(1)格点多边形的面积计算
活动收获
格点多边形的面积S和多边形内部的 格点数N，它的边上的格点数L之间存在 一定的数量关系
S=
1 L N 1 2
验证猜想
你将如何验证归纳所得
S=
1 L N 1 2
的正确性？
解决问题
L=15；L=17，红色多边形的S较大？
N=17；N=16，黄色多边形的S较大？
通过本节课的课题学习， 你有什么收获？
S
N
L
② ③ … … … …
B ①
C
C
A
B C ③
D
④
活动四
如图①②③都是满足条 件 N=3 的格点多边形，请 填写表格：
A B D C ①
A D B C
图形 序号
①
S
N
L
A
D C D ② B
②
③ … … … …
③
④
活动任务
设格点多边形的面积为S，它的边上的格 点数为L，内部的格点数为N。
探究S与L、N之间的数量关系。
B
C D
C
D
补
割
问题2
E B C D
设格点多边形的面积为S，多 边形内部的格点数为N，它的边上 的格点数为L，那么S与N、L三者 之间有怎样的数量关系呢？
活动一
如图①②③都是满足条 件 N=0 的格点多边形，请 填写表格：
A B ① D C
图形 序号 ①
② ③ …
S
N
L
A
…
…
…
B
②
C
A B ③
D C ④
当 N=0 时 ， S 与 L 有什么关系？
活动二
如图①②③都是满足条 件 N=1 的格点多边形，请 填写表格：
D A B ①
A D
图形 序号 ①
② ③ …
S
N
L
C
B ②
C
…
…
…Байду номын сангаас
C
A
③
B
④
活动三
如图①②③都是满足条 件 N=2 的格点多边形，请 填写表格：
A D
B A F E ② D
图形 序号
①
八年级数学课题学习
格点多边形的面积 计算
数格点 算面积
1、看书，掌握定义
2、观看微课视频 3、自学检测题 4、课内问题讨论和互动
概念
如果一个多边形的 各顶点都在格点上，那 么这种多边形叫做格点 多边形.
A E B C D
问题1
A E B C D
你会求图中格点多边 形的面积吗？请试一试！
E
E
B
拓展研究
如果每相邻的四个点构成的小矩形的面积是 1，那么还 能用“皮克公式”来求多边形的面积吗？
拓展研究
如果每相邻的三个点构成的小等边三角形的面积是1 ， 那么还能用“皮克公式”来求多边形的面积吗？
几何图形六年级
几何图形题型一：格点图形的面积计算（毕克定理） 1、正方形格点多边形的面积计算公式：（毕克定理）正方形格点多边形的面积＝内点个数＋界点个数÷2－1，如果用S 表示面积，N 表示图形内包含的格点数，L 表示图形周界上的格点数，那么，正方形格点面积可以表示为：S ＝N ＋12L －1。
2、三角形格点多边形及其面积计算公式每相邻三点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形，规定它的面积为1，以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形。
三角形格点多边形的面积计算公式：（毕克定理）三角形格点多边形的面积＝(内点个数＋界点个数÷2－1)×2，如果用S 表示面积，N 表示图形内包含的格点数，L 表示图形周界上的格点数，那么，三角形格点面积可以表示为：S ＝(N ＋12L －1)×2。
注意：1．毕克定理对任何格点图形都适用。
要区分面积是几个单位。
2．在数格点时要细心。
3．严格区分正方形格点多边形和三角形格点多边形。
正方形格点图形的面积[模型例题1．]如图是用橡皮筋在钉板上围成的一个三角形，计算它的面积是多少。
(每相邻两个小钉之间的距离都等于1个长度单位)分析 直接套用正方形格点多边形面积公式“正方形格点多边形的面积＝内点个数＋界点个数÷2－1”即可解答。
解：5＋3÷2－1＝5.5 答：三角形的面积为5.5。
[模型例题2．]如图所示，在边长为1厘米的正方形格点中，图形“”的面积是多少平方厘米？分析直接套用正方形格点多边形面积公式“正方形格点多边形的面积＝内点个数＋界点个数÷2－1”即可解答。
解：6＋10÷2－1＝10(平方厘米)答：图形“”的面积是10平方厘米。
三角形格点图形的面积[模型例题3．]下图中有28个点，其中每相邻的三点“∵”或“∴”所形成的三角形都是面积为1的等边三角形，试计算△ABC的面积。
分析直接套用三角形格点多边形面积公式“三角形格点多边形的面积＝(内点个数＋界点个数÷2－1)×2”即可解答。
正方形格点阵中多边形面积计算公式
正方形格点阵中多边形面积的计算公式，出现在各种形状的格点阵中的直线形的面积问题，以及借助构造格点阵求解的几何问题．通过恰当地分割与拼补进行计算的面积问题．1．如图6-1，每一个小方格的面积都是l平方厘米，那么用粗线围成的图形的面积是多少平方厘米?【分析与解】方法一：正方形格点阵中多边形面积公式：（N+L2-1)×单位正方形面积，其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数．有N=4，L=7，则用粗线围成图形的面积为：（4+72-1)×1=(平方厘米)方法二：如下图，先求出粗实线外格点内的图形的面积，有①=3÷2=，②=2÷2=1，③=2÷2=1，④=2÷2=1，⑤=2÷2=l，⑥=2÷2=1，还有三个小正方形，所以粗实线外格点内的图形面积为+l+1+1+1+1+3=，而整个格点阵所围成的图形的面积为16，所以粗线围成的图形的面积为：=平方厘米．2．如图6-2，如果每一个小三角形的面积是1平方厘米，那么四边形ABCD 的面积是多少平方厘米?【分析与解】方法一：正三角形方形格点阵中多边形面积公式：(2N+L-2)x 单位正三角形面积，其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数．有N=9，L=4，所以用粗线围成的图形的面积为：(9×2+4-2)×1=20(平方厘米)．方法二：如下图，我们先数出粗实线内完整的小正三角形有10个，而将不完整的小正三角形分成4部分计算，其中①部分对应的平行四边形面积为4，所以①部分的面积为2，②、③、④部分对应的平行四边形面积分别为2，8，6，所以②、③、④部分的面积分别为1，4，3．所以粗实线内图形的面积为lO+2+1+4+3=20(平方厘米)．3.如果图6-3是常见的一副七巧板的图，图6-4是用这副七巧板的7块板拼成的小房子图，那么，第2块板的面积等于整幅图的面积的几分之几?第4块板与第7块板面积的和等于整幅图的面积的几分之几?【分析与解】 如下图，我们在图6-3中标出图6-4中各块图形的位置．设整个七巧板组成的正方形的边长为1，显然整幅图形的面积为1，且有第2块的面积为12×12×12=18．有3S =4S ，2S =5S =7S =23S ，有2、3、4、5、7五块图形的面积之和为12，所以4S =IGFB S 长方形，7S =18．所以第2块板的面积等于整幅图面积的18，第4块板与第7块板面积和为整幅图面积的116+18=316．4．把正三角形每边三等分，将各边的中间段取来向外面作小正三角形，得到一个六角形．再将这个六角形的各个“角”(即小正三角形)的两边三等分，又以它们的中间段向外作更小的正三角形，这样就得到图6-5所示的图形．如果这个图形面积是1，那么原来的正三角形面积是多少?【分析与解】方法一：如右图，我们将图6-5分成若干个大小、形状完全相同的小正三角形，由40块小正三角形组成图6-5，而由27块小正三角形组成了图中最大的正三角形．120块小正三角形的面积为1，所以每块为1120，那么原来的正三角形由81块小正三角形组成，其面积显然为27 40．方法二：如下图，我们把图6-5中的三角形分成A、B、C三种，设A形正三角形面积为“1”，则B、C两种正三角形的面积依次为“19”、“181”．在图6-5中，A种、B种、C种正三角形的个数依次为1，3，12，所以图6-5中图形的面积为1+3×19+12×181=4027．所以有“1”对应2740，而原来的正三角形即为三角形A，所以原来的正三角形的面积为27 40.5．如图6-6，正六边形ABCDEF的面积是6平方厘米，M是AB中点，N是CD 中点，P是EF中点．问：三角形MNP的面积是多少平方厘米?【分析与解】如下图，我们将图6-6分成大小、形状相同的三角形，有正六边形ABCDEF包含有24个小正三角形，而阴影部分MNP包含有9个小正三角形．正六边形ABCDEF的面积为6，所以每个小正三角形的面积为6÷24=14，所以三角形MNP的面积为9×14=(平方厘米)．6．把同一个三角形的三条边分别五等分、七等分，适当连接这些分点，便得到了若干个面积相等的小三角形．已知图6-7中阴影部分的面积是294平方分米，那么图6-8中的阴影部分的面积是多少平方分米?【分析与解】在图6-7中，原正三角形被分成25个小正三角形，而阴影部分含有12个小正三角形，所以每个小正三角形的面积为294÷12=，所以原正三角形的面积为×25=(平方分米)．而在图6-8中，原正三角形被分成49块，而阴影部分含有16块，所以阴影部分的面积为÷49×16=200(平方分米)．7．图6-9是5×5的方格纸，小方格的面积是1平方厘米，小方格的顶点称为格点．请你在图上选7个格点，要求选出的点中任意3点都不在同一条直线上，并且使这7个点用直线连接后所围成的面积尽可能大．那么所围图形的面积是多少平方厘米?【分析与解】我们知道满足题意的7个点可以组成一个七边形，适当的切去正方形的一个角可以得到一个五边形，切出2个角可以得到一个六边形，切去3个角可以得到七边形.为了使最后留下的七边形的面积尽可能大，那么切去的3个角面积应尽可能的小．如下切法得到的七边形的面积最大，为25-3×=(平方厘米)．8.在图6-10中，三角形ABC和DEF是两个完全相同的等腰直角三角形，其中DF长9厘米，CF长3厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米?【分析与解】方法一：如图(a)，将原题中图形分为12个完全一样的小等腰三角形．△ABC 占有9个小等腰三角形，其中阴影部分占有6个小等腰三角形，SABC=9×9÷2=(平方厘米)，所以阴影部分的面积为÷9×6=27(平方厘米)．方法二：如图(b)，连接IG ，有四边形ADGI 为正方形，易知FG=FC=3(厘米)，所以DG=DF-FG=9-3=6(厘米)，于是S HIG =14×AIGD S 正方形=14×26=9.而四边形IGFB 为长方形，有BF=AD=DG=6(厘米)，GF=3(厘米)，所以IGFB S 长方形=6×3=18．阴影部分面积为A HIG 与长方形IGFB 的面积和，即为9+18=27(平方厘米)．方法三：如图(C)，为了方便叙述，将图6-10中某些交点标上字母． 易知三角形BIE 、CGF 、AIH 、DGH 均为等腰直角三角形．先求出等腰直角三角形AHI 、CGF 的面积，再用已知的等腰三角形ABC 的面积与其作差，即为需求阴影部分的面积．有S ABC =DEF S =12×EF ×DF=812，CGF S =12×CF×FG=92．因为CF=FG=3，所以DG=DF-FG=6．。
小学奥数格点型面积毕克定理
小学奥数：格点型面积毕克定理板块一 正方形格点问题在一张纸上,先画出一些水平直线和一些竖直直线,并使任意两条相邻的平行线的距离都相等通常规定是1个单位,这样在纸上就形成了一个方格网,其中的每个交点就叫做一个格点．在方格网中,以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形,例如,右图中的乡村小屋图形就是一个格点多边形．那么,格点多边形的面积如何计算它与格点数目有没有关系如果有,这两者之间的关系能否用计算公式来表达下面就让我们一起来探讨这些问题吧用N 表示多边形内部格点,L 表示多边形周界上的格点,S 表示多边形面积,请同学们分析前几个例题的格点数． 我们能发现如下规律：12L S N =+-．这个规律就是毕克定理．【例 1】 用9个钉子钉成相互间隔为1厘米的正方阵如右图．如果用一根皮筋将适当的三个钉子连结起来就得到一个三角形,这样得到的三角形中,面积等于1平方厘米的三角形的个数有多少 面积等于2平方厘米的三角形有多少个【例 2】 如图,44⨯的方格纸上放了16枚棋子,以棋子为顶点的正方形有 个．【例 3】 判断下列图形哪些是格点多边形【例 4】 如图,计算各个格点多边形的面积．巩固如果两格点之间的距离是2,能利用刚计算的结果说出相应面积么教师总结：面积数值均扩大4倍．【例 5】 如图a ,计算这个格点多边形的面积．【例 6】 “新加坡小学数学奥林匹克”竞赛试题右图是一个方格网,计算阴影部分的面积．【例 7】 分别计算图中两个格点多边形的面积．⑴ ⑵巩固求下列各个格点多边形的面积．【例 8】 我们开始提到的“乡村小屋”的面积是多少【例 9】 右图是一个812⨯面积单位的图形．求矩形内的箭形ABCDEFGH 的面积．【例 10】 右图中每个小正方形的面积都是1,那么图中这只“狗”所占的面积是多少巩固如图,每一个小方格的面积都是1平方厘米,那么用粗线围成的图形的面积是多少平方厘米【例 11】 “小学数学奥林匹克”竞赛试题55⨯的方格纸,小方格的面积是1平方厘米,小方格的顶点称为格点．请你在图上选7个格点,要求其中任意3个格点都不在一条直线上,并且使这7个点用直线连接后所围成的面积尽可能大．那么,所围图形的面积是 平方厘米．【例 12】 “保良局亚洲区城市小学数学”竞赛试题第一届保良局亚洲区城市小学数学邀请赛在7月21日开幕,下面的图形中,每一个小方格的面积是1,那么7、2、1三个数字所占的面积之和是多少【例 13】 第六届“从小爱数学”邀请赛试题两个边长相等的正方形各被分成25个大小相同的小方格．现将这两个正方形的一部分重叠起来,若左上角的阴影部分块状面积为25.12cm ,右下角的阴影部分线状面积为27.4cm ,求大正方形的面积．【例 14】 第六届“华杯赛”试题图中正六边形ABCDEF 的面积是54,AP =2PF ,CQ =2BQ ,求阴影四边形CEPQ 的面积．板块二 三角形格点问题所谓三角形格点多边形是指：每相邻三点成“∵”或“∴”,所形成的三角形都是等边三角形．规定它的面积为1,以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形．关于三角形格点多边形的面积同样有它的计算公式：如果用S 表示面积,N 表示图形内包含的格点数,L 表示图形周界上的格点数,那么有22S N L =⨯+-,就是格点多边形面积等于图形内部所包含格点数的2倍与周界上格点数的和减去2．【例 15】 如图a ,有21个点,每相邻三个点成“∵”或“∴”,所形成的三角形都是等边三角形．计算三角形ABC 的面积．巩固如图,每相邻三个点所形成的三角形都是面积为1的等边三角形,计算ABC 的面积．毕克定理若一个格点多边形内部有N 个格点,它的边界上有L 个格点,则它的面积为12L S N =+-．【例 16】求下列格点多边形的面积每相邻三个点“∵”或“∴”成面积为1的等边三角形．【例 17】把大正三角形每边八等分,组成如右图所示的三角形网．如果大三角形的面积是128,求图中粗线所围成的三角形的面积．【例 18】如图,如果每一个小三角形的面积是1平方厘米,那么四边形ABCD的面积是多少平方厘米【例 19】把同一个三角形的三条边分别5等分、7等分如图1,图2,然后适当连接这些等分点,便得到了若干个面积相等的小三角形．已知图1中阴影部分面积是294平方分米,那么图2中阴影部分的面积是______平方分米．【例 20】将图中的图形分割成面积相等的三块．【例 21】如图涂阴影部分的小正六角星形面积是16平方厘米,问：大正六角星形面积是多少平方厘米【例 22】第五届“华杯赛”试题正六边形ABCDEF的面积是6平方厘米．M是AB中点,N是CD中点,P 是EF中点．问：三角形MNP的面积是多少平方厘米【例 23】如果下图中任意相邻的三个点构成的三角形面积都是2平方厘米．那么,三角形ABC的面积是_____平方厘米．。
巧用皮克定理求格点上的多边形面积
巧用皮克定理求格点上的多边形面积1. 什么是皮克定理皮克定理（Pick’s Theorem）是一个用于计算相邻格点上的多边形面积的几何学定理。
它描述了在一个坐标系中，由相邻格点和连接它们的线段所构成的多边形的面积。
定理的表述如下：定理1（皮克定理）：设多边形P的顶点都是整点，P内部没有其他的整点，则P 的面积S可以通过以下公式计算：S = B + I/2 - 1其中，B表示P边界上的整点数量，I表示P内部的整点数量。
2. 皮克定理的应用场景皮克定理可以在很多场景下得到应用。
以下是一些常见的应用场景：2.1 计算整点多边形的面积通过皮克定理，我们可以直接计算由整点顶点和整点边界组成的多边形的面积。
这在一些几何学问题中非常有用，尤其是当我们只知道顶点坐标而无法通过其他几何学方法求解面积时。
2.2 判断整点多边形利用皮克定理，我们可以判断一个多边形是否由整点构成。
如果一个多边形的面积和边界上的整点数量都是整数，那么该多边形就是由整点构成的。
2.3 寻找满足条件的整点在某些数学问题中，我们需要寻找满足一定条件的整点。
皮克定理可以帮助我们找到满足条件的整点的范围，从而简化问题的求解过程。
3. 皮克定理的证明以下，我们将给出皮克定理的一个简单证明。
3.1 证明思路我们可以通过将多边形划分为一系列的小三角形来进行证明。
然后，我们可以对每个小三角形进行分析，得到一个公共的结论，从而推导出皮克定理的结果。
3.2 证明过程假设多边形P的边界上有n个顶点。
我们可以将多边形P划分为n个三角形，每个三角形有一个顶点位于多边形P的一个顶点上，另外两个顶点位于相邻顶点上。
这样，我们就得到了n个与多边形边界平行的三角形。
设这n个三角形的面积之和为A1。
显然，A1是所有三角形面积之和的一半。
我们观察每个三角形，其中一个顶点是整点，另两个顶点也是整点。
因此，每个三角形的面积也是一个整数。
根据三角形的面积公式，我们可以得到每个三角形的面积与它底边的长度之间存在一个整数倍的关系。
学而思小学数学思维培养格点与割补 第2讲 练习1
学而思小学数学思维培养格点与割补第2讲练习1 格点：
数学上把在平面直角坐标系中横纵坐标均为整数的点称为格点(lattice point)或整点。
1、格点多边形的面积必为整数或半整数（奇数的一半）。
2、格点关于格点的对称点为格点。
3、格点多边形面积公式设某格点多边形内部有格点a个，格点多边形的边上有格点b个，该格点多边形面积为S，则根据皮克公式有S=a+b/2-1。
4，格点正多边形只能是正方形。
5，格点三角形边界上无其他格点，内部有一个格点，则该点为此三角形的重心。
割补：
割补法是数学中重要的思想方法之一，主要分为“割形”与“补形”，是将复杂的、不规则的、不易认识的几何体或几何图形，切割或补充成简单的、规则的、易于认识的几何体或图形，从而达到解决问题的目的. 割补法重在割与补，巧妙地对几何体或几何图形实施割与补，变整体为局部，化不规则为规则，化陌生为熟悉，化抽象为直观.
割补法在解几何问题中还是非常巧妙的，补法就是把图形补成一个规则图形，使题目便于解答；割补法就是同样把图形割成几个规则
图形，使题目便于解答，此题中的四边形补成一个等腰三角形，等腰三角形的性质就可以使用来解题了。
格点与面积_小学奥数知道点详解
如下图,在一张由一组水平线和一组垂直线组成方格纸上，如果任意相邻平行线之间的距离都相等，我们就把这样两组平行线的交点称为格点（如下图中的红点)，把图中相邻两个格点的距离看着一个单位长度,把每个小正方形的面积看作一个面积单位（如图中带阴影的方格）。
一个多边形的顶点如果全是格点，这个多边形就叫做格点多边形,本讲就，学习求格点多边形的面积问题。
这种格点多边形的面积计算起来很方便，一般有三种方法：①规则的格点多边形，可以运用多边形的面积公式求出面积;②一些简单而又特殊的格点多边形，可以通过数格子求出面积；③较复杂的不规则图形,一般用皮克公式计算。
其中数格子的方法比较原始，很少用。
任意格点多边形，只要数出多边形周界上的格点的个数及图内格点的个数，就可用下面的皮克公式算出面积:格点多边形面积=内格点个数 + 边格点数÷2—1这个公式是皮克(Pick)在1899年给出的，被称为“皮克定理",这是一个实用而有趣的定理。
皮克定理的证明：将格点图中的每个点看作以这个点为圆心、以单位面积正方形的边长的一半为半径的圆。
格点多边形图内的点对应的圆的面积都是图形面积的一部分；而在多边形边界上的点对应的圆的面积只有一半属于这个多边形，且多边形每个角上的圆属于图内的面积都不到半个圆，少了其外角对应的扇形面积，因任意多边形的外角和是360度，正好是个整圆,所以周界上圆在图内的面积为：周界格点数÷2—1所以格点多边形面积为:图内格点个数+周界格点数÷2—1。
皮克定理的证明过程比较抽象,孩子难以理解。
本讲只要求孩子初步认识格点面积公式,掌握格点面积公式的应用，到初中还会进一步学习皮克定理.例1：求下面各图形的面积。
【解析】:图①是个平行四边形，周界上有10个格点,图内有4个格点,根据格点面积公式，图①的面积为：4+10÷2—1=8；图②是个梯形，周界上有8个格点，图内有2个格点，根据格点面积公式，图②的面积为：2+8÷2-1=5；图③是个三角形，周界上有6个格点，图内有4个格点，根据格点面积公式，图③的面积为:4+6÷2-1=6；以上3个图形都是规则图形,但四年级学生还没有学过这3种图形的面积计算，不能用面积公式计算。
2011年学而思春季第三讲(格点与割补)
第三讲 格点与割补一、格点多边形满足两个条件1、顶点都在格点上2、图形的边是直线段二、格点多边形面积计算方法1：数格子方法2：分割法——把图形分割成若干个可直接计算面积的规则图形方法3：扩展法——把图形先扩展成易算面积的规则图形，再减去扩展的部分方法4：毕克公式若N表示内部的格点数，L表示边界上的格点数，S表示面积正方形格点 S = N + L÷2 -1三角形格点 S = （N + L÷2 -1）×2注意：公式所得结果为面积单位，即有多少个格子。
例1 略例2 计算格点多边形的面积解析：这是一个规则的三角形，可以直接用面积公式吗？好像不行，因为我们现在的知识还算不出相应边的长度，无法用面积公式。
如果分割成知道一条边长度的三角形不就可以了吗？ 分割法：如左图，连结辅助线，将原图分割成两个三角形，这 两个三角形都知道一天边，且高也很容易观察出。
上面的三角形：5×2÷2=5下面的三角形：5×2÷2=5共计：5+5=10（面积单位）如左图，将原图扩展为一个规则的长方形，再用长方形面积减去三个三角形A,B,C的面积即可。
长方形：6×4=24A：6×2÷2=6 B：4×2÷2=4 C：2×4÷2=4结果为：24‐6‐4‐4=10（面积单位）毕克公式法：8+6÷2‐1=10例3 已知相邻两个格点距离是1，求图形面积。
解析：本题需要注意的是，这是三个独立的图形组合而成的图形，所以最好是分开算，特别是想用毕克公式的同学，一定要分成三个图形用，不能看成一个图形用公式。
同学们自己练习一下吧，不管你用什么方法，看看结果对不对。
A=5 B=4 C=12 合计：5+4+12=21（尖子）学案2 图中每个小正方形的面积都是4平方厘米，求图中阴影部分的面积。
解析：第一个图可以分割为4个一样的三角形和中间的一个田字格。
四年级第18讲-格点与面积(一)-教师版
格点与面积例1 知识纵横1、概念在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行线的距离都相等，这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点。
一个多边形的顶点如果全在格点上，那么这个多边形就叫做格点多边形。
格点多边形分为正方形格点多边形和三角形格点多边形。
2、毕克定理（正方形格点公式）：格点多边形单位面积的数量=边上点数÷2+内部点数-1，S=L ÷2+N-1(用“S”表示格点多边形单位面积的数量，用“N”表示格点多边形内部的格点数，用“L”表示格点多边形边上的格点数)3、毕克定理(三角形格点公式)：格点多边形单位面积的数量=(边上点数÷2+内部点数-1)×2，S=(L÷2+N-1)×2判断下列图形中，哪些图形是格点多边形？是的，请在括号里打“√”。
【答案】见解析。
【解析】判断下列几个图形中，哪些图形是格点多边形，请在序号上打“√”。
【答案】见解析。
【解析】判断下列几个图形，哪些图形是正方形格点多边形？哪些图形是三角形格点多边形？(请在横线上填序号)正方形格点多边形：；三角形格点多边形：。
【答案】见解析。
【解析】试一试1例2试一试2请选择正确的格点图任意画出一个正方形格点多边形和一个三角形格点多边形。
【答案】答案不唯一。
【解析】例3下面4幅图中，相邻四点围成的正方形的面积为1。
观察，然后填空。
（用“S”表示格点多边形单位面积的数量，用“L”表示格点多边形边上的格点数，用“N”表示格点多边形内部的格点数。
）【答案】见解析。
【解析】试一试3下图中每个小正方形的面积均为2平方厘米，“乡村小屋”的面积是多少平方厘米？【答案】36平方厘米。
【解析】方法一：方法二：下面4幅图中，相邻三点围成的等边三角形的面积为1。
观察然后填空。
【答案】见解析。
【解析】例4试一试4在下图中，每相邻三点构成一个面积为2平方厘米的等边三角形，下图中格点多边形的面积是多少平方厘米？【答案】见解析。
八年级数学下册《格点多边形的面积计算》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解格点的概念，掌握格点构成的线段、三角形、四边形等基本图形的特点；
2.学会利用格点计算多边形面积的方法，特别是不规则多边形的面积计算；
3.能够运用三角剖分、拼凑等方法将复杂多边形转化为简单多边形，从而求解其面积；
4.掌握计算多边形面积的公式，如海伦公式、向量叉乘等，并能够灵活运用；
教学活动：使用多媒体动画演示格点多边形的形成过程，结合实物模型，让学生直观地理解多边形的构成。
3.设想三：采用分组讨论、合作探究的方式，引导学生发现并总结多边形面积计算的方法。
教学活动：设计具有挑战性的问题，让学生分组讨论、合作探究，鼓励学生发表自己的观点，培养学生的团队协作能力。
4.设想四：设计丰富的例题和练习，巩固提高作业：选取一道生活中的实际问题，如测量不规则地块的面积，运用所学知识进行计算，并撰写解题报告。报告内容包括问题背景、解决方法、计算过程和结果。
3.创新作业：鼓励学生尝试编写一个程序（如使用Scratch、Python等编程语言），实现格点多边形面积的计算。此作业旨在培养学生的编程兴趣和跨学科综合运用能力。
（二）讲授新知
1.教学活动一：讲解格点的概念及基本性质
从定义入手，详细讲解格点的概念，并通过示例说明格点构成的线段、三角形、四边形等基本图形的特点。
2.教学活动二：介绍多边形面积计算方法
以具体的图形为例，讲解如何利用格点计算多边形面积，特别是不规则多边形的面积计算方法，如三角剖分、拼凑等。
3.教学活动三：推导面积计算公式
3.教学活动三：小组代表展示讨论成果
每个小组选派一名代表，展示他们的讨论成果，分享解题思路和经验。
第二讲格点与割补(最新整理)
知识要点： 毕克定理：格点多边形面积=图内格点个数+周界格点数÷2-1 （1）正方形格点问题就是它的格点都是由两组互相垂直相交的平行线的交点构成的.每一个小方格都 是一个小正方形. 正方形格点问题：多边形面积=边÷2＋内－1 （2）所谓三角形格点多边形是指：每相邻三点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形. 规定它的面积为 1，以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形. 三角形格点问题：多边形面积=（边÷2＋内－1）×2
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例 1：计算下列各图的面积。
1 2 3 4 5 6
总结：面积=
内部点（N）
边上点（L）
面积（S)
(注：内部点，外部点关系)（毕克定理）
例 2：判断下列图形哪些是格点多边形？
⑴
⑴
⑴
⑴
2
例 3：如图，计算各个格点多边形的面积．
⑴
⑴
⑴
⑴
⑴
⑴
例 4：求下列各个格点多边形的面积．
⑴
⑴
⑴
⑴
例 5：我们开始提到的“乡村小屋”的面积是多少？
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例 12：图中正六边形 ABCDEF 的面积是 54，AP=2PF,CQ=2BQ,求阴影四边形 CEPQ 的面积。 例 13：图中每个小正方形的面积都是 4 平方厘米，求图中阴影部分的面积。
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家庭作业
1． 计算下图中各多边形的面积（点与点之间的距离都是 1 厘米）
2． 下图中喇叭、小猫、小狗的面积各是多少？ 3．求下图中梯形的面积。 4、计算下面三角形格点多边形的面积
三角形格点问题
所谓三角形格点多边形是指：每相邻三点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形．规定它 的面积为 1，以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形． 关于三角形格点多边形的面积同样有它的计算公式：如果用 S 表示面积，N 表示图形内包含的格点数，L 表示图形周界上的格点数，那么有 S 2 N L 2 ，就是格点多边形面积等于图形内部所包含格点数 的 2 倍与周界上格点数的和减去 2．