空间向量及其运算PPT课件
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46空间向量及其运算ppt
1→ 1 → D1C1＝a＋c＋ AB＝a＋c＋ b. 2 2 1→ → → → → (2)∵N 是 BC 的中点，∴A1N＝A1A＋AB＋BN＝－a＋b＋ BC 2 1→ 1 ＝－a＋b＋ AD＝－a＋b＋ c. 2 2
→ → → 1→ → (3)∵M 是 AA1 的中点，∴MP＝MA＋AP＝ A1A＋AP 2 1 1 1 1 ＝－ a＋a＋c＋2b＝ a＋ b＋c， 2 2 2 → → → 1→ → 又NC1＝NC＋CC1＝ BC＋AA1 2 1→ → 1 ＝ AD＋AA1＝ c＋a， 2 2 1 → → 1 1 ∴MP＋NC1＝2a＋2b＋c＋a＋2c 3 1 3 ＝ a＋ b＋ c. 2 2 2
平行向量 (共线向量)
方向相同或相反的非零向量
0 与任一向量共线.
常用 e 表示 记作 a b 记作 a b 记作 a ∥b
要点梳理
1. 空间向量的有关概念及表示法
平面向量 概念 加法 减法 数乘 运算
具有大小和方向的量 加法:三角形法则或 平行四边形法则
ab
a
空间向量
具有大小和方向的量
b
b ab
a
a
ka ( k 0)
ka ( k 0)
减法:三角形法则 数乘:ka, k为正数,负数,零
b
a b
运 算 律
加法交换律 a b b a 加法交换律 a b b a 加法结合律 加法结合律 ( a b ) c a (b c ) (a b ) c a (b c )
若A(, y1 ), B( x2 , y2 ) x1 则 AB ( x2 x1 , y2 y1 ); | AB | ( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 , C ( x , y )是AB的中点,则 x1 x2 x 2 y y1 y2 2
→ → → 1→ → (3)∵M 是 AA1 的中点，∴MP＝MA＋AP＝ A1A＋AP 2 1 1 1 1 ＝－ a＋a＋c＋2b＝ a＋ b＋c， 2 2 2 → → → 1→ → 又NC1＝NC＋CC1＝ BC＋AA1 2 1→ → 1 ＝ AD＋AA1＝ c＋a， 2 2 1 → → 1 1 ∴MP＋NC1＝2a＋2b＋c＋a＋2c 3 1 3 ＝ a＋ b＋ c. 2 2 2
平行向量 (共线向量)
方向相同或相反的非零向量
0 与任一向量共线.
常用 e 表示 记作 a b 记作 a b 记作 a ∥b
要点梳理
1. 空间向量的有关概念及表示法
平面向量 概念 加法 减法 数乘 运算
具有大小和方向的量 加法:三角形法则或 平行四边形法则
ab
a
空间向量
具有大小和方向的量
b
b ab
a
a
ka ( k 0)
ka ( k 0)
减法:三角形法则 数乘:ka, k为正数,负数,零
b
a b
运 算 律
加法交换律 a b b a 加法交换律 a b b a 加法结合律 加法结合律 ( a b ) c a (b c ) (a b ) c a (b c )
若A(, y1 ), B( x2 , y2 ) x1 则 AB ( x2 x1 , y2 y1 ); | AB | ( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 , C ( x , y )是AB的中点,则 x1 x2 x 2 y y1 y2 2
空间向量及其运算课件 课件
| AB | (x2 x1)2 ( y2 y1)2 , C(x, y)是AB的中点，则
x
y
x1 y1
2
x2 y2
2
空间向量
空间向量的坐标运算：
a (x1, y1, z1),b (x2 , y2 , z2 )
a b (x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 );
a (x1, y1, z1), R;
空间向量
空间向量的夹角：
a (x1, y1, z1),b (x2 , y2 , z2 ) cos a,b a • b
| a || b |
x1x2 y1 y2 z1z2
x12 y12 z12 x22 y22 z22
垂直与平行：
a (x1, y1, z1),b (x2 , y2 , z2 ) a // b x1 y1 z1 (?)
(4)已知不共线的三点A、B、C，对平面 ABC外的任意一点O，若 OG 1 (OA OB OC) 则G是三角形ABC的重心 3
以上命题中，正确的是__________
已知三棱锥O—ABC中，G为△ABC的重心，OA=a，OB=b， OC=c，试用a , b , c 来表示OG.
(1)若AD是△ABC的中线，则有
平面的向量参数方程：
A, B,C是不共线的三点，P 平面ABC
存在唯一的实数对x, y，使 AP x
AB yAC
存在唯一的实数对x, y,使
OP (1 x y) OA yOC
存在唯一的实数对x, y, z
(x y z 1),使 OP x OA
yOB zOC
空间向量及其运算
• 空间向量的概念、表示、相等关系。 • 空间向量的加法、减法、数乘向量 • 加法交换律 • 加法结合律 • 数乘分配律
x
y
x1 y1
2
x2 y2
2
空间向量
空间向量的坐标运算：
a (x1, y1, z1),b (x2 , y2 , z2 )
a b (x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 );
a (x1, y1, z1), R;
空间向量
空间向量的夹角：
a (x1, y1, z1),b (x2 , y2 , z2 ) cos a,b a • b
| a || b |
x1x2 y1 y2 z1z2
x12 y12 z12 x22 y22 z22
垂直与平行：
a (x1, y1, z1),b (x2 , y2 , z2 ) a // b x1 y1 z1 (?)
(4)已知不共线的三点A、B、C，对平面 ABC外的任意一点O，若 OG 1 (OA OB OC) 则G是三角形ABC的重心 3
以上命题中，正确的是__________
已知三棱锥O—ABC中，G为△ABC的重心，OA=a，OB=b， OC=c，试用a , b , c 来表示OG.
(1)若AD是△ABC的中线，则有
平面的向量参数方程：
A, B,C是不共线的三点，P 平面ABC
存在唯一的实数对x, y，使 AP x
AB yAC
存在唯一的实数对x, y,使
OP (1 x y) OA yOC
存在唯一的实数对x, y, z
(x y z 1),使 OP x OA
yOB zOC
空间向量及其运算
• 空间向量的概念、表示、相等关系。 • 空间向量的加法、减法、数乘向量 • 加法交换律 • 加法结合律 • 数乘分配律
《空间向量及其运算》课件
向量的模的运算律
模的加法运算律
$|overset{longrightarrow}{a} + overset{longrightarrow}{b}| = |overset{longrightarrow}{a}| + |overset{longrightarrow}{b}|$ 当且仅当 $overset{longrightarrow}{a}$ 与 $overset{longrightarrow}{b}$ 同向。
模的数乘运算律
$|lambdaoverset{longrightarrow}{a}| = |lambda||overset{longrightarrow}{a}|$，其 中 $lambda$ 是标量。
特殊向量的模的性质
零向量的模
$|overset{longrightarrow}{0}| = 0$。
向量的加法结合律
向量加法满足结合律，即对于任意三个向量 $overset{longrightarrow}{a}$、 $overset{longrightarrow}{b}$和 $overset{longrightarrow}{c}$，有 $(overset{longrightarrow}{a} + overset{longrightarrow}{b}) + overset{longrightarrow}{c} = overset{longrightarrow}{a} + (overset{longrightarrow}{b} + overset{longrightarrow}{c})$。
模的等式
当且仅当 $overset{longrightarrow}{a}$与 $overset{longrightarrow}{b}$同向 或反向时，有 $|overset{longrightarrow}{a}| = |overset{longrightarrow}{b}|$。
人教版空间向量及其运算PPT教学课件
2、种类及其作用
（1）油脂. 只有C、H、O构成（种子,果实,动物体的 脂肪细胞）基本结构单元是甘油和脂肪酸
储能多
生物体内主要的储存能量的物质
作用
减少热量散失 减少内脏器官的摩擦
体积小
缓冲外界压力
1g油脂的热价为38.71kj，1g糖氧化分解的能量为17.15
（2）类脂.
C H O P 在动物的脑、卵、神经组织 磷脂 和大豆的种子中，磷脂含量较多
（1）假设一个多肽化合物，由10个氨基酸构成一 条肽链，那么该多肽的分子量约为 1118 。
（2）假设一个多肽化合物，由10个氨基酸构成两 条肽链，那么该多肽的分子量约为 1136 。 （3）假设一个多肽化合物，由n个氨基酸构成m条肽 链，那么该多肽的分子量约为 128n-18（n-m）。
例题：
7、假如组成多肽的每个氨基酸中，只含有一个氨基 和一个羧基，那么：
常用 a 、b 、c ……等小写字母来表示.
b
1.向量 a 的大小叫做向量的长度或模,记为 a .
2.可用一条有向线段 AB 来表示向量,向量 AB
的模又记为 AB 就是线段 AB 的长度.
B 终点
类似于平面向量,为了研究的 我们规定:
A 起点方便起见,
零向量、单位向量、相等向量、相反向量、平行
向量、共面向量等概念。（你认为应该怎样规定?）
因此凡是只涉及空间任意两个向量的问题，平 面向量中有关结论仍适用于它们。
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向量加法结合律在空间中仍成立吗?
( a + b )+ c = a +( b + c )
O
O
a
a
b +c
A
CA
空间向量及其运算(共22张PPT)
向量场的点乘
两个向量场进行点乘运算，得到一个标量场，其 每个标量是原来两个向量场的对应向量的点乘结 果。
向量场的几何意义
向量场表示了空间中某一点受到的力或速度等物理量的分布情况，可以通 过图形表示出来。
向量场的方向表示了该点受到的力的方向或速度的方向，向量的大小表示 了力的大小或速度的大小。
通过观察图形可以直观地了解向量场的分布情况，从而更好地理解物理现 象和问题。
向量的模
向量的模定义为从起点到终点距离的 长度，记作|a|。
向量的模具有以下性质：|a + b| ≤ |a| + |b|，|a - b| ≤ |a| + |b|，|λa| = |λ||a| （λ为实数）。
向量的加法
向量的加法定义为同起点同终点的向量相加，即a + b = b + a（交换律），(λ + μ)a = λa + μa（结合律）。
向量场具有方向性和大小，表 示了空间中某一点受到的力或 速度等物理量的分布情况。
向量场的运算律
1 2 3
向量场的加法
将两个向量场叠加，得到一个新的向量场，其每 个向量是原来两个向量场的对应向量的和。
向量场的数乘
将一个标量与一个向量场中的每个向量相乘，得 到一个新的向量场，其每个向量是原来向量场的 对应向量与该标量的乘积。
向量在其他领域的应用
经济学
在经济学中，例如在市场分析和供需关系中，可以使用向量来表示不同因素之间的关系，通过向量的运算来分析 这些因素之间的关系。
生物学
在生物学中，例如在生态学和生物力学中，可以使用向量来描述生物体的运动、方向和力的作用，通过向量的运 算来分析这些力的作用和影响。
THANKS
两个向量场进行点乘运算，得到一个标量场，其 每个标量是原来两个向量场的对应向量的点乘结 果。
向量场的几何意义
向量场表示了空间中某一点受到的力或速度等物理量的分布情况，可以通 过图形表示出来。
向量场的方向表示了该点受到的力的方向或速度的方向，向量的大小表示 了力的大小或速度的大小。
通过观察图形可以直观地了解向量场的分布情况，从而更好地理解物理现 象和问题。
向量的模
向量的模定义为从起点到终点距离的 长度，记作|a|。
向量的模具有以下性质：|a + b| ≤ |a| + |b|，|a - b| ≤ |a| + |b|，|λa| = |λ||a| （λ为实数）。
向量的加法
向量的加法定义为同起点同终点的向量相加，即a + b = b + a（交换律），(λ + μ)a = λa + μa（结合律）。
向量场具有方向性和大小，表 示了空间中某一点受到的力或 速度等物理量的分布情况。
向量场的运算律
1 2 3
向量场的加法
将两个向量场叠加，得到一个新的向量场，其每 个向量是原来两个向量场的对应向量的和。
向量场的数乘
将一个标量与一个向量场中的每个向量相乘，得 到一个新的向量场，其每个向量是原来向量场的 对应向量与该标量的乘积。
向量在其他领域的应用
经济学
在经济学中，例如在市场分析和供需关系中，可以使用向量来表示不同因素之间的关系，通过向量的运算来分析 这些因素之间的关系。
生物学
在生物学中，例如在生态学和生物力学中，可以使用向量来描述生物体的运动、方向和力的作用，通过向量的运 算来分析这些力的作用和影响。
THANKS
空间向量及其线性运算(25张PPT)——高中数学人教A版选择性必修第一册
0 AC
9.空间向量共面的充要条件如果两个向量a,b不共线，那么向量p与向量a,b共面→存在唯一的有序实数对(x,y), 使p=xa+yb
A 、B、P 三点共线< →AP= tA一 OP=OA+tABOP 十(x+J=1)
P与A,B,C共面一 AP=xAB+yAC一 OP=OA+xAB+yAC
λ(@+b)=Aa+Ab
a 十h 十C
三、例题精析[例1]已知平行六面体AC’, 求证：AC+AB'+AD'=2ACD
B'B
A
6.向量共线定理对任意两个空间向量a,b(b≠0),a//b一存在实数入，使a=λb。
7.直线的方向向量O是直线l 上一点，在直线上取非零向量a, 则对于直线上任意一点P, 由数乘向量的定义与向量 共线的充要条件知，存在实数λ,使OP=λa。
(x+J=1) x+y+z=1)
A 、B 、P三点共线
OP=OA+tAB
例 2J 如图，已知平行四边形ABCD,过平面AC外一点 0作射线OA 、OB 、OC 、OD,在四条射线上分别取点E、F、
求证：四点E、F、G、H 共面
G、H, 并 平行的非零向量称为直线/的方向向量，I 上任意一点都可以由直线1上的一点和它 的方向向量表示，即直线可由其上一点和它的方
向向量确定。
8.共面向量如果表示向量a的有向线段OA 所在的直线OA 与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线1,如果 直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α。平行于同一个平面的向量，叫共面向量。
(2)空间向量的数乘运算：当λ>0时，当 A<0 时 ，当λ=0时，A7=0
9.空间向量共面的充要条件如果两个向量a,b不共线，那么向量p与向量a,b共面→存在唯一的有序实数对(x,y), 使p=xa+yb
A 、B、P 三点共线< →AP= tA一 OP=OA+tABOP 十(x+J=1)
P与A,B,C共面一 AP=xAB+yAC一 OP=OA+xAB+yAC
λ(@+b)=Aa+Ab
a 十h 十C
三、例题精析[例1]已知平行六面体AC’, 求证：AC+AB'+AD'=2ACD
B'B
A
6.向量共线定理对任意两个空间向量a,b(b≠0),a//b一存在实数入，使a=λb。
7.直线的方向向量O是直线l 上一点，在直线上取非零向量a, 则对于直线上任意一点P, 由数乘向量的定义与向量 共线的充要条件知，存在实数λ,使OP=λa。
(x+J=1) x+y+z=1)
A 、B 、P三点共线
OP=OA+tAB
例 2J 如图，已知平行四边形ABCD,过平面AC外一点 0作射线OA 、OB 、OC 、OD,在四条射线上分别取点E、F、
求证：四点E、F、G、H 共面
G、H, 并 平行的非零向量称为直线/的方向向量，I 上任意一点都可以由直线1上的一点和它 的方向向量表示，即直线可由其上一点和它的方
向向量确定。
8.共面向量如果表示向量a的有向线段OA 所在的直线OA 与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线1,如果 直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α。平行于同一个平面的向量，叫共面向量。
(2)空间向量的数乘运算：当λ>0时，当 A<0 时 ，当λ=0时，A7=0
8-5空间向量及其运算课件共83张PPT
(1) 解析：∵a＋b＝(10，－5，－2)，a－b＝(－2,1，－6)，
∴(a＋b)·(a－b)＝－13. (2) 解析：cos〈a，b〉＝|aa|·|bb|＝－2155.
核/心/素/养
已知V为矩形ABCD所在平面外一点，且VA＝VB＝VC＝VD，V→P＝13V→C，V→M＝23 V→B，V→N＝23V→D，则VA与平面PMN的位置关系是__平__行____．
A．(2,3,3)
B．(－2，－3，－3)CFra bibliotek(5，－2,1)
D．(－5,2，－1)
4．在三棱锥O－ABC中，M，N分别是OA，BC的中点，G是△ABC的重心，用 基向量O→A，O→B，O→C表示M→G，O→G.
[解] M→G＝M→A＋A→G＝12O→A＋23A→N ＝12O→A＋23(O→N－O→A) ＝12O→A＋2312O→B＋O→C－O→A ＝－16O→A＋13O→B＋13O→C. O→G＝O→M＋M→G ＝12O→A－16O→A＋13O→B＋13O→C ＝13O→A＋13O→B＋13O→C.
知识点二 数量积及坐标运算 1．两个向量的数量积 (1)a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． (2)a⊥b⇔_a_·_b_＝__0__(a，b为非零向量)． (3)|a|2＝__a_2_____，|a|＝ x2＋y2＋z2.
2．空间向量的坐标运算
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 (1)|a|＝ a21＋a22＋a32； (2)a＋b＝_(_a_1＋__b_1_，__a_2＋__b_2_，__a_3_＋__b_3)_； (3)a－b＝_(_a_1－__b_1_，__a_2_－__b_2，__a_3_－__b_3_) ； (4)λa＝_(λ_a_1_，__λ_a_2，__λ_a_3_)____； (5)a·b＝_a_1b_1_＋__a_2_b_2＋__a_3_b_3__；
∴(a＋b)·(a－b)＝－13. (2) 解析：cos〈a，b〉＝|aa|·|bb|＝－2155.
核/心/素/养
已知V为矩形ABCD所在平面外一点，且VA＝VB＝VC＝VD，V→P＝13V→C，V→M＝23 V→B，V→N＝23V→D，则VA与平面PMN的位置关系是__平__行____．
A．(2,3,3)
B．(－2，－3，－3)CFra bibliotek(5，－2,1)
D．(－5,2，－1)
4．在三棱锥O－ABC中，M，N分别是OA，BC的中点，G是△ABC的重心，用 基向量O→A，O→B，O→C表示M→G，O→G.
[解] M→G＝M→A＋A→G＝12O→A＋23A→N ＝12O→A＋23(O→N－O→A) ＝12O→A＋2312O→B＋O→C－O→A ＝－16O→A＋13O→B＋13O→C. O→G＝O→M＋M→G ＝12O→A－16O→A＋13O→B＋13O→C ＝13O→A＋13O→B＋13O→C.
知识点二 数量积及坐标运算 1．两个向量的数量积 (1)a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． (2)a⊥b⇔_a_·_b_＝__0__(a，b为非零向量)． (3)|a|2＝__a_2_____，|a|＝ x2＋y2＋z2.
2．空间向量的坐标运算
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 (1)|a|＝ a21＋a22＋a32； (2)a＋b＝_(_a_1＋__b_1_，__a_2＋__b_2_，__a_3_＋__b_3)_； (3)a－b＝_(_a_1－__b_1_，__a_2_－__b_2，__a_3_－__b_3_) ； (4)λa＝_(λ_a_1_，__λ_a_2，__λ_a_3_)____； (5)a·b＝_a_1b_1_＋__a_2_b_2＋__a_3_b_3__；
空间向量及其线性运算(26张PPT)——高中数学人教A版选择性必修第一册
C D
2.已知空间任一点O 和不共线的三点A,B,C, 下列能得到P,A,B,C四点共面的是(B )A.OP=OA+OB+OC
解 析 ：若点P,A,B,C 共面，设OP=xOA+yOB+zOC,则x+y+z=1, 满足条件的只有B, 故选B.
D. 以上都不对
(2)∵M 是AA的中点，
又N 是BC的中点，
回顾一下本节课学习了哪些新知识呢?1.空间向量的概念2.空间向量的运算律3.共线向量和共面向量
小结：
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
2024课件
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
的充要条件是
如图，0是直线1上一点，在直线1上取非零向量a, 则对于直线1上任意一 点P, 由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ,使得
直线的方向向量
OP=λa. 把与向量a 平行的非零向量称为直线l的方向向量.
共面向量如图，如果表示向量a 的有向线段OA 所在的直线OA 与直线1平行或重合，那么称向量α平行于直线l.如果直线OA 平行于平面α或在平面α内，那么称向量a 平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量.a0 Aa 1aa如果两个向量a,b 不共线，那么向量p 与 向 量a,b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y), 使 P=xa+yb.
证明：设 DA=a,DC=b.则DB=DC+CB=b+a,
10.如图，在平行六面体ABCD-A₁B₁CD₁中，设AA M,N,P 分别是AA,BC,C₁D₁的中点，试用a,b,c
=a,AB=b,AD=c,表示以下向量：
2.已知空间任一点O 和不共线的三点A,B,C, 下列能得到P,A,B,C四点共面的是(B )A.OP=OA+OB+OC
解 析 ：若点P,A,B,C 共面，设OP=xOA+yOB+zOC,则x+y+z=1, 满足条件的只有B, 故选B.
D. 以上都不对
(2)∵M 是AA的中点，
又N 是BC的中点，
回顾一下本节课学习了哪些新知识呢?1.空间向量的概念2.空间向量的运算律3.共线向量和共面向量
小结：
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的充要条件是
如图，0是直线1上一点，在直线1上取非零向量a, 则对于直线1上任意一 点P, 由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ,使得
直线的方向向量
OP=λa. 把与向量a 平行的非零向量称为直线l的方向向量.
共面向量如图，如果表示向量a 的有向线段OA 所在的直线OA 与直线1平行或重合，那么称向量α平行于直线l.如果直线OA 平行于平面α或在平面α内，那么称向量a 平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量.a0 Aa 1aa如果两个向量a,b 不共线，那么向量p 与 向 量a,b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y), 使 P=xa+yb.
证明：设 DA=a,DC=b.则DB=DC+CB=b+a,
10.如图，在平行六面体ABCD-A₁B₁CD₁中，设AA M,N,P 分别是AA,BC,C₁D₁的中点，试用a,b,c
=a,AB=b,AD=c,表示以下向量：