量积的定义， 利用模与夹角直接计算；二是利用坐标运算．
第十三页，共19页。
(2)解：设向量A→N与M→C的夹角为 θ. ∵A→N＝21(A→C＋A→D)＝12(q＋r)， M→C＝A→C－A→M＝q－21p， ∴A→N·M→C＝12(q＋r)·(q－12p) ＝12(q2－12q·p＋r·q－12r·p) ＝12(a2－12a2cos 60°＋a2cos 60°－12a2cos 60°) ＝12(a2－a42＋a22－a42)＝a22.
2．证明点共面问题可转化为证明向量共面问题，如要证明 P， A，B，C 四点共面，只要能证明P→A＝xP→B＋yP→C，或对空间任一点 O，有O→A＝O→P＋xP→B＋yP→C，或O→P＝xO→A＋yO→B＋zO→C(x＋y＋z＝ 1)．
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已知 A，B，C 三点不共线，对平面 ABC 外的任一点 O，若点 M 满足O→M＝13(O→A＋O→B＋O→C)．
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解：记A→B＝a，A→D＝b，A→A1＝c， 则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°， ∴a·b＝b·c＝c·a＝12. (1)|A→C1|2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝1＋1＋1 ＋2×12＋12＋12＝6， ∴|A→C1|＝ 6.
第七章 立体几何 (lìtǐjǐhé)
高考数学一轮复习 第7章 立体几何 第6节 空间向量及其运算课件 理 北师大版
2.空间向量的有关定理 (1)共线向量定理：空间两个向量 a，b(b≠0)，共线的充要条件是存在实数 λ， 使得a＝λb . (2)空间向量基本定理：如果向量 e1，e2，e3 是空间三个不共面的向量．a 是 空间任一向量，那么存在唯一一组实数 λ1，λ2，λ3，使得 a＝λ1e1＋λ2e2＋λ3e3， 其中 e1，e2，e3 叫作这个空间的一个基底．
(1)A→P； (2)M→P＋N→C1.
图 7-6-2
[解] (1)因为 P 是 C1D1 的中点， 所以A→P＝A→A1＋A→1D1＋D→1P＝a＋A→D＋12D→1C1 ＝a＋c＋21A→B＝a＋c＋12b.
(2)因为 M 是 AA1 的中点， 所以M→P＝M→A＋A→P＝12A→1A＋A→P ＝－12a＋a＋c＋21b＝12a＋21b＋c. 因为 N 是 BC 的中点，
(对应学生用书第 120 页)
[基础知识填充]
1．空间向量的有关概念
名称
定义
空间向量 在空间中，具有大小和方向的量
数学中所讨论的向量与向量的起点无关，我们称之为自由向 自由向量
量
方向向量 A、B 是空间直线 l 上任意两点，则称A→B为直线 l 的方向向量
法向量
如果直线 l 垂直于平面 α，那么把直线 l 的方向向量 n 叫作平 面 α 的法向量
第 章 立体几何 第六节 空间向量及其运算
[考纲传真]1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空 间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.3.掌 握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂 直．
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(新课标)高考数学大一轮复习第七章立体几何第6节空间向量及其运算课件理
【小结归纳】 1．利用向量证明点共线或点共面时常用的方法是直接利用 定理．向量方法为几何问题的解决提供了一种新的思路．
2．向量的平行与直线的平行是不同的：直线平行是不 允许重合的，而向量平行，它们所在的直线可以平行也可以 重合.
第三十三页，共44页。
如图所示，已知 ABCD 是平行四边形，P 点是平面 ABCD 外一点，连接 PA、PB、PC、PD. 设点 E、F、G、H 分别为△PAB、 △PBC、△PCD、△PDA 的重心．
(1)试用向量方法证明 E、F、 G、H 四点共面．
(2)试判断平面 EFGH 与平面 ABCD 的位置关系，并用向量方法证明你的判断．
第三十四页，共44页。
解：(1)证明：分别连接 PE、PF、 PG、PH 交对边于 M、N、Q、R 点．
因为 E、F、G、H 分别是所在三 角形的重心．
所以 M、N、Q、R 为所在边的中 点，顺次连接 M、N、Q、R 得到的四边形为平行四边形， 且有：
答案：－5
第十九页，共44页。
5．已知平行六面体 ABCD－A1B1C1D1 中，以顶点 A 为 端点的三条棱长都等于 1，且两两夹角都是 60°，则对角线 AC1 的长是________．
答案： 6
第二十页，共44页。
热点命题·突破 02
课堂升华 强技提能
第二十一页，共44页。
空间向量的线性运算
第十四页，共44页。
模
|a|
____________________
夹角 〈a，b〉(a≠0，b≠0)
cos〈a，b〉= a1b1＋a2b2＋a3b3 a21＋a22＋a32· b12＋b22＋b23
第十五页，共44页。
答案 2．a1b1＋a2b2＋a3b3 a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3 a1b1 ＋a2b2＋a3b3＝0 a12＋a22＋a23
(新课标)高考数学一轮复习-第七章 立体几何 第6讲 空间向量及其运算(理)课件
向量表示
坐标表示
数量积
a·b
共线 a＝λb(b≠0)
a·b＝0 垂直
(a≠0，b≠0)
a1b1＋a2b2＋a3b3 a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
模 夹角
|a|
a12＋a22＋a23
〈a，b〉 (a≠0，b≠0) co〈s a，b〉＝
a1b1＋a2b2＋a3b3 a21＋a22＋a23· b21＋b22＋b23
空间向量的数量积
已知空间三点 A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)， 设 a＝A→B，b＝A→C. 导学号 25401756
(1)求|c|＝3，且 c∥B→C，求 c； (2)求 a 和 b 的夹角的余弦值； (3)若 ka＋b 与 ka－2b 互相垂直，求 k 的值； (4)若 λ(a＋b)＋μ(a－b)与 z 轴垂直，求 λ，μ 应满足的关系．
②－a＋b＋12c
③32a＋12b＋32c
[规律总结] (1)用基向量表示指定向量的方法 用已知基向量表示指定向量时，应结合已知和所求观察图 形，将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中，然 后利用三角形法则或平行四边形法则，把所求向量用已知基向 量表示出来． (2)向量加法的多边形法则 首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末 尾向量的终点的向量，我们把这个法则称为向量加法的多边形 法则． 提醒：空间向量的坐标运算类似于平面向量中的坐标运 算．
空间向量的共线、共面问题
已知 E，F，G，H 分别是空间四边形 ABCD 的 边 AB ， BC ， CD ， DA 的 中 点. 导学号 25401753
(1)求证：E，F，G，H 四点共面； (2)求证：BD∥平面 EFGH； (3)设 M 是 EG 和 FH 的交点． 求证：对空间任一点 O，有O→M＝14(O→A ＋O→B＋O→C＋O→D)．
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则A→1M＝－1，12，－1，
D→N＝0，1，12，
所以
cos〈A→1M，D→N〉＝
→→ A1M·DN →→
＝0，
|A1M||DN|
所以A→1M⊥D→N，故异面直线 A1M 与 DN 所成角的大小为 90°.
[基础训练]
1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)空间中任意两非零向量 a，b 共面．( ) (2)若 A，B，C，D 是空间任意四点，则有A→B＋B→C＋C→D＋D→A＝ 0.( ) (3)对空间任意一点 O 与不共线的三点 A，B，C，若O→P＝xO→A＋ yO→B＋zO→C(其中 x，y，z∈R)，则 P，A，B，C 四点共面．( ) (4)已知 a＝(1,2，－2)，b＝(0,2,4)，则 a，b 夹角的余弦值为－ 25 25 .( )
－1.因为 0°≤〈a，b〉≤180°，所以〈a，b〉＝180°.故选 B．
4．已知a＝(cos θ，1，sin θ)，b＝(sin θ，1，cos θ)，则向量a＋ b与a－b的夹角是________．
答案：90° 解析：∵(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2 ＝(cos2θ＋1＋sin2θ)－(sin2θ＋1＋cos2θ)＝0， ∴(a＋b)⊥(a－b)，即向量a＋b与a－b的夹角为90°.
第七章 第六节 空间向立量体及几其运何算
[考情展望] 1.考查空间向量基本定理及其意义.2.考查空间向量 的数量积及坐标运算.3.利用向量的数量积判断向量的平行与垂直关 系．
固本源 练基础 理清教材
[基础梳理]
1．空间直角坐标系及有关概念 (1)空间直角坐标系：
名称
空间直角坐标系
坐标原点 坐标轴 坐标平面
4．空间向量的数量积及运算律
∠AOB 〈a，b〉 [0，π] |a||b|cos〈a，b〉 (1)(λb)·a λ(a·b) (2)b·a (3)a·b＋a·c
5．空间向量的坐标运算 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，(a，b均为非零向量)
a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 a1b1＋a2b2＋a3b3
也是空间的一个基底．
其中正确的命题是( )
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③
解析：对于①，如果向量a，b与任何向量不能构成空间向量的 一个基底，那么a，b的关系一定是共线，所以①错误．②③正确．
3．(2014·广东)已知向量a＝(1,0，－1)，则下列向量中与a成
60°夹角的是( )
A．(－1,1,0)
5 ． 如 图 ， 在 正 方 体 ABCD － A1B1C1D1 中 ， M，N分别是CD，CC1的中点，则异面直线A1M 与DN所成角的大小是________．
答案：90°
解析：建立空间直角坐标系，如图，设正方体的棱长为 1，则
D(0,0,0)，A1(1,0,1)，M0，12，0，N0，1，12，
B．(1，－1,0)
C．(0，－1,1)
D．(－1,0,1)
解析：各选项给出的向量的模都是 2，|a|＝ 2.对于选项 A，设
b＝(－1,1,0)，
则 cos〈a，b〉＝|aa|·|bb|＝1×2×－12＝－12.
因为 0°≤〈a，b〉≤180°，所以〈a，b〉＝120°.
对于选项 B，设 b＝(1，－1,0)，则
M(x ， y ， z) ， 其 中 x 叫 做 点 M 的 ____________ ， y 叫 做 点 M 的
________，z叫做点M的________．
2．空间两点间的距离 (1)设点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则|A→B|＝______________. 特别地，点P(x，y，z)与坐标原点O的距离为|O→P|＝__________.
答案：1.(1)√ (2)√ (3)× (4)×
2．有以下命题：
①如果向量 a，b 与任何向量不能构成空间向量的一个基底，那
么 a，b 的关系是不共线；
②O，A，B，C 为空间四点，且向量O→A，O→B，O→C不能构成空间
的一个基底，那么点 O，A，B，C 一定共面；
③已知向量 a，b，c 是空间的一个基底，则向量 a＋b，a－b，c
内容 以空间一点O为原点，具有相同的单位长度，给 定正方向，建立三条两两垂直的数轴：x轴、y 轴、z轴，这时建立了一个空间直角坐标系_____
点O
__________________________ 通过每两个坐标轴的平面
O－xyz x轴、y轴、z轴
(2)空间中点M的坐标：
空 间 中 点 M 的 坐 标 常 用 有 序 实 数 组 (x ， y ， z) 来 表 示 ， 记 作
(2)设点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)是空间中两点，则线段AB
的中点坐标为________．
(2)横坐标 纵坐标 竖坐标
2．(1) x1－x22＋y1－y22＋z1－z22 (2)x1＋2 x2，y1＋2 y2，z1＋2 z2
x2＋y2＋z2
3．空间向量的有关定理 (1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充 要条件是存在实数λ，使得________． (2)共面向量定理：如果两个向量a，b________，那么向量p与 向量a，b共面的充要条件是存在________的有序实数对(x，y)，使 ________． (3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c____________， 那 么 对 空 间 任 一 向 量 p ， 存 在 有 序 实 数 组 {x ， y ， z} ， 使 得 __________________．其中，{a，b，c}叫做空间的一个基底． (1)a＝λb (2)不共线 唯一 p＝xa＋yb (3)不共面 p＝xa＋yb＋zc
cos〈a，b〉＝|aa|·|bb|＝
1×1 2×
2＝12.
因为 0°≤〈a，b〉≤180°，所以〈a，b〉＝60°，正确．
对于选项
C，设
b＝(0，－1,1)，则
cos〈a，b〉＝|aa|·|bb|＝
－1×1 2× 2
＝－12.因为 0°≤〈a，b〉≤180°，所以〈a，b〉＝120°.
对于选项 D，设 b＝(－1,0,1)，则 cos〈a，b〉＝|aa|·|bb|＝ －2×1－12＝