模糊线性回归模型及其应用

度。
定理 3 若 A% 与 B% 是由同一结构元线性生成的，即 A% = m1 + w1E ， B% = m2 + w2E ，则
有
h
=
⎧ ⎪ ⎨
1−
|
m1 w1
− +
m2 w2
|
,
w1
+
w2
≥|
m1
−
m2
|
(8)
⎪⎩0
, w1 + w2 <| m1 − m2 |
推论 1 预测值与观测值之间的拟合度为
|
≥
h,
(4)
其中， 0 ≤ h ≤ 1， w ≥ 0 ， wT = (w0 , w1), mT = (m0 , m1) .
3 基于结构元的回归模型
文献[2]提出了结构元理论，该理论大大简化了模糊数及模糊函数的运算。令 R 为全体实 数， F (R) 为全体模糊数，则有
定理 1 设 g(x , y) = f (x)+ω (x) y, 其中 f (x) 和ω (x)在 X 上有界、且ω (x)非负。易知 g(x ,
2 模糊一元线性回归模型
模糊回归模型由 Tanaka 于 1982 年首次提出，具体模型如下：
Y%i = A%0 xi0 + A%1xi1, (i = 1, 2,L, n)
(1)
令 xi = (xi0 , xi1) = (1, xi1) ，模糊系数 A%0 , A%1 通常采用对称三角模糊数，记为
A% j = (mj , wj ), j = 0,1
(5)
如何来确定参数 a, b 和模糊度函数 c(x) 。 首先确定 a, b ，由于 y = a + bx 是原方程的趋势方程，根据Savic和Pedrycz[3],利用经典
最小二乘法来确定。令 (xi , yi ) 为观测值，且 yi 由结构元线性生成，即 yi = αi + βi E ， i = 1, 2,L, n ，由结构元理论知，在αi 处有 µ yi (αi ) = 1,于是将 (xi ,αi ) 代入趋势方程即 αi = a + bxi 得如下结论：
证明：由定理
1
知
µ y%
(
y)
=
E(
y
−
(a + c(x)
bx) )
，当
c(x)
≡
0
时，
µ
y%
(a
+
bx)
=
1 ，在根据
定理[3]知，定理成立。
4 模型的可靠性度量
为了描述观测值和预测值之间的拟合程度，下面引入拟合度[4]的定义.
定义 3 设 A%, B% ∈ F (R) ，令 h = A% o B% = ∨ [ A% (x) ∧ B% (x)]，则称 h 为 A% 与 B% 之间的拟合 x∈R
其隶属函数为
⎧
µ
A% j
(n
j
)
=
⎪1 ⎨ ⎪
−
⎩0
mj − nj wj ,
,mj − wj 其它
≤ nj
≤ mj
+ wj
(2)
其中 m j 为 A% j 中心值， wj 为跨度值。于是利用扩展原理可以得到 Y%i 的隶属函数表达式
µY%i
(
yi
)
=
⎧⎪1 −
⎪⎪⎨1
⎪ ⎪
0
|
yi − xim wT | xi |
（6）:808-810. [3] 景英川.模糊线性回归模型中的拟合度问题,山西师范大学学报(自然科学版). 2002,16(2):10-14. [4] 许若宁.带模糊回归参数的线性回归模型,模糊系统与数学.1998,12(2):70-77.
Fuzzy Linear Regression Model and Application
c(x) ≥ 0 为模糊度函数，当 c(x) ≡ 0 时，方程 y = a + bx 称为原方程的趋势方程。
设 (xi , y%i ) ，（ i = 1, 2,L, n ）是一组数值输入、模糊输出的数据，其中 xi ∈ R,y%i ∈ F (R) ，
考虑如下映射
~y(x) = a + bx + c(x)E
-4-
表 1 c(x) 关系数据
xi
x1
x2
….
xn
c(xi ) = βi
β1
β2
….
βn
这样就可以根据经典方法确定出 c(x) 的表达式。
定理 2 对于回归方程 y% = a + bx + c(x)E ， a, b ∈ R ，趋势方程 y = a + bx 是观测值
yi = αi + βi E 的最佳拟合。
∑ ∑ ∑ n
b=
∑ ∑ n
xiαi −
x
2 i
−
(
xi αi xi )2
a = ∑αi − b ∑ xi
n
n
(6)
由 于 已 经 确 定 了 参 数 a,b 的 值 ， 下 面 确 定 模 糊 度 函 数 c(x) ≥ 0 。 因 为 y%i = a + bxi + c(xi )E ， yi = αi + βi E ，将观测值 (xi , yi ) 代入原回归方程。再根据两个模糊 数之间的距离的最小值确定 c(x) 。

模糊线性回归模型及其应用
王磊 ，郭嗣琮
辽宁工程技术大学理学院, 辽宁阜新 (123000)
E-mail：wllyq78@163.ocm
摘 要：本文提出了一种基于结构元线性表示的模糊回归模型，此模型的输入为精确数据， 输出为模糊数据。给出了在最小二乘意义下的回归系数确定方法以及模糊度函数的确定方 法，研究了观测值与预测值之间的拟合度问题。文中的实例说明该模型建模方法简单，实用 性强。 关键词：模糊回归；模糊度函数；拟合度 中图分类号：O159
-2-

定义 2 若 A% = m1 + w1E ，B% = m2 + w2E ，则 d ( A%, B% ) = (m1 − m2 )2 + (w1 − w2 )2 表示
两个模糊数的距离。
于是模糊度函数可以通过下面这个模型来求解
n
∑ min d ( y%i , yi )
i =1
(7)
n
∑ = min (a + bxi −αi )2 + (c(xi ) − βi )2
i =1
又因为 a, b ,αi 已知, 所以上述模型就转化为
n
∑ min | c(xi ) − βi | i =1
我们知道对于该模型最优解就是 c(xi ) − βi = 0 ，因此要确定函数 c(x) ，就可以转化为下列 问题，已知 c(x) 满足表 1 中的关系式。
| , xi
≠
0
xi ≠ 0, yi ≠ 0, ∀i
,
xi
= 1, 2,L M = 0, yi = 0
(3)
⎪⎩
最后将模糊回归模型转化为下面的最优化模型问题
-1-

∑ ∑ ⎧
1
M
⎪⎪min
[wj
j=0
i =1
|
xij
|]
⎨ ⎪ ⎪⎩
1−
|
yi − xim wT | xi |
y)是关于 y 在[-1,1]上的单调有界函数，则称模糊值函数
F~(x) = f (x) + ω(x)E
为结构元 E 线性生成的模糊值函数。
f (x)＋ω (x) Y
f (x)
f (x)－ω (x)
ω (x)≥ 0
0
X
图 1 由模糊结构元线性生成的模糊值函数的几何解
定义 1 y% = a + bx + c(x)E ， a, b ∈ R ，则称该表达式为一元线性回归方程，其中
hi
=
⎧⎪1 − ⎨
|
a + bxi −αi c(xi ) + βi
| , c(xi )
+
βi
≥|i
|
（ i = 1, 2,L, n ）
(9)
⎪⎩ 0
, c(xi ) + βi <| a + bxi −αi |
5 应用实例
某信息公司近年来对某产品的市场销售量进行调查，得到的数据资料[4]如表 2 所示。
1 引言
自从 1982 年Tanaka建立了模糊线性回归模型[1]以来，对模糊线性回归模型问题的研究 得到了迅速的发展，并在许多方面显示了其应用的潜力，除了应用用预测外，还广泛应用于 商业、管理、经济，工程以及其他许多非量化领域，如社会、健康，生物科学等方面。
传统的回归模型把真实数据和估计值之间的偏差认为是观测误差，而模糊回归分析把这 种误差视为系统结构自身的模糊性，并把数据和其估计值之间的偏差视为系统参数的模糊 性。本文在文献[2]提出模糊函数可用结构元线性表示这一意义下,提出了一种新的模糊线性回 归模型，并给出了模型解的具体表达式,文中同时也给出了一个实例。
计算拟合度 h2002 = 9.9361, h2003 = 9.8765 ，可以看出拟合效果较好。
6 结论
模糊回归分析一直是模糊分析研究的热门领域，本文给出的模型不同于其它文献提出
的，通过实际例子表明此模型的建立、求解方法简便，具有一定的推广能力，关于 n 元线性
回归模型将在后续的文章中讨论。
参考文献
2003
(276,1)
下面应用本文提出的模型，计算其回归方程，因为表中的数据都可由结构元线性表示，
即销售量可表示为
yi = αi + βi E ， E(y) =