微积分练习题及解析
微积分试题及答案
微积分试题及答案1. 求函数f(x) = 3x^2 - 2x + 1在x = 2处的导数。
解析：首先，我们需要求函数f(x)的导数。
对于一个二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，它的导数等于2ax + b。
因此，对于f(x) = 3x^2 - 2x + 1，其导数即为 f'(x) = 6x - 2。
接下来，我们需要求在 x = 2 处的导数。
将 x = 2 代入导数公式，得到 f'(2) = 6(2) - 2 = 10。
答案：函数f(x)在x = 2处的导数为10。
2. 求函数g(x) = sin(x) + cos(x)的定积分∫[0, π] g(x)dx。
解析：我们需要求函数 g(x) = sin(x) + cos(x) 在[0, π] 区间上的定积分。
首先，我们可以分别求 sin(x) 和 cos(x) 在[0, π] 区间上的定积分，然后将结果相加即可。
根据积分的基本性质，∫sin(x)dx = -cos(x) 和∫cos(x)dx = sin(x)，所以：∫[0, π]sin(x)dx = [-cos(x)]|[0, π] = -cos(π) - (-cos(0)) = -(-1) - (-1) = 2∫[0, π]cos(x)dx = [sin(x)]|[0, π] = sin(π) - sin(0) = 0 - 0 = 0将上述结果相加，得到定积分的结果：∫[0, π]g(x)dx = ∫[0, π]sin(x)dx + ∫[0, π]cos(x)dx = 2 + 0 = 2答案：函数g(x) = sin(x) + cos(x)在[0, π]区间上的定积分为2。
3. 求曲线y = x^3在点(1, 1)处的切线方程。
解析：要求曲线 y = x^3 在点 (1, 1) 处的切线方程，我们需要确定切线的斜率和过切点的直线方程。
首先，我们求出这个曲线在点(1, 1)处的导数来获得切线的斜率。
导数与微分练习题及解析
导数与微分练习题及解析在微积分学中，导数和微分是最基本的概念之一。
它们可以帮助我们研究函数的变化率和性质，广泛应用于物理、经济、工程等各个领域。
为了帮助你更好地理解导数和微分的概念，以下是一些练习题及其解析。
练习题1：求函数f(x) = x^2 + 3x + 2在x = 2处的导数和切线方程。
解析：首先，我们求函数f(x)的导数。
使用求导法则，对于多项式函数来说，可以将每一项的指数与系数相乘，并将指数减一，得到函数的导数。
f'(x) = 2x + 3接下来，我们计算x = 2处的导数值。
f'(2) = 2(2) + 3 = 7切线方程的一般形式为y = mx + b，其中m代表斜率，b代表截距。
根据导数的定义，导数即为切线的斜率。
所以切线的斜率为m = 7。
将切点的坐标代入切线方程，我们可以得到b的值。
2 = 7(2) + b2 = 14 + bb = -12最终的切线方程为y = 7x - 12。
练习题2：求函数f(x) = e^x * sin(x)的导数。
解析：考虑到函数f(x) = e^x * sin(x)是两个函数的乘积，我们可以使用乘积法则来求导。
乘积法则的公式为：(uv)' = u'v + uv'对于e^x和sin(x)两个函数，它们的导数分别为e^x和cos(x)。
根据乘积法则，我们可以将这两个导数与原函数进行组合，得到最终的导数为：f'(x) = (e^x * cos(x)) + (e^x * sin(x))练习题3：求函数f(x) = ln(x^2 + 1)的导数和微分。
解析：首先，我们求函数f(x)的导数。
根据链式法则，可以分别计算外函数和内函数的导数。
设内函数为u = x^2 + 1，则内函数的导数为du/dx = 2x。
外函数为f(u) = ln(u)，则外函数的导数为df/du = 1/u。
根据链式法则，函数f(x)的导数为：f'(x) = df/du * du/dx= (1/u) * (2x)= 2x / (x^2 + 1)接下来，我们计算函数f(x)的微分。
(完整)微积分练习题及解析
练习题1、质量为2kg 的某物体在平面直角坐标系中运动，已知其x 轴上的坐标为x=3+5cos2t,y 轴上的坐标为y=—4+5sin2t ，t 为时间物理量，问：⑴物体的速度是多少?()'10sin(2)x dx V x t t dt===- ()'10cos(2)y dy V y t t dt===10V ==⑵物体所受的合外力是多少？222(3)(4)5x y -+-=运动轨迹是圆，半径为5，所以是做匀速圆周运动 22*100405mv F N r === ⑶该物体做什么样的运动？匀速圆周运动⑷能否找出该物体运动的特征物理量吗？圆心（3，4），半径52、一质点在某水平力F 的作用下做直线运动,该力做功W 与位移x 的关系为W=3x-2x 2，试问当位移x 为多少时F 变为零. 34dW F x dx==- ，所以当x=3/4时,F=0 3、已知在距离点电荷Q 为r 处Ａ点的场强大小为E=错误!，请验证Ａ点处的电势公式为：U = 错误!.规定无穷远处电势为零，A 处的电势即为把单位正电荷缓慢的从无穷远处移到A 点所做的功我们认为在r 变化dr 时，库仑力F 是不变的， 则2kQq dW F dr dr r=-•=-• 所以20W r kQq dW dr r ∞=-⎰⎰ 即 21r q kQq dr rϕ∞=⎰ 所以1|r kQ kQ r rϕ∞=-=4、某复合材料制成的一细杆OP 长为L ，其质量分布不均匀。
在杆上距离O 端点为x 处取点A,令M 为细杆上OA 段的质量。
已知M 为x 的函数，函数关系为M=kx 2，现定义线密度ρ=错误!,问当x=错误!处B 点的线密度为何？ 2dM kx dxρ== ,2L x kL ρ∴==5、某弹簧振子的总能量为2×10-5J ，当振动物体离开平衡位置错误!振幅处，其势能E P = ，动能E k = 。
首先推导弹簧的弹性势能公式，设弹簧劲度系数为k,伸长量为x 时的势能为E(x ）弹簧所具有的弹性势能即为将弹簧从原长拉长x 时所做的功dW F dx kx dx =•=• 00W xdW kx dx ∴=•⎰⎰ 2()2kx E x ∴= 所以在距平衡位置错误!振幅处的弹性势能为总能量的14，即655*10, 1.5*10p k E J E J --== 6、取无穷远处电势为零。
微积分变态题及答案
微积分变态题及答案导数是微积分的初步知识，是研究函数，解决实际问题的有力工具。
以下是导数练习题及答案，欢迎阅读。
一、选择题a．在该点的函数值的增量与自变量的增量的比b．一个函数c．一个常数，不是变数d．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率[答案] c[解析] 由定义，f′(x0)是当δx无限趋近于0时，δyδx无限趋近的常数，故应选c.[答案] b[解析] ∵s(t)＝3t2，t0＝3，∴δs＝s(t0＋δt)－s(t0)＝3(3＋δt)2－＝18δt＋3(δt)2∴δsδt＝18＋3δt.当δt→0时，δsδt→18，故高文瑞b.[答案] b[解析] ∵f(x)＝x2，x＝1，∴δy＝f(1＋δx)2－f(1)＝(1＋δx)2－1＝2δx＋(δx)2∴δyδx＝2＋δx当δx→0时，δyδx→2∴f′(1)＝2，故高文瑞b.[答案] d[解析] ∵δsδt＝4(5＋δt)2－3－4×52＋3δt＝40＋4δt，∴s′(5)＝limδt→0 δsδt＝limδt→0 (40＋4δt)＝40.故应选d.a．δy＝f(x0＋δx)－f(x0)叫作函数值的增量b.δyδx＝f(x0＋δx)－f(x0)δx叫做函数在x0到x0＋δx之间的平均变化率 c．f(x)在x0处的导数记作y′d．f(x)在x0处的导数记为f′(x0)[答案] c[解析] 由导数的定义可知c错误．故应选c.a．f′(x0)＝f(x0＋δx)－f(x0)b．f′(x0)＝limδx→0[f(x0＋δx)－f(x0)]c．f′(x0)＝f(x0＋δx)－f(x0)δxd．f′(x0)＝limδx→0 f(x0＋δx)－f(x0)δx[答案] d[解析] 由导数的定义知d正确．故应选d.[答案] d[解析] ∵δyδx＝a(2＋δx)2＋b(2＋δx)＋c－4a－2b－cδx＝4a＋b＋aδx，∴y′|x＝2＝limδx→0 δyδx＝limδx→0 (4a＋b＋aδx)＝4a＋b.故应选d. [答案] d[解析] 当f(x)＝b时，f′(x)＝0，所以f(x)的图象为一条直线，故应选d.[答案] b[解析] ∵δsδt＝3(0＋δt)－(0＋δt)2δt＝3－δt，∴s′(0)＝limδt→0 δsδt＝3.故高文瑞b.[答案] c[解析] limx→a f(x)－f(a)x－a＝limx→a 1x－1ax－a＝limx→a a－x(x－a)xa＝－limx→a 1ax＝－1a2.二、填空题11．已知函数y＝f(x)在x＝x0处的导数为11，则limδx→0f(x0－δx)－f(x0)δx＝________；limx→x0 f(x)－f(x0)2(x0－x)＝________.[答案] －11，－[解析] limδx→0 f(x0－δx)－f(x0)δx＝－limδx→0 f(x0－δx)－f(x0)－δx＝－f′(x0)＝－11；limx→x0 f(x)－f(x0)2(x0－x)＝－12limδx→0 f(x0＋δx)－f(x0)δx＝－12f′(x0)＝－.12．函数y＝x＋1x在x＝1处的导数是________．[答案] 0[解析] ∵δy＝1＋δx＋11＋δx－1＋11＝δx－1＋1δx＋1＝(δx)2δx＋1，∴δyδx＝δxδx＋1.∴y′|x＝1＝limδx→0 δxδx＋1＝0.13．未知函数f(x)＝ax＋4，若f′(2)＝2，则a等同于______．[答案] 2[解析] ∵δyδx＝a(2＋δx)＋4－2a－4δx＝a，∴f′(1)＝limδx→0 δyδx＝a.∴a＝2.14．未知f′(x0)＝limx→x0 f(x)－f(x0)x－x0，f(3)＝2，f′(3)＝－2，则limx→3 2x－3f(x)x－3的值就是________．[答案] 8[解析] limx→3 2x－3f(x)x－3＝limx→3 2x－3f(x)＋3f(3)－3f(3)x－3＝limx→3 2x－3f(3)x－3＋limx→3 3(f(3)－f(x))x－3.由于f(3)＝2，上式可以化成limx→3 2(x－3)x－3－3limx→3 f(x)－f(3)x－3＝2－3×(－2)＝8.三、答疑题15．设f(x)＝x2，求f′(x0)，f′(－1)，f′(2)．[解析] 由导数定义存有f′(x0)＝limδx→0 f(x0＋δx)－f(x0)δx＝limδx→0 (x0＋δx)2－x20δx＝limδx→0 δx(2x0＋δx)δx＝2x0，16．枪弹在枪筒中运动可以看做匀加速运动，如果它的加速度是5.0×m/s2，枪弹从枪口射出时所用时间为1.6×10－3s，求枪弹射出枪口时的瞬时速度．[解析] 加速度公式为s＝12at2∵δs＝12a(t0＋δt)2－12at20＝at0δt＋12a(δt)2∴δsδt＝at0＋12aδt，∴limδt→0 δsδt＝limδt→0 at0＋12aδt＝at0，未知a＝5.0×m/s2，t0＝1.6×10－3s，∴at0＝m/s.所以枪弹箭出来枪口时的瞬时速度为m/s.17．在曲线y＝f(x)＝x2＋3的图象上取一点p(1,4)及附近一点(1＋δx,4＋δy)，求(1)δyδx (2)f′(1)．[解析] (1)δyδx＝f(1＋δx)－f(1)δx＝(1＋δx)2＋3－12－3δx＝2＋δx.(2)f′(1)＝limδx→0 f(1＋δx)－f(1)δx＝limδx→0 (2＋δx)＝2.18．函数f(x)＝|x|(1＋x)在点x0＝0处为与否存有导数？若存有，谋出，若没，表明理由．δy＝f(0＋δx)－f(0)＝f(δx)∴limx→0＋δyδx＝limδx→0＋ (1＋δx)＝1，limδx→0－δyδx＝limδx→0－ (－1－δx)＝－1，∵limδx→0－δyδx≠limδx→0＋δyδx，∴δx→0时，δyδx无极限．∴函数f(x)＝|x|(1＋x)在点x0＝0处没有导数，即不可导．(x→0＋表示x从大于0的一边无限趋近于0，即x＞0且x趋近于0)。
微积分考试试题及答案
微积分考试试题及答案第一题：求函数 f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1 的极值点和拐点。
解析：首先，我们需要找到函数的极值点。
极值点对应于函数的导数为零的点。
对函数 f(x) 求导得到 f'(x) = 3x^2 - 6x + 2。
令导数等于零，我们得到一个二次方程 3x^2 - 6x + 2 = 0。
使用求根公式，可以解得这个二次方程的解为x = 1 ± √(2/3)。
所以函数的极值点为x = 1 + √(2/3) 和 x = 1 - √(2/3)。
接下来，我们需要找到函数的拐点。
拐点对应于函数的二阶导数为零的点。
对函数 f(x) 求二阶导数得到 f''(x) = 6x - 6。
令二阶导数等于零，我们得到 x = 1，这是函数的一个拐点。
综上所述，函数 f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1 的极值点为x = 1 + √(2/3)和 x = 1 - √(2/3)，拐点为 x = 1。
第二题：已知函数 f(x) = e^x，在点 x = 0 处的切线方程为 y = mx + b，求参数 m 和 b 的值。
解析：切线方程的斜率 m 等于函数在给定点的导数。
对函数 f(x) = e^x 求导得到 f'(x) = e^x。
根据题意，在 x = 0 处求切线，所以我们需要计算函数在 x = 0 处的导数。
将 x = 0 代入函数的导数表达式中，我们得到 f'(0) = e^0 = 1。
所以切线的斜率 m = 1。
切线方程的常数项 b 可以通过将给定点的坐标代入切线方程求解。
由题意知道切线过点 (0, f(0))，即 (0, e^0) = (0, 1)。
将点 (0, 1) 代入切线方程 y = mx + b，我们得到 1 = 0 + b，解得 b = 1。
综上所述，切线方程为 y = x + 1。
第三题：计算函数f(x) = ∫(0 to x) sin(t^2) dt。
大一微积分试题及答案详解
大一微积分试题及答案详解一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数f(x) = x^2在区间(-∞, +∞)上是：A. 增函数B. 减函数C. 先减后增D. 先增后减答案：A解析：函数f(x) = x^2的导数为f'(x) = 2x，当x > 0时，f'(x) > 0，说明函数在x > 0的区间内是增函数；当x < 0时，f'(x) < 0，说明函数在x < 0的区间内是减函数。
由于整个定义域内没有区间使得函数单调递减，所以函数在整个定义域上是增函数。
2. 下列函数中，满足f(-x) = -f(x)的是：A. f(x) = x^3B. f(x) = x^2C. f(x) = |x|D. f(x) = sin(x)答案：A解析：选项A中的函数f(x) = x^3是奇函数，因为对于所有x，都有f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x)。
选项B是偶函数，选项C和D不满足奇函数的性质。
3-10. （类似上述格式，继续编写选择题及答案详解）二、填空题（每题4分，共20分）1. 极限lim (x→0) [sin(x)/x] 的值是 _______。
答案：1解析：根据极限的性质，我们知道sin(x)/x在x趋近于0时的极限是1，这是著名的极限lim (x→0) [sin(x)/x] = 1。
2. 函数f(x) = 2x^3 - 6x^2 + 9x + 1在x = 2处的导数是 _______。
答案：23解析：首先求出函数f(x)的导数f'(x) = 6x^2 - 12x + 9，然后将x = 2代入得到f'(2) = 6(2)^2 - 12(2) + 9 = 24 - 24 + 9 = 9。
3-5. （类似上述格式，继续编写填空题及答案详解）三、解答题（共50分）1. （15分）求曲线y = x^3 - 3x + 2在点(1, 0)处的切线方程。
微积分综合练习试题和参考答案与解析
(1)函数 f(X)=•1 In(x - 2) 的定义域是(2)函数 f(x)=1 ln( x 2)的定义域是 ____________ •答案：(—2, —1)^(—1,2](4)若函数f(x T xs 「x 0在X 二0处连续，则k =x _ 0•答案：k = 1(1)设函数y 二-xe，则该函数是().A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数 D .既奇又偶函数综合练习题1 (函数、极限与连续部分)1 •填空题(3)函数 f (x 2^ x 2 4x 7，贝U f(x)二 _______________________ •答案：f(x^ x 2 3(5) 函数 f(x-1) =x 2 -2x ，则 f(x)二 __________________ .答案：f(x) =x 2 -1x 2 _2x _3(6)函数y _________________________ 的间断点是.答案：x- -1x +1 1(7)lim xsin .答案：1X护 x sin 4x(8)若 lim _______________ 2，则 k = .答案：k = 2―0 sin kx2.单项选择题答案：B(2)下列函数中为奇函数是( ).答案：CA. xsin xln (x . 1 x 2) D . x x 2).D . x 卞 一5 且 x = -4x(3)函数y ln(x • 5)的定义域为(x +4A. x 占-5 B . x -4 C . x 占 一5 且 x = 0答案：D2(4)设 f(X * 1) = X 「1 ,则 f(X)二( )A. x(x 1)C. x=1,x=2, x=3D x 2 -3x 2(1)(2)解: limX —3x 2 -3x 2x 2 -4-9(x-2)(x-1) (x-2)(x 2)lim x =3 x-9(x-3)(x 3)-2x -3xB (x -3)(x 1)= lim 』^X —3 X 14 2答案：A3.计算题-4C. x(x _2)D . (x +2)(x —1)答案： Ce^2,x 式0亠 (5) 当k =(）时，函数f f(x) =在x=0处连续..k,x = 0A. 0B. 1C .2D . 3答案:Dx +1,x 式0 (6) 当k =(）时，函数f f(x)—w，在X = 0处连续、k,x = 0 A. 0 B. 1C .2D .-1答案:B(7) 函数f (x)x —3— 2 的间断点是（)X 2 _3x +2A. x =1,x = 2B.x =3.无间断点解:WORD 格式整理版综合练习题2 （导数与微分部分）(3)解:lim "卫二 lim HX T x 2 -5x 4x —4 & -4)(x -1)二lim x j4x -2x —11 •填空题(1)曲线f(x) __________________________________ ・1在(1,2)点的切斜率是11答案：2(2)_______________________________________________________ 曲线f(x) =e x在(0,1)点的切线方程是 __________________________________________ •答案：y = x • 1(3)已知f (x^ x3 3x，则f (3) =答案： f (x) =3x23x ln3f (3) =27 (1 ln 3)(4)已知f(x) = In x ,贝U f (x) = _____________________ •1 1答案：f (x) , f (x) = 2x x(5)若f (x) _______________________________ ，贝y f (0)二答案：f (x)二「2e» xe」f (0) =「22.单项选择题(1)若f (x) = e^ cosx，贝U f (0)= ( ) •A. 2B. 1C. -1D. -2因f (x) = (e“ cosx) = (e“)cosx e^(cosx)-x X x=-e cosx -e sin x = -e (cosx sinx)所以f (0) - -e-0 (cos0 sin0) - -1答案：C(2)设y = lg2 x，则dy 二(1 1A. dx B dx2x xln 10答案：B(3)设y二f (x)是可微函数，则)•ln 10 1 C •dx D • 一dxx x df(cos2x)二( )•A • 2f (cos2x)dxB f (cos2x)sin 2xd2x(4)若 f(X) . 丄3=si nx a，其中a 是常数，则f (x) =().A2.cosx 3a B. sin x 6ac.-sin xD.cosx答案 :C3.计算题1e ，求八(1 )设 y = x 211 2 1 .1C . 2f (cos2x)sin 2xdxD . - f (cos2x)sin2xd2xx(2 )设 y = sin 4x cos 3 x ，求 y .2解: y = 4cos4x 3cos x(-sinx)2= 4cos4x 「3sinxcos x(3 )设 y = e % 12，求讨.x答案：D21 解： / = 2xe x x 2e x (-p)二 e x (2x-1)A.单调增加 B .单调减少C.先增后减 D •先减后增答案：D(2)满足方程f (x) =0的点一定是函数y二f (x)的( ).A极值点 B.最值点 C .驻点 D.间断点答案：C(3)下列结论中( )不正确.A . f (x)在X=X0处连续，则一定在X0处可微.B . f(X)在X = X0处不连续，则一定在X0处不可导•C •可导函数的极值点一定发生在其驻点上•D.函数的极值点一定发生在不可导点上•答案：B(4)下列函数在指定区间(-：：,•：：)上单调增加的是( ).A . sinxB . e XC . X10D . 3「x答案：B3.应用题(以几何应用为主)(1)欲做一个底为正方形，容积为108m i的长方体开口容器，怎样做法用料最省?解：设底边的边长为xm,高为h m容器的表面积为y m l。
高考数学微积分(附答案解析
定积分与微积分基本定理【考点导读】1． 了解定积分的实际背景，初步掌握定积分的相关概念，体会定积分的基本方法。
2． 了解微积分基本定理的含义，能利用微积分基本定理计算简单的定积分，解决一些简单的几何和物理问题。
【基础练习】1．下列等于1的积分是 （3） 。
（1）dx x ⎰10 （2）dx x ⎰+10)1( （3）dx ⎰101 （4）dx ⎰10212.曲线3cos (0)2y x x π=≤≤与坐标轴围成的面积是 52。
3．已知自由落体运动的速率v gt =，则落体运动从0t =到0t t =所走的路程为 220gt。
4．如果10N 的力能使弹簧压缩10cm ，为在弹性限度内将弹簧拉长6cm ，则力所做的功为 0.18J 。
5．220(3)10,x k dx k +==⎰则1 , 8-=⎰__454 。
【范例导析】例1．计算下列定积分的值： （1）⎰--312)4(dx x x ；（2）⎰-215)1(dx x ；（3）dx x x ⎰+20)sin (π；（4）dx x ⎰-222cos ππ；分析：求函数()f x 在某一区间上的定积分，常用的方法有两种：一是利用定积分的几何意义，转化为曲边梯形的面积来处理；二是应用微积分基本定理，关键在于找到()F x ，使()()F x f x '=。
解：（1）3223311120(4)(2)|33x x dx x x ---=-=⎰ （2）因为56)1(])1(61[-='-x x ，所以61|)1(61)1(216215=-=-⎰x dx x ；（3）222200(sin )(cos )|128x x x dx x πππ+=-=+⎰ （4）22222221cos 2sin 2cos |2242x x x xdx dx πππππππ---+==+=⎰⎰dx x ⎰-222cos ππ点评：除了题目有明确要求之外，在求定积分的两种方法中我们基本上选用微积分基本定理解决问题，避免每次都要进行“分割、以直代曲、作和、逼近”的操作，不过有时候我们不容易找到比较()F x ，这时候用定义或者其几何意义就显得方便了。
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练习题
1、质量为2kg 的某物体在平面直角坐标系中运动，已知其x 轴上的坐标为x=3+5cos2t ，y 轴上的坐标为y=-4+5sin2t ，t 为时间物理量，问：
⑴物体的速度是多少？ ()'10sin(2)x dx V x t t dt
=
==- ()'10cos(2)y dy V y t t dt === 22
10x y V V V =+=
⑵物体所受的合外力是多少?
222(3)(4)5x y -+-=
运动轨迹是圆，半径为5，所以是做匀速圆周运动 22*100405
mv F N r === ⑶该物体做什么样的运动？
匀速圆周运动
⑷能否找出该物体运动的特征物理量吗？
圆心（3,4），半径5
2、一质点在某水平力F 的作用下做直线运动，该力做功W 与位移x 的关系为W=3x-2x 2,试问当位移x 为多少时F 变
为零。
34dW F x dx
=
=- ，所以当x=3/4时，F=0
3、已知在距离点电荷Q 为r 处Ａ点的场强大小为E=
KQ r 2 , 请验证Ａ点处的电势公式为：U = KQ r。
规定无穷远处电势为零，A 处的电势即为把单位正电荷缓慢的从无穷远处移到A 点所做的功
我们认为在r 变化dr 时，库仑力F 是不变的， 则2
kQq dW F dr dr r =-•=-
• 所以2
0W r kQq dW dr r ∞=-⎰⎰ 即 21r q kQq dr r
ϕ∞=⎰ 所以1|r kQ kQ r r ϕ∞=-=
4、某复合材料制成的一细杆OP 长为L ，其质量分布不均匀。
在杆上距离O 端点为x 处取点A ，令M 为细杆上OA 段
的质量。
已知M 为x 的函数，函数关系为M=kx 2，现定义线密度ρ=dM dx ,问当x=L 2
处B 点的线密度为何？ 2dM kx dx
ρ=
= ,2L x kL ρ∴==
5、某弹簧振子的总能量为2×10-5J ，当振动物体离开平衡位置12
振幅处，其势能E P = ，动能E k = 。
首先推导弹簧的弹性势能公式，设弹簧劲度系数为k ，伸长量为x 时的势能为E （x ）
弹簧所具有的弹性势能即为将弹簧从原长拉长x 时所做的功
dW F dx kx dx =•=•
00W x
dW kx dx ∴=•⎰⎰ 2
()2
kx E x ∴= 所以在距平衡位置12 振幅处的弹性势能为总能量的14
，即655*10, 1.5*10p k E J E J --==
6、取无穷远处电势为零。
若将对电容器充电等效成把电荷从无穷远处移到电容器极板上，试问，用电压U 对电容为C 的电容器充电，电容器存储的电能为何？开始时电容器存放的电荷量为零。
0022
1122q
q E Q q q dE dQ U
Q dE dQ C Q E CU C =•∴=∴==⎰⎰
7、在光滑的平行导轨的右端连接一阻值为R 的电阻，导轨宽度为L ，整个导轨水平放置在方向竖直向下的磁场中，磁场的磁感应强度为B 。
有一导体棒ab 垂直轨杆并停放在导轨上，导体棒与导轨有良好的接触。
在t=0时刻，给导体棒一水平向左的初速度V 0，若其他电阻不计，则
⑴求导体棒的速度v 随时间t 的函数表达式； 022*********
2200,1ln v t v B L t
mR
B L v F B L v F a R m mR
B L v dv a dt dt mR
B L dv dt v mR v B L t v mR
v v e -====-•=-=-∴=-∴=⎰⎰
⑵求导体棒从开始运动到停下为止，其滑行的总位移S ； 22222200000022022|
B L t mR B L t s mR B L t mR ds v dt v e
dt ds v e dt mR s v e B L
mR s v B L --∞-∞=•=•∴=∴=-∴=⎰⎰ ⑶求导体棒在运动过程中产生的感应电流I 随时间t 的函数关系； 22
0B
L t mR BLv BLv I e R R -== ⑷求全过程中流过导体棒的总电荷Q 。
00
Q BL dQ I dt vdt R BL dQ vdt R mv BL Q s R BL
∞=•=
∴=∴==⎰⎰ 从这里可以看出安培力的冲量特点
dI BL dQ =•。