自考概率论课件 第八章 假设检验

X - 0 第二步 假定H0成立，选取检验统计量： U ~ N (0,1) 0 / n
/2
-1.96 O 1.96
/2
因而认为生产是正常的.
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X - 0 U ~ N (0,1) 0 / n 单边检验查 由 = 0.05，查标准正态分布表得：u= u0.05= 1.64 上分为点
Hypothesis Test
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本章内容 §8.1 §8.2 §8.3
假设检验的基本思想和概念
一个正态总体的参数假设检验 两个正态总体的参数假设检验
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
§8.1 假设检验的基本思想和概念
一、 假设检验问题
1.假设检验的提出： 参数估计是统计推断的一个主要内容，假设检验是统计推断的 另一个主要内容. 参数估计：讨论如何根据样本去得到总体分布所含参数的优良估计 假设检验：讨论怎样在样本的基础上考察上面所得到的估计值与真
/2
-u/2
O
/2
u/2
O
检验水平为时，拒绝域
(1) W {U | | U | u }
2
(2) W {U | U u }
(3) W {U | U < -u }
u

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-u
O
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例1 某厂一车间生产一零件，据经验其直径服从N( , 5.2)， 为了检验这一车床生产是否正常，现抽取容量为 n=100的样本， 样本均值x =26.56，要求在显著性水平 = 0.05下检验双边假设 H0 ： 26 解：方差 2 =5.2已知，检验均值μ ——U检验法. 第一步 提出假设H0: =26；H1: ≠26 . 第三步 由 = 0.05，查标准正态分布表得 u 临界值： /2 =u0.025=1.96 第四步 由样本计算U的值：u=1.08 因|u| < u/2 =1.96，故接受H0
解：研究者抽检的意图是倾向于证实这种洗 涤剂的平均净含量并不符合说明书中的陈述 . 建立的原假设和备择假设为
H0 ：μ≥ 500 ， H1 ： μ < 500
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提出假设(例题分析)

【例3】一家研究机构估计，某城市中家庭拥有汽 车的比例超过30%.为验证这一估计是否正确，该研 究机构随机抽取了一个样本进行检验.试陈述用于检 验的原假设与备择假设. 解：研究者想收集证据予以支持的假设是“该城市 中家庭拥有汽车的比例超过30%”.建立的原假设和 备择假设为 H0 ： 30% H1 ： 30%
X - 0 U ~ N (0,1) 0 / n
置信水平
拒绝H0
拒绝H0
1-
/2
当H0为真时，U的取值应在 0 的附近，
若一次抽样所得样本使得 U 的值 太大或太小，就应该拒绝H0 .
/2
临界值
0
临界值
2
第三步 对给定,求出临界值u /2,拒绝域 第四步 计算U的值u,将|u|与u /2比较,下结论.
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W {U | | U | u }
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当 2已知时,检验均值 的三种形式： (1) H0 ：
0 (2) H0 ： 0 (3) H0 ： 0
H1 ： 0 H1 ： 0 H1 ： <0
U 检 验 法
X - U ~ N (0,1) 0 / n
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三、假设检验的基本思想
1.基本思想 从样本(X1, X2, … , Xn)出发，构造出一个用于检验H0的统计量(称 为检验统计量)，并且，当 H0 成立时，统计量T的分布或渐近分 布是已知的.制定一个决定拒绝还是接受 H0的法则，在样本值 (x1, x2, …, xn)确定之后，按照这个法则做出拒绝H0 ，还是拒绝H1的 判断，这个法则 称为H0对H1的检验法则 . 2.检验法则的确定 ------- 在样本值 (x1, x2, …, xn)确定之后，统计量 样本值 (x1, x2, …, xn)分为两个集合 W与 W 的值T也确定了，把统计量的所有可能的取值分为两个集合 E与Ē, P[(X1, X E)= , (很小) ，根据小概率事件原理： 其中P(T 2, … Xn) W ]= (很小) 显著性水平 若样本值 (x1, x2, …, xn) E , 则拒绝原假设H0 (接受备择假设H1)； 如果T W 若样本值 (x1, x2, …, xn) W 则接受原假设H0 (拒绝备择假设H1 ) . 如果T Ē, 注意：1.检验法则逻辑上运用反证法，统计上依据小概率原理. 2.如果是要检验参数，统计量T常选为要检验的参数的点估计.
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§8.2 一个正态总体的参数假设检验
设总体X ~N( , 2),考虑参数 , 2的假设检验,检验水平 为，样本 (X1, X2, …, Xn) 来自总体X . 一、均值 的假设检验 考虑均值 的三种形式的假设 (1) H0 ： 0 H1 ： 0 (2) H0 ： 0 H1 ： 0 (3) H0 ： 0 H1 ： <0 其中 0 是某个给定的数
解：研究者想收集证据予以证明的假 设应该是“生产过程不正常”.建立的 原假设和备择假设为 H0 ： 10cm
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H1 ： 10cm
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提出假设(例题分析)

【例2】某品牌洗涤剂在它的产品说明书中声称： 平均净含量不少于500克.从消费者的利益出发，有 关研究人员要通过抽检其中的一批产品来验证该产 品制造商的说明是否属实.试陈述用于检验的原假 设与备择假设.
解：方差 2=5.2已知，U检验法. 经计算：u=1.08 < u =1.64 所以不能拒绝原假设H0 ： 因而认为生产是正常的.
O
例2 某厂一车间生产一零件，其直径据经验服从N( , 5.2)， 为了检验这一车床生产是否正常，现抽取容量为 n=100的样本， 样本均值x =26.56，要求在显著性水平 = 0.05下检验右边假设 H0 ： 26 ； H1 ： 26. 单边检验问题
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假设检验的基本思想
抽样分布
这个值不像我们 应该得到的样本 均值 ... 小概率事件发生 了
...因此我们拒
绝假设 = 50 ... 如果这是总体的 真实均值,那么会以 较大的概率保证样 本均值距50较近
20 样本均值
= 50 H0
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3.假设检验问题的一般步骤 第一步 根据问题的要求提出原假设H0和备择假设H1 第二步 选取检验统计量T(X1, X2, … , Xn) ,在H0成立的情形下确定 其分布.对于给定的显著性水平 ,找到H0的拒绝域W和接受域 第三步 根据样本值(x1, x2, …, xn)求出检验统计值T ,如果 (x1, x2, …, xn) W (小概率事件发生了), 则拒绝 H0 ,否则接受H0
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四、假设检验中的两类错误
假如我们给出了H0对H1的某个检验法则,也有了样本 (x1, x2, …, xn) 的拒绝域 W ，和接受域 W ，但由于样本的随机性，在进行 判断时，还是有可能犯两类错误： 第一类错误：弃真 P(拒绝H0| H0 为真)=----犯第一类错误的概率 即 P(( x1, x2, …, xn) W | H0 为真)= 第二类错误：纳伪 P(接受H0| H0 为假)=----犯第二类错误的概率 即 P(( x1, x2, …, xn) W | H0 为假)=


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二、假设检验的基本概念
1. 假设(hypothesis) ：在数理统计中，把对总体分布的各种论断 称为统计假设，简称为假设. (1)参数假设：关于总体分布中参数的假设. (2)非参数假设：不是关于总体分布中的参数的假设. 如：H0 ：F(x){正态分布族} H1： F(x){非正态分布族} 2.假设检验(hypothesis test) ： 在数理统计中，判断假设是否成立 的方法称为假设检验. 依据假设的类型假设检验可分为：
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决策 接受H0 拒绝H0
总体情况
H0为真 正确决策(1 – ) 第Ⅰ类错误( ) H0为假 第Ⅱ类错误( ) 正确决策(1- )
我们希望进行假设检验时，所找到的W能使犯第两类错误的概 率都很小，但在样本容量给定后，要使 、 都很小是不可能的， 否则将会导致样本容量无限增大,这又是不切实际的. 基于这种考虑,奈曼与皮尔逊(Neyman-Pearson)提出一个原则 即在控制犯第一类错误 的条件下，尽量使犯第二类错误 小 （ 人们常常把拒真比纳伪 看的更重些）
实值之间在统计意义上相拟合，从而做出一个有较大把握的结论.
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例如：设某厂生产一种灯管，其寿命X~N(,40000),从过去较长一 段时间的生产情况看，灯管的平均寿命为 =1500小时，现在使 用了新工艺后，在所生产的灯管中抽取25只，测得的平均寿命为 1675小时，问：采用新工艺后，灯管 的寿命是否有显著提高？ 考虑：为判别新产品的寿命是否提高,提出以下两个假设(hypothesis) H0:新产品的寿命=1500 接受H --新产品的寿命没有显著提高
第三步 由=0.05，查标准正态分布表得 u=u0.05=1.64 拒绝域： W {U | U < -1.64} 第四步 计算U的值：u= -0.67 > -1.64
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u

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例3 质量标准规定，灯泡的平均寿命不能低于1200小时，现从一批 灯泡中抽取5只，测得寿命(小时)为：1170，1210，1220，1180， 1190，设灯泡寿命服从N( , 202)，试检验这批灯泡是否合格？ ( = 0.05) ≥ 解：第一步 提出待检假设 H0: =1200；H1: <1200 .