考研数学二(解答题)模拟试卷87(题后含答案及解析)
考研数学二（解答题）模拟试卷87 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． 设a1＝1，a2＝2，3an+2－4an-1＋an＝0，n＝1，2，…，求．
正确答案：由3an+2－4an+1＋an＝0，得3(an+2－an+1)＝an+1－an(n＝1，2，…)． 令bn＝an+1－an，则bn+1／bn＝1／3(n＝1，2，…)， 由b1＝1，得bn＝(n＝1，2，…)，即 解得an＝1＋，所以 涉及知识点：函数、极限、连续
2．
正确答案： 涉及知识点：高等数学部分
3． 在天平上重复称量一重为a的物品，假设各次称量结果相互独立且服从正态分布N(a，0．22)，表示n次称量结果的算术平均值，则为使P{｜一a｜＜0．1}≥0．95，n的最小值应不小于多少?
正确答案：由已知条件 涉及知识点：概率论与数理统计
4． 设A是n阶实反对称矩阵，x，y是实n维列向量，满足Ax=y，证明x与y正交．
正确答案：因为AT=－A，Ax=y，所以(x，y)=xTAx=(ATx)Tx=(－Ax)Tx=(－y，x)，得(x，y)=0． 涉及知识点：向量组的线性关系与秩
5． 已知线性方程组的一个基础解系为：(b11，b12，…，b1，2n)T，(b21，b22，…，b2，2n)T，…，(bn1，bn2，…，bn，2n)T． 试写出线性方程组的通解，并说明理由．
正确答案：记方程组(Ⅰ)、(Ⅱ)的系数矩阵分别为A、B，则可以看出题给的(Ⅰ)的基础解系中的n个向量就是的n个行向量的转置向量．因此，由(Ⅰ)的基础解系可知 ABT＝O 转置即得BAT＝0 因此可知AT的n个列向量——即A的n个行向量的转置向量都是方程组(Ⅱ)的解向量． 由于B的秩为n(B的行向量组线性无关)，故(Ⅱ)的解空间的维数为2n－r(B)＝2n－n＝n，所以(Ⅱ)的任何n个线性无关的解就是(Ⅱ)的一个基础解系．已知(Ⅰ)的基础解系含n个向量，即2n－r(A)＝n，故r(A)＝n，于是可知A的n个行向量线性无关，从而它们的转置向量构成(Ⅱ)的一个基础解系，因此(Ⅱ)的通解为 y＝c1(a11，a12，…，a1，2n)T＋c2(a21，a22，…，a2，2n)T＋…＋cn(an1，an2，…，an，2n)T其中c1，c2，…，cn为任意常数． 涉及知识点：线性方程组
6． 求功： (Ⅰ)设半径为1的球正好有一半沉入水中，球的比重为1，现将球从水中取出，问要做多少功? (Ⅱ)半径为R的半球形水池，其中充满了水，要把池内的水全部取尽需做多少功?
正确答案：(Ⅰ)以球心为原点，χ轴垂直向上，建立坐标系(如图3．5)． 取下半球中的微元薄片，即取小区间[χ，χ＋dχ][－1，0]，相应的球体小薄片，其重量(即体积)为，π(1－χ2)dχ，在水中浮力与重力相符，当球从水中移出时，此薄片移动距离为(1＋χ)，故需做功dω1＝(1＋χ)π(1－χ)2dχ．因此，对下半球做的功 ω1＝∫-10π(1＋χ)(1－χ2)dχ． 取上半球中的微元薄片，即V取小区间[χ，χ＋dχ][0，1]，相应的小薄片，其重量为，π(1－χ)2d戈，当球从水中移出时，此薄片移动距离为1．所受力为重力，故需做功dω2＝π(1－χ2)dχ．因此，对上半球做的功 ω2＝∫01π(1－χ2)dχ． 于是，对整个球做的功为 ω＝ω1＋ω2＝∫-10π(1＋χ)(1－χ2)dχ＋∫01π(1－χ2)dχ ＝∫-11π(1－χ2)dχ＋∫-10πχ(1－χ2)dχ (Ⅱ)建立坐标系如图3．6．取χ为积分变量，χ∈[0，R]． [χ，χ＋dχ]相应的水薄层，看成圆柱体，其体积为 π(R2－χ2)dχ， 又比重ρ＝1，于是把这层水抽出需做功dω＝πχ(R2－χ2)dχ．因此，所求的功 ω＝∫0Rπχ(R2－χ2)dχ＝π 涉及知识点：一元函数积分概念、计算及应用
7． 设f(χ)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(1)＝0，证明：存在ξ∈(0，1)，使得f′(ξ)sinξ＋f(ξ)cosξ＝0．
正确答案：令φ(χ)＝f(χ)sinχ， φ(0)＝φ(1)＝0，由罗尔定理，存在ξ∈(0，1)，使得φ′(ξ)＝0， 而φ′(χ)＝f′(χ)sinχ＋f(χ)cosv，故f′(ξ)sinξ＋f(ξ)cosξ＝0． 涉及知识点：中值定理与一元函数微分学的应用
8． 设n元实二次型f(x1，…，xn)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+…+(xn—1+an—1xn)2+(xn+anx1)2，其中a1，…，an均为实数。试问：当a1，…，an满足何种条件时，二次型f是正定的。
正确答案：依题意知，对任意的x1，…，xn，均有f≥0，易知当且仅当下列齐次线性方程组只有零解时，二次型是正定的。而当且仅当系数矩阵的行列式非零时，此齐次线性方程组只有零解，即所以，当a1…an≠(—1)n时，二次型f为正定二次型。 涉及知识点：二次型
9． 证明，其中n为自然数．
正确答案： 利用被积函数的结合性，原式改写成，I＝cosn-1χcosχsinnχdχ， 两式相加得 现得递推公式2In＝＋In-1，2nIn＝＋2n-1In-1． 令Jn＝2nIn，得Jn＝＋Jn-1，由此进一步得 涉及知识点：一元函数积分概念、计算及应用
10． 设3阶实对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=一2，α1=(1，一
1，1)T是A的属于特征值λ1的一个特征向量，记B=A5一4A3+E，其中E为3阶单位矩阵．(1)验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；(2)求矩阵
B．
正确答案：(1)由Aα1=α1得A2α1=Aα1=α1，依次递推，则有A3α1=α3，A5α1=α1，故 Bα1=(A5一4A3+E)α1=A5α1一4A3α1+α1=-2α1，即α1是矩阵B的属于特征值一2的特征向量．由关系式B=A5-4A3+E及A的3个特征值λ1=1，λ2=2，λ3=-2得B的3个特征值为μ1=-2，μ2=1，μ3=1．设α2，α3为B的属于μ2=μ3=1的两个线性无关的特征向量，又由A为对称矩阵，则B也是对称矩阵，因此α1与α2、α3正交，即α1Tα2=0，α1Tα3=0．因此α2，α3可取为下列齐次线性方程组两个线性无关的解，即 涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量
11． 设D＝为正定矩阵，其中A，B分别为m阶，n阶对称矩阵，C为m×n矩阵． (1)计算PTDP，其中P＝，(Ek为k阶单位矩阵)； (2)利用(1)的结果判断矩阵B－CTA-1C是否为正定矩阵，并证明你的结论．
正确答案：(1)pTDP＝； (2)矩阵B－CTAC是正定矩阵．证明：由(1)知D合同于矩阵M＝，又D为正定矩阵，所以M为正定矩阵．因M为对称矩阵，故B－CTA-1C为对称矩阵．由M正定，知对m维零向量χ＝(0，0，…，0)T及任意的n维非零向量y＝(y1，y2，…，yn)T，有 故对称矩阵B＝CTA-1C为正定矩阵． 涉及知识点：二次型
12． 设φ(χ)＝∫abln(χ2＋t)dt，求φ′(χ)，其中a＞0，b＞0．
正确答案：φ(χ)＝∫abln(χ＋t)d(χ＋t)＝lndu， φ′(χ)＝2χln(χ2＋b)－2χln(χ2＋a)＝2χln(χ2＋a)＝2χln 涉及知识点：定积分及应用
13． 利用代换y=将方程y’’cosx一2y’sinx+3ycosx=ex化简，并求出原方程的通解。
正确答案：由y==μsecx，得y’=μ’secx+μsecxtanx，y’’=μ’’secx+2μ’secxtanx+μ(secxtan2x+sec3x)，代入原方程y’’cosx一2y’sinx+3ycosx=ex，得μ’’+4μ=ex。 (*)先求其相应齐次方程的通解。由于其特征方程为λ2+4=0，则特征方程的根为λ=±2i。所以通解为=C1cos2x+C2sin2x(C1，C2为任意常数)。再求非齐次方程的特解。设其特解为μ*(x)=Aex，代入(*)式，得(Aex)’’+4Aex=Aex+4Aex=5Aex=ex，解得ex。故(*)的通解为μ(x)=C1cos2x+C2sin2x+ex(C1，C2为任意常数)。所以，原微分方程的通解为y=。
涉及知识点：常微分方程
14． n维向量α=(a，0，…，0，a)T，a＜0，A=E-ααT，A-1=E+a-1ααT，求a．
正确答案：(E-ααT)(E+a-1ααT)=EE+a-1ααT-ααT-a-1ααTααT=Ea-1ααT-ααT-a-1ααTααT=0，(αTα=2a2)(a-1-1-2a)ααT=0，a-1-1-2a=0，(因为ααT不是零矩阵．)1-a-2a2=0，a=-1． 涉及知识点：矩阵
15． 设a1，a2，…，an是互不相同的实数，且 求线性方程组AX=b的解．
正确答案：因α1，α2，…，αn互不相同，故由范德蒙德行列式知，|A|≠0，根据克拉默法则，方程组AX=b有唯一解，且 其中Ai是b代换A中第i列所得矩阵，则 |A1|=|A|，|Ai|=0，i=2，3，…，n． 故AX=b的唯一解为X=[1，0，0，…，0]T． 涉及知识点：线性代数
设直线y=ax与抛物线y=x2所围成的图形面积为S1，它们与直线x=1所围成的图形面积为S2，且a令，S1+S2取到最小值，此时最小值为当a≤0时，S=∫a0(ax-x2)dx+∫01(x2-ax)dx=因为，所以S(a)单调减少，故a=0时S1+S2取最小值，而，S1+S2最小． 涉及知识点：高等数学部分
17． 求该最小值所对应的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积．
正确答案：旋转体的体积为 涉及知识点：高等数学部分
18． 设A为n阶正定矩阵．证明：对任意的可逆矩阵P，PTAP为正定矩阵．
正确答案：首先AT=A，因为(PTAP)T=PTAT(PT)T=PTAP，所以PTAP为对称矩阵，对任意的X≠0，XT(PTAP)X=(PX)TA(PX)，令PX=α，因为P可逆且X≠0，所以α≠0，又因为A为正定矩阵，所以αTAα>0，即XT(PTAP)X>0，故XT(PTAP)X为正定二次型，于是PTAP为正定矩阵． 涉及知识点：线性代数部分
19． 设A是三阶矩阵，α1，α2，α3为三个三维线性无关的列向量，且满足Aα1＝α2＋α3，Aα2＝α1＋α3，Aα3＝α1＋α2． (1)求矩阵A的特征值； (2)判断矩阵A可否对角化．
正确答案：(1)因为α1，α2，α3线性无关，所以α1＋α2＋α3≠0， 由A(α1＋α2＋α3)＝2(α1＋α2＋α3)，得A的一个特征值为λ1＝2； 又由A(α1－α2)＝－(α1－α2)，A(α2－α3)＝－(α2－α3)，得A的另一个特征值为λ2＝－1．因为α1，α2，α3线性无关，所以α1～α2与α2－α3也线性无关，所以λ2＝－1为矩阵A的二重特征值，即A的特征值为2，－1，－1． (2)因为α1－α2，α2－α3为属于二重特征值－1的两个线性无关的特征向量，所以A一定可以对角化． 涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量
考研数学(数学二)模拟试卷282(题后含答案及解析)
考研数学（数学二）模拟试卷282 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 设，则当x→0时，f(x)是g(x)的( )．
A．低阶无穷小
B．高阶无穷小
C．等价无穷小
D．同阶但不等价的无穷小
正确答案：B
解析：因为，所以f(x)是g(x)的高价无穷小，因而选(B)．
2． 设周期函数f(x)在(-∞，+∞)内可导，周期为4，又，则曲线y=f(x)在点(5，f(5))处的切线的斜率为( )．
A．1／2
B．0
C．-1
D．-2
正确答案：D
解析：由题设，f(x)的周期为4，则所求点(5，f(5))处切线的斜率应该与(1，f(1))处的斜率相同，则由导数定义知即为所求斜率，又由 所以点(5，f(5))处切线的斜率为-2．选(D)。
3． 设函数f(x)连续，F(u，v)=，其中区域Duv为图中阴影部分，则=( )．
A．vf(u2)
B．
C．vf(u)
D．
正确答案：A
解析：在极坐标系下，，故应选(A)．
4． 设f(x，y)在点(0，0)的某邻域内连续，且满足，则函数f(x，y)在点(0，0)处( )．
A．取极大值
B．取极小值
C．不取极值
D．无法确定是否有极值
正确答案：A
解析：因为，根据极限保号性，存在δ＞0，当，而x2+1＞1＞0，所以当，有f(x，y)-f(0，0)＜0，即f(x，y)＜f(0，0)， 所以f(x，y)在点(0，0)处取极大值，选(A)．
5． 设函数y=y(x)由参数方程，确定，则曲线y=y(x)在x=3处的法线与x轴交点的横坐标是( )．
A．
B．
C．-8ln2+3
D．8ln2+3
正确答案：A
解析：由题意可知，当x=3时，t=1，t=-3(不合题意，舍)，有 求得y=y(x)在x=3处的法线方程为y=ln2-8(x-3)． 令y=0，得法线与x轴交点的横坐标为x=(1/8)ln2+3．所以选(A)．
考研数学二(二次型)模拟试卷10(题后含答案及解析)
考研数学二（二次型）模拟试卷10 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 设二次型f(x1，x2，x3)=XTAX，已知r(A)=2，并且A满足A2－2A=0．则下列各标准二次型(1)2y12+2y22． (2)2y12． (3)2y12+2y32． (4)2y22+2y32．中可用正交变换化为f的是( )．
A．(1)．
B．(3)，(4)．
C．(1)，(3)，(4)．
D．(2)．
正确答案：C
解析：两个二次型可以用正交变换互相转化的充要条件是它们的矩阵相似，也就是特征值一样．从条件可知，A的特征值0，2，2．(1)，(3)，(4)这3个标准二次型的矩阵的特征值都是0，2，2．(2)中标准二次型的矩阵的特征值是0，0，2． 知识模块：二次型
2． A=，则( )中矩阵在实数域上与A合同．
A．
B．
C．
D．
正确答案：D
解析：用特征值看：两个实对称矩阵合同<=>它们的特征值正负性相同．｜A｜=－3，对于2阶实对称矩阵，行列式小于0即两个特征值一正一负，于是只要看哪个矩阵行列式是负数就和A合同．计算得到只有D中的矩阵的行列式是负数． 知识模块：二次型
3． 矩阵A=合同于
A．
B．
C．
D．
正确答案：B
解析：由矩阵A的特征多项式知矩阵A的特征值为1，3，－2．即二次型正惯性指数p=2，负惯性指数q=1．故应选
B． 知识模块：二次型
4． 设A，B均为n阶实对称矩阵，则A与B合同的充要条件是
A．A，B有相同的特征值．
B．A，B有相同的秩．
C．A，B有相同的行列式．
D．A，B有相同的正负惯性指数．
正确答案：D
解析：A是充分条件．特征值一样=>有相同的正、负惯性指数=>合同．但不是必要条件．例如，特征值不同，但A
B．B是必要条件．由CTAC=B，C可逆=>r(A)=r(B)，但不是充分条件．例如，虽r(A)=r(B)，但正负惯性指数不同．故A与B不合同．C既不必要也不充分．例如，行列式不同但合同，又如，虽行列式相同但不合同．故应选
考研数学二(选择题)模拟试卷90(题后含答案及解析)
考研数学二（选择题）模拟试卷90 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． 设f(x)可导，f(x)=0，f’(0)=2，F(x)=∫0xt2f(x3-t3)dt，则当x→0时，F(x)是g(x)的( )
A．低阶无穷小
B．高阶无穷小
C．等价无穷小
D．同阶但非等价无穷小
正确答案：D
解析：先改写其中，则。故选D。 知识模块：函数、极限、连续
2． 设函数g(x)可微，h(x)=e1+g(x)，h’(1)=1，g’(1)=2，则g(1)=( )
A．ln3—1。
B．一ln3—1。
C．一ln2—1。
D．ln2—1。
正确答案：C
解析：函数h(x)=e1+g(x)两边同时对x求导，可得h’(x)=e1+g(x)g’(x)。在上面的等式中令x=1，结合已知条件h’(1)=1，g’(1)=2，可得1=h’(1)=e1+g(1)g’(1)=2e1+g(1)，因此得g(1)=一ln2—1。故选C。 知识模块：一元函数微分学
3． 设A为三阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的—1倍加到第2列得C，记P=，则( )
A．C=P—1AP
B．C=PAP—1
C．C=PTAP
D．C=PAPT
正确答案：B
解析：由题意得所以(*)式可以表示为C=PAP—1，故选B。这两道题主要考查的是初等变换与初等矩阵的关系。考生需要注意的是：初等行变换就是左乘初等矩阵，初等列变换就是右乘初等矩阵。 知识模块：矩阵
4． 设f(x)为可导函数，且满足条件则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为( )
A．2．
B．一1．
C．．
D．一2
正确答案：D
解析：将题中等式两端同乘2，得由导数定义可知f’(1)=一2，故选
D． 知识模块：一元函数微分学
5． 对任意的x∈(一∞，+∞)，有f(x+1)=f2(x)，且f(0)=f’(0)=1，则f’(1)=( )
考研数学二(填空题)模拟试卷100(题后含答案及解析)
考研数学二（填空题）模拟试卷100 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． 若f(x)=是(-∞，+∞)上的连续函数，则a=_______．
正确答案：1
解析： 知识模块：函数、极限、连续
2． [x]表示不超过x的最大整数，则=______。
正确答案：2
解析：因为，所以当x＞0时，；当x＜0时，。又由，利用夹逼准则可知，。 知识模块：函数、极限、连续
3． 设f(x)连续，且f(t)dt=x，则f(5)+∫05f(t)dt=______．
正确答案： 涉及知识点：一元函数积分学
4． 求由方程2χ2＋2y2＋z2＋8χz－z＋8＝0所确定的函数z＝f(χ，y)的极值点_______．
正确答案：(－2，0)为极小点，(，0)为极大点 涉及知识点：多元函数微积分
5． 设y=sinx2．则=________．
正确答案：
解析：用微分的商来求． 知识模块：一元函数的导数与微分概念及其计算
6． 设f(u)可导，y=f(x2)在x0=-1处取得增量△x=0．05时，函数增量△的线性部分为0．15，则f’(1)=_________．
正确答案：
解析：由dy=2xf’(x2)△x得dy｜x=-1=-2f’(1)×0．05=-0．1f’(1)，因为△y的线性部分为dy，由-0．1f’(1)=0．15得f’(1)= 知识模块：一元函数微分学
7． =__________.
正确答案：2
解析：运用洛必达法则， 知识模块：一元函数微分学
8． 设y=则y’=___________．
正确答案：
解析： 知识模块：一元函数微分学
9． =________．
正确答案：
解析： 知识模块：一元函数积分概念、计算及应用
10． =_______
正确答案：ln︳2x+3︳+5ln︳x-3︳+C
解析：因为 知识模块：一元函数积分学
11． 设f(x)连续，且f(1+x)一3f(1一x)=8x(1+|x|)，则f’(1)=________．
考研数学二(常微分方程)模拟试卷8(题后含答案及解析)
考研数学二（常微分方程）模拟试卷8 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 微分方程y’’-4y=e2x+x的特解形式为( )．
A．ae2x+bx+c
B．ax2e2x+bx+c
C．axe2x+bx2+cx
D．axe2x+bx+c
正确答案：D
解析：y’’-4y=0的特征方程为λ2-4=0，特征值为λ1=-2，λ2=2． y’’-4y=e2x的特解形式为y=axe2x， y’’-4y=x的特解形式为y2=bx+C，故原方程特解形式为axe2x+bx+c，选(D)． 知识模块：常微分方程
2． 设三阶常系数齐次线性微分方程有特解y1=ex，y2=2xex，y3=3e-x，则该微分方程为 ( )．
A．y’’’-y’’-y’+y=0
B．y’’’+y’’-y’-y=0
C．y’’’+2y’’-y’-2y=0
D．y’’’-2y”-y’+2y=0
正确答案：A
解析：由y1=ex，y2=2xe-x，y3=3e-x为三阶常系数齐次线性微分方程的特解可得其特征值为λ1=λ2=1，λ3=-1，其特征方程为(λ-1)2(λ+1)=0，即λ3-λ2-λ+1=0，所求的微分方程为y’’’-y’’-y’+y=0，选(A)． 知识模块：常微分方程
3． 设φ1(x)，φ2(x)为一阶非齐次线性微分方程y’+P(x)y=Q(x)的两个线性无关的特解，则该方程的通解为( )．
A．C[φ1(x)+φ2(x)]
B．C[φ1(x)-φ2(x)]
C．C[φ1(x)-φ2(x)]+φ2(x)
D．[φ1(x)-φ2(x)]+Cφ2(x)
正确答案：C
解析：因为φ1(x)，φ2(x)为方程y’+P(x)y=Q(x)的两个线性无关解，所以φ1(x)-φ2(x)为方程y’+P(x)y=0的一个解，于是方程y’+P(x)y=Q(x)的通解为C[φ1(x)-φ2(x)]+φ2(x)，选(C)． 知识模块：常微分方程
考研数学二(解答题)模拟试卷73(题后含答案及解析)
考研数学二（解答题）模拟试卷73 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． 求极限：．
正确答案：原式＝ 涉及知识点：极限、连续与求极限的方法
2． 求极限：
正确答案： 涉及知识点：函数、极限、连续
3． 求
正确答案： 涉及知识点：函数、极限、连续
4． f(x)=x4ln(1一x)，当n＞4时，求f(n)(0)．
正确答案： 涉及知识点：高等数学
5． 要设计一形状为旋转体的水泥桥墩，桥墩高为h，上底面半径为a，要求桥墩在任一水面上所受上部桥墩的平均压强为一常数P，设水泥比重为ρ，试求桥墩形状．
正确答案：桥墩应为曲线段(0≤x≤h)绕x轴旋转所成的面与平面x=0和x=h所围成的旋转体． 涉及知识点：常微分方程
6． 求曲线r=a(1+cosθ)的曲率．
正确答案：曲线的参数方程为x=rcosθ=a(1+cosθ)cosθ，y=rsinθ=a(1+cosθ)sinθ，x’=-asinθ(1+2cosθ)=-a(sinθ+sin2θ)，y’=a(cosθ+cos2θ)，x’2+y’2=a22(1+cosθ)=2ar，x’’=-a(cosθ+2cos2θ)，y’’=-a(sinθ+2sin2θ)，
x’y’’-x”y’=a2[(sinθ+sin2θ)(sinθ+2sin2θ)+(cosθ+cos2θ)(cosθ+2cos2θ)]=3a2(1+cosθ)=3ar．因此，曲率 涉及知识点：一元函数积分概念、计算及应用
7． 求
正确答案： 涉及知识点：函数、极限、连续
8． 设f(x)在[a，b]上连续，a＜x1＜x2＜…＜xn＜b，试证：在(a，b)内存在ξ，使得
正确答案：因为f(x)在[a，b]上连续，所以m≤f(x)≤M，其中m，M分别为f(x)在[a，b]上的最小值和最大值．则对于任意x∈[a，b]有m≤f(x1)≤M， ①m≤f(x2)≤M， ② ①+②+…+mm≤f(x1)+f(x2)+…+f(xn)≤nM，故由介值定理可知存在ξ∈(a，b)，使得 涉及知识点：一元函数微分学
考研数学二(一元函数的泰勒公式及其应用)模拟试卷2(题后含答案及解析)
考研数学二（一元函数的泰勒公式及其应用）模拟试卷2 (题后含答案及解析)
全部题型 3. 解答题
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1． 求的带皮亚诺余项的三阶麦克劳林公式．
正确答案：因为，从而 涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用
2． 求带皮亚诺余项的麦克劳林公式．
正确答案：把t=－x2代入et=1+t++o(t”) (t→0)即得 涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用
3． 求arctanx带皮亚诺余项的5阶麦克劳林公式．
正确答案：由于(arctanx)’==1－x2+x4+o(x5)，由该式逐项积分即得 涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用
4． 求极限ω=
正确答案： 涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用
5． 确定常数a和b的值，使f(x)=x－(a+)sinx当x→0时是x的5阶无穷小量．
正确答案：利用，可得不难看出当1－a－b=0与－b=0同时成立f(x)才能满足题设条件．由此可解得常数，并且得到f(x)=+o(x5)，f(x)是x的5阶无穷小(x→0)． 涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用
6． 设f(x)在x=0处n(n≥2)阶可导且=e4，求f(0)，f’(0)，…，f(n)(0)．
正确答案：1)先转化已知条件．由=e4知再用当x→0时的等价无穷小因子替换ln[1+f(x)]～f(x)，可得=4．2)用o(1)表示当x→0时的无穷小量，由当x→0时的极限与无穷小的关系=4+o(1)，并利用xno(1)=o(xn)可得f(x)=4xn+o(xn)．从而由泰勒公式的唯一性即知f(0)=0，f’(0)=0，…，f(n－1)(0)=0，=4，故f(n)(0)=4n！． 涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用
7． 设0＜x＜，证明
正确答案：由带拉格朗日余项的泰勒公式 涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用
考研数学二(极限、连续与求极限的方法)模拟试卷7(题后含答案及解析)
考研数学二（极限、连续与求极限的方法）模拟试卷7 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．
A．0．
B．-∞．
C．+∞．
D．不存在但也不是∞．
正确答案：D
解析：因为et=+∞，et=0，故要分别考察左、右极限．由于因此应选
D． 知识模块：极限、连续与求极限的方法
2． 设f(x)=x-sinxcosxcos2x，g(x)=则当x→0时f(x)是g(x)的
A．高阶无穷小．
B．低阶无穷小．
C．同阶非等价无穷小．
D．等阶无穷小．
正确答案：C
解析：由等价无穷小因子替换及洛必达法则可得因此选
C． 知识模块：极限、连续与求极限的方法
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
3． (Ⅰ)若xn＜yn(n＞N)，且存在极限xn=A，yn=B，则A＜B；(Ⅱ)设f(x)在(a，b)有定义，又c∈(a，b)使得极限=A，则f(x)在(a，b)有界；(Ⅲ)若使得当0＜｜x-a｜＜δ时有界．
正确答案：(Ⅰ)不正确．在题设下只能保证A≤B，不能保证A＜
B．例如，xn=，yn=，则xn＜yn，而yn=0．(Ⅱ)不正确．这时只能保证：点c的一个空心邻域U0(c，δ)={x｜0＜｜x-c｜＜δ}使f(x)在U0(c，δ)中有界，一般不能保证f(x)在(a，b)有界．例如：f(x)=，(a，b)=(0，1)，取定c∈(0，1)，则在(0，1)无界．(Ⅲ)正确．因为，由存在极限的函数的局部有界性使得当0＜｜x-a｜＜δ时有界． 涉及知识点：极限、连续与求极限的方法
4． 设f(x)=又a≠0，问a为何值时存在．
正确答案：f(0+0)==π．f(0-0)==1.a.1=a(a≠0)，由f(0+0)=f(0-0)，得a=π．因此，当且仅当a=π时，存=π． 涉及知识点：极限、连续与求极限的方法
考研数学二(矩阵)模拟试卷11(题后含答案及解析)
考研数学二（矩阵）模拟试卷11 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 设n维行向量α＝()，矩阵A＝E－αTα，B＝E＋2αTα，则AB＝
A．0．
B．E．
C．－E．
D．E＋αTα．
正确答案：B
解析：AB＝(E－αTα)(E＋2αTα)＝E＋2αTα－αTα－2αTααTα
＝E＋αTα－2αT(ααT)α． 注意ααT＝， 故AB＝E．应选
B． 知识模块：矩阵
2． 设A是任一n阶矩阵，下列交换错误的是
A．A*A＝AA*．
B．AmAp＝ApAm．
C．ATA＝AAT．
D．(A＋E)(A－E)＝(A－E)(A＋E)．
正确答案：C
解析：因为AA*＝A*A＝｜A｜E，AmAp＝ApAm＝Am+p， (A＋E)(A－E)＝(A－E)(A＋E)＝A2－E， 所以选项A、B、D均正确． 而 故C不正确． 知识模块：矩阵
3． 设A，B，A＋B，A-1＋B-1均为n阶可逆矩阵，则(A-1＋B-1)-1＝
A．A＋
B．
B．A-1＋B-1．
C．A(A＋B)-1
B．
D．(A＋B)-1．
正确答案：C
解析：(A-1＋B-1)-1＝(EA-1＋B-1)-1＝(B-1BA-1＋B-1)-1 ＝[B-1(BA-1＋AA-1)]-1＝[B-1(B＋A)A-1]-1 ＝(A-1)-1(B＋A)-1(B-1)-1＝A(A＋B)-1
B． 故应选
C． 知识模块：矩阵
4． 设A，B均是n阶矩阵，下列命题中正确的是
A．AB＝0A＝0或B＝0．
B．AB≠0A≠0且B≠0．
C．AB＝0｜A｜＝0或｜B｜＝0．
D．AB≠0｜A｜≠0且｜B｜≠0．
正确答案：C 涉及知识点：矩阵
5．
A．AP1P2．
B．AP1P3．
考研数学二(填空题)模拟试卷65(题后含答案及解析)
考研数学二（填空题）模拟试卷65 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． =______
正确答案：
解析：方法一 由xex=x[1+x+o(x)]=x+x2+o(x2)，ln(1+x)=，得xex-ln(1+x)～方法二 知识模块：函数、极限、连续
2． 设x=e—t，y=∫0tln(1+u2)du，则=______。
正确答案：0
解析：由题干可得，故 知识模块：一元函数微分学
3． 已知一个长方形的长l以2cm/s的速率增加，宽加以3cm/s的速率增加。则当l=12cm，w=5cm时，它的对角线增加速率为______。
正确答案：3cm／s
解析：设l=x(t)，w=y(t)，对角线增加的速率为s(t)。根据题意，在t=t0时，x(t0)=12，y(t0)=5，且x’(t0)=2，y’(t0)=3。又因所以故对角线增长速率为3cm／s。
知识模块：一元函数微分学
4． 设y＝f(lnx)ef(χ)，其中f(χ)可微，则dy＝_______．
正确答案：ef(χ)[f′(lnχ)＋f′(χ)f(lnχ)]dχ
解析：利用一阶微分形式不变性，可得 dy＝d[f(lnχ)ef(χ)]＝ef(χ)[df(lnχ)]＋f(lnχ)def(χ) ＝ef(χ)[f′(lnχ)dlinχ]＋f(lnχ)ef(χ)df(χ) ＝ef(χ)[f′(lnχ)＋f′(χ)f(lnχ)]dχ 知识模块：一元函数的导数与微分概念及其计算
5． 设曲线y=lnx与y=k相切，则公共切线为_______．
正确答案：y=x+1
解析：设当x=a时，两条曲线相切，由得a=e2．两条曲线的公共切线为y-lne2=(x-e2)，整理得切线为y=x+1． 知识模块：高等数学部分
6． 设φ(x)=(x2-t)f(t)dt，其中f连续，则φ”(x)=_______．
正确答案：2f(t)dt+4x2f(x2)