双曲线教案完整篇
高中数学教案双曲线
高中数学教案双曲线
教学目标：
1. 理解双曲线的定义及性质。
2. 学会画双曲线的图像。
3. 掌握双曲线的标准方程及性质。
教学重点：
1. 双曲线的定义及图像。
2. 双曲线的标准方程及性质。
教学难点：
1. 理解双曲线与其他曲线的区别。
2. 掌握双曲线的标准方程。
教学准备：
1. 教材：高中数学教科书。
2. 工具：黑板、白板、彩色粉笔、尺子、圆规等。
3. 资料：双曲线相关问题的练习题。
教学过程：
一、导入新知识（5分钟）
教师引入双曲线的定义，引导学生探讨双曲线与其他曲线的区别。
二、讲解双曲线的定义及性质（10分钟）
教师讲解双曲线的定义及基本性质，引导学生理解双曲线的图像和特点。
三、练习画双曲线的图像（15分钟）
教师现场演示如何画双曲线的图像，并让学生跟随操作，进行练习。
四、讲解双曲线的标准方程及性质（10分钟）
教师讲解双曲线的标准方程，并介绍双曲线的一些重要性质。
五、练习题训练（10分钟）
教师布置一些双曲线相关的练习题，让学生在课后进行练习，加深对双曲线的理解。
六、课堂总结（5分钟）
教师对本节课内容进行总结，强调双曲线的重要性及应用。
七、作业布置（5分钟）
教师布置相关的作业，巩固学生对双曲线的理解与掌握。
教学反思：
通过本节课的教学，学生对双曲线有了初步的认识和理解，但在实际画图和解题中，仍需多加练习，加深对双曲线的理解和掌握。
下节课将进一步讲解双曲线的相关知识，并进行更多的练习。
双曲线教案(详案)
2.3.1双曲线及其标准方程一、复习回顾： 老师：老师：我们根据椭圆的定义：与两定点距离的和为非零常数（大于两定点间的距离）的点的轨迹是椭圆.可以画出椭圆的图形。
并且椭圆有上面两种情况，一种交点在x 轴上，第二种交点在y 轴上. 思考？ 平面上到两个定点的距离的差的绝对值等于常数的点的轨迹又是什么图形呢？ 引入实例画双曲线：(1)取一条拉链，拉开一部分(2)在拉开的两边上各选择一点，固定在板上的两点 F 1、F 2(3)把笔尖放在点M 处，随着拉链逐渐拉开闭拢，画出一条曲线（利用几何画板展示画双曲线）画双曲线.exe老师： 我们看到最后画出的是这样的一个图形，这就是我们今天所学习的新的图形叫做“双曲线”板书：二、双曲线的定义：1、平面上到两个定点的距离的差的绝对值等于常数2a(小于|F 1F 2 |)的点的轨迹叫双曲线2、定点F 1、F 2叫做双曲线的焦点．3、两焦点之间的距离叫做焦距(2c)．三、双曲线的标准方程老师： 我们之前学习了椭圆有两种标准方程，那么我们今天所学习的双曲线呢，它的标准方程又是什么呢？下面我们一起来探讨一下。
板书：(板书推导出标准方程)x22221(0)x y a b a b +=>>221(0)a b a b+=>>第一步 建立直角坐标系以线段F 1F 2中点为坐标原点，F 1F 2所在直线为 x 轴，建立平面直角坐标系，则F 1(-c,0)，F 2(c,0).第二步 设点设M (x , y )第三步 列式由定义可得 ||MF 1|-|MF 2||＝2a第四步 代坐标 √(x +a)2+y 2－√(x −a)2+y 2 =2a第五步 化简(c 2-a 2) x 2+a 2y 2=a 2(c 2−a 2)设 c 2-a 2＝b 2得 b 2x 2−a 2y 2=a 2b 2标准方程：x 2a 2－y 2b2=1 图形：特点：（1）、表示焦点在x 轴上的双曲线（2）、其焦点坐标为（c,0),(-c,0)（3）、双曲线上每一点到两焦点距离之差的绝对值为2a即：x 2a 2－y 2b 2=1（双曲线的标准方程）四、分类老师：我们前面学习了椭圆，我们知道椭圆有两种不同的图形，那么我们今天学习的双曲线呢，也有两种类型。
双曲线教学案例
双曲线教学案例
一、教学目标
1. 理解双曲线的定义，掌握双曲线的标准方程及其性质。
2. 通过对双曲线的探究，培养学生的数形结合思想。
3. 激发学生的学习兴趣，培养学生的自主学习能力和数学思维能力。
二、教学内容
1. 双曲线的定义与标准方程
2. 双曲线的几何性质
3. 双曲线的实际应用
三、教学重点与难点
重点：双曲线的定义、标准方程及其几何性质。
难点：双曲线方程的推导及其几何意义的理解。
四、教具和多媒体资源
1. 黑板
2. 投影仪
3. 教学软件：GeoGebra、几何画板等。
五、教学方法与手段
1. 教学方法：情境导入法、讲解法、小组讨论法。
2. 教学手段：利用多媒体资源，结合传统板书，进行动态演示和讲解。
六、教学过程
1. 导入新课（5分钟）
通过展示一些与双曲线相关的图片或动画，引导学生思考双曲线的形状和特点，从而导入新课。
2. 讲解新课（30分钟）
（1）定义讲解：通过实例解释双曲线的定义，引导学生理解双曲线的本质属性。
（2）标准方程推导：通过代数方法推导双曲线的标准方程，利用教学软件进行动态演示。
（3）几何性质分析：结合图形分析双曲线的几何性质，如对称性、顶点、渐近线等。
3. 巩固练习（15分钟）
设计相关练习题，让学生亲自动手计算和推导，加深对双曲线知识的理解。
4. 归纳小结（5分钟）
对本节课所学内容进行总结，强调双曲线的定义、标准方程及其几何性质，让学生明确本节课的重点和难点。
5. 布置作业（5分钟）
布置相关练习题，让学生课后自主完成，巩固所学知识。
高中数学选修1,1《双曲线》教案
高中数学选修1,1《双曲线》教案高中数学选修1-1《双曲线》教案【一】教学准备教学目标教学目标: 1.能用与椭圆对比的方法分析并掌握双曲线的范围、对称性、顶点等几何性质;2.掌握双曲线的渐近线的概念和证明;3.明确双曲线标准方程中a、b、c的几何意义;4.能根据双曲线的几何性质确定双曲线的方程, 并解决简单问题.教学重难点教学重点: 双曲线的几何性质教学难点: 双曲线的渐近线教学过程教学过程:一、知识回顾:1. 双曲线的标准方程;2. 椭圆的几何性质及其研究方法.二、课堂新授:1. 要求学生按照研究椭圆几何性质的方法, 研究双曲线的几何性质.(1) 范围: 双曲线在不等式x≤-a与x≥a所表示的区域内.(2) 对称性: 双曲线关于每个坐标轴和原点都是对称的. 这时, 坐标轴是双曲线的对称轴, 原点是双曲线的对称中心. 双曲线的对称中心叫做双曲线的中心.(3) 顶点: 双曲线和它的对称轴有两个交点, 它们叫做双曲线的顶点.顶点坐标A1 (-a, 0), A2 (a, 0)① 线段A1A2叫做双曲线的实轴, 它的长等于2a, a叫做双曲线的实半轴长.② 双曲线与y轴没有交点, 取点B1 (0,-b)、 B2 (0, b), 线段B1B2叫做双曲线的虚轴, 它的长等于2b, b叫做双曲线的虚半轴长.(4) 离心率: 双曲线的焦距与实轴长的比e = , 叫做双曲线的离心率.双曲线的离心率的取值范围是(1, +∞).2. 双曲线的渐近线(1) 观察: 经过A2、A1作y轴的平行线x = ±a, 经过B2、B1作x 轴的平行线y = ±b, 四条直线围成一个矩形. 矩形的两条对角线所在直线的方程是y =±x, 观察可知: 双曲线的各支向外延伸时, 与这两条直线逐渐接近.(2) 证明: 取双曲线在第一象限内的部分进行证明. 这一部分的方程可写为高中数学选修1-1《双曲线》教案【二】教学准备教学目标1、熟练掌握曲线的方程和方程的曲线概念;2、掌握坐标法和解析几何的概念3、掌握根据已知条件求平面曲线方程的基本步骤;4、学会根据已知条件求简单的平面曲线的方程。
高中双曲线数学教案全套
高中双曲线数学教案全套一、教学目标：1.了解双曲线的定义和性质；2.能够画出双曲线的图像；3.掌握双曲线的标准方程和参数方程；4.能够解决双曲线的相关问题。
二、教学重点与难点：1.掌握双曲线的定义和性质；2.能够画出双曲线的图像；3.掌握双曲线的标准方程和参数方程；三、教学内容：1.双曲线的定义和性质；2.双曲线的标准方程和参数方程；3.双曲线的图像和性质分析；4.双曲线的应用问题解决。
四、教学过程：1.引入双曲线的定义和性质；2.介绍双曲线的标准方程和参数方程；3.讲解双曲线的图像和性质分析；4.进行实例讲解和习题练习；5.解决双曲线的应用问题。
五、教学反馈：1.让学生展示他们画出的双曲线图像；2.检查学生对双曲线的理解和应用能力；3.对学生的错误进行及时纠正和指导。
六、教学评价：1.根据学生对双曲线的理解和应用情况进行评价；2.评价学生在画双曲线图像和解决双曲线问题时的能力；3.及时给予学生反馈和指导，促进学生的学习进步。
七、教学环节设计：1.通过示例引入双曲线的定义和性质；2.讲解双曲线的标准方程和参数方程；3.展示双曲线的图像并进行性质分析；4.进行实例讲解和习题练习；5.解决双曲线的应用问题。
八、教学手段：1.教学PPT；2.黑板、彩色粉笔；3.习题册、教材；4.计算器。
九、教学后记：本节课主要介绍了双曲线的定义、性质、标准方程和参数方程，主要强调了双曲线的图像和应用问题。
学生掌握了双曲线的基本知识，并能够解决与双曲线相关的问题。
需要针对学生的学习情况进行巩固和拓展，并鼓励学生勇于挑战更高难度的问题。
双曲线的几何性质教案
双曲线的几何性质教案【教案】一、教学目标：1.了解双曲线的定义及基本特点；2.学习双曲线的标准方程；3.掌握双曲线的几何性质。
二、教学重点：1.学习双曲线的标准方程；2.掌握双曲线的几何性质。
三、教学内容：1.双曲线的定义及基本特点：双曲线是平面上一类特殊的曲线，与椭圆和抛物线相似，它们都是二次曲线。
双曲线的特点是曲线上的每一点到两个固定点（称为焦点）的距离之差等于一个常数（称为离心率）的绝对值。
双曲线有两条分支，两个焦点分别位于两条分支的焦点处。
两条分支无限延伸，且永不相交。
2.双曲线的标准方程：标准方程：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 或$\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1$。
其中，a为双曲线横轴方向的半轴长，b为双曲线纵轴方向的半轴长。
3.双曲线的几何性质：(1) 对称性：双曲线关于x轴、y轴对称，关于原点对称；(2) 焦点性质：曲线上任意一点到两个焦点的距离之差等于离心率的绝对值；(3) 焦点到顶点的距离等于半轴长a；(4) 曲线和渐近线的关系：当$x\to+\infty$或$x\to-\infty$时，曲线趋于渐近线$y=\pm\frac{b}{a}x$；(5) 端点位置：双曲线与横轴和纵轴的交点分别称为端点，位于横轴上的端点坐标为$(\pm a, 0)$，位于纵轴上的端点坐标为$(0, \pm b)$；(6) 曲线的拐点：双曲线没有拐点。
四、教学过程：1.引入双曲线的概念，通过图像展示和对比椭圆、抛物线等曲线的差异，激发学生的兴趣。
2.介绍双曲线的定义及基本特点：说明双曲线与焦点、离心率的关系，引导学生思考对称性、焦点性质等几何特征。
3.讲解双曲线的标准方程：通过代入具体的数值，给予学生实际的例子，帮助他们理解标准方程的含义。
4.分析双曲线的几何性质：依次介绍对称性、焦点性质、焦点到顶点的距离、曲线和渐近线的关系、端点位置以及曲线的拐点等重要几何性质。
2.3.2双曲线的简单几何性质教学设计(优秀教案)
双曲线的简单几何性质教案一、学习目标知识目标: 了解双曲线的简单几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线、离心率。
能力目标: 通过观察、类比、转化、概括等探究，提高学生运用方程研究双曲线的性质的能力. 情感目标: 使学生在合作探究活动中体验成功, 激发学习热情，感受事物之间处处存在联系.二、学习重点、难点1. 教学重点：双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质；2. 教学难点：双曲线的渐近线.三、学习过程：（一）复习式导入：在椭圆部分，我们曾经从图形和标准方程两个角度来研究椭圆的几何性质。
那么，你认为应该研究双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的哪些性质呢？范围、对称性、顶点、离心率等.这就是我们今天要共同学习的内容：双曲线的简单几何性质 （二）新课：我们先来研究一下焦点坐标在x 轴上的双曲线的简单几何性质。
1双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的简单几何性质（1）范围从图形看，x 的取值范围是什么？ 师生： 从标准方程能否得出这个结论呢？ y 的范围呢？R y ∈（2）对称性从图形看，双曲线关于什么对称性？ 生：关于x 轴、y 轴和原点都是对称的那么，类比椭圆几何性质的推导，从标准方程如何得出这个结论呢？提示：用y -代替原方程中的y ，若方程不变，则该曲线……关于x 轴对称。
同理，若用x -代替原方程中的x ，若方程不变，则该曲线关于y 轴对称。
若用y x --,分别代替原方程中的y x ,，若方程不变，则该曲线关于原点对称。
所以，双曲线是关于x 轴、y 轴和原点都是对称的。
x 轴、y 轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫做双曲线的中心。
（3）顶点椭圆的顶点有几个？（4个）它是如何定义的？（椭圆与对称轴的交点）类比椭圆顶点的定义，我们把双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点。
由图形可以看到，双曲a x a x -≤≥或012222≥-=ax b y 2222,1a x ax≥≥∴即ax a x -≤≥∴或线22221(0,0)x y a b a b-=>>的顶点有几个？顶点坐标是？(,0)a ± 虽然对比椭圆，双曲线只有两个顶点，但我们仍然把(0,)b ±标在图形上。
教案双曲线及其标准方程
双曲线及其标准方程教学目标：1. 了解双曲线的定义和性质。
2. 学会如何求解双曲线的标准方程。
3. 能够运用双曲线的性质和标准方程解决实际问题。
教学内容：第一章：双曲线的定义与性质1.1 双曲线的定义1.2 双曲线的性质第二章：双曲线的标准方程2.1 双曲线的标准方程2.2 双曲线标准方程的求解方法第三章：双曲线的渐近线3.1 渐近线的定义3.2 渐近线与双曲线的关系第四章：双曲线的焦点和顶点4.1 焦点的定义和性质4.2 顶点的定义和性质第五章：双曲线的参数方程5.1 参数方程的定义5.2 双曲线的参数方程求解方法教学过程：第一章：双曲线的定义与性质1.1 双曲线的定义【讲解】双曲线是平面上到两个定点（焦点）距离之差等于常数的点的轨迹。
【例题】求点P(x, y)到两个定点F1(-3, 0)和F2(3, 0)距离之差等于4的点的轨迹方程。
1.2 双曲线的性质【讲解】1. 双曲线的中心在原点。
2. 双曲线的焦点在x轴上。
3. 双曲线的实轴是连接两个焦点的线段。
4. 双曲线的渐近线是y=±(b/a)x。
【练习】判断双曲线的焦点位置和渐近线方程。
第二章：双曲线的标准方程2.1 双曲线的标准方程【讲解】双曲线的标准方程为：x^2/a^2 y^2/b^2 = 1。
【例题】求双曲线的标准方程，已知焦点在x轴上，实轴长为2a，焦距为2c。
2.2 双曲线标准方程的求解方法【讲解】求解双曲线标准方程的方法有：1. 直接法：根据双曲线的定义和性质，列出方程。
2. 代换法：将双曲线的参数方程代入标准方程求解。
【练习】求解双曲线的标准方程，给定焦点和实轴长。
第三章：双曲线的渐近线3.1 渐近线的定义【讲解】双曲线的渐近线是y=±(b/a)x。
【例题】求双曲线的渐近线方程，已知双曲线的标准方程为x^2/4 y^2/3 = 1。
3.2 渐近线与双曲线的关系【讲解】渐近线与双曲线相交于两个点，这两个点的坐标满足双曲线的方程。
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2.3.1双曲线及其标准方程
教学目标：
1.知识与技能
掌握双曲线的定义,标准方程,并会根据已知条件求双曲线的标准方程. 2.过程与方法
教材通过具体实例类比椭圆的定义,引出双曲线的定义,通过类比推导出双曲线的标准方程.
3.情感、态度与价值观
通过本节课的学习,可以培养我们类比推理的能力,激发我们的学习兴趣,培养学生思考问题、分析问题、解决问题的能力.
教学重点:双曲线的定义、标准方程及其简单应用
教学难点:双曲线标准方程的推导
授课类型：新授课
教具：多媒体、实物投影仪
教学过程:
一.情境设置
1.复习提问：
(由一位学生口答，教师利用多媒体投影)
问题 1：椭圆的定义是什么？
问题 2：椭圆的标准方程是怎样的？
问题3：如果把上述椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会发生什么变化？它的方程又是怎样的呢？
2.探究新知:
(1)演示：引导学生用《几何画板》作出双曲线的图象，并利用课件进行双曲线的模拟实验，思考以下问题。
(2)设问：①|MF
1|与|MF
2
|哪个大？
②点M到F
1与F
2
两点的距离的差怎样表示？
③||MF
1|-|MF
2
||与|F
1
F
2
|有何关系？
（请学生回答：应小于|F
1F
2
| 且大于零，当常数等于|F
1
F
2
| 时，轨迹是以
F 1、F
2
为端点的两条射线；当常数大于|F
1
F
2
| 时，无轨迹）
二.理论建构
1.双曲线的定义
引导学生概括出双曲线的定义：
定义:平面内与两个定点F
1、F
2
的距离的差的绝对值等于常数（小于<|F
1
F
2
|）
的点轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距。
（投影）
概念中几个关键词：“平面内”、“距离的差的绝对值”、“常数小于21F F ” 2.双曲线的标准方程
现在我们可以用类似求椭圆标准方程的方法来求双曲线的标准方程，请学生思考、回忆椭圆标准方程的推导方法，随即引导学生给出双曲线标准方程的推导（教师使用多媒体演示）
（1）建系
取过焦点F 1、F 2的直线为x 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系。
(2) 设点
设M （x ,y ）为双曲线上任意一点，双曲线的焦距为2c （c>0），则F 1（－c ，0）、F 2（c ，0），又设点M 与F 1、F 2的距离的差的绝对值等于常数2a （2a <2c ）.
（3）列式
由定义可知,双曲线上点的集合是P={M|||MF 1|－|MF 2||=2a }. 即:
（4）化简方程
由学生板演，教师巡视。
化简，整理得：
移项，两边平方得
两边再平方后整理得
由双曲线定义知
这个方程叫做双曲线的标准方程，它所表示的双曲线的焦点在x 轴上，焦
()(),
22
22
2a y c x y c x =+--
++()()a
y c x y c x 22
22
2±=+--
++()2
22y c x a
a cx +-±=-()()
2
2222222
a c a y a x a c
-=--)
0,0(1)0(,0,2222
2222222>>=->=->-∴>>b a b
y a x b b a c a c a c a c 代入上式整理得设即
点是F 1（-c ，0）、F 2（c ，0），
思考: 双曲线的焦点F 1（0,－c ）、F 2（0,c ）在y 轴上的标准方程是什么?
学生得到: 双曲线的标准方程:)0(,122
22>>=-b a b
x a y .
注:
(1).双曲线的标准方程的特点：
①双曲线的标准方程有焦点在x 轴上和焦点y 轴上两种：
焦点在x 轴上时双曲线的标准方程为：122
22=-b y a x (0>a ,0>b )；
焦点在y 轴上时双曲线的标准方程为：122
22=-b
x a y (0>a ,0>b )
②c b a ,,有关系式222b a c +=成立，且,0,0>>>c b a
其中a 与b 的大小关系:可以为a b a b a ><=,,(2).焦点的位置:从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母
2x 、2y 项的分母的大小来确定，分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在
的轴 而双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置，即2x 项的系数是正的，
那么焦点在x 轴上；2y 项的系数是正的，那么焦点在y 轴上
三.数学应用
例1已知双曲线两个焦点的坐标为)0,5()0,5(21F F ，-，双曲线上一点P 到
21F F ，的距离之差的绝对值等于8，求双曲线标准方程
解：因为双曲线的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为
122
22=-b
y a x (0>a ,0>b )∵102,82==c a ∴5,4==c a ∴45222=-=b
所求双曲线标准方程为
116
92
2=-y x 变式1:若|PF 1|-|PF 2|=6呢？ 变式2:若||PF 1|-|PF 2||=8呢？ 变式3:若||PF 1|-|PF 2||=10呢？
2.已知双曲线的焦点为F1(0，-6)和F2(0,6), 且经过点（2，-5）。
分析：利用待定系数法列方程组求解
四.课堂小结:
双曲线的两类标准方程是)0,0(122
22>>=-b a b y a x 焦点在x 轴上，
)0,0(122
22>>=-b a b
x a y 焦点在y 轴上,c b a ,,有关系式222b a c +=成立，且0,0,0>>>c b a 其中a 与b 的大小关系:可以为a b a b a ><=,,
五、布置作业
课后习题P55 第 1. 3题.。