考研数学一(高等数学)模拟试卷299(题后含答案及解析)
考研数学一（高等数学）模拟试卷299 (题后含答案及解析)
全部题型 3. 解答题
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1． 设r=(x，y，z)，r=｜r｜，r≠0时f(r)有连续的导数，求下列各量：(Ⅰ)rot[f(r)r]；(Ⅱ)div grad f(r)(r≠0时f(r)有二阶连续导数)．
正确答案：(Ⅰ)(Ⅱ)直接由梯度与散度的计算公式得 涉及知识点：高等数学
2． 求I=∮C+，其中C+是以A(1，1)，B(2，2)和E(1，3)为顶点的三角形的正向边界线．
正确答案：记I=∮C+Pdx+Qdy，则记D为三角形区域ABE，则直接由格林公式得用先y后x的积分顺序，D={(x，y)｜1≤x≤2，x≤y≤一x+4}，则
解析：直接用格林公式 ∮CPdx+Qdy=dxdy．求左端的曲线积分转化为求右端的二重积分，若这个二重积分容易计算则达目的．D是闭曲线C所围成的区域(见图10．4)． 知识模块：高等数学
3． 设曲线L：x2+y2+x+y=0，取逆时针方向，证明： I=∫L—ysinx2dx+xcosy2dy＜．
正确答案：L是圆周：，它围成区域
D．用格林公式→其中D关于直线y=x对称，cosx2dσ． 涉及知识点：高等数学
4． 设φ(y)有连续导数，L为半圆周：(y≥x)，从点O(0，0)到点A(π，π)方向，求曲线积分 I=∫L[φ(y)cosx—y]dx+[φ’(y)sinx一1]dy。
正确答案：若要用格林公式求非闭曲线L上的线积分∫LPdx+Qdy时，先要添加定向辅助线L1使L∪L1构成闭曲线，所围区域为D，若是正向边界，则．若是负向边界，则 求∫LPdx+Qdy转化为求辅助线L1上的线积分和一个二重积分，如果它们都容易计算的话，则达目的． 如图10．5所示，L是非闭曲线，再加直线段，使它们构成沿顺时针方向的闭曲线，并把它们围成的区域记为
D．L与构成D的负向边界．记P(x，y)=φ(y)cosx一y，Q(x，y)=φ’(y)sinx—1，则因此，在D上用格林公式得 涉及知识点：高等数学
5． 求I=，其中L是以原点为圆心，R为半径的圆周，取逆时针方向，R≠1．
正确答案：若R＜1(见图10．6)，在L所围的有界闭区域D上，P，Q有连续的一阶偏导数且，则 若R＞1(见图10．7)，在L所围的有界闭区域D内含点(一1，0)，P，Q在此点无定义，不能在D上用格林公式． 若以(一1，0)为圆心，ε＞0充分小为半径作圆周Cε((x+1)2+y2=ε2)，使得Cε在L所围的圆内．在L与Cε所围的区域Dε上利用格林公式得 其中L与Cε均是逆时针方向．因此 I=∫LPdx+Qdy=一ydx+(x+1)dy =2dxdy=2π(在Cε所围区域上用格林公式)． 涉及知识点：高等数学
6． 求曲面积分I=x2dydz+y2dzdx+z2dxdy，其中s是长方体Ω：0≤x≤a，0≤y≤b，0≤z≤c的表面外侧．
正确答案：直接用高斯公式I=(x+y+z)dxdydz．化三重积分为累次积分：记长方体分别在yz平面．zx平面与xx平面上的投影区域为Dyz，Dzx，Dxy，则
涉及知识点：高等数学
7． 求I=，其中∑为上半球z=的上侧，a＞0为常数．
正确答案：添加一块有向曲面S：z=0 (x2+y2≤a2)，法向量朝下，S与∑所围区域为Ω(见图10．8)，则由高斯公式得(这里Ω边界取外法向，S在xy平面上投影区域D：x2+y2≤a2，z=0，S与yz平面，zx平面均垂直，Qdzdx=0)．
解析：首先(x，y，z)∈∑，x2+y2+z2=a2，被积函数简化为直接化第二类曲面积分为二重积分，再化为定积分的公式稍微复杂些．这里(z2+x2+y2)相对于半球域来说较简单，若用高斯公式求曲面积分I则较为简单．因为∑不是封闭曲面，所以要添加辅助曲面． 知识模块：高等数学
8． 求曲线积分I=∫L(y2+z2)dx+(z2+x2)dy+(x2+y2)dz，其中L是球面x2+y2+z2=2bx与柱面x2+y2=2ax(b＞a＞0)的交线(z≥0)．L的方向规定为沿L的方向运动时，从z轴正向往下看，曲线L所围球面部分总在左边(如图10．9)．
正确答案：若写出L的参数方程直接计算比较复杂，可考虑用斯托克斯公式来计算． 记L所围的球面部分为∑，按L的方向与右手法则，取∑的法向量朝上，先利用曲线方程简化被积函数，然后用斯托克斯公式，得 I=∫L(2bx一x2)dx+(2bx一y2)dy+2axdz注意，∑关于zx平面对称，被积函数1对y为偶函数，于是dzdx=0．记∑在xy平面的投影区域为Dxy：(x一a)2+y2≤a2．因此I=2bdxdy=2bπa2． 涉及知识点：高等数学
9． 设D0是单连通区域，点M0∈D0，D=D0＼{M0}(即D是单连通区域D0除去一个点M0)，若P(x，y)，Q(x，y)在。有连续的一阶偏导数且 ((x，y)∈D)，问： (Ⅰ)∫LPdx+Qdy是否一定在D上与路径无关； (Ⅱ)若又存在一条环绕M0的分段光滑闭曲线C0使得Pdx+Qdy=0，∫LPdx+Qdy是否一定在D上与路径无关．
正确答案：(Ⅰ)这里D不是单连通区域，所以不能肯定积分∫LPdx+Qdy在
D上与路径无关．例如：积分[*]，则[*]即在全平面除原点外P(x，y)，Q(x，y)均有连续的一阶偏导数，且[*]． 但若取L为C+即逆时针方向的以原点为圆心的单位圆周，则 [*][一sinθ(cosθ)，+cosθ(sinθ)’]dθ=2π≠0，因此，该积分不是与路径无关． (Ⅱ)能肯定积分在D上与路径无关．按挖去奇点的思路，我们作以M0为心，ε＞0为半径的圆周Cε，使Cε在C0所围区域内．Cε和C0所围区域记为Dε(见图10．10)．在Dε上用格林公式得 [*]其中C0，Cε均是逆时针方向．所以 [*]Pdx+Qdy=0．因此，ε＞0充分小，只要Cε在C0所围区域内，均有 [*]Pdx+Qdy=0． ① 现在我们可证：对D内任意分段光滑闭曲线C，均有 ∮CPdx+Qdy=0． ② 若C不包围M0，在C所围的区域上用格林公式，立即可得②式成立．若C包围M0点，则可作以M0为心，ε＞0为半径的小圆周Cε，使得Cε在C所围区域内且①成立．在C与Cε所围的区域上用格林公式同理可证 ∫CPdx+Qdy=[*]Pdx+Qdy=0． 涉及知识点：高等数学
10． 判断下列曲线积分在指定区域上是否与路径无关：(Ⅰ)，区域D：x2+y2＞0．
正确答案：(Ⅰ)这是单连通区域，只需验证是否成立．依题设有则该积分在D上与路径无关． (Ⅱ)这里D：R2＼{(0，0)}是非单连通区域，由(x，y)≠(0，0))得不出积分与路径无关．但可以计算(在x2+y2≤1上用格林公式)因此，该积分与路径无关． 涉及知识点：高等数学
11． 设(P(x，y)，Q(x，y))=，n为常数，问∫LPdx+Qdy在区域D={(x，y)｜(x，y)∈R2，(x，y)≠(0，0)}是否与路径无关．
正确答案： →一x2一y2+2ny2=x2+y2—2nx2→ (1一n)(x2+y2) =0
→ n=1．因此，当n≠1时积分不是与路径无关． 当n=1时虽有(x，y)∈D)，但D不是单连通区域，还需进一步讨论．取C为以(0，0)为圆心的单位圆周，逆时针方向，则所以积分也不是与路径无关． 涉及知识点：高等数学
12． 设Pdx+Qdy=，求u(x，y)，使du=Pdx+Qdy．
正确答案：特殊路径积分法．先判断积分是否与路径无关，由(x，y)∈R2)，可知在全平面积分∫LPdx+Qdy与路径无关．M(x，y)=∫(0，0)(x，y)Pdx+Qdy=∫0xP(x，0)dx+∫0yQ(x，y)dy，这里取折线OAM为积分路径，0(0，0)，A(x，0)，M(x，y)(见图10．11)．代入P，Q表达式得这是一个原函数，全体原函数是u(x，y)=+
C． 涉及知识点：高等数学
13． 设f(s)在(一∞，+∞)内有连续的导数，计算 I=[y2f(xy)，)一1]dy，其中L为从点A(3，)到B(1，2)的直线段．
正确答案：先验算积分是否与路径无关．若是，便可选择适当的积分路径，使积分化简．令P(x，y)=[1+y2f(xy)]，Q(x，y)=[y2f(xy)一1]，易验证：这是单
连通区域，故积分与路径无关，可以选择从A到B的任何一条位于x轴上方的曲线作为积分路径．为了简化计算．我们选择积分路径为折线AC
B．其中C(1，)，见图10．12．注意到，，x从3到1，dy=0； ：x=1，y从2／3到2，dx=0． 涉及知识点：高等数学
14． 计算曲线积分I=，其中L是以点(1，0)为圆心，R为半径的圆周(R≠1)，取逆时针方向．
正确答案：设R＜1，则I=∫LPdx+Qdy=dxdy=0．设R＞1，取ε＞0充分小使椭圆Cε(取逆时针方向) 4x2+y2=ε2含于L所围区域D内，记L与Cε围成区域为Dε，在Dε上用格林公式得
解析： 记L围成的区域为D，若D不含原点(R＜1)，则可在D上用格林公式．若D含原点(R＞1)，则不能在D上用格林公式，要在D内挖去含原点的某区域后再用格林公式(见图10．13)． 知识模块：高等数学
15． 求曲面积分 I=，(1≤z≤2)绕z轴旋转而成的旋转面，其法向量与z轴正向的夹角为锐角．
正确答案：在S∪S1∪S2围成的区域Ω上应用高斯公式，因边界取内法向，故其中Ω为x2+1=x2+y2与z=1，z=2所围，圆D(z)的半径为．又(i=1时公式取“一”，i=2时公式取“+”)，其中Si与yz平面垂直(i=1，2)，Di为Si在xy平面上的投影区域分别是圆域x2+y2≤5，x2+y2≤2．因此，I=一．
解析：首先求出曲面S的方程：x2+y2=1+z2 (1≤z≤2)，法向量朝上． 记P=xz2，Q=0，R=一sinx，则=z2较简单，但S不是封闭曲面，为了用高斯公式，添加辅助面S1：z=2(x2+y2≤5)，法向量朝下；S2：z=1(x2+y2≤2)，法向量朝上．在S∪S1∪S2围成的区域Ω上可用高斯公式来计算． 知识模块：高等数学
16． 求I==1，取外侧．
正确答案：作以原点为球心，ε＞0为半径的小球面Sε，ε＞0充分小使Sε位于S所围的椭球内．记S与Sε所围的区域为Ωε，Sε取Ωε的内法向(即小球的外法向)，见示意图10．14(用平面图示意立体图)，在Ωε上用高斯公式得由于在Ωε上，P，Q，R有连续的一阶偏导数且=0，于是(在Ωε*：x2+y2+z2≤ε2上用高斯公式)
解析：直接计算较复杂，若把积分记为I=Pdydz+Qdzdx+Rdxdy，容易验证因此想到应用高斯公式．若椭球面S围成的区域记为Ω，它含原点(0，0，0)，而P，Q，R在(0，0，0)无定义，因而不能在Ω上直接应用高斯公式．如果我们作以原点为球心的小球面Sε位于Ω内，在S与Sε所围的区域Ωε上就可用高斯公式，把求S上的曲面积分转化为Sε上的曲面积分． 知识模块：高等数学
考研数学一(高等数学)模拟试卷33(题后含答案及解析)
考研数学一（高等数学）模拟试卷33 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 若a·b=a·c，则
A．b=c．
B．a⊥b且a⊥c．
C．a=0或b一c=0．
D．a⊥(b一c)．
正确答案：D 涉及知识点：高等数学
2． 设c=(b×a)-b，则
A．a垂直于b+c．
B．a平行于b+c．
C．b垂直于c．
D．b平行于c．
正确答案：A 涉及知识点：高等数学
3． 若直线相交，则必有
A．
B．
C．
D．
正确答案：D 涉及知识点：高等数学
4． 通过直线x=2t一1，y=3t+2，z=2t一3和直线x=2t+3，y=3t一1，z=2t+1的平面方程为
A．x—z—2=0．
B．x+z=0．
C．x一2y+z=0．
D．x+y+z=1．
正确答案：A 涉及知识点：高等数学
5． 原点(0，0，0)关于平面6x+2y一9z+121=0对称的点为
A．(12，8，3)．
B．(一4，1，3)．
C．(2，4，8)．
D．(一12，一4，18)．
正确答案：D 涉及知识点：高等数学
6． 设，则f(0，0)点处
A．不连续．
B．偏导数不存在．
C．偏导数存在但不可微．
D．偏导数存在且可微．
正确答案：C 涉及知识点：高等数学
7． 若二元函数f(x，y)在(x0，y0)处可微，则在(x0，y0)点下列结论中不一定成立的是
A．连续．
B．偏导数存在．
C．偏导数连续．
D．切平面存在．
正确答案：C 涉及知识点：高等数学
8． 函数在(0，0)点处
A．不连续．
B．偏导数存在．
C．任一方向的方向导数存在．
D．可微．
正确答案：C 涉及知识点：高等数学
9． 设fx’(0，0)=1，fy’(0，0)=2，则
考研数学一(选择题)模拟试卷50(题后含答案及解析)
考研数学一（选择题）模拟试卷50 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． 已知f(χ)＝，g(χ)＝∫01-cosχtantdt和h(χ)＝tanχ－sinχ当χ→0时都是无穷小量，若按照它们关于χ的阶数从低到高的顺序排列起来，则是
A．f(χ)，g(χ)，h(χ)．
B．h(χ)，f(χ)，g(χ)．
C．f(χ)，h(χ)，g(χ)．
D．h(χ)，g(χ)，f(χ)．
正确答案：C
解析：利用当χ→0时的等价无穷小关系：tanχ～χ，1－cosχ～和ln(1＋χ)～χ，不难得出当χ→0时， f(χ)＝ g(χ)＝∫01-cosχtantdt＝－ln(cost)｜01-cosχ＝－ln[cos(1－cosχ)] ＝1－cos(1－cosχ)～(1－cosχ)2～， h(χ)＝tanχ－sinχ＝(1－cosχ)tanχ～． 由此可知当χ→0时，f(χ)是关于χ的二阶无穷小，g(χ)是关于χ的四阶无穷小，而h(χ)是关予χ的三阶无穷小．故应选
C． 知识模块：高等数学
2． 设{an}与{bn}为两个数列，下列说法正确的是( )．
A．若{an}与{bn}都发散，则{anbn}一定发散
B．若{an}与{bn}都无界，则{anbn}一定无界
C．若{an}无界且=0
D．若an为无穷大，且bn=0，则bn一定是无穷小
正确答案：D
解析：(A)不对，如an=2+(一1)n，bn=2一(一1)n，显然{an}与{bn}都发散，但anbn=3，显然{anbn}收敛；(B)、(C)都不对，如an=n[1+(一1)n]，bn=h[1一(一1)n]，显然{an}与{bn}都无界，但anbn=0，显然{anbn}有界≠0；正确答案为(D)． 知识模块：高等数学
3． 已知二次型f(x1，x2，x3)=3x12+cx22+x32-2x1x2+2x1x3-2x2x3的秩为2，则c的值为( )．
考研数学一(填空题)高频考点模拟试卷90(题后含答案及解析)
考研数学一（填空题）高频考点模拟试卷90 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1．
正确答案：2
解析：当x→0时，有1－cosax～a／2x2，则1－～1／4(2x)2=x2，1－cos～1／2， 知识模块：高等数学
2． 对事件A，B，已知，则P(A)=_______，P(B)=_______，=_______。
正确答案：
解析： 知识模块：概率论与数理统计
3． 函数在[-π，π]上展开傅里叶级数则an=_________，bn=________，和函数S(x)=_________．
正确答案：
解析：f(x)在[一π，π]上满足狄利克雷收敛定理条件，进行周期延拓得F(x)，有F(x)≡f(x)，x∈[-π，π]．由收敛定理可知： 知识模块：无穷级数
4． (sinx+cosx)=___________。
正确答案：0
解析：根据洛必达法则， 对任意x∈(一∞，+∞)，有｜sinx+cosx｜≤，即sinx+cosx在(一∞，+∞)内有界，因为有界变量与无穷小量的乘积仍为无穷小量，所以原极限为零。 知识模块：函数、极限、连续
5． 在区间(0，1)中随机地取出两个数，则“两数之积小于”的概率为________．
正确答案：
解析：记(0，i)中任取的两个数为X，Y，则(X，Y)∈Ω={(x，y)|0＜x＜1，0＜y＜1}，Ω为基本事件全体，并且取Ω中任何一点的可能性都一样，故该试验是几何概型，事件A=“两数之积小 知识模块：概率与数理统计
6． 平行于平面5x一14y+2z+36=0且与此平面距离为3的平面方程为_____________．
正确答案：5x一14y+2z+81=0或5x一14y+2z一9=0 涉及知识点：高等数学
7． 已知=__________。
正确答案：
解析： 知识模块：高等数学
8． 设f(x)=max｛1，x2｝，则∫1xf(t)dt= _______。
考研数学一(填空题)模拟试卷45(题后含答案及解析)
考研数学一（填空题）模拟试卷45 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． 设随机变量X服从均值为10，均方差为0．02的正态分布，已知，Φ(2．5)=0．9938，则X落在区间(9．95，10．05)内的概率为_______．
正确答案：0．9876
解析：由题意，X～N(10，0．022)，∴P{9．95＜X＜10．05)==Φ(2．5)-Φ(-2．5)=2Φ(2．5)-1=2×0．9938-1=0．9876 知识模块：概率论与数理统计
2． 设则d2y／dx2=_______．
正确答案：
解析： 知识模块：高等数学
3． 函数f(x)=｜4x3—18x2+27｜在区间[0，2]上的最小值为______，最大值为______。
正确答案：0；27
解析：令φ(x)=4x3—18x2+27，则所以φ(x)在[0，2]上单调递减，φ(0)=27，φ(2)= —13，由介值定理知，存在唯一x0∈(0，2)，使φ(x0)=0。且f(0)=27，f(x0)=0，f(2)=13，因此，f(x)在[0，2]上的最小值为0，最大值为27。 知识模块：一元函数微分学
4． 设∫xf(x)dx=arcsinx+C，则=___________。
正确答案：
解析： 知识模块：高等数学
5． 已知随机变量X与Y独立同分布，且X的分布函数为F(x)，记Z=max(X，Y)，则(X，Z)的联合分布函数F(x，z)=________．
正确答案：
解析：已知X与Y独立且有相同分布F(x)，所以(X，Z)的联合分布函数F(x，z)=P{X≤x，max(X，Y)≤z}=P{X≤x，X≤z，Y≤z} 知识模块：概率与数理统计
6．
正确答案：1
解析： 知识模块：一元函数积分学
7． D是圆周x2+y2=Rx所围成的闭区域，则=________。
正确答案：
解析：圆周x2+y2=Rx所围成的闭区域可用极坐标表示为 知识模块：高等数学
考研数学一(解答题)模拟试卷22(题后含答案及解析)
考研数学一（解答题）模拟试卷22 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． 设随机变量X的绝对值不大于1，P(X=-1)=1／8，P(X=1)=1／4，在{=1＜X＜1}出现的条件下，X在区间(-1，1)内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间的长度成正比，求X的分布函数F(x)．
正确答案：F(x)=P(X≤x)，由已知得：x＜-1时，F(x)=0；x≥1时，F(x)=1；F(-1)=P(X≤-1)=P(x=-1)=1／8，当-1＜x＜1时，有P{-1≤X≤x|-1＜X＜1}=k(x+1)，而P(-1＜X＜1)=5／8，可化得P(-1＜X≤x)=k’(x+1)，其中k’=5／8k(待定)，故P(x≤x)=P(-1X≤x)=P(X=-1)+P(-1＜X≤x)=+k’(x+1)，又由1／4=P(X=1)=F(1)-F(1-0)=1-(+2k’)，得k’=5／16，即-1＜x＜1时，F(x)= 涉及知识点：概率论与数理统计
2． 设函数f(χ)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(1)＝0，求证：至少存在一点ξ∈(0，1)，使得(2ξ＋1)f(ξ)＋ξf′(ξ)＝0．
正确答案：令F(χ)＝χe2χf(χ)，则由题设知F(χ)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且F(0)＝0，F(1)＝e2f(1)＝0，即F(χ)在[0，1]上满足罗尔定理的全部条件，故至少存在一点ξ∈(0，1)，使F′(ξ)＝(e2ξ＋2ξe2ξ)f(ξ)＋ξe2ξf′(ξ)＝e2ξ[(2ξ＋1)f(ξ)＋ξf′(ξ)]＝0，从而 (2ξ＋1)f(ξ)＋f′(ξ)＝0． 涉及知识点：高等数学
3． 设A=已知线性方程组Ax=b存在2个不同的解． (I)求λ，a； (Ⅱ)求方程组Ax=b的通解．
正确答案：(I)因为A为方阵且方程组Ax=b的解不唯一，所以必有｜A｜=0，而｜A｜=(λ一1)2(λ+1)，于是λ=1或λ=一1． 当λ=1时，因为r(A)≠r[A|b]，所以Ax=b无解(亦可由此时方程组的第2个方程为矛盾方程知Ax=b无解)，故舍去λ=1． 当λ=一1时，对Ax=b的增广矩阵施以初等行变换因为Ax=b有解，所以a=一2． (Ⅱ)当λ=一1、a=一2时，
考研数学一(填空题)模拟试卷40(题后含答案及解析)
考研数学一（填空题）模拟试卷40 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． 设f(x)=在x=0处连续，则a=__________。
正确答案：
解析： 知识模块：高等数学
2． 设B=(E+A)—1(E—A)，则(E+B)—1=________．
正确答案：
解析：E+B=E+(E+A)—1(E一A)，两端左乘E+A，得(E+A)(E+B)=E+A+E—A=2E→[(E+A)](E+B)=E→(E+B)—1= 知识模块：线性代数
3． 设数列{an}单调递减，an=0，Sn=ak(n=1,2,...)无界，则幂级数an（x-1）n的收敛域是___________.
正确答案：[0,2) 涉及知识点：无穷级数
4．
正确答案：
解析： 知识模块：高等数学部分
5． 经过点A(一1，2，3)，垂直于直线L：且与平面∏：7x+8y+9z+10=0平行的直线方程是______．
正确答案：
解析：用交面式．所求直线在过点A以L的方向向量S={4，5，6}为法向量的平面∏1上，也在过A点以∏的法向量n={7，8，9}为法向量的平面∏2上． ∏1： 4(x+1)+5(y一2)+6(z一3)=0， ∏2： 7(x+1)+8(y一2)+9(z一3)=0，故所求直线方程为 知识模块：向量代数和空间解析几何
6． 已知A是4阶矩阵，α1与α2是线性方程组Aχ＝b的两个不同的解，则r((A*)*)＝_______．
正确答案：0
解析：因为α1－α2是齐次方程组Aχ＝0的非零解，故｜A｜＝0． 由于r((A*)*)＝ 可见r((A*)*)＝0． 知识模块：线性代数
7． 若α，β，γ是单位向量且满足α+β+γ=0，则以α，β为边的平行
四边形的面积S=________。
正确答案：
解析：令＜α，β＞=θ，则以α，β为边的平行四边形的面积为 S=｜α×β｜=｜α｜｜β｜sinθ由α+β+γ=0可得如下方程组解得α.β=。因此，所求平行四边形的面积 知识模块：高等数学
考研数学一(填空题)高频考点模拟试卷100(题后含答案及解析)
考研数学一（填空题）高频考点模拟试卷100 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． =________．
正确答案：x4．
解析：将第2、3、4列都加至第1列，并提出第1列的公因子z，再将第1列的1倍、(一1)倍、1倍分别加至第2、3、4列，然后按第4行展开． 知识模块：线性代数
2． 微分方程xy”+3y’=0的通解为__________.
正确答案：y=C1+C2/x2 涉及知识点：常微分方程
3． 设f(x)是连续函数，并满足∫f(x)sinxdx=cos2x+C，又F(x)是f(x)的原函数，且满足F(0)=0，则F(x)=_________．
正确答案：一2sinx
解析：由题设及原函数存在定理可知，F(x)=∫f(t)dt．为求f(x)，将题设等式求导得 f(x)sinx=[∫f(x)sinxdx]’=(cos2x+C)’=一2sinxcosx，从而f(x)=一2cosx，于是 F(x)=∫0xf(t)dt=∫0x一2cost=一2sinx． 知识模块：高等数学
4． 设曲线y=ax3+bx2+cx+d经过(-2，44)，x=-2为驻点，(1，-10)为拐点，则a，b，c，d分别为_____
正确答案：1，-3，-24，16
解析：由条件解方程可得a=1，b=-3，c=-24，d=16． 知识模块：一元函数微分学
5． 平行于平面5x-14y+2z+36=0且与此平面距离为3的平面方程为_______．
正确答案：5x一14y+2z+81=0或5x一14y+2z一9=0 涉及知识点：高等数学
6． 设y=ln(1+3-x)，则dy=__________．
正确答案：
解析：复合函数求导 知识模块：一元函数微分学
7． =__________．
正确答案：sinx2
解析： 知识模块：一元函数微分学
8． =_________．
考研数学一(高等数学)历年真题试卷汇编25(题后含答案及解析)
考研数学一（高等数学）历年真题试卷汇编25 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． (08年)在下列微分方程中，以y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x(C1，C2，C3为任意常数)为通解的是
A．y”‘+y”一4y’一4y=0．
B．y”‘+y”+4y’+4y=0．
C．y”‘一y”一4y’+4y=0．
D．y”‘一y”+4y’一4y=0．
正确答案：D
解析：由原题设知所求方程的特征方程的根为ρ1=1，ρ2，3=±2i则其特征方程为 (ρ一1)(ρ2+4)=0，故所求方程应为 y”‘一y”+4y’一4y=0故(D)． 知识模块：高等数学
2． (15年)设y=是二阶常系数非齐次线性微分方程y”+ay’+by=cex的一个特解，则
A．a=一3，b=2，c=一1．
B．a=3，b=2，c=一1．
C．a=一3，b=2，c=1．
D．a=3，b=2，c=1．
正确答案：A
解析：由是方程y”+ay’+by=cex的一个特解可知，y1=e2x，y2=ex是齐次方程的两个线性无关的解，y*=xex是非齐次方程的一个解．1和2是齐次方程的特征方程的两个根，特征方程为(ρ一1)(ρ一2)=0即 ρ2—3ρ+2=0则 a=一3，b=2将y=xex代入方程y”一3y’+2y=cex得c=一1．故(A)． 知识模块：高等数学
3． (16年)若y=(1+x2)2一是微分方程y’+p(x)y=q(x)的两个解，则q(x)=
A．3x(1+x2)．
B．一3x(1+x2)．
C．
D．
正确答案：A
解析：利用线性微分方程解的性质与结构．由是微分程y’+p(x)y=q(x)的两个解，知y1=y2是y’+p(x)y=0的解．故(y1—y2)’+p(x)(y1一y2)=0，即从而得p(x)=又是微分方程y’+p(x)y=q(x)的解，代入方程，有[(1+x2)2]’+p(x)(1+x2)2=q(x)，解得q(x)=3x(1+x2)．因此(A)． 知识模块：高等数学
考研数学一(解答题)模拟试卷25(题后含答案及解析)
考研数学一（解答题）模拟试卷25 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． 求下列极限：
正确答案：(Ⅰ)注意x→0时，(Ⅱ)因为—x3(x→0)，ln(1+2x3)～2x3(x→0)，所以 涉及知识点：高等数学
2． 从正态总体N(3．4，62)中抽取容量为n的样本，如果要求其样本均值位于区间(1．4，5．4)内的概率不小于0．95，问样本容量n至少应取多大？附表：标准正态分布表
正确答案：由题知：X1，X2，…，Xn～N(3．4，62)，各样本相互独立，根据独立正态随机变量的性质，Xi～N(μ，σ2／n)。其中根据期望和方差的性质，故≥0．975，查表得到≥1． 96，即n≥(1．96×3)2≈34． 57，所以n至少应取35。 涉及知识点：概率论与数理统计
3． 确定常数a和b，使得函数f(x)=处处可导．
正确答案：由f(x)在x=0处可导，得f(x)在x=0处连续．由表达式知，f(x)在x=0右连续．于是，f(x)在x=0连续=2a=f(0),2a=一2b，即a+b=0．又f(x)在x=0可导,f’+(0)=f’-(0)．在a+b=0条件下，f(x)可改写成f’-(0)=(sinx+2aex)|x=0=1+2a．故仅当a=1，b=一1时f(x)处处可导． 涉及知识点：一元函数的导数与微分概念及其计算
4． 设n＞1，n元齐次方程组AX=0的系数矩阵为 (1)讨论a为什么数时AX=0有非零解? (2)在有非零解时求通解．
正确答案：(1)用矩阵消元法，把第n行除以n移到第一行，其他行往下顺移．再第i行减第一行的i倍(i＞0) a=0时r(A)=1，有非零解． 下面设a≠0，对右边的矩阵继续进行行变换：把第2至n各行都除以a，然后把第1行减下面各行后换到最下面，得于是当a=一n(n+1)／2时r(A)=n—1，有非零解． (2)a=0时AX=0与x1+x2+…+xn=0同解，通解为 c1(1，一1，0，…，0)T+c2(1，0，一1，…，0)T+…+cn-1(1，0，0，…，一1)T，ci任意． a=一n(n+1)／2时，通解为 c(1，2，3，…，n)T，c任意． 涉及知识点：线性代数
考研数学一(高等数学)历年真题试卷汇编19(题后含答案及解析)
考研数学一（高等数学）历年真题试卷汇编19 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． (10年)设函数z=z(x，y)由方程确定，其中F为可微函数，且F2’≠0，则
A．x．
B．z．
C．一x．
D．一z．
正确答案：B
解析：由隐函数求导公式得 知识模块：高等数学
2． (11年)设函数f(x)具有二阶连续导数，且f(x)＞0，f’(0)=0，则函数z=f(x)lnf(y)在点(0，0)处取得极小值的一个充分条件是
A．f(0)＞1，f”(0)＞0．
B．f(0)＞1，f”(0)＜0．
C．f(0)＜1，f”(0)＞0．
D．f(0)＜1，f”(0)＜0．
正确答案：A
解析：则AC—B2＞0,故(A)． 知识模块：高等数学
3． (12年)如果f(x，y)在(0，0)处连续，那么下列命题正确的是
A．若极限存在，则f(x，y)在(0，0)处可微．
B．若极限存在，则f(x，y)在(0，0)处可微．
C．若f(x，y)在(0，0)处可微，则极限
D．若f(x，y)在(0，0)处可微，则极限
正确答案：B 涉及知识点：高等数学
4． (13年)曲面x2+cos(xy)+yz+x=0在点(0，1，一1)处的切平面方程为
A．x—y+z=一2．
B．x+y+z=0．
C．x一2y+z=一3．
D．x—y—z=0．
正确答案：A
解析：令F(x，y，z)=x2+cos(xy)+yz+x，则n={2x—ysin(xy)+1，一xsin(xy)+x，y)|(0,1,-1)={1，一1，1}则所求切平面方程为x一(y一1)+(z+1)=0即x—y+2=一
2 知识模块：高等数学
5． (88年)设有空间区域Ω1：x2+y2+z2≤R2，z≥0；及Ω2：x2+y2+z2≤R2，x≥0，y≥0，z≥0，则