考研数学一(高等数学)模拟试卷249(题后含答案及解析)
考研数学一（高等数学）模拟试卷249 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 把当x→0+时的无穷小量α=tanx－x，β=∫0x(1－cos)dt，γ=()x－1排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是
A．α，β，γ．
B．γ，β，α．
C．β；α，γ．
D．γ，α，β．
正确答案：C
解析：即当x→0+时α是比β高阶的无穷小量，α与β应排列为β，α．故可排除(A)与(D)．即当x→0+时γ是较α高阶的无穷小量，α与γ应排列为α，γ．可排除(B)，即应选(C)． 知识模块：高等数学
2． 设f’(a)＞0，则ヨδ＞0，有
A．f(x)≥f(a)(x∈(a－δ，a+δ))．
B．f(x)≤f(a)(x∈(a－δ，a+δ))．
C．f(x)＞f(a)(x∈(a，a+δ))，f(x)＜f(a)(x∈(a－δ，a))．
D．f(x)＜f(a)(x∈(a，a+δ))，f(x)＞f(a)(x∈(a－δ，a))．
正确答案：C
解析：直接由定义出发f’(a)=＞0．由极限的保序性ヨδ＞0，当x∈(a－δ，a+δ)，x≠a时＞0．f(x)＞f(a) (x∈(a，a+δ))，f(x)＜f(a) (x∈(a－δ，a))．因此选(C)． 知识模块：高等数学
3． 设常数α＞0，I1=∫0π／2dx，I2=∫0π／2dx，则
A．I1＞I2．
B．I1＜I2．
C．I1=I2．
D．I1与I2的大小与α的取值有关．
正确答案：A
解析：I1－I2当0＜x＜π／4时cosx＞sinx，又0＜x＜－x，所以I1－I2＞0．故选(A)． 知识模块：高等数学
4． 下列函数在点(0，0)处不连续的是
A．
B．
C．
D．
正确答案：C
解析：直接证(C)中f(x，y)在点(0，0)处不连续．当(x，y)沿直线y=x趋于点(0，0)时因此f(x，y)在点(0，0)处不连续．故选(C)． 知识模块：高等数学
5．
A．绝对收敛．
B．条件收敛．
C．发散．
D．敛散性与a有关．
正确答案：B
解析：由莱布尼兹法则知原级数收敛．因此是条件收敛．选(B)． 知识模块：高等数学
填空题
6． 设y=sinx2．则dy／d(x3)=_______.
正确答案：2cosx2／3x
解析：用微分之商来求． 知识模块：高等数学
7． ∫0aarctandx(a＞0)=_______．
正确答案：a／2
解析：利用分部积分法． 知识模块：高等数学
8． 已知方程y”+y=0的两个特解y1=ex，y2=x，则该方程满足初值y(0)=1，y’(0)=2的解y=_______．
正确答案：ex+x
解析：因y1，y2线性无关，该方程的通解y=C1ex+C2x．由初始条件得C1=1，C1+C2=2C1=1，C2=1y=ex+x． 知识模块：高等数学
9． 曲线在M0(1，1，2)处的切线方程为_______，法平面方程为_______.
正确答案：；y－x=0
解析：M0在曲线上，M0处的切向量=－4i+4j=4{－1，1，0}．M0处切线方程法平面方程－(x－1)+(y－1)=0，即y－x=0． 知识模块：高等数学
10． 设D为圆域x2+y2≤x，则I=dσ=_______．
正确答案：4╱9
解析：D如图9．3．用极坐标变换，D的极坐标表示：－π／2≤0≤π／2，0≤r≤cosθ，于是I=∫－π／2π／2dθ∫0cosθr．rdr1／3cos3θdθ 知识模块：高等数学
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
11． 设a＞0为常数，xn=xn．
正确答案：当0＜a＜1时0＜xn＜an，an=0；当a=1时xn=1／2n，1／2n=0；
涉及知识点：高等数学
12． 设(x－3sin3x+ax－2+b)=0，试确定常数a，b的值．
正确答案：由题设知利用(*)，一方面有另一方面，直接计算又有这表明3+a=0a=－3．将a=－3代入(*)式，即得故b=9／2．综合得a=－3，b=9／2． 涉及知识点：高等数学
讨论下列函数的连续性并判断间断点的类型：
13．
正确答案：这是初等函数，它在定义域(x2≠1)上连续．因此，x≠±1时均连续．x=±1时，故x=1是第一类间断点(跳跃的)．又=0，故x=－1也是第一类间断点(可去)． 涉及知识点：高等数学
14．
正确答案：先求极限函数．注意x2n=0(|x|＜1)，1／x2n=0(|x|＞1)，x≠±1时，|x|＜1与|x|＞1分别与某初等函数相同，故连续．x=±1时均是第一类间断点(跳跃间断点)．因左、右极限均ヨ，不相等． 涉及知识点：高等数学
15． 求∫0e－1(x+1)ln2(x+1)dx．
正确答案：原式=1／2∫0e－1ln2(x+1)d(x+1)21／2∫1eln2tdt2=1／2(t2ln2t|1e－∫1et2dln2t)=1／2(e2－∫1et2．2lnt．1／tdt)=1／2(e2－∫1elntdt2)=1／2(e2－t2lnt|1e+∫1et2dlnt)=1／2∫1etdt=1／4t2|1e=1／4(e2－1)． 涉及知识点：高等数学
16． 已知抛物线y=ax2+bx+c经过点P(1，2)，且在该点与圆(x－)2=1／2相切，有相同的曲率半径和凹凸性，求常数a，b，c．
正确答案：所以在圆上任何一点的曲率为．由于点P(1，2)是下半圆上的一点，可知曲线在点P(1，2)处为凹的，所以由确定的连续函数y=y(x)在P(1，2)处的y”＞0．又经过计算，可知在点P(1，2)处的y’=1．由题设条件知，抛物线经过点P(1，2)，于是有a+b+c=2．抛物线与圆在点P(1，2)相切，所以在点P(1，2)处y’=1，即有2a+b=1．又抛物线与圆在点P(1，2)有相同的曲率半径及凹凸性，因此有解得a=2，从而b=－3，c=2－a－b=3． 涉及知识点：高等数学
17． 设函数f(x)与g(x)在区间[a，b]上连续，证明：[∫abf(x)g(x)dx]2≤∫abf2(x)dx∫abg2(x)dx． (*)
正确答案：引入参数，即考虑[f(x)+tg(x)]2．由于∫ab[f(x)+tg(x)]2dx=∫abf2(x)dx+2t∫abf(x)g(x)dx+t2∫abg2(x)dx≥0，因此，其判别式△=[2∫abf(x)g(x)dx]2－4∫ab2f2(x)dx∫abg2(x)dx≤0，即(*)式成立． 涉及知识点：高等数学
18． 作函数y=lnx／x的图形．
正确答案：定义域：x＞0．(Ⅱ)渐近线：只有间断点x=0．由=－∞可知，有垂直渐近线x=0；可知，有水平渐近线y=0． 涉及知识点：高等数学
19． 设f(x)在x=0的某邻域内有连续的一阶导数，且f’(0)=0，f”(0)存在．求证：
正确答案：因为ln(1+x)≤x(x∈(－1，+∞))，故由拉格朗日中值定理可知，存在ξ(x)∈(ln(1+x)，x)，使得 涉及知识点：高等数学
20． 设f(x)为n+1阶可导函数，求证：f(x)为n次多项式的充要条件是f(n+1)(x)≡0，f)(n)(x)≠0．
正确答案：由带拉格朗日余项的n阶泰勒公式得f(x)=f(0)+f’(0)x+…+f(n)(0)xn+xn+1．若fn+1(x)≡0，f(n)(x)≠0，由上式f(x)=f(0)+f’(0)x+…+f(n)(0)xn是n次多项式．反之，若f(x)=anxn+an－1xn－1+…+a1x+a0(an≠0)是n次多项式，显然f(n)(x)=ann!≠0，f(n+1)(x)≡0． 涉及知识点：高等数学
21． 设连接两点A(0，1)，B(1，0)的一条凸弧，P(x，y)为凸弧AB上的任意点(图6．4)．已知凸弧与弦AP之间的面积为x3，求此凸弧的方程．
正确答案：设凸弧的方程为y=f(x)，因梯形OAPC的面积为x／2[1+f(x)]，故x3=∫0xf(t)dt－[1+f(x)]．两边对x求导，则得y=f(x)所满足的微分方程为xy’－y=－6x2－1．(原方程中令x=0得0=0，不必另加条件，它与原方程等价)其通解为y=e∫1／xdx[C－∫(6x+)e－∫1／xdxdx]=Cx－6x2+1．对任意常数C，总有y(0)=1，即此曲线族均通过点A(0，1)．又根据题设，此曲线过点(1，0)，即y(1)=0，由此即得C=5，即所求曲线为y=5x－6x2+1． 涉及知识点：高等数学
设z=f(x，y)满足≠0，由z=f(x，y)可解出y=y(z，x)．求：
22．
正确答案：以z，x为自变量，y为因变量y=y(z，x)，它满足z=f(x，y(z，x))．将z=f(x，y)对x求偏导数，得0=再对x求偏导数，得 涉及知识点：高等数学
23． y=y(z，x)．
正确答案：因y=y(z，x)，y=xφ(z)+ψ(z)． 涉及知识点：高等数学
24． 设函数z=(1+ey)cosx－yey，证明：函数z有无穷多个极大值点，而无极小值点．
正确答案：(Ⅱ)求出所有的驻点．由解得(x，y)=(2nπ，0)或(x，y)=((2n+1)π，－2)，其中n=0，±1，±2，…(Ⅲ)判断所有驻点是否是极值点，是极大值点还是极小值点．在(2nπ，0)处，由于=(－2)×(－1)－0=2＞0，=－2＜0．则(2nπ，0)是极大值点．在((2n+1)π，－2)处，由于=(1+e－2)(－e－2n)=－＜0，则((2n+1)π，－2)不是极值点．因此函数z有无穷多极大值点(2nπ，0)(n=0，±1，±2，…)，而无极小值点． 涉及知识点：高等数学
25． 设曲面z=1／2(x2+y2)，其面密度μ为常数，求该曲面在0≤z≤3／2部分S的质量与质心．
正确答案：质量M=μdS，其中S：z=1／2(x2+y2)，(x，y)∈Dxy：x2+y2≤3．又=y，于是=π[∫03(t+1)3／2dt－∫03(t+1)1／2dt] 涉及知识点：高等数学
求下列平面上曲线积分
26． =1正向从A(a，0)到(0，b)的一段弧，a≠1．
正确答案： 涉及知识点：高等数学
27． I=∫Ldy，其中L是椭圆周=1，取逆时针方向．
正确答案：将I表成I=∫LPdx+Qdy，则不能在L围成的区域上用格林公式，取圆周(如图10．4)Cε：x2+y2=ε2(ε＞0充分小)，逆时针方向，在L与Cε围成的区域Dε上可用格林公式得=1／ε22．πε2=2π． 涉及知识点：高等数学
考研数学一(解答题)模拟试卷145(题后含答案及解析)
考研数学一（解答题）模拟试卷145 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． 设4阶矩阵A＝(α，γ1，γ2，γ3)，B＝(β，γ1，γ2，γ3)，｜A｜＝2，｜B｜＝3，求｜A＋B｜．
正确答案：A＋B＝(α＋β，2γ1，2γ2，2γ3)， ｜A＋B｜＝｜α＋β，2γ1，2γ2，2γ3｜＝8｜α＋β，γ1，γ2，γ3｜ ＝8(｜α，γ1，γ2，γ3｜＋｜β，γ1，γ2，γ3｜) ＝8(2＋3)＝40． 涉及知识点：行列式
2． 设f(μ，ν)为二元可微函数，z=f(xy，yx)，求.
正确答案： 涉及知识点：多元函数积分学
3． 设ex+y=y确定y=y(x)，求y′，y″；
正确答案：注意y是x的函数，将方程两端对x求导得ex+y(1+y′)=y′，即y′=．(这里用方程ex+y=y化简)再对x求导得或将满足的方程两边对x求导得的表达式，同样可求得 涉及知识点：一元函数的导数与微分概念及其计算
4． 求
正确答案： 涉及知识点：高等数学
5． 求极限。
正确答案： 涉及知识点：函数、极限、连续
6． 设A=(aij)为n阶方阵，证明：对任意的n维列向量X，都有XTAX=0A为反对称矩阵．
正确答案：必要性：取X=εj =(0，…，0，1，0，…，0)T(第j个分量为1，其余分量全为零的n维列向量)，则由0=εjTAεj=aij，及i≠j时，有0=(εi +εj)TA(εi+εj)=εiTAεi+εiTAεi+εjTAεi+εjTAεj=0+aij+aij+0=aij+aji，可知A为反对称矩阵．充分性：若AT=一A，则XATX=一XTAX，又XTATX为1阶方阵，其转置不变，因而有XTATX=(XTATX)T=XTAX→XTAX=一XTAX→2XTAX=0→XTAX=0． 涉及知识点：线性代数
考研数学一(选择题)模拟试卷50(题后含答案及解析)
考研数学一（选择题）模拟试卷50 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． 已知f(χ)＝，g(χ)＝∫01-cosχtantdt和h(χ)＝tanχ－sinχ当χ→0时都是无穷小量，若按照它们关于χ的阶数从低到高的顺序排列起来，则是
A．f(χ)，g(χ)，h(χ)．
B．h(χ)，f(χ)，g(χ)．
C．f(χ)，h(χ)，g(χ)．
D．h(χ)，g(χ)，f(χ)．
正确答案：C
解析：利用当χ→0时的等价无穷小关系：tanχ～χ，1－cosχ～和ln(1＋χ)～χ，不难得出当χ→0时， f(χ)＝ g(χ)＝∫01-cosχtantdt＝－ln(cost)｜01-cosχ＝－ln[cos(1－cosχ)] ＝1－cos(1－cosχ)～(1－cosχ)2～， h(χ)＝tanχ－sinχ＝(1－cosχ)tanχ～． 由此可知当χ→0时，f(χ)是关于χ的二阶无穷小，g(χ)是关于χ的四阶无穷小，而h(χ)是关予χ的三阶无穷小．故应选
C． 知识模块：高等数学
2． 设{an}与{bn}为两个数列，下列说法正确的是( )．
A．若{an}与{bn}都发散，则{anbn}一定发散
B．若{an}与{bn}都无界，则{anbn}一定无界
C．若{an}无界且=0
D．若an为无穷大，且bn=0，则bn一定是无穷小
正确答案：D
解析：(A)不对，如an=2+(一1)n，bn=2一(一1)n，显然{an}与{bn}都发散，但anbn=3，显然{anbn}收敛；(B)、(C)都不对，如an=n[1+(一1)n]，bn=h[1一(一1)n]，显然{an}与{bn}都无界，但anbn=0，显然{anbn}有界≠0；正确答案为(D)． 知识模块：高等数学
3． 已知二次型f(x1，x2，x3)=3x12+cx22+x32-2x1x2+2x1x3-2x2x3的秩为2，则c的值为( )．
考研数学一(填空题)模拟试卷1(题后含答案及解析)
考研数学一（填空题）模拟试卷1 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． 当x→0时，x—sinxcos2x～cx2，则c=___________，k=___________．
正确答案：c=，k=3．
解析： 知识模块：高等数学
2． 方程｜A｜＝＝0的根是_______．
正确答案：a1，a2，a3，－(a1＋a2＋a3)
解析：由观察可知，χ1＝a1时，1、2行对应元素相等，｜A｜＝0；χ2＝a2时，2、3行对应元素相等，｜A｜＝0，χ3＝a3，时，3、4行对应元素相等，｜A｜＝0． 又由行列式的每行元素和为χ＋a1＋a2＋a3，将2、3、4列各元素加到第1列相应元素上去，且提取公因式得 ｜A｜＝(χ＋a1＋a2＋a3)＝0，故有χ＝－(a1＋a2＋a3) 所以方程是一元四次方程，四个根依次是a1，a2，a3，－(a1＋a2＋a3)． 知识模块：行列式
3． 设α，β均为3维列向量，βT是β的转置矩阵，如果αβT＝，则αβT＝_______．
正确答案：5
解析：设α＝(a1，a2，a3)T，β＝(b1，b2，b3)T，则 而αTβ＝(a1，a2，a3)＝a1b1＋a2b2＋a3b3 可以看出αTβ也就是矩阵αβT的主对角线元素的和，所以 αTβ＝1＋6＋(－2)＝5． 知识模块：矩阵
4． 设函数f(x)有任意阶导数且f’(x)=f2(x)，则f(n)(x)=______(n＞2)·
正确答案：n!fn+1(x)
解析：将f’(x)=f2(x)两边求导得f”(x)=2f(x)f’(x)=2f3(x)，再求导得
f”‘(x)=3!f2(x)f’(x)=3!f4(x)．由此可归纳证明f(n)(x)=n!fn+1(x)． 知识模块：一元函数的导数与微分概念及其计算
5． 设y=sinx2，则=____________．
正确答案：
解析：设u=x3，则x=，于是由复合函数求导法则即得 知识模块：一元函数的导数与微分概念及其计算
考研数学一(选择题)高频考点模拟试卷1(题后含答案及解析)
考研数学一（选择题）高频考点模拟试卷1 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． 无界的一个区间是 ( )
A．(－∞，－1)
B．(－1，0)
C．(0，1)
D．(1，+∞)
正确答案：C
解析：因此f(x)在区间(0，1)内无界．其他三个区间内f(x)都是有界的． 知识模块：函数、极限、连续
2． 若f(x)在开区间(a，b)内可导，且x1，x2是(a，b)内任意两点，则至少存在一点ξ，使下列诸式中成立的是 ( )
A．f(x2)-f(x1)=(x1-x2)f’(ξ)，ξ∈(a，b)
B．f(x1)-f(x2)=(x1-x2)f’(ξ)，ξ在x1，x2之间
C．f(x1)-f(x2)=(x2-x1)f’(ξ)，x1＜ξ＜x2
D．f(x2)-f(x1)=(x2-x1)f’(ξ)，x1＜ξ＜x2
正确答案：B
解析：由拉格朗日中值定理易知(A)，(C)错，(B)正确，又因未知x1与x2的大小关系，知(D)不正确． 知识模块：一元函数微分学
3． 设X1和X2是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为f1(x)和f2(x)，分布函数分别为F1(x)和F2(x)，则
A．f1(x)+f2(x)必为某一随机变赶的概率密度．
B．f1(x)f2(x)必为某一随机变量的概率密度．
C．F1(x)+F2(x)必为某～随机变量的分布函数．
D．F1(x)F2(x)必为某一随机变量的分布函数．
正确答案：D 涉及知识点：综合
4． 设f(x)=，其中g(x)为有界函数，则f(x)在x=0处( )．
A．极限不存在
B．极限存在，但不连续
C．连续，但不可导
D．可导
正确答案：D
解析：因为f(0＋0)=，所以f(x)在x=0处连续；=0，即f＋’(0)=0，=0，即f
－’=0，因为f＋’=f－’=0，所以f(x)在x=0处可导，应选(D)． 知识模块：高等数学
考研数学一(高等数学)模拟试卷22(题后含答案及解析)
考研数学一（高等数学）模拟试卷22 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 设f(x)，g(x)是连续函数，当x→0时，f(x)与g(x)是等价无穷小，令F(x)＝，G(x)＝，则当x→0时，F(x)是G(x)的( )．
A．高阶无穷小
B．低阶无穷小
C．同阶但非等价无穷小
D．等价无穷小
正确答案：D
解析： 知识模块：高等数学部分
2． 设F(x)＝，则F(x)( )．
A．为正常数
B．为负常数
C．为零
D．取值与x有关
正确答案：A
解析： 知识模块：高等数学部分
3． 设，则当x→0时，两个无穷小的关系是( )．
A．高阶无穷小
B．低阶无穷小
C．同阶非等价无穷小
D．等价无穷小
正确答案：C
解析：因为，所以两无穷小同阶但非等价，选 知识模块：高等数学部分
4．
A．单调减少
B．无界
C．连续
D．有第一类间断点
正确答案：C
解析：因为f(x)在(0，2)内只有第一类间断点，所以g(x)在(0，2)内连续，选（C）。 知识模块：高等数学部分
5． 设f(x)在R上是以T为周期的连续奇函数，则下列函数中不是周期函数的是( )．
A．
B．
C．
D．
正确答案：D
解析： 知识模块：高等数学部分
6． 设函数f(x)连续，下列变上限积分函数中，必为偶函数的是( )．
A．
B．
C．
D．
正确答案：B
解析： 知识模块：高等数学部分
7．
A．等于0
B．大于0
C．小于0
D．不能确定
正确答案：B
解析： 知识模块：高等数学部分
8． 若由曲线y＝，曲线上某点处的切线以及x＝1，x＝3围成的平面区域的面积最小，则该切线是( )．
A．
B．
C．
D．
正确答案：A
解析： 知识模块：高等数学部分
考研数学一(填空题)模拟试卷45(题后含答案及解析)
考研数学一（填空题）模拟试卷45 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． 设随机变量X服从均值为10，均方差为0．02的正态分布，已知，Φ(2．5)=0．9938，则X落在区间(9．95，10．05)内的概率为_______．
正确答案：0．9876
解析：由题意，X～N(10，0．022)，∴P{9．95＜X＜10．05)==Φ(2．5)-Φ(-2．5)=2Φ(2．5)-1=2×0．9938-1=0．9876 知识模块：概率论与数理统计
2． 设则d2y／dx2=_______．
正确答案：
解析： 知识模块：高等数学
3． 函数f(x)=｜4x3—18x2+27｜在区间[0，2]上的最小值为______，最大值为______。
正确答案：0；27
解析：令φ(x)=4x3—18x2+27，则所以φ(x)在[0，2]上单调递减，φ(0)=27，φ(2)= —13，由介值定理知，存在唯一x0∈(0，2)，使φ(x0)=0。且f(0)=27，f(x0)=0，f(2)=13，因此，f(x)在[0，2]上的最小值为0，最大值为27。 知识模块：一元函数微分学
4． 设∫xf(x)dx=arcsinx+C，则=___________。
正确答案：
解析： 知识模块：高等数学
5． 已知随机变量X与Y独立同分布，且X的分布函数为F(x)，记Z=max(X，Y)，则(X，Z)的联合分布函数F(x，z)=________．
正确答案：
解析：已知X与Y独立且有相同分布F(x)，所以(X，Z)的联合分布函数F(x，z)=P{X≤x，max(X，Y)≤z}=P{X≤x，X≤z，Y≤z} 知识模块：概率与数理统计
6．
正确答案：1
解析： 知识模块：一元函数积分学
7． D是圆周x2+y2=Rx所围成的闭区域，则=________。
正确答案：
解析：圆周x2+y2=Rx所围成的闭区域可用极坐标表示为 知识模块：高等数学
考研数学一(填空题)模拟试卷12(题后含答案及解析)
考研数学一（填空题）模拟试卷12 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． (Ⅰ)在一个n阶行列式D中等于“0”的元素个数大于n2-n，则D=_______。(Ⅱ)D==_______。
正确答案：0，-2000!
解析：(Ⅰ)n阶行列式D共有n2个元素，由于“0”元素的个数大于n2-n，所以非“0”元素的个数小于n(因为n2-(n2-n)=n)。由n阶行列式的概念可知，D的每一项均为0(因为每一项中至少有一个“0”元素)，故D=0。(Ⅱ)D=(-1)r(n-1，n-2，…，n)a1，n-1a2，n-2…an-1,1ann=a1，n-1a2，n-2…ann×2×3×…×1999×2000=-2000!。 知识模块：行列式
2． 已知二次型f(x1，x2，x3)=x12+5x22+x32+2x1x2+2ax2x3为正定二次型，则a的取值范围________.
正确答案：-2<a<2 涉及知识点：常微分方程
3． 若f(x)=在(一∞，+∞)内连续，则a=_________．
正确答案：0
解析：因为f(c)在(一∞，0)及(0，+00)内连续，所以需要确定数a，使f(x)在x=0处连续． 当=a时，f(x)在x=0处连续，因此a=0时，f(x)在(一∞，+∞)内连续． 知识模块：函数、极限、连续
4． 设y=ln(1+x2)，则y(n)(0)=_______．
正确答案：0
解析：y为偶函数y(5)(x)为奇函数y(5)(0)=0． 知识模块：高等数学
5． 函数f(x)=｜4x3一18x2+27｜在[0，2]上的最小值是________，最大值是________。
正确答案：0，27
解析：设φ(x)=4x3一18x2+27，则因此φ(x)在[0，2]上单调下降，且φ(0)=27，φ(2)=一13，因此存在唯一一点x2∈(0，2)，使得φ(x2)=0，由于f(x)=｜φ(x)｜，可得f(0)=27，f(x0)=0，f(2)=13。 因此，f(x)在[0，2]的最小值为0，最大值为27。 知识模块：一元函数微分学
考研数学一(填空题)模拟试卷40(题后含答案及解析)
考研数学一（填空题）模拟试卷40 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． 设f(x)=在x=0处连续，则a=__________。
正确答案：
解析： 知识模块：高等数学
2． 设B=(E+A)—1(E—A)，则(E+B)—1=________．
正确答案：
解析：E+B=E+(E+A)—1(E一A)，两端左乘E+A，得(E+A)(E+B)=E+A+E—A=2E→[(E+A)](E+B)=E→(E+B)—1= 知识模块：线性代数
3． 设数列{an}单调递减，an=0，Sn=ak(n=1,2,...)无界，则幂级数an（x-1）n的收敛域是___________.
正确答案：[0,2) 涉及知识点：无穷级数
4．
正确答案：
解析： 知识模块：高等数学部分
5． 经过点A(一1，2，3)，垂直于直线L：且与平面∏：7x+8y+9z+10=0平行的直线方程是______．
正确答案：
解析：用交面式．所求直线在过点A以L的方向向量S={4，5，6}为法向量的平面∏1上，也在过A点以∏的法向量n={7，8，9}为法向量的平面∏2上． ∏1： 4(x+1)+5(y一2)+6(z一3)=0， ∏2： 7(x+1)+8(y一2)+9(z一3)=0，故所求直线方程为 知识模块：向量代数和空间解析几何
6． 已知A是4阶矩阵，α1与α2是线性方程组Aχ＝b的两个不同的解，则r((A*)*)＝_______．
正确答案：0
解析：因为α1－α2是齐次方程组Aχ＝0的非零解，故｜A｜＝0． 由于r((A*)*)＝ 可见r((A*)*)＝0． 知识模块：线性代数
7． 若α，β，γ是单位向量且满足α+β+γ=0，则以α，β为边的平行
四边形的面积S=________。
正确答案：
解析：令＜α，β＞=θ，则以α，β为边的平行四边形的面积为 S=｜α×β｜=｜α｜｜β｜sinθ由α+β+γ=0可得如下方程组解得α.β=。因此，所求平行四边形的面积 知识模块：高等数学
考研数学一(高等数学)模拟试卷213(题后含答案及解析)
考研数学一（高等数学）模拟试卷213 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 设直线L：及平面π：4x一2y+z一6=0，则直线L( )．
A．平行于平面π
B．在平面π上
C．垂直于平面π
D．与平面π斜交
正确答案：C
解析：直线L的方向向量为s=｛1，3，2｝×｛2，－1，－10｝=｛一28，14，一7｝，因为s／／n，所以直线L与平面π垂直，正确答案为(C)． 知识模块：高等数学
2． 设an＞0(n=1，2，…)且收敛，又0＜k＜( )．
A．绝对收敛
B．条件收敛
C．发散
D．敛散性与k有关
正确答案：A
解析：令μn=收敛，所以绝对收敛，选(A)． 知识模块：高等数学
填空题
3． 当x→0时，ex一为x的3阶无穷小，则a=_______，b=________．
正确答案：
解析：由ex=1+x++ο(x3)，=1一bx+b2x2一b3x3+ο(x)3，得=(1+ax)[1一bx+b2x2一b3x3+ο(x3)]=1+(a一b)x+(b2一ab)x2+(ab2一b3)x3+ο(x3)， 知识模块：高等数学
4． 设f(x)一阶可导，且f(0)=f’(0)=1，则=________．
正确答案：2
解析： 知识模块：高等数学
5． =_________．
正确答案：
解析： 知识模块：高等数学
6． 设f(x)是以T为周期的连续函数，且F(x)=∫0xf(t)dt+bx也是以T为周期的连续函数，则b=________．
正确答案：∫0Tf(t)dt
解析：F(x+T)=∫0x＋Tf(t)dt+b(x+T)=∫0xf(t)dt+bx+∫xx＋Tf(t)dt+bT=F(x)+∫xx＋Tf(t)dt+bT=F(x)+∫0Tf(t)dt+bT，由F(x+T)=F(x)，得b=∫0Tf(t)dt． 知识模块：高等数学
考研数学一(函数、极限、连续)模拟试卷20(题后含答案及解析)
考研数学一（函数、极限、连续）模拟试卷20 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 设f(x)在(－∞，+∞)内有定义，且则( )
A．x=0必是g(x)的第一类间断点。
B．x=0必是g(x)的第二类间断点。
C．x=0必是g(x)的连续点。
D．g(x)在点x=0处的连续性与a的取值有关。
正确答案：D
解析：因为又g(0)=0，故 当a=0时，即g(x)在点x=0处连续； 当a≠0时，即x=0是g(x)的第一类间断点。 因此，g(x)在点x=0处的连续性与a的取值有关，故选(D)。 知识模块：函数、极限、连续
2． 下列各式中正确的是( )
A．
B．
C．
D．
正确答案：A
解析：对于选项(A)，其中 因此故(A)项正确，(B)项错误。 对于选项(C)，故(C)项错误。 对于选项(D)，故(D)项错误。 知识模块：函数、极限、连续
3． 当x→0+时，与等价的无穷小量是( )
A．
B．
C．
D．
正确答案：B
解析：当x→0+时，有等价无穷小量 故用排除法可得，故选(B)。
知识模块：函数、极限、连续
4． 设其中a2+c2≠0，则必有( )
A．6=4d。
B．b=－4d。
C．a=4c。
D．a=－4c。
正确答案：D
解析：当x→0时，由等价无穷小代换及无穷小阶的定义可知，tanx，ln(1－2x)均为x的一阶无穷小；而1－cosx，1－e－x2均为x的二阶无穷小，因此有
故有即a=－4c，故选(D)。 知识模块：函数、极限、连续
5． 设在(－∞，+∞)内连续，但则常数a，b满足( )
A．a≤0，b＜0。
B．a≥0，b＞0。
C．a≤0，b＞0。
D．a≥0，b＜0。