2014年人教A版数学必修二导学案：1.3.2空间几何体的体积(1)
人教版A版高中数学必修2课后习题解答
第一章空间几何体1．1 空间几何体的结构练习（第7 页）1．（1）圆锥；（2）长方体；（3）圆柱与圆锥组合而成的组合体；（4）由一个六棱柱挖去一个圆柱体而得到的组合体。
2．（1）五棱柱；（2）圆锥3．略习题1．1A组1．（1） C；（2）C；（3）D；（4） C2．（1）不是台体，因为几何体的“侧棱”不相交于一点，不是由平等于“底面”的平面截棱锥得到的。
（2）、（3）也不是台体，因为不是由平行与棱锥和圆锥底面平面截得的几何体。
3．（1）由圆锥和圆台组合而成的简单组合体；（2）由四棱柱和四棱锥组合而成简单组合体。
4．两个同心的球面围成的几何体（或在一个球体内部挖去一个同心球得到的简单组合体）。
5．制作过程略。
制作过程说明平面图形可以折叠成立体图形，立体图形可以展开为平面图形。
B组1．剩下的几何体是棱柱，截去的几何体也是棱柱；它们分别是五棱柱和三棱柱。
2．左侧几何体的主要结构特征：圆柱和棱柱组成的简单组何体；中间几何体的主要结构特征：下部和上部都是一个圆柱截去一个圆柱组成的简单组何体；右侧几何体的主要结构特征：下部是一个圆柱体，上部是一个圆柱截去一个圆柱组成的简单组何体。
1．2 空间几何体的三视图和直观图练习（第15 页）1．略2．（1）四棱柱（图略）；（2）圆锥与半球组成的简单组合体（图略）；（3）四棱柱与球组成的简单组合体（图略）；（4）两台圆台组合而成的简单组合体（图略）。
3．（1）五棱柱（三视图略）；（2）四个圆柱组成的简单组合体（三视图略）；4．三棱柱练习（第19 页）1．略。
2．（1）√（2）×（3）×（4）√3．A4．略5．略习题1．2A组1．略2．（1）三棱柱（2）圆台（3）四棱柱（4）四棱柱与圆柱组合而成的简单组合体3~5．略B组1~2．略3．此题答案不唯一，一种答案是由15个小正方体组合而成的简单组合体，如图。
1．3 空间几何体的表面积与体积。
高中数学人教A版必修2《1.3.2球的体积和表面积》教学案1
必修二《1.3.2球的体积和表面积》教学案一、教材分析本节教材直接给出了球的表面积和体积公式，并用两个例题来说明其应用.值得注意的是教学的重点放在球与其他几何体的组合体的有关计算上，这是高考的重点.二、教学目标1．知识与技能(1)了解几何体体积的含义，以及柱体、锥体与台体的体积公式.(不要求记忆公式)(2)熟悉台体与柱体和锥体之间体积的转换关系.(3)培养学生空间想象能力和思维能力.2．过程与方法(1)让学生通过对照比较，理顺柱体、锥体、台体之间的体积关系.(2)通过相关几何体的联系，寻找已知条件的相互转化，解决一些特殊几何体体积的计算.3．情感、态度与价值观通过柱体、锥体、台体体积公式之间的关系培养学生探索意识.三、重点难点教学重点：球的表面积和体积公式的应用.教学难点：关于球的组合体的计算.四、课时安排约1课时五、教学设计(一)导入新课思路1.位于香港栈桥回澜阁西部、西陵峡路东端海滨，有一座新异奇秀的半球形建筑.由香港好世界饮食服务(中国)有限公司等三方合资兴建，1996年9月正式开业，既是岛城饮食服务业的“特一级”店，又是新增加的一处景点.酒店的总建筑面积11380平方米，现酒店管理层决定在半球形屋顶嵌上一层特殊化学材料以更好地保护酒店，那么，需要多少面积的这种化学材料呢？思路2.球既没有底面，也无法像柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，那么怎样来求球的表面积与体积呢？球的大小与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？教师引出课题：球的体积和表面积.(二)推进新课、新知探究球的半径为R ，它的体积和表面积只与半径R 有关，是以R 为自变量的函数.事实上，如果球的半径为R ，那么S =4πR 2，V =334R π.注意：球的体积和表面积公式的证明以后证明.(三)应用示例思路1例1 如图1所示，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，求证：图1(1)球的体积等于圆柱体积的32； (2)球的表面积等于圆柱的侧面积.活动：学生思考圆柱和球的结构特征，并展开空间想象.教师可以使用信息技术帮助学生读懂图形.证明：(1)设球的半径为R ，则圆柱的底面半径为R ，高为2R .[来源:学+科+网] 则有V 球=334R π，V 圆柱=πR 2·2R =2πR 3，所以V 球=圆柱V 32. (2)因为S 球=4πR 2，S 圆柱侧=2πR ·2R =4πR 2，所以S 球=S 圆柱侧.点评：本题主要考查有关球的组合体的表面积和体积的计算.解决此类问题的关键是明确组合体的结构特征.变式训练1.如图2(1)所示，表面积为324π的球，其内接正四棱柱的高是14，求这个正四棱柱的表面积.图2解：设球的半径为R ，正四棱柱底面边长为a ，则轴截面如图2(2)，所以AA ′=14，AC =a 2，又∵4πR 2=324π，∴R =9.∴AC =28''22=-CC AC .∴a =8.∴S 表=64×2+32×14=576，即这个正四棱柱的表面积为576.2有一种空心钢球，质量为142 g ，测得外径(直径)等于5 cm ，求它的内径(钢的密度为7.9 g /cm 3，精确到0.1 cm ).解：设空心球内径(直径)为2x cm ，则钢球质量为 7.9·［3334)25(34x ππ-•］=142， ∴x 3=14.349.73142)25(3⨯⨯⨯-≈11.3，∴x ≈2.24，∴直径2x ≈4.5.答：空心钢球的内径约为4.5 cm .例2 如图3所示，表示一个用鲜花做成的花柱，它的下面是一个直径为1 m 、高为3 m 的圆柱形物体，上面是一个半球形体.如果每平方米大约需要鲜花150朵，那么装饰这个花柱大约需要多少朵鲜花(π取3.1)？图3活动：学生思考和讨论如何计算鲜花的朵数.鲜花的朵数等于此几何体的表面积(不含下底面)与每朵鲜花占用的面积.几何体的表面积等于圆柱的侧面积再加上半球的表面积.解：圆柱形物体的侧面面积S 1≈3.1×1×3=9.3(m 2)， 半球形物体的表面积为S 2≈2×3.1×(21)2≈1.6(m 2)， 所以S 1+S 2≈9.3+1.6=10.9(m 2). 10.9×150≈1 635(朵).答：装饰这个花柱大约需要1 635朵鲜花.点评：本题主要考查球和圆柱的组合体的应用，以及解决实际问题的能力. 变式训练有一个轴截面为正三角形的圆锥容器，内放一个半径为R 的内切球，然后将容器注满水，现把球从容器中取出，水不损耗，且取出球后水面与圆锥底面平行形成一圆台体，问容器中水的高度为多少？分析：转化为求水的体积.画出轴截面，充分利用轴截面中的直角三角形来解决. 解：作出圆锥和球的轴截面图如图4所示，图4圆锥底面半径r =R R330tan =︒，圆锥母线l =2r =R 32，圆锥高为h =r 3=3R ， ∴V 水=334332πππ=-R h r ·3R 2·3R 333534R R ππ=-， 球取出后，水形成一个圆台，下底面半径r =R 3，设上底面半径为r ′， 则高h ′=(r -r ′)tan 60°=)'3(3r R -， ∴'3353h R ππ=(r 2+r ′2+rr ′)，∴5R 3=)3'3')('3(322R Rr r r R ++-， ∴5R 3=)'33(333r R -， 解得r ′=6331634R R =， ∴h ′=(3123-)R .答：容器中水的高度为(3123-)R .思路2例1 (2006广东高考，12)若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为____________.活动：学生思考长方体和球的结构特征.教师可以借助于信息技术画出图形. 分析：画出球的轴截面可得，球的直径是正方体的对角线，所以球的半径R =233，则该球的表面积为S =4πR 2=27π.答案：27π点评：本题主要考查简单的组合体和球的表面积.球的表面积和体积都是半径R 的函数.对于和球有关的问题，通常可以在轴截面中建立关系.画出轴截面是正确解题的关键.变式训练1.(2006全国高考卷Ⅰ，理7)已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是( )A .16πB .20πC .24πD .32π 分析：由V =Sh ，得S =4，得正四棱柱底面边长为2.画出球的轴截面可得，该正四棱柱的对角线即为球的直径，所以，球的半径为R =642221222=++，所以球的表面积为S =4πR 2=24π.答案：C2.(2005湖南数学竞赛，13)一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a ，则这个球的体积为_____________.分析：把正四面体补成正方体的内接正四面体，此时正方体的棱长为a 22，于是球的半径为a 42，V =3242a π. 答案：3242a π3.(2007天津高考，理12)一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为___________.分析：长方体的对角线为14321222=++，则球的半径为214，则球的表面积为4π(214)2=14π. 答案：14π例2 图5是一个底面直径为20 cm 的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6 cm ，高为20 cm 的一个圆锥形铅锤，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降几厘米？图5活动：学生思考杯里的水将下降的原因，通过交流和讨论得出解题思路.因为玻璃杯是圆柱形的，所以铅锤取出后，水面下降部分实际是一个小圆柱，这个圆柱的底面与玻璃杯的底面一样，是一直径为20 cm 的圆，它的体积正好等于圆锥形铅锤的体积，这个小圆柱的高就是水面下降的高度.解：因为圆锥形铅锤的体积为2)26(31⨯⨯π×20=60π(cm 3)， 设水面下降的高度为x ，则小圆柱的体积为x 2)220(π=100πx ( cm 3). 所以有60π=100πx ，解此方程得x =0.6( cm ). 答：杯里的水下降了0.6 cm .点评：本题主要考查几何体的体积问题，以及应用体积解决实际问题的能力.明确几何体的形状及相应的体积公式是解决这类问题的关键.解实际应用题的关键是建立数学模型.本题的数学模型是下降的水的体积等于取出的圆锥形铅锤的体积.明确其体积公式中的相关量是列出方程的关键.变式训练1.一个空心钢球，外直径为12 cm ，壁厚0.2 cm ，问它在水中能浮起来吗？(钢的密度为7.9 g /cm 3)和它一样尺寸的空心铅球呢？(铅的密度为11.4 g /cm 3)分析：本题的关键在于如何判断球浮起和沉没，因此很自然要先算出空心钢球的体积，而空心钢球的体积相当于是里、外球的体积之差，根据球的体积公式很容易得到空心钢球的体积，从而算出空心钢球的质量，然后把它与水的质量相比较即可得出结论，同理可以判断铅球会沉没.解：空心钢球的体积为V 钢=348.53463433πππ=⨯-⨯×20.888≈87.45(cm 3)， ∴钢的质量为m 钢=87.45×7.9=690.86(g ). ∵水的体积为V 水=34π×63=904.32(cm 3)， ∴水的质量为m 水=904.32×1=904.32(g )＞m 钢.∴钢球能浮起来，而铅球的质量为m 铅=87.45×11.4=996.93(g )＞m 水. ∴同样大小的铅球会沉没.答：钢球能浮起来，同样大小的铅球会沉没.2.(2006全国高中数学联赛试题第一试，10)底面半径为1 cm 的圆柱形容器里放有四个半径为21cm 的实心铁球，四个球两两相切，其中底层两球与容器底面相切.现往容器里注水使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水___________cm 3.分析：设四个实心铁球的球心为O 1、O 2、O 3、O 4，其中O 1、O 2为下层两球的球心，A 、B 、C 、D 分别为四个球心在底面的射影，则ABCD 是一个边长为22cm 的正方形，所以注水高为(1+22) cm .故应注水π(1+22)-4×)2231()21(343+=ππ cm 3. 答案：(31+22)π(四)知能训练1.三个球的半径之比为1∶2∶3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的( )A .1倍B .2倍C .59倍 D .47倍 分析：根据球的表面积等于其大圆面积的4倍，可设最小的一个半径为r ，则另两个为2r 、3r ，所以各球的表面积分别为4πr 2、16πr 2、36πr 2，5916436222=+rr r πππ(倍). 答案：C2.(2006安徽高考，理9)表面积为32的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为( )A .32π B .3π C .32π D .322π分析：此正八面体是每个面的边长均为a 的正三角形，所以由8×32432=a 知，a =1，则此球的直径为2.答案：A3.(2007北京西城抽样，文11)若与球心距离为4的平面截球所得的截面圆的面积是9π，则球的表面积是____________.分析：画出球的轴截面，则球心与截面圆心的连线、截面的半径、球的半径构成直角三角形，又由题意得截面圆的半径是3，则球的半径为2234+=5，所以球的表面积是4π×52=100π.答案：100π4.某街心花园有许多钢球(钢的密度是7.9 g /cm 3)，每个钢球重145 kg ，并且外径等于50 cm ，试根据以上数据，判断钢球是实心的还是空心的.如果是空心的，请你计算出它的内径(π取3.14，结果精确到1 cm ).解：由于外径为50 cm 的钢球的质量为7.9×3)250(34⨯π≈516 792(g )， 街心花园中钢球的质量为145 000 g ，而145 000＜516 792， 所以钢球是空心的.设球的内径是2x cm ，那么球的质量为7.9·［3334)250(34x ππ-•］=145 000， 解得x 3≈11 240.98，x ≈22.4，2x ≈45(cm ). 答：钢球是空心的，其内径约为45 cm .5.(2007海南高考，文11)已知三棱锥S —ABC 的各顶点都在一个半径为r 的球面上，球心O 在AB 上，SO ⊥底面ABC ，AC =r 2，则球的体积与三棱锥体积之比是( )A .πB .2πC .3πD .4π分析：由题意得SO =r 为三棱锥的高，△ABC 是等腰直角三角形，所以其面积是21×2r ×r =r 2，所以三棱锥体积是33132r r r =⨯⨯，又球的体积为343r π，则球的体积与三棱锥体积之比是4π.答案：D点评：面积和体积往往涉及空间距离，而新课标对空间距离不作要求，因此在高考试题中其难度很低，属于容易题，2007年新课标高考试题就体现了这一点.高考试题中通常考查球、三棱锥、四棱锥、长方体、正方体等这些简单几何体或它们的组合体的面积或体积的计算.我们应高度重视这方面的应用.(五)拓展提升问题：如图6，在四面体ABCD 中，截面AEF 经过四面体的内切球(与四个面都相切的球)球心O ，且与BC ，DC 分别截于E 、F ，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A —BEFD 与三棱锥A —EFC 的表面积分别是S 1，S 2，则必有( )图6A .S 1＜S 2B .S 1＞S 2C .S 1=S 2D .S 1，S 2的大小关系不能确定探究：如图7，连OA 、OB 、OC 、OD ，则V A —BEFD =V O —ABD ＋V O —ABE ＋V O —BEFD +V O —ADF ，V A—EFC=V O—AFC＋V O—AEC＋V O—EFC，又V A—BEFD=V A—EFC，而每个小三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径，故S△ABD＋S△ABE＋S BEFD+S△ADF=S△AFC＋S△AEC＋S△EFC，又面AEF是公共面，故选C.图7答案：C(五)课堂小结本节课学习了：1.球的表面积和体积.2.计算组合体的体积时，通常将其转化为计算柱、锥、台、球等常见的几何体的体积.3.空间几何体的表面积与体积的规律总结：(1)表面积是各个面的面积之和，求多面体表面积时，只需将它们沿着若干条棱剪开后展成平面图形，利用平面图形求多面体的表面积.求旋转体的表面积时，可从回忆旋转体的生成过程及其几何特征入手，将其展开求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应的侧面展开图中的边长关系，注意球面不可展开.(2)在体积公式中出现了几何体的高，其含义是：柱体的高：从柱体的一个底面上任一点向另一个底面作垂线，这点和垂足间的距离称为柱体的高；锥体的高：从锥体的顶点向底面作垂线，这点和垂足间的距离称为锥体的高；台体的高：从台体的一个底面上任一点向另一个底面作垂线，这点和垂足间的距离称为台体的高.注意球没有高的结构特征.(3)利用侧面展开图或截面把空间图形问题转化为平面图形问题，是解决立体几何问题的常用手段.(4)柱体、锥体、台体和球是以后学习第二章点、直线、平面位置关系的载体，高考试题中，通常是用本模块第一章的图，考查第二章的知识.(5)与球有关的接、切问题是近几年高考的热点之一，常以选择题或填空题的形式出现，属于低档题.(六)作业课本本节练习1、2、3.。
高一数学人教A版必修2：1-3-1-2 柱体、锥体、台体的体积
第十一页，编辑于读教材P25－26，回答下列问题： 1．柱体的体积 (1)棱柱(圆柱)的高是指 两底面 之间的距离，即从一底面 上任意一点向另一个底面作垂线，这点与垂足(垂线与底面的 交点)之间的距离． (2)柱体的底面积为S，高为h，其体积V＝ Sh .特别地，圆 柱的底面半径为r，高为h，其体积V＝ πr2h .
第一章 1.3 1.3.1 第2课时
第二十六页，编辑于星期日：二十二点 二分。
[分析]明确几何体的形状及相应的体积公式是解决这类问 题的关键．因为玻璃杯是圆柱形的，所以铅锤取出后，水面 下降部分实际是一个小圆柱，这个小圆柱的底面与玻璃杯的 底面一样，是一直径为20cm的圆，它的体积正好等于圆锥形 铅锤的体积，这个小圆柱的高就是水面下降的高度．
第一章
空间几何体
第一章 空间几何体
第一页，编辑于星期日：二十二点 二分。
第一章
1．3 空间几何体的表面积与体积
第一章 空间几何体
第二页，编辑于星期日：二十二点 二分。
第一章
1．3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积
第一章 空间几何体
第三页，编辑于星期日：二十二点 二分。
第一章
第2课时 柱体、锥体、台体的体积
[答案] (6＋π)
第一章 1.3 1.3.1 第2课时
第三十三页，编辑于星期日：二十二点 二分。
[解析] 此几何体是由一个长为3，宽为2，高为1的长方 体与底面直径为2，高为3的圆锥组合而成的，故V＝V长方体＋V圆 锥＝3×2×1＋π3×12×3＝(6＋π)m3.
第一章 1.3 1.3.1 第2课时
第一章 1.3 1.3.1 第2课时
第二十八页，编辑于星期日：二十二点 二分。
1.1.2圆柱、圆锥、圆台和球(2014年人教A版数学必修二导学案)
课题：1.1.2圆柱、圆锥、圆台和球检测案
班级：姓名：学号：第学习小组
【课堂检测】
1．指出下列几何体分别由哪些简单几何体构成．
2．如图，将平行四边形 绕 边所在的直线旋转一周，由此形成的几何体是由哪些简单几何体构成的？
3．充满气的车轮内胎可以通过什么图形旋转生成？
【课后巩固】
1．下列几何体中不是旋转体的是（）
3．圆柱、圆锥、圆台和球的表示．
4．旋转体的有关概念
【课堂研讨】
例1、如图，将直角梯形 绕 边所在的直线旋转一周，由此形成的几何体是由哪些简单几何体构成的？
例2指出图1、2中的几何体是由哪些简单的几何体构成的．
图
图
例3、直角三角形 中， ，将三角形 分别绕边 ， ， 三边所在直线旋转一周，由此形成的几何体是哪一种简单的几何体？或由哪几种简单的几何体构成？
6．如图是一个圆台，请标出它的底面、轴、母线，并指出它是怎样生成的．
7．请指出图中的几何体是由哪些简单几何体构成的．
2．图中的几何体可由一平面图形绕轴旋转 形成，该平面图形是（）
A
B
C
D
3．用平行与圆柱底面的平面截圆柱，截面是__________________________________．
4．__________________可以看作圆柱的一个底面收缩为圆心时，形成的空间几何体．
5．用平行于圆锥底面的一平面去截此圆锥，则底面和截面间的部分的名称是______．
课题：1.1.2圆柱、圆锥、圆台和球
班级：姓名：学号：第学习小组
【学习目标】
1、了解圆柱、圆锥、圆台和球的有关概念．
2、认识圆柱、圆锥、圆台和球及其简单组合体的机构特征
高中数学《空间几何体的体积》学案新人教A版必修2
课题：空间几何体的体积编制人： 审核人： 下科行政：【学习目标】1. 了解柱体、锥体、台体、球体的体积计算公式。
2. 熟悉台体与柱体和锥体之间体积的转换关系.3. 培养学生空间想象能力和思维能力. 自主学习案 【知识梳理】1．柱体、锥体、台体、球体的体积公式： 1) V 柱体 = Sh (S 是底面积，h 为柱体高)2) V 锥体 =13Sh (S 是底面积，h 为锥体高)3) V 台体 =1()3S s h '++(S ′S 分别为上、下底面面积，h 为台体的高)4) 球的体积：343V R π=【预习自测】__________.2.长方体三个面的面积分别为6,3,2，则长方体的体积为( ) A. 22 B. 23 C. 3 D. 63. 圆柱侧面展开图面积为10，底面周长为π2，则它的体积为__________. 【合作探究】例1. 一堆铁制六角螺帽，共重11.6kg ， 底面六边形，边长12mm ，内空直径 10mm ，高10mm ，估算这堆螺帽多 少个？(铁的密度7.8g/cm3)例2. 将若干毫升水倒入底面半径为2cm 的圆柱容器中，量的水面高度为6cm ，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥容器中，求水面高度.例3例4. 正方体D C B A ABCD ''''-的棱长为1，过顶点B,D,A ’,截下一个三棱锥 (1)求此三棱锥的体积. (2)以BDA ’为底面时，求此三棱锥的高.【当堂检测】1. 若正方形的全面积增为原来的2倍，那么它的体积增为原来的( ) A. 2倍 B. 4倍 C. 2倍 D.22倍2. 圆柱的侧面展开图是边长π6和π4的矩形，则其圆柱的体积为__________3. 球的体积为π3500，求它的表面积 .课后练习案1. 已知高为3的棱柱C B A ABC '''-的底面边长为1的正三角形，则三棱锥ABC B -'的体积为( )A.41 B.21 C.83 D.432.等边三角形的边长为3，它绕一边所在直线旋转一周，则所得旋转体的体积为 __________.3. 一个圆柱形玻璃瓶内半径为3cm ，瓶里所装的水深8cm ，将一个钢球完全浸入水中，瓶中水的高度上升到8.5cm ，则钢球的半径为_______________。
人教A版高二数学必修二第一章1.3.2 球的体积和表面积【教案】
《1.3.2球的体积和表面积》教学设计教材：人民教育出版社A 版普通高中课程标准实验教科书《数学必修2》一、 教学目标知识目标：1、掌握球的体积公式343V R π=、表面积公式24S R π=. 2、会用球的表面积公式、体积公式解决相关问题，培养学生应用数学的能力． 3、能解决与球的截面有关的计算问题及球的“内接”与“外切”的几何体问题． 能力目标：通过类比、归纳、猜想等合情推理培养学生勇于探索的精神. 提高学生分析、综合、抽象概括等逻辑推理能力情感目标：通过寻求如何研究球的内切与外接的方法，培养学生将数学知识和生活实际相联系的意识，对学生进行“事物具有多面性”的辩证唯物主义思想教育. 二、 教学重点、难点重点：球的体积和表面积的计算公式的应用.难点：解决与球相关的“内接”与“外切”的几何体问题 三、教学方法采用试验探索，启发式的教学方法.教辅手段：圆柱、圆锥、半球容积比实物模型；一盆水；多媒体. 四、教学过程2 球的表面积：（以后讲）11221(3)i i V h S h S h S ≈⋅∆+⋅∆++⋅∆+L L又∵i h R ≈，且S =12i S S S ∆+∆+++∆LL∴可得13V R S ≈⋅， 又∵343V R π=，∴13R S ⋅343R π=，∴24S R π=即为球的表面积公式 小结：球的体积公式343V R π=、表面积公式24S R π=都是以R 为 自变量的函数。
教师讲解，学生感悟分割、近似、极限等思想渗透微积分思想.应 用练习1：如果球的体积是36πcm 3,那么它的半径是 .3练习2： 若两个球的体积之比为8：27，那么两个球的表面积之比为（ C ）（A ）8：27 （B ）2：3 （C ）4：9 （D ）2：9例1 如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径,，求证： （1）球的体积等于圆柱体积的23（2）球的表面积等于圆柱的侧面积. 证明：（1）设球的半径为R ，则圆柱的底面半径为R ，高为2R.则有V 球=334R π，V 圆柱=πR 2·2R=2πR 3，所以V 球=圆柱V 32.教师引导学生共同完成让学生巩固加深所学内容并灵举例（2）因为S球=4πR2，S圆柱侧=2πR·2R=4πR2，所以S球=S圆柱侧.变式1：把上一题的圆柱改为正方体，且正方体的棱长为a, 球的半径为多少？变式2：若把球吹大到内切于正方体的棱，且正方体的棱长为a,此时球的半径又为多少？变式3：若球接着吹大到刚好包围整个正方体即球各个顶点都在球面上，且正方体的棱长为a,此时球的半径又为多少？活运用.应用举例例2、如果一个几何体的正视图与侧视图都是全等的长方形，边长分别是4 cm与2 cm，如图所示，俯视图是一个边长为4 cm的正方形.(1)求该几何体的全面积.(2)求该几何体的外接球的体积.解【审题指导】根据本题所给条件中的三视图，判断该几何体的形状与几何体中相关的数量关系，根据这些求该几何体的全面积及其外接球的体积.【规范解答】(1)由题意可知，该几何体是长方体，图1 图2图3RA 'C 'CAOA 'B 'C 'D 'D C BAO准备 课堂小结 1．通过做实验的方法，获得了球的体积公式和表面积公式. 2．掌握球的体积公式343V R π=、表面积公式24S R π= 3．熟练掌握球的内切、外接问题解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径，关键是根据“切点”和“接点”，作出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来计算.学生小结,教师完善.学生小结,可以逐步提高学生自我获取知识的能力.教师完善，使知识更系统化.作业1、课本P29B12、《世纪金榜》 P16例23、《世纪金榜》P17 基础自主演练64、半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体的边长为 6，求半球的表面积和体积。
1.3.2空间几何体的体积(1)(2014年人教A版数学必修二导学案)
2．已知一个铜质的五棱柱的底面积为 16cm ，高为 4cm ，现将它熔化后铸成一个正 方体铜块，那么铸成的铜块的棱长为多少（不计损耗）？
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3．若一个六棱锥的高为10 cm ，底面是边长为 6cm 的正六边形，求这个六棱锥的体积．
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7．若干体积的水倒入底面半径为 2cm 的圆柱形器皿中，量得水平面的高度为 6cm ， 若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥器皿中，求水面的高度．
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【课外作业】
20cm ， 1． 圆台上下底面直径分别为 10 cm ， 高为 2cm ， 则圆台的体积为_______ cm2 ．
2． 已知矩形的长为 2 a ， 宽为 a ， 将此矩形卷成一个圆柱， 则此圆柱的体积为________．
3．长方体相邻的三个面的面积分别为 2 ， 3 和 6 ，则该长方体的体积为______． 4．若一个圆台的下底面面积是上底面面积的 4 倍，高是 3cm ，体积是 63 cm3 ， 则圆台的侧面积是____________． 5．若一圆锥的轴截面是边长为 a 的正三角形，则该圆锥的内切球的体积为_______． 6．已知正三棱锥的侧面积为 18 3 ，高为 3 ，求它的体积．
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课题：1.3.2 空间几何体的体积(1)导学案
班级： 【学习目标】 【课前预习】
1．圆锥形烟囱的底面半径是 40cm ，高是 30 cm ．已知每平方米需要油漆 150g ，油漆
姓名：
学号：
第
学习小组
了解柱、锥、台、球体积的计算公式
100 个这样的烟囱帽的外表面，共需油漆多少千克？（ 取 3.14 ，精确到 0.1kg ）
V柱体 ____________________________________________．
2014年人教A版必修二课件 1.3 空间几何体的表面积与体积
6 25 5 12
= 2[6 3 (24 + 12)]+ 612 5 + 6p 25 ≈1579.485 (mm2), 10000个零件的表面积约为15794850 mm2, 约合15.795平方米.
2. 如图是一种机器零件, 零件 下面是六棱柱 (底面是正六边形, 侧 面是全等的矩形) 形, 上面是圆柱 (尺寸如图, 单位: mm) 形, 电镀这 种零件需要用锌, 已知每平方米用 锌 0.11 kg, 问电镀 10000个零件需 要锌多少千克? (结果精确到 0.01 kg) 解: 这个零件的表面积为 S = S棱柱表+S圆柱侧
2. 柱体、锥体与台体的体积 问题 1. 还记得正方体、长方体、圆柱和圆锥的 体积公式吗? 由此类推柱体和锥体的体积公式如何? 你想想台体的体积怎样求? 柱体体积: V柱 = Sh (S 为底面面积, h为柱体高). 锥体体积: V锥 = 1 Sh (S 为底面面积, h为柱体高). 3 台体体积: V台 = V大锥体-V小锥体 (S为下底面积, S为上底面积, = 1 ( Sh大 - Sh小 ), 3 h 为台高). h S = ( 小 )2 , h大 - h小 = h, S h大 1 V台 = h( S + SS + S). 3
例 1. 已知棱长为 a, 各面均为等边三角形的四面 体 S-ABC, 求它的表面积. 解: 这四面体的表面是由 4 个全等 的等边三角形组成, A 所以它的表面积 S = 4S△SBC B D 在△SBC中, 边长为 a, SD为BC边上的高. a 2 2 = 3 a, 2 2 则 SD = SB - BD = a - ( ) 2 2 3 a2, 1 3 于是得 S△SBC= 1 BC SD = a a = 4 2 2 2 所以, 这个四面体的表面积为 3 S = 4 a 2= 3a 2 . 4
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2．已知一个铜质的五棱柱的底面积为 16cm ，高为 4cm ，现将它熔化后铸成一个正 方体铜块，那么铸成的铜块的棱长为多少（不计损耗）？
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3．若一个六棱锥的高为10 cm ，底面是边长为 6cm 的正六边形，求这个六棱锥的体积．
【课外作业】
20cm ， 1． 圆台上下底面直径分别为 10 cm ， 高为 2cm ， 则圆台的体积为_______ cm2 ．
4．球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的大圆，大圆的半径等于球半径． 球的表面积公式为____________________；这表明球的表面积是球大圆面积的 4 倍
【课堂研讨】
例 1、有一堆相同规格的六角螺帽毛坯（如图）共重 6kg ．已知毛坯底面正六边形边长 是 12 mm ，高是 10 mm ，内孔直径是 10 mm ．那么这堆毛坯约有多少个？ （铁的密度是 7.8g / cm ）
2．某长方体纸盒的长、宽、高分别为 7cm ， 5cm ， 4cm ，则每层有 7 5 个单位正方 体，共有 4 层，因此它的体积为______________________．设长方体的长、宽、高 分别为 a ， b ， c ，那么它的体积为__________或___________． 3．柱体、锥体、台体、球的体积公式：
V柱体 ____________________________________________．
V锥体 ____________________________________________．
V台体 ____________________________________________． V球 _____________________________________________．
7．若干体积的水倒入底面半径为 2cm 的圆柱形器皿中，量得水平面的高度为 6cm ， 若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥器皿中，求水面的高度．
课题：1.3.2 空间几何体的体积(1)导学案
班级： 【学习目标】 【课前预习】
1．圆锥形烟囱的底面半径是 40cm ，高是 30 cm ．已知每平方米需要油漆 150g ，油漆
姓名：
学号：
第
学习小组
了解柱、锥、台、球体积的计算公式
100 个这样的烟囱帽的外表面，共需油漆多少千克？（ 取 3.14 ，精确到 0.1kg ）
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例 2、正棱锥的底是内接于一圆柱下底的正六边形，而其顶点为圆柱上底的中心． 已知棱锥的高为 6cm ，体积为 12 3cm3 ，求
【学后反思】
课题：1.3.2 空间几何体的体积检测案
班级： 姓名： 学号： 第 学习小组 【课堂检测】 1． 用一张长 12 cm 、宽 8cm 的矩形铁皮围成圆柱形的侧面，求这个圆柱的体积．
2． 已知矩形的长为 2 a ， 宽为 a ， 将此矩形卷成一个圆柱， 则此圆柱的体积为________．
3． 长方体相邻的三个面的面积分别为 2 ， 3 和 6 ，则该长方体的体积为______． 4．若一个圆台的下底面面积是上底面面积的 4 倍，高是 3cm ，体积是 63 cm3 ， 则圆台的侧面积是____________． 5．若一圆锥的轴截面是边长为 a 的正三角形，则该圆锥的内切球的体积为_______． 6．已知正三棱锥的侧面积为 18 3 ，高为 3 ，求它的体积．