自然数平方和公式的推导与证明
自然数平方和公式推导过程
自然数平方和公式推导过程在数学的奇妙世界里，自然数平方和公式就像一颗璀璨的明珠，闪耀着智慧的光芒。
今天，咱们就一起来揭开它神秘的面纱，看看这个公式到底是怎么推导出来的。
咱们先来说说啥是自然数平方和。
简单来讲，就是把 1 的平方、2的平方、3 的平方……一直加到 n 的平方。
用数学式子写出来就是 1² + 2² + 3² + …… + n²。
那怎么推导这个公式呢？我先给大家讲个我以前教学生的事儿。
有一次上课，我给学生们出了一道题：计算 1 到 10 的自然数平方和。
结果大家都开始埋头苦算，有的在纸上不停地写，有的皱着眉头苦思冥想。
这时候有个聪明的小家伙，他没有急着去算，而是先观察了一会儿，然后跟我说：“老师，我感觉这里面应该有规律。
”我一听，心里特别高兴，就鼓励他继续想。
咱们回到公式推导哈。
方法一呢，咱们用数学归纳法。
当 n = 1 时，1² = 1，公式显然成立。
假设当 n = k 时，公式1² + 2² + 3² + …… + k² = k(k + 1)(2k + 1) / 6 成立。
那么当 n = k + 1 时，我们有 1² + 2² + 3² + …… + k² + (k + 1)² ，把前面的部分用假设的公式替换，就得到 k(k + 1)(2k + 1) / 6 + (k + 1)²。
经过一系列化简，最终可以得到 (k + 1)(k + 2)(2k + 3) / 6 ，这就证明了当 n = k + 1 时公式也成立。
所以，对任意的正整数 n，这个公式都成立。
方法二，咱们用立方差公式。
我们知道 (n + 1)³ - n³ = 3n² + 3n + 1 。
把 n 从 1 到 n 依次代入上式，得到：2³ - 1³ = 3×1² + 3×1 + 13³ - 2³ = 3×2² + 3×2 + 14³ - 3³ = 3×3² + 3×3 + 1……(n + 1)³ - n³ = 3×n² + 3×n + 1把这些式子加起来，左边很多项就消掉了，只剩下 (n + 1)³ - 1³。
自然数平方和公式及证明
自然数平方和公式证明1：此式对于任何自然数n都成立。
依次把n=1，2，3,...,n-1,n代入止式可得把这n个等式的左边与右边对应相加，则n个等式的左边各项两两相消，最后只剩下；而前n个等式的右边各项，我们把它们按三列相加，提取公因数后，第一列出现我们所要计算的前n个自然数的平方和，第二列出现我们在上一段已经算过的前n个自然数的和，第三列是n个1。
因而我们得到。
现在这里对这个结果进行恒等变形可得移项，合并同类项可得即证明2:设12+ 22 + … + n 2 =An 3+Bn 2+Cn+D,令n=1，2，3，4得关于A ，B ，C 。
D 的四元一次方程组，可解得A=C=16 ，B=12 ，D=0，再用数学归纳法证明。
证明3:设f(x)=(1+x)2+ (1+x)3 +… +(1+x)n ,则x 2的系数和为 C 22 + C 23 +… + C 2n=12 [12+ 22 + … + n 2]-12 (1+2+… + n) = 12 [12+ 22 + … + n 2]- -14n(n+1) 又f(x)=(1+x)2-(1+x)n+1x,其中x 2的系数为C 3n+1 ,于是有12 [12+ 22 + … + n 2]- -14 n(n+1)= C 3n+1 ，解得 12+ 22 + … + n 2 = n(n+1)(2n+1)6关于自然数平方和的几个模型归纳法、变换数学公式、组合恒等式等证明外，还可以构造模型来证明示k 个k 之和(图1(1))．旋转此三角形数阵得到另两个三角形数阵(图1(2)、1(3))，每一线段上的数字顺序成等差数列，再重叠三个数阵，则每一点上的数字和为(2n ＋1)．于是透了运动的思想，动静结合，相得益彰．割补、数形结合来证明．(n－1)(2n－1)个单位正方形；再给前n－2层各补(2n－3)个单位正方形，共补(n－2)(2n－3)个；……，最后给第一层补3个，这样添补的单位正模型2数形结合，以形助数，比较直观．而应用映射方法将求和问题映射成几何上的求堆垒总数问题，再利用几何体的割补求和，也体现了化归思想．而添补的立方体个数为1×3＋2×5＋…＋n(2n＋1)，原有立方体个数以上三个均属构造的数学模型，另外还可以构造物理模型，从物理意义上进行探讨．垂线段上分别等距离地放1个，2个，…，n个重量为1个单位的质点．则这些质点对原点的力矩数学知识结构之间的相互联系，为我们解决问题提供了丰富的源泉．数学问题的模型是多样的．通过对不同模型的探讨，将有助于开阔我们的视野，有助于提高我们的分析问题和解决问题的能力．前n 个连续自然数的平方和公式的最新证明方法关于前n 个连续自然数的平方和： )12)(1(61 (222)2321++=++++n n n n 的证明方法很多，这里不再一一列举了.为了让小学生掌握住这个公式，我现在用一种比较合适的方法，方便孩子们理解和掌握，同时发现这个方法教学效果很好. 我们先来计算：321222++=1×1+2×2+3×3，即1个1与2个2与3个3的和。
自然数平方和公式推导
我们把S(n)拆成数字排成的直角三角形：12 23 3 34 4 4 4……n n …… n这个三角形第一行数字的和为12，第二行数字和为22，……第n行数字和为n2，因此S(n)可以看作这个三角形里所有数字的和接下来我们注意到三角形列上的数字，左起第一列是1,2,3,……,n，第二列是2,3,4,……n这些列的数字和可以用等差数列的前n项和来算出，但是它们共性不明显，无法加以利用如果求的数字和是1,2,3,……,n，1,2,3,……,n-1这样的，便可以像求1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+……n)一样算出结果，那么该怎样构造出这样的列数字呢注意上面那个直角三角三角形空缺的部分，将它补全成一个正方形的话，是这样的：1 1 1 (1)2 2 2 (2)3 3 3 (3)4 4 4 (4)……n n n …… n这个正方形所有的数字和为n*(1+n)*n/2=n3/2+n2/2而我们补上的数字是哪些呢？1 1 1 …… 1 (n-1)个的12 2 …… 2 (n-2)个的23 …… 3 (n-3)个的3………n-1又一个直角三角形，我们只需算出这个三角形的数字和T(n)，再用刚才算的正方形数字和减去它，便能得到要求的S(n)，即S(n)=n3/2+n2/2-T(n)。
而这个三角形的每一列数字和很好算，第一列是1，第二列是1+2，第三列是1+2+3，……，最后一列（第n-1列）是1+2+3+……+n-1，根据等差数列前n项和公式，这个三角形第n列的数字和是(1+n)*n/2=n2/2+n/2，所以T(n)相当于(12/2+1/2)+(22/2+2/2)+(32/2+3/2)……+[(n-1)2/2+(n-1)/2]将各个扩号内的第一项和第二项分别相加，得T(n)=[12+22+32+……+(n-1)2]/2+(1+2+3+……+n-1)/2=S(n-1)/2+(n-1)*n/4=S(n-1)/2+n2/4-n/4也就是说，S(n)=n3/2+n2/2-T(n)=n3/2+n2/2-S(n-1)-n2/4+n/4=n3/2+n2/4+n/4-S(n-1)/2 ……①因为S(n)=12+22+32+……+n2，S(n-1)=12+22+32+……+(n-1)2可以看出，S(n)=S(n-1)+n2，即S(n-1)=S(n)-n2，代入①式，得到S(n)=n3/2+n2/4+n/4-S(n)/2+n2/23S(n)/2=n3/2+3n2/4+n/43S(n)=n3+3n2/2+n/2S(n)=n3/3+3n2/6+n/6上面这个式子就是我们熟悉的S(n)=n(n+1)(2n+1)/6另外一种经典的方法设：S=12+22+32+…+n2另设：S1=12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2，此步设题是解题的关键，一般人不会这么去设想。
自然数平方和公式的推导与证明
※自然数之和公式的推导法计算1，2，3，…，n，…的前n项的和：由 1 + 2 + … + n-1 + nn + n-1 + … + 2 + 1（n+1）+（n+1）+ … +（n+1）+（n+1）可知上面这种加法叫“倒序相加法”※等差数列求和公式的推导一般地，称为数列的前n项的和，用表示，即1、思考：受高斯的启示，我们这里可以用什么方法去求和呢？思考后知道，也可以用“倒序相加法”进行求和。
我们用两种方法表示：①②由①+②，得由此得到等差数列的前n项和的公式对于这个公式，我们知道：只要知道等差数列首项、尾项和项数就可以求等差数列前n项和了。
2、除此之外，等差数列还有其他方法（读基础教好学生要介绍）当然，对于等差数列求和公式的推导，也可以有其他的推导途径。
例如：====这两个公式是可以相互转化的。
把代入中，就可以得到引导学生思考这两个公式的结构特征得到：第一个公式反映了等差数列的任意的第k项与倒数第k项的和等于首项与末项的和这个内在性质。
第二个公式反映了等差数列的前n项和与它的首项、公差之间的关系，而且是关于n的“二次函数”，可以与二次函数进行比较。
这两个公式的共同点都是知道和n，不同点是第一个公式还需知道，而第二个公式是要知道d，解题时还需要根据已知条件决定选用哪个公式。
自然数平方和公式的推导与证明（一）12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6，在高中数学中是用数学归纳法证明的一个命题，没有给出其直接的推导过程。
其实，该求和公式的直接推导并不复杂，也没有超出初中数学内容。
一、设：S=12+22+32+…+n2=12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2，此步设题是解题另设：S1的关键，一般人不会这么去设想。
有了此步设题，第一：S=12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2中的12+22+32+…+n2=S，1(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2可以展开为(n2+2n+12)+( n2+2×2n+22)+( n2+2×3n+32)+…+( n2+2×nn+n2)=n3+2n(1+2+3+…+n)+ 12+22+32+…+n2，即=2S+n3+2n(1+2+3+...+n).. (1)S1=12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2可以写为：第二：S1=12+32+52…+ (2n-1)2+22+42+62…+(2n)2，其中：S122+42+62...+(2n)2=22(12+22+32+...+n2)=4S.. (2)12+32+52…+(2n-1)2=(2×1-1)2+(2×2-1)2+(2×3-1) 2+…+ (2n-1) 2= (22×12-2×2×1+1) +(22×22-2×2×2+1)2+(22×32-2×2×3+1)2+…+(22×n2-2×2×n+1)2=22×12+22×22+22×32+…+22×n2-2×2×1-2×2×2-2×2×3-…-2×2×n+n=22×(12+22+32+…+n2)-2×2 (1+2+3+…+n)+n=4S-4(1+2+3+…+n)+n……………………………………………………………..(3 )由(2)+ (3)得：=8S-4(1+2+3+...+n)+n.. (4)S1由(1)与(4)得：2S+ n3+2n(1+2+3+…+n) =8S-4(1+2+3+…+n)+n即：6S= n3+2n(1+2+3+…+n)+ 4(1+2+3+…+n)-n= n[n2+n(1+n)+2(1+n)-1]= n(2n2+3n+1)= n(n+1)(2n+1)S= n(n+1)(2n+1)/ 6亦即：S=12+22+32+...+n2= n(n+1)(2n+1)/6 (5)以上可得各自然数平方和公式为n(n+1)(2n+1)/6，其中n为最后一位自然数。
自然数平方之和公式推导
自然数平方之和公式推导摘要：1.引言2.自然数平方和公式的推导过程3.结论正文：【引言】在数学领域，自然数平方和公式是一个非常有趣的公式。
它可以帮助我们计算前n 个自然数平方的和，从而为我们解决一些实际问题提供便利。
那么，如何推导自然数平方和公式呢？接下来，我们将详细地介绍自然数平方和公式的推导过程。
【自然数平方和公式的推导过程】我们先从最简单的情况开始，即当n=1 时，自然数平方和公式为：1^2 = 1当n=2 时，自然数平方和公式为：1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5当n=3 时，自然数平方和公式为：1^2 + 2^2 + 3^2 = 1 + 4 + 9 = 14通过观察以上例子，我们可以猜测自然数平方和公式的一般形式为：1^2 + 2^2 + 3^2 +...+ n^2 = (1 + 2 + 3 +...+ n)^2现在，我们需要证明这个猜测。
为了证明这一点，我们可以使用数学归纳法。
首先，当n=1 时，等式成立：1^2 = (1)^2假设当n=k 时等式成立，即：1^2 + 2^2 + 3^2 +...+ k^2 = (1 + 2 + 3 +...+ k)^2我们需要证明当n=k+1 时等式仍然成立：1^2 + 2^2 + 3^2 +...+ k^2 + (k+1)^2 = (1 + 2 + 3 +...+ k +(k+1))^2将等式右侧展开：(1 + 2 + 3 +...+ k + (k+1))^2 = (1 + 2 + 3 +...+ k)^2 + 2 * (1 + 2 + 3 +...+ k) * (k+1) + (k+1)^2由于我们已经假设当n=k 时等式成立，所以：(1 + 2 + 3 +...+ k)^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 +...+ k^2因此，我们只需要证明：2 * (1 + 2 +3 +...+ k) * (k+1) + (k+1)^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 +...+k^2 + (k+1)^2这可以通过数学归纳法证明。
关于1^2+2^2+3^2+…+n^2的多种推导证明方法
关于1^2+2^2+3^2+…+n^2的多种推导证明方法关于前n 个自然数的平方和公式的证明方法湘西州花垣县边城高级中学-张秀洲在《数列》教学过程中，大家都能熟练掌握前n 个自然数的平方和公式：2222211234(1)(21)6n S n n n n =+++++=++，但多数学生不知道如何去证明与推导，为了能让学生了解书本知识，并能有所拓展，特总结如下几种证明方法，一方面解决学生的疑惑，另一方面能使学生举一反三，有所创新。
在和学生探讨证明方法时，许多学生想到了用数学归纳法。
方法一：数学归纳法当1n =时，左边=211=，右边=11(11)(211)16⨯⨯+⨯⨯+= 左边=右边 ∴1n =时，原式成立.当2n =时，左边=221+25=，右边=12(21)(221)56⨯⨯+⨯⨯+= 左边=右边 ∴2n =时，原式成立.假设n k =时，22221123(1)(21)6k k k k ++++=++成立， 则1n k =+时，22222222123(1)1(1)(21)(1)617(1)(1)361(1)(276)61(1)(2)(23)61(1)[(1)1][2(1)1]6k k k k k k k k k k k k k k k k k k =++++++=++++=+++=+++=+++=+++++左边 左边=右边 ∴1n k =+时，原式成立.22221123=(1)(21)6n n n n ∴++++++方法四：巧用“1”法11(1)1(1)[(2)(1)](1)[(1)(2)(1)(1)]33n n n n n n n n n n n n n n +=⨯+=+--⨯+=++--+122334(1)n A n n ∴=⨯+⨯+⨯+⨯+111[123012][234123][345234]333=⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯+1[(1)(2)(1)(1)]3n n n n n n +++--+1[1230122341233452343=⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯+(1)(2)(1)(1)]n n n n n n +++--+11[(1)(2)012](1)(2)33n n n n n n =++-⨯⨯=++2222123122334(1)(123)n n n n ∴++++=⨯+⨯+⨯+⨯+-++++1(1)1(1)(2)(1)(21)326n n n n n n n n +=++-=++ 方法五：构造法（利用组合公式11m m m n n n C C C -++=）22222223222342224522211124133936416610n n C C C C C C Cn C C +====+=+==+=+==+=+=+把上述n 个等式累加得：222222222232234111(1)(21)12342()26n n n n n n n n C C C C C C C ++++++++++=+++++=+=方法六：平面几何法图中有n 个正方形（边长每次加1）(我只画出5个)，都置于图中最大的矩形中。
自然数平方和公式的推导与证明
※自然数之和公式的推导法计算1，2，3，…，n，…的前n项的和：由 1 + 2 + … + n-1 + nn + n-1 + … + 2 + 1（n+1）+（n+1）+ … +（n+1）+（n+1）可知上面这种加法叫“倒序相加法”※等差数列求和公式的推导一般地，称为数列的前n项的和，用表示，即1、思考：受高斯的启示，我们这里可以用什么方法去求和呢？思考后知道，也可以用“倒序相加法”进行求和。
我们用两种方法表示：①②由①+②，得由此得到等差数列的前n项和的公式对于这个公式，我们知道：只要知道等差数列首项、尾项和项数就可以求等差数列前n项和了。
2、除此之外，等差数列还有其他方法（读基础教好学生要介绍）当然，对于等差数列求和公式的推导，也可以有其他的推导途径。
例如：====这两个公式是可以相互转化的。
把代入中，就可以得到引导学生思考这两个公式的结构特征得到：第一个公式反映了等差数列的任意的第k项与倒数第k项的和等于首项与末项的和这个内在性质。
第二个公式反映了等差数列的前n项和与它的首项、公差之间的关系，而且是关于n的“二次函数”，可以与二次函数进行比较。
这两个公式的共同点都是知道和n，不同点是第一个公式还需知道，而第二个公式是要知道d，解题时还需要根据已知条件决定选用哪个公式。
自然数平方和公式的推导与证明（一）12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6，在高中数学中是用数学归纳法证明的一个命题，没有给出其直接的推导过程。
其实，该求和公式的直接推导并不复杂，也没有超出初中数学内容。
一、设：S=12+22+32+…+n2另设：S1=12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2，此步设题是解题的关键，一般人不会这么去设想。
关于1^2+2^2+3^2+…+n^2的多种推导证明方法
关于前n 个自然数的平方和公式的证明方法湘西州花垣县边城高级中学-张秀洲在《数列》教学过程中，大家都能熟练掌握前n 个自然数的平方和公式：2222211234(1)(21)6n S n n n n =+++++=++L ，但多数学生不知道如何去证明与推导，为了能让学生了解书本知识，并能有所拓展，特总结如下几种证明方法，一方面解决学生的疑惑，另一方面能使学生举一反三，有所创新。
在和学生探讨证明方法时，许多学生想到了用数学归纳法。
方法一：数学归纳法当1n =时，左边=211=，右边=11(11)(211)16⨯⨯+⨯⨯+= 左边=右边 ∴1n =时，原式成立.当2n =时，左边=221+25=，右边=12(21)(221)56⨯⨯+⨯⨯+= 左边=右边 ∴2n =时，原式成立.假设n k =时，22221123(1)(21)6k k k k ++++=++L 成立， 则1n k =+时，22222222123(1)1(1)(21)(1)617(1)(1)361(1)(276)61(1)(2)(23)61(1)[(1)1][2(1)1]6k k k k k k k k k k k k k k k k k k =++++++=++++=+++=+++=+++=+++++L 左边 左边=右边 ∴1n k =+时，原式成立.∴对任意n N +∈，2222211234(1)(21)6n S n n n n =+++++=++L 都成立。
数学归纳法步骤简单、计算方便。
但是，归纳法只适用于知道了这个公式“长什么样”后进行理论证明.当初第一个推导出这个公式的人,肯定不是用归纳法,而是通过等式左边的222221234n +++++L ,一步步把右边的1(1)(21)6n n n ++“从无到有”地推算出来的.方法二：观察规律法记22222212()12345,()12345S n n S n n =++++++=++++++L L发现规律 21()()3326S n S n ∴==⋅=方法三：代数推导法由公式33223()33a b a a b ab b +=+++，得33322333322332333223323332233233321(01)0301301112(11)131131111313113(21)232132112323214(31)33313311333331(11)(1)3(1)13(1)1n n n n n =+=+⨯⨯+⨯⨯+==+=+⨯⨯+⨯⨯+=+⨯+⨯+=+=+⨯⨯+⨯⨯+=+⨯+⨯+=+=+⨯⨯+⨯⨯+=+⨯+⨯+=-+=-+⨯-⨯+⨯-⨯L23323321(1)3(1)3(1)1(1)331n n n n n n n +=-+⨯-+⨯-++=+++将以上n +1个等式累加，得：32222(1)3(123)3(123)1n n n n +=⨯+++++++++++L L22223(1)(1)(21)3(123)(1)3122n n n n n n n n +++∴⨯++++=+-⋅++=L22221123=(1)(21)6n n n n ∴++++++L方法四：巧用“1”法11(1)1(1)[(2)(1)](1)[(1)(2)(1)(1)]33n n n n n n n n n n n n n n +=⨯+=+--⨯+=++--+Q122334(1)n A n n ∴=⨯+⨯+⨯+⨯+L 111[123012][234123][345234]333=⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯+1[(1)(2)(1)(1)]3n n n n n n +++--+L 1[1230122341233452343=⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯+(1)(2)(1)(1)]n n n n n n +++--+L 11[(1)(2)012](1)(2)33n n n n n n =++-⨯⨯=++2222123122334(1)(123)n n n n ∴++++=⨯+⨯+⨯+⨯+-++++L L L1(1)1(1)(2)(1)(21)326n n n n n n n n +=++-=++ 方法五：构造法（利用组合公式11m m m n n n C C C -++=）22222223222342224522211124133936416610n n C C C C C C C n C C +====+=+==+=+==+=+=+L把上述n 个等式累加得：222222222232234111(1)(21)12342()26n n n n n n n n C C C C C C C ++++++++++=+++++=+=L L 方法六：平面几何法图中有n 个正方形（边长每次加1）(我只画出5个)，都置于图中最大的矩形中。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
※自然数之和公式的推导法计算1，2，3，…，n，…的前n项的和：由 1 + 2 + … + n-1 + nn + n-1 + … + 2 + 1（n+1）+（n+1）+ … +（n+1）+（n+1）可知上面这种加法叫“倒序相加法”※等差数列求和公式的推导一般地，称为数列的前n项的和，用表示，即1、思考：受高斯的启示，我们这里可以用什么方法去求和呢？思考后知道，也可以用“倒序相加法”进行求和。
我们用两种方法表示：①②由①+②，得由此得到等差数列的前n项和的公式对于这个公式，我们知道：只要知道等差数列首项、尾项和项数就可以求等差数列前n项和了。
2、除此之外，等差数列还有其他方法（读基础教好学生要介绍）当然，对于等差数列求和公式的推导，也可以有其他的推导途径。
例如：====这两个公式是可以相互转化的。
把代入中，就可以得到引导学生思考这两个公式的结构特征得到：第一个公式反映了等差数列的任意的第k项与倒数第k项的和等于首项与末项的和这个内在性质。
第二个公式反映了等差数列的前n项和与它的首项、公差之间的关系，而且是关于n的“二次函数”，可以与二次函数进行比较。
这两个公式的共同点都是知道和n，不同点是第一个公式还需知道，而第二个公式是要知道d，解题时还需要根据已知条件决定选用哪个公式。
自然数平方和公式的推导与证明（一）12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6，在高中数学中是用数学归纳法证明的一个命题，没有给出其直接的推导过程。
其实，该求和公式的直接推导并不复杂，也没有超出初中数学内容。
一、设：S=12+22+32+…+n2=12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2，此步设题是解题另设：S1的关键，一般人不会这么去设想。
有了此步设题，第一：S=12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2中的12+22+32+…+n2=S，1(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2可以展开为(n2+2n+12)+( n2+2×2n+22)+( n2+2×3n+32)+…+( n2+2×nn+n2)=n3+2n(1+2+3+…+n)+ 12+22+32+…+n2，即=2S+n3+2n(1+2+3+...+n).. (1)S1=12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2可以写为：第二：S1=12+32+52…+ (2n-1)2+22+42+62…+(2n)2，其中：S122+42+62...+(2n)2=22(12+22+32+...+n2)=4S.. (2)12+32+52…+(2n-1)2=(2×1-1)2+(2×2-1)2+(2×3-1) 2+…+ (2n-1) 2= (22×12-2×2×1+1) +(22×22-2×2×2+1)2+(22×32-2×2×3+1)2+…+(22×n2-2×2×n+1)2=22×12+22×22+22×32+…+22×n2-2×2×1-2×2×2-2×2×3-…-2×2×n+n=22×(12+22+32+…+n2)-2×2 (1+2+3+…+n)+n=4S-4(1+2+3+…+n)+n……………………………………………………………..(3 )由(2)+ (3)得：=8S-4(1+2+3+...+n)+n.. (4)S1由(1)与(4)得：2S+ n3+2n(1+2+3+…+n) =8S-4(1+2+3+…+n)+n即：6S= n3+2n(1+2+3+…+n)+ 4(1+2+3+…+n)-n= n[n2+n(1+n)+2(1+n)-1]= n(2n2+3n+1)= n(n+1)(2n+1)S= n(n+1)(2n+1)/ 6亦即：S=12+22+32+...+n2= n(n+1)(2n+1)/6 (5)以上可得各自然数平方和公式为n(n+1)(2n+1)/6，其中n为最后一位自然数。
由(5)代入(2)得自然数偶数平方和公式为2n(n+1)(2n+1)/3，其中2n为最后一位自然数。
由(5)代入(3)得自然数奇数平方和公式为n(2n-1)(2n+1)/3，其中2n-1为最后一位自然数。
二、由自然数平方和公式推导自然数立方和公式设S=13+23+33+...+n3. (1)有S=n3+(n-1)3+(n-2)3+...+13 (2)由(1)+ (2)得：2S=n3+13+(n-1)3+23+(n-2)3+33+…+n3+13=(n+1)(n2-n+1)+(n+1)[(n-1)2-2(n-1)+22)+(n+1)[(n-2)2-3(n-2)+32)+...+(n+1)(12-n(n-n+1)(n-n+1+ n2)即2S=( n+1)[2(12+22+32+…+n2)-n-2(n-1) -3(n-2)-…-n(n-n+1)] (3)由12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)/ 6代入(2)得：2S=(n+1)[2n(n+ 1)(2n+1)/6-n-2n-3n-…nn+2×1+3×2+…+n(n-1)]=(n+1)[2n(n+1)(2n+1)/6-n(1+2+3+…n)+(1+1)×1+(2+1)×2+…+(n-1+1)(n -1)]=(n+1)[2n(n+1)(2n+1)/6-n2 (1+n)/2+12+1+22+2+…+(n-1)2+ (n-1)]=(n+1)[2n(n+1)(2n+1)/6-n2(1+n)/2+12+22+…+(n-1)2+1 +2+…+(n-1)] (4)由12+22+…+(n-1)2= n(n+1)(2n+1)/6-n 2，1+2+…+(n-1)=n(n-1)/2代入(4)得：2S=(n+1)[3n(n+1)(2n+1)/6-n2+n(n-1)/2=n2(n+1)2/2即S=13+23+33+…+n3= n2(n+1)2/4结论：自然数的立方和公式为n2(n+1)2/4，其中n为自然数。
三、自然数偶数立方和公式推导设S=23+43+63+…+(2n)3有S=23(13+23+33+…+n3)=8n2(n+1)2/4=2n2(n+1) 2结论：自然数偶数的立方和公式为2n2(n+1)2，其中2n为最后一位自然偶数。
四、自然数奇数立方和公式推导设S=13+23+33+…+(2n) 3由自然数的立方和公式为n2(n+1)2/4，其中n为自然数代入左边有n2(2n+1)2=23+43+63+…+(2n) 3+13+33+53…+(2n-1)3=2n2(n+1)2+13+33+53…+(2n-1)3移项得：13+33+53…+(2n-1)3 =n2(2n+1)2-2n2(n+1)2=n2(2n2-1)结论：自然数奇数的立方和公式为n2(2n2-1)，其中2n-1为最后一位自然奇数，即n的取值。
自然数平方和公式的推导与证明（二）这里的自然数指的是不包含0的传统自然数。
1^2+2^2+3^2+4^2+.......n^2=? （n^2表示n×n＝n2为了好打字）一、推导1、直接推导：1+2+3+4+……+n=(1+n)*n/2+ +2+3+4+……+n=(2+n)*(n-1)/2+ +3+4+……+n=(3+n)*(n-2)/2+ +. .. .(i+1)+……+n=(n+i+1)*(n-i)/2 (i=0,……,n-1)|| ||S = (2*n^3+3*n^2+n-2S)/4两边求一下得所求S此法较为直观正规2、用其他的公式推导：容易证明1x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 +...+ nx(n+1)=1/3xn(n+1)(n+2)(数学归纳法易证，而左式可写成1x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 + nx(n+1)=(1x1 + 2x2 + ... + nxn)+(1+2+...+n) 于是1x1 + 2x2 + ... + nxn=1/3xn(n+1)(n+2)-1/2xn(n+1)=1/6xn(n+1)(2n+1) 3、二项式推导：2^3=1^3+3*1^2+3*1+13^3=2^3+3*2^2+3*2+14^3=3^3+3*3^2+3*3+1.......(n+1)^3=n^3+3*n^2+3^n+1sum up both sides substract common terms:(n+1)^3=3*b+3*(n+1)*n/2+n+1==> solve for bb=1^2+2^2+...+n^2此法需要较强的基本功，属奥妙之作4、立方差公式推导（此法高中生都能看懂吧）5、用现成恒等式推导二、证明1、数学归纳法1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 当n=1时,显然成立.设n=k时也成立,即:1^2+2^2+3^2+……+k^2=k(k+1)(2k+1)/6那么当n=k+1时,等式的左边等于:1^2+2^2+3^2+……+k^2+(k+1)^2=k(k+1)(2k+1)/6+(k+1)^2=(k+1)[k(2k+1)/6+(k+1)]=(k+1)[2k^2+k+6k+6]/6=(k+1)(k+2)(2k+3)/6而等式的右边等于:(当n=k+1时)(k+1)(k+1+1)(2k+2+1)/6=(k+1)(k+2)(2k+3)/6即当n=k+1时,等式左边等于等式的右边所以对于一切n,等式都成立此法给初中和小学生讲是没法了，现在的教育之痛，用某小学老师的话来说，小学生的题是出给家长作的，呜～，砖家当道啊，有没有满足他们拔苗助长嗜好的奥数方法呢2、图形法计算12＋22＋32＋42。
根据平方的含义和乘法的含义，我们可以将这个算式改写：12=1×1=1、22=2×2=2＋2、32=3×3=3＋3＋3、42=4×4=4＋4＋4＋4，则12＋22＋32＋42=1＋2＋2＋3＋3＋3＋4＋4＋4＋4。
把这10个加数排写在一个三角形内（图1），计算这个算式的和，就是计算这个三角形内所有数的和。
（其实学生如果会算自然数n项和，下面的说明就可省了，不过想个个学生成高斯，结果个个搞死了，呵呵）我们对图1进行两次“复制”，得到两个和图1完全相同的三角形，把其中一个逆时针旋转60°得到图2，另一个顺时针旋转60°得到图3。