基于区间模糊数的模糊线性回归模型及其应用

中图分类号 ： Ｏ１ ５ ９ 文献标 志码 ： Ａ 文章编号 ：１ ６ ７ ２ － ７ ９ ８ ３ （ ２ ０ １ ３ ） ０ １ － ０ ０ ３ ７ － － ０ ６
线性 回归模型是统计推理 中一类应用较为广泛的模型， 在工程技术、 社会经济等各个领域都有着广 泛的应用 。但是经典的线性回归模型只能讨论精确数据 ， 当数据稀少、 无统计 意义、 数据的信息具有不 确定性 时 ， 经典 的线 性 回归 模 型无法 解 决这类 问题 。模 糊 集理 论 的提 出为 解 决这 类 问题 奠定 了理 论基
束条件 中均含有模糊数的模糊线性规划问题 ， 利用模糊数的排序关 系将其转化为经典线性规划 的方法 求解。高淑萍等 利用一种新 的模糊数排序关系解决 了含有三角模糊数的模糊线性规划问题 ， 并将其 应 用 于具有模 糊 等式 约束 的运输 问题 。笔 者将 以区间模 糊 数为 研 究对 象 建 立 模糊 线 性 回归 模 型 ， 并 给 出最小 二乘 意义 下 的参数 估计 方 法 ， 最 后结 合 沈 阳市 的温度 变 化情况 给 出该模 型 的实 际应用 。
（ ４ ） 数乘
尼 ［ 口 ， ６ ］ ＝ ［ ｋ ａ ， ｋ ｂ ］ ， ｋ ￣Ｏ ＞ ， ｋ Ｅ
定义 ３
设 Ｒ为实数集 ， Ｒ上的全体模糊集记为 Ｆ （ Ｒ ） ， 设 ， ， Ｅ Ｆ （ Ｒ ） ， 若映射 Ｎ： Ｆ （ Ｒ ） × Ｆ （ ） ＿ ＋ ［ ０ ， １ ］
１ 预 备 知 识
定义 １ 实数域 Ｒ到区间［ Ｏ ， １ ］ 的映射 称为 Ｒ上的模糊数 ， 如果 满足 ：
（ １ ） ｛ ｌ （ ） ≥ ｝ 为闭区间， （ ∈（ ０ ， １ ） ） ； （ ２ ） 存在 。 ∈ Ｒ使 。 ）＝ １ 。 定义 ２ 区间模糊数是指实数轴上的一个闭区间［ ａ ， ｂ ］ ， 由模糊数的定义知它是一个特殊的模糊
满足条件 ： （ １ ） Ｎ （ Ｘ ， ） ＝ Ｎ （ ｇ， ；
基 金项 目 ： 辽宁大学青年科研基金项 目（ 项 目编号 ： ２ ０ １ １ Ｌ Ｄ Ｑ Ｎ １ ６ ） 。 收稿 日期 ： ２ ０ １ ２ — ０ ６ － ２ ９ ； 修 改稿 收到 日期 ： ２ ０ １ ２ — １ １ － １ ３
Ｊ ｆ Ｕ （ ｎ （ Ｍ ） ｄ Ｍ Ｊ ｆ （ （ ） ＾ （ ） ） ｄ “
（ ２ ） 减法 ［ ａ ， ｂ ］ 一 ［ ｃ ， ｄ ］ ＝ ［ ａ — ｄ ， ｂ — Ｃ ］ （ ３ ） 乘法 ［ ａ ， ｂ ］Ｘ［ ｃ ， ｄ ］＝［ ｍ ｉ ｎ ｛ ａ ｃ ， ｂ ｃ ， ａ ｄ ， ｂ ｄ｝ ， ｍａ ｘ ｛ ａ ｃ ， ｂ ｃ ， ａ ｄ ， ｂ ｄ ｝ ］ ， 特别地， 当 ａ＞ ０ ， Ｃ ＞ ０时 ， 有 ［ ａ ， ｂ ］Ｘ ［ Ｃ ， ｄ ］ ＝［ ａ ｃ ， ｂ ｄ ］
数， 其隶属 函数为 ［ 口 ’ ］ ㈤ ＝
定理 １ （ １ ） 加法
。
（ 区间模糊数的运算规则 ） 设［ ａ ， ｂ ］ ， ［ Ｃ ， ｄ ］ 是区间模糊数 ， 则 由扩展原理可得 以下结论： ［ ａ ， ｂ ］ ４ － ［ Ｃ ， ｄ ］ ＝ ［ ａ ＋ ｃ ， ｂ ＋ ｄ ］
摘要 ：以区间模糊数 为研究对象建立 了模糊 线性 回归模型 ， 以模糊集之 间的测度 贴近度为理论依据引入 了一
种模糊数之间距离 的概念 ， 并通过 最小二乘原理给 出了该 模型 的参数估计方 法 ， 最后结合 沈阳市温度 变化情 况 的实际例子给 出该模 型的应用 。
关键词 ：区间模糊 数 ； 模糊线 性回归模型 ； 最 小二乘估计
河北科技师范学院学报
第２ ７卷第 １ 期， ２ ０ １ ３年 ３月
Ｊ ｏ ｕ ｎａ ｒ ｌ ｏ ｆ Ｈｅ ｂ ｅ ｉ Ｎ ｏ ｒ ｍａ ｌ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ＆ Ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ Ｖｏ １ ． ２ ７ Ｎ ｏ ． １ Ｍａ ｒ ｃ ｈ．２ ０ １ ３
ＤＯＩ ： １ ０ ． ３ ９ ６ ９ ／ Ｊ ． Ｉ Ｓ Ｓ Ｎ． １ ６ ７ ２ ． ７ ９ ８ ３ ． ２ ０１ ３． ０１ ． ０ ０ ９
基 于 区 间 模 糊 数 的 模 糊 线 性 回 归 模 型 及 其 应 用
付云鹏 ， 郭云峰２ ， 马树才。
（ １辽宁大学信息 学院 ， 辽 宁 沈阳 ， １ １ ０ ０ ３ ６ ； ２沈 阳大学经济学 院； ３辽宁大学经济学 院）
础 。１ ９ ８ ２年 ， Ｈ． Ｔ ａ ｎ ａ ｋ ａ等 … 首次 提 出 了模糊 线性 回归模 型 ； 胡 良剑 等 研 究 了对 称 三角模 糊数 据 的线
性回归模型； 王丽军等 采用梯形模糊数讨论 了一元模糊线性 回归模型 ； 谷振涛等 运用模糊线性规
划模型对井群系统开采量总和进行 了测算。宋业新 等 讨论 了具有模糊 不等式约束和模糊等式约束 的模糊系数线性规划问题 的求解方法 ， 将转化为区间数规划问题求解 。赵海坤等＿ ６ 提出 目标函数和约
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河北科技师范学院学报
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（ ２ ） ｉ ｖ （ ｉ Ｔ ， ）＝１ ， Ｎ（ Ｒ， ）＝ ０ ；
（ ３ ） 若
， 则ｓ ｖ （ ｔ ￣ ， ） ≤Ⅳ（ ， ） 八Ⅳ（ ， ） 。
则称 Ⅳ（ ， ） 为模糊 集 与 的贴近度 ， 称 Ⅳ为 Ｆ （ ） 上 的贴近 度 函数 。 贴 近度是 对两个 模糊 集 之 间接 近 程度 的一种 度量 ， 是一 个 原则 性 的概念 。其具 体 规则 可 视实 际需 要而定 ， 在此 只介 绍一种 测度 贴 近度 Ｊ 。 设 ） ， ｎ ） 是 测度 空 间 （ ， Ａ， ） 上 可测 函数 ， 则可定 义