质点力学习题课1
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6.质点力学习题课
v = u − v′ = u − 2gl (1− cosϕ)
以地面为参考系，对系统（小球与地球） 以地面为参考系，对系统（小球与地球）应用功能 原理， 原理，则摆线对小球作的总功为
1 2 1 2 A = mv − mu + mgl (1 − cosϕ) 2 2 = − mu 2 gl (1 − cosϕ )
(2 )
= acosωti + bsinωtj × − mωasinωti + mωbcosωtj 2 2 = mωab cos ωtk − (− m ω ab sin ω t k )
(
L = r × mv
)(
)
= mωabk
i a cosωt
j k bsinωt 0
−ωa sinωt ωbcosωt 0
2 2
[
(
)
](
(
)
)
t 的时间内， t r 在 >0 的时间内，当 = 2时， ⋅ a = 0 υ ⋅ a = 2 i − 2 tj ⋅ − 2 j = 4 t 所以， t 的时间内， 所以，在 > 0 的时间内， ⋅ a ≠ 0. υ
[
](
)
)
(
)
(
)(
牛顿定律部分
牛顿定律部分
1.如图所示，用一斜向上的力F (与水平成300 角)，将一重为G 的木块压靠在竖直壁面上，如果不论用怎样大的力F都不能使 木块向上滑动，则说明木块与壁面间的静摩擦系数µ的大小为：
υ 船，岸 = ui + Vj V = V0 x
t
x=
∫ y = ∫ vdt = ∫
0 t
udt = ut
t
质点力学第9讲——质点力学习题课
方向的分量方程： 沿 υ 0 方向的分量方程：
r
r r + (1 − α ) Mυ . M υ 0 = αM υ 1 2 r
r 垂直于
解出： 解出：
Mυ 0 = αMυ 1 cos θ + (1 − α ) Mυ 2 cos θ , 0 = αMυ 1 sin θ − (1 − α ) Mυ 2 sin θ .
f 1 = Ma 0
r N1 r Mg
r mg
f1
r a0
X 以物体B为参考系 对物体 A ,以物体 为参考系 假设它有向右的加速度 以物体 为参考系, v 受力分析如右图， 牛顿第二定律有 受力分析如右图 a ' ，B受力分析如右图，由牛顿第二定律有： r
r r r r ) = ma ′ mg + N 2 + f 2 + ( − ma 0 即： − mg + N 2 = 0 , _ f 2 + ( - ma 0 ) = ma '
的最小值， 求 ∆ E 的最小值，即求 f (α) = α(1−α) 的最 大值。 大值。
df 令 = 1 − 2α = 0 , dα
2
故
2
1 得α = , 2
∆Elim = (sec θ −1)E = E tan θ
2
1 d f = −2 , f (α ) α = 1 = 确是最大值 由于 2 2 4 dα (0 < α < 1)
v v dr v = dt
v v = -aω sin ωti + bω cos ωtj
(2)由 由
x = a cos ωt 和 y = b sin ω t 2 2 x y 消去t得轨道方程 消去 得轨道方程 + 2 =1 2 a b
质点力学练习题(C1练习册)
力学练习题（一）学习目标1． 掌握描述质点运动和运动变化的物理量——位置矢量、位移、速度、加速度，理解这些物理量的矢量性、瞬时性和相对性。
2． 理解运动方程的物理意义及作用，掌握运用运动方程确定质点的位置、位移、速度和加速度的方法，以及已知质点运动的加速度和初始条件求速度、运动方程的方法。
一、 选择题1． 一运动质点在某瞬时位于位矢(,)r x y 的端点处，对其速度的大小有四种意见，即（1）d d r t ；（2）d d r t ；（3）d d s t ；（4 ） A 只有（1）（2）正确 B 只有（2）正确 C 只有（2）（3）正确 D 只有（3）（4）正确2． 一小球沿斜面向上运动，其运动方程为245t t S -+=（SI ），则小球运动到最高点的时刻是（ ）。
A t = 4s.B t = 2s.C t = 8s.D t = 5s.3．一质点在平面上运动，已知质点位置矢量的表示式为j bt i at r 22+=（其中a 、b 为常量） 则该质点作（ ）。
A 匀速直线运动. B 变速直线运动. C 抛物线运动. D 一般曲线运动. 4．下列说法哪一条正确？（ ）A 加速度恒定不变时，物体运动方向也不变.B 平均速率等于平均速度的大小.C 不管加速度如何，平均速率表达式总可以写成2/)(21v v v +=D 运动物体速率不变时，速度可以变化.二、 填空题1．质点p 在一直线上运动，其坐标x 与时间t 有如下关系： x = A sin ω t （SI ） Ａ为常数）（1）任意时刻t 时质点的加速度 a =___________________；（2）质点速度为零的时间t =___________________________。
2．一人自原点出发，25s 内向东走30m ，又10s 内向南走10m ，再15s 内向正西北走18m ，设X 轴指向正东，Y 轴指向正北，求在这50s 内，（1）位移r ∆= ；（2）平均速度v = ；（3）平均速率v = 。
经典力学习题课1-质点运动学
y
v
a’τ
θ
θ
v0
g
θ0 o
题1.3图
ds dy
θ dx
x
【解】设驱动力与阻力所产生的加速度为a’，火箭的
加速度为 ar ar ' gr
其切向分量和法向分量分别为
a a ' g sin , an g cos
因为火箭的速率恒定，故有
a
dv dt
0
（1）
即有
a
a ' g sin 0, an
法向加速度 an a2 a2
得到 an
bv02
b2 y2 v02
(8)
3
Q
an
v2
(b2 y2 v02 ) 2 bv02
(9)
题1.5 一细杆绕o端点在平面内以匀角速旋转， 角速度为ω。在杆上套有一小环（可看作质点） 相对于杆作匀速运动，速率为u。时间t＝0时小 环位于端点o处。求小环的运动轨迹及在任意时 刻小环的速度和加速度。
v2
g cos
（2）
式中ρ是火箭所在处的曲率半径。
Q ds , cos dx
d
ds
d d ds 1 dx ds dx cos
代入（2）式得
d g
dx v2
（3）
将（3）式积分，考虑初始条件，当t＝0时，x＝0，
θ＝ θ0。可得
0
g v2
x
又因为
tan
dy , dy dx dx
(2r&& r&&)r 0
dt
Q &r& 0,&& 0 ar r&2rr 0 2r&&r 0
理论力学--质点力学习题
x
tan
g
tan
2v02
cos2
,
y
tan
g
tan
2v02
cos2
tan
d x2 y2 x 1 tan2
tan
g
tan
2v02
cos2
1 cos
2v02 cos sin
g
cos2
2014/3/13
第一章 习题课
8
d
2v02 g
cos sin
cos2
求极值。一阶导数为零
2v02 g
sec2
4
2
解： mx 0,
y
my mg
v
两次积分
x tv0 cos ,
y
tv0
sin
1 2
gt
2
x
2014/3/13
第一章 习题课
7
消去t，得轨道方程
y
x tan
1 2
v02
g
cos2
x2
（1）
斜面方程为 y x tan
（2）
(1)、(2)两式联立,求得枪弹落在斜面上的点：
2mg cos ,式中为水平线和质点运动方向
之间的夹角.已知圆滚线方程为
x a2 sin 2 , y a 1 cos 2
解: 切向方程 m dv mg sin
dt
法向方程 R mg cos m v2
几何关系 sin dy / ds
（1） （2） （3）
2014/3/13
第一章 习题课
解： x r cos, y r sin
x r cos r sin y r cos r sin
质点和刚体力学 习题
2G(M + m ) = r
(3)Q vx = 2t ∴ v=
vy = 12t 3 4t 2 +144t 6
2 2 vx + vy =
dv 1 8t + 864t 5 2 + 216t 4 aτ = = = dt 2 4t 2 + 144t 6 1+ 36t 4
若求法向加速度，应先求曲率半径。 注：若求法向加速度，应先求曲率半径。
得：
9 3tdt = mvt 0 得：vt = 2 (m/ s) 0
0 3
依动能定理： 依动能定理：
1 2 W = mvt 0 2
W = 30.3(J )
的两质点间存在万有引力。 例4、质量分别为 和m的两质点间存在万有引力。 、质量分别为M和 的两质点间存在万有引力 初始时刻质点相距无穷远，然后两质点沿 初始时刻质点相距无穷远， 连线相向运动，当它们的距离为r时的相对速度 连线相向运动，当它们的距离为 时的相对速度 . 的大小为 v M v m v X v2 f O f’ 1 r 为研究对象， 解：以mM为研究对象，系统所受外力为零， 为研究对象 系统所受外力为零， 非保守内力为零，故动量守恒，能量守恒。 非保守内力为零，故动量守恒，能量守恒。
习题课一 (Exercises Class One)
质点和刚体力学部分
一、思考题
r r dr dr dv dv 1.试 问 与 有 区 ， 与 何 别 又 dt dt dt dt 有 区 ? 何 别
2. 作直线运动的质点，它的运 作直线运动的质点， 与时间t的关系由图 动速度 v与时间 的关系由图 与时间 中曲线表示。 中曲线表示。问： (1) t1时刻的曲线的切线 表示 时刻的曲线的切线AB表示 什么？ 什么？ (2) t1与t2之间曲线的割线的斜 率表示什么？ 率表示什么？ (3) 从t=0到t3时间内质点的位移 到 和路程分别由什么表示？ 和路程分别由什么表示？
(3)Q vx = 2t ∴ v=
vy = 12t 3 4t 2 +144t 6
2 2 vx + vy =
dv 1 8t + 864t 5 2 + 216t 4 aτ = = = dt 2 4t 2 + 144t 6 1+ 36t 4
若求法向加速度，应先求曲率半径。 注：若求法向加速度，应先求曲率半径。
得：
9 3tdt = mvt 0 得：vt = 2 (m/ s) 0
0 3
依动能定理： 依动能定理：
1 2 W = mvt 0 2
W = 30.3(J )
的两质点间存在万有引力。 例4、质量分别为 和m的两质点间存在万有引力。 、质量分别为M和 的两质点间存在万有引力 初始时刻质点相距无穷远，然后两质点沿 初始时刻质点相距无穷远， 连线相向运动，当它们的距离为r时的相对速度 连线相向运动，当它们的距离为 时的相对速度 . 的大小为 v M v m v X v2 f O f’ 1 r 为研究对象， 解：以mM为研究对象，系统所受外力为零， 为研究对象 系统所受外力为零， 非保守内力为零，故动量守恒，能量守恒。 非保守内力为零，故动量守恒，能量守恒。
习题课一 (Exercises Class One)
质点和刚体力学部分
一、思考题
r r dr dr dv dv 1.试 问 与 有 区 ， 与 何 别 又 dt dt dt dt 有 区 ? 何 别
2. 作直线运动的质点，它的运 作直线运动的质点， 与时间t的关系由图 动速度 v与时间 的关系由图 与时间 中曲线表示。 中曲线表示。问： (1) t1时刻的曲线的切线 表示 时刻的曲线的切线AB表示 什么？ 什么？ (2) t1与t2之间曲线的割线的斜 率表示什么？ 率表示什么？ (3) 从t=0到t3时间内质点的位移 到 和路程分别由什么表示？ 和路程分别由什么表示？
质点力学习题课
E = 5000 × 0.02 = 100 J
如果把石块换成钢板，那么钢板获得的动能增大 警告：没有经过训练的人，切勿去尝试， 以免造成伤害！
6、习题1-5
v0
h
y O
l
x
v
x
θ
r
分析：绳上各点的速度相同吗？ 思考：小船越走越快吗？
h v0 a=− 3 i x
2 2
7、一艘小船在静止水中的速度为3m/s，一 个船夫要驾此船渡河，同时需要在渡河时的 距离最短，若水流速度为4m/s，问船夫应选 择向哪个方向划行？假设水流的速度在各处 都相同。
1 1 2 2 mgh = MvM + mvm 2 2
动量在水平方向上守恒
m(vm )x + M (vM )x = 0
vm = vr + v M
αm
m M h M
(vm )x = vM − vr cos α
vM 2 gh = m cos α 2 (M + m) M + m sin α
∆r
v
r′
o r
A
2、斜抛运动，求最高点处的曲率半径
v0
P A
o
θ
3、轻弹簧，k，原长 l0 ，吊天花板， 将弹簧由长 l1 为变为 l2 ，此过程中弹 性力作的功是多少？
4 、 m1 、 m2 ， 两块水平木板， B 放在地面上，若以 A 在弹 簧（ k ）上的平衡位置为重 力和弹性势能的零点，试 写出系统（A、弹簧、地球） 的总势能表达式. 设弹簧原长时A处于x0位置
v0 = 2 gh
1 2 Ek = Mv 2
m m ∴v = v0 ≈ v0 M +m M
质点力学习题课
Fdt mdv
设t1时刻t质t12点F的dt速度为vv12v1m, 设dvt2时刻m质v点2 的m速v度1 为v2，则
I P2 P1
此式说明：物体在运动过程中，所受合外力的冲量等 于该物体动量的增量。
第十一页，编辑于星期五：五点 四十六分。
8．有一质点作直线运动，其运动方程 为x=6t2-2t3 (SI制)，试求：
4．一子弹以水平速度v0射入一静止于光滑水平面上的 木块后，随木块一起运动。对于这一过程正确的分 析是 (A)子弹、木块组成的系统机械能守恒； (B)子弹、木块组成的系统水平方向的动量守恒；
(C)子弹所受的冲量等于木块所受的冲量；
(D)子弹动能的减少等于木块动能的增加。 [B]
第九页，编辑于星期五：五点 四十六分。
（1）第二秒内的平均速度； （2）第三秒末的速度； （3）第一秒末的加速度； （4）质点作什么类型的运动？
解：(1)先求出质点在第二秒内的位移。由运动方程可知 t=1s，x1=6×12-2×13=4m t=2s，x2=6×22-2×23=8m
第二秒内的平均速度为:
v x2 x1 8 4 4m s1
i0
i0
i0
i0
第六页，编辑于星期五：五点 四十六分。
1．某质点的运动方程为 x=3t-5t3+6(SI) ， 则该质点作
(A) 匀加速直线运动，加速度沿X正方向； (B) 匀加速直线运动，加速度沿X负方向； (C) 变加速直线运动，加速度沿X正方向； (D) 变加速直线运动，加速度沿X负方向。
[D]
解：设三角形木块相对地面的加速度 为a1，小木块相对地面的加速度为a2 ，小木块相对三角形木块的加速度为 a2’，小木块与三角形木块之间的作 用力为N1和N，地面对三角形木块的支 持力为N2。
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动能不守恒。
机械能守恒。
一段长度为l 的均匀绳子，总质量为m，其一端固定于o点， 在光滑水平面内沿逆时针方向围绕o 点以角速度ω作整体 转动，求：绳子内部距o 点为x处的张力T 。
已知：m r l
const.
求：T T ( x)
滑 0
dx
o
解：
x
研究对象：《绳子》
l
方法1：将绳子“分小”为许多个质量为dm的质元
vB
mv0 (M m)vA 方向？ o●
B
L0vA LvB sin
解得：
sin L0vA
Lv B
L0
v0
m
M
A
L f
vA
mv0 L0
arcsin
L m2v02 k(M m)(L L0 )2
5、通过量纲 判正误 6、记住最后要讨论
fB
Mg
mAg fA 0
mAg fB mBaB
aA 0 aB 2g
A、B组成系统所受外力为
N mB g
F mA g N mB g F mA g 0
Fx=0，水平方向上系统动量守恒
1)m Av A 2)m Av A
MvB m Av A
vB MvB
2l
T maC m (l 2 x2 ) 2
2l
T (l x) 受力？
0
x
•
l
Fi
maC
o
l
●
●
xC
m0
ω
思考： 如果绳子的另一端系一个质量
T maC
动量守恒 mv 0 (m M )v
1 2
m v02
1 2
Ek
Ek
1 mv2
1
2 mv
2
2
v c 动能守恒。
机械能守恒。
2)动量守恒条件 F i 0, F i T m g 0
动量不守恒
角动量守恒条件M 0,
M r T R mg Rmgsin
r
T
T cos mg M 0
mg
WT 0 WG 0
vB
《大学物理习题讨论课辅导书》
o●
p47
L
B
L0
m v0
M
A
已知：M m k
vB
t 0时,子弹和木块在 A点发生碰撞
v子弹 v v0 碰前 : v木块 V 0
o ●
L
L0
B
A L0
碰后:
v子弹
A
V木块 L0
vA
求：V (t) vB
A2
4RB
R
思考讨论题
1、分析以下各种情况中物体A和B的受力：
（1）A、B为均质球体，静止放置。
N’ A N
BN N’
mg
mg
判断有无N’：
1）有无施力物
2）有无加速度
fA
A
B
mg
N
1)A、B静止
fA mAg fA fB
NB fB mB g (mA mB )g
2）C抽出瞬间，N=0
初4速．度一为质点从，O如点v图0 出所发示作。抛请体回运答动以（下忽问略题空：气在阻运力动）过，
程中，
y
1）dv/dt是否变化？
v0
t
2）| dv / dt | 是否变化？
3）a n 是否变化？
θ αn
x
o
4）轨道何处曲率半径最大？其值是多少？
解 1） a g g sin t g cos n
ω
F dman
用变量 x 表示 “质点” dm的质量
dT dm x
dm l dl
即：dm
ml ddxx
l dx
m dx l
l dT m xdx
两边积分：
得：
0 dT
lm
l
xdx
T (x)
lx
T m (l 2 x2 )
at
dv dt
B
v2 an R
v ds dt
ds vdt
2R
T
0 ds 0 ( A Bt)dt
2R AT 1 BT 2
2
BT 2 2AT 4R 0 A A2 4BR
T B
v A BT A2 4BR
an
v2 R
m M
vA vB
2m M
vA
Ae Aid 0
1）外力：N，T，AN=0，AT≠ 0 Ae ≠ 0 机械能不守恒 2）外力：N，T，T‘，AN=0， AT≠ 0， AT’≠ 0 AT+ AT’=0 Ae = 0 机械能守恒 3）T，-T，T‘，- T‘均为内力，N及R 不作功
Ae = 0 机械能守恒
m v0
M
A
vA
t时刻:
v子弹
B
V木块 L
vB
解： 1、选取对象，查受力：
vB
对象：《子弹、木块》 受力：
o ●
B
L
L0
内力——弹力、碰撞力及摩擦力
v0
外力——弹力、重力、支持力
m
2、分析过程，看运动
M A
vA
➢ 子弹与木块发生的碰撞过程。时间极短，弹 两个过程 ： 簧未发生形变，碰前、碰后均在A点发生
➢ 碰后，子弹与木块以vA共同的速度从A点
运动B点的过程
3、根据定理、定律，列方程
vB
❖首先考虑守恒，
o ●
B
L
求速度（运动）
L0
碰撞过程，水平方向动量守恒 m v0
M
mv0 (M m)vA
A
vA
系统在水平方向上不受
A-B过程，系统机械能守恒 外力 ，系统动量守恒
1 2
(M
m)vA2
1)动量守恒条件 F i 0, 动量不守恒
Fi T mg 0
O
角动量守恒条件M 0,
对O点 M R T R m g
设小球逆时针旋转为正
M RT sin Rmg RT cos Rmg
T cos mg
M 0
角动量守恒
E
1 2
(M
m)vB2
1 2
k(L
L0
)2
系统在光滑水平 面内运动,只有弹
簧弹力做功，系 统机械能守恒
LA0-BL0过(vmA程，ML系v)B统vsAi对n0L点的(m角动M量o)●守vB恒 L
4、分析变量，解方程，
L0
f
不忘解题技巧来应用
由：mv0 (M m)vA
1 2
(M
m)vA2
1 2
(M
m)vB2
m
v0
1k 2
(
M A
L L0
vA
)2
解得：
vB
m2v02 k(L L0)2 (m M )
vB
B
子弹和小木块 一起运动只受 弹簧的弹力作 用始终都指向 o点
由：vB m2v02 k(M m)(L L0 )2 (m M )
2l
思考：如果绳子的另一端系一个质量为m 的小球，
如何求T？
方法2： 选 l－x 段绳子为研究对象
“绳子内部距o
点
为x处的张力T ” T (l x)
0xl
lx
o
•
xc
ω
此时，绳子为一质点系。利用质心运动定理求解
Fi
maC
T maC
在光滑水平面内 T 为 l－x 所受合外力
T (l x)
0
x
•
l
T maC
C为 l－x 段绳子质心距o 点距离为
1
xl
xc x 2 (l x) 2
lx
o
•
xc
C 随绳子绕o 点以角速度ω 作圆周运动
ω
aC
xl 2
2
m m (l x) l
aC r 2 xc 2
解得： T
maC
m (l 2 x2 ) 2
v02
g cos
最高点( 0)
an g最大, v v cos最小, 最小
v2
(v0 cos ) 2
an
g
5．一质点沿着半径为R的圆周运动，在t=0时经过P点， 此后的速率按v=A+Bt（A,B为已知常数）变化，则质 点沿圆周运动一周再经过P点时的切向加速度 at=___________，法向加速度an=_____________。
at g sin
an g cos
at
dv dt
g sin
dv a
变化
dt
2)a d v g dt
不变化
3)an g cos
变化
v2
v2
v2
4)an g cos
an g cos
起点,终点( ) an最 小, v v0最 大, 最 大 max
(m
M
)v 2
1 2
kxm2
p47
（3）
机械能守恒。
一段长度为l 的均匀绳子，总质量为m，其一端固定于o点， 在光滑水平面内沿逆时针方向围绕o 点以角速度ω作整体 转动，求：绳子内部距o 点为x处的张力T 。
已知：m r l
const.
求：T T ( x)
滑 0
dx
o
解：
x
研究对象：《绳子》
l
方法1：将绳子“分小”为许多个质量为dm的质元
vB
mv0 (M m)vA 方向？ o●
B
L0vA LvB sin
解得：
sin L0vA
Lv B
L0
v0
m
M
A
L f
vA
mv0 L0
arcsin
L m2v02 k(M m)(L L0 )2
5、通过量纲 判正误 6、记住最后要讨论
fB
Mg
mAg fA 0
mAg fB mBaB
aA 0 aB 2g
A、B组成系统所受外力为
N mB g
F mA g N mB g F mA g 0
Fx=0，水平方向上系统动量守恒
1)m Av A 2)m Av A
MvB m Av A
vB MvB
2l
T maC m (l 2 x2 ) 2
2l
T (l x) 受力？
0
x
•
l
Fi
maC
o
l
●
●
xC
m0
ω
思考： 如果绳子的另一端系一个质量
T maC
动量守恒 mv 0 (m M )v
1 2
m v02
1 2
Ek
Ek
1 mv2
1
2 mv
2
2
v c 动能守恒。
机械能守恒。
2)动量守恒条件 F i 0, F i T m g 0
动量不守恒
角动量守恒条件M 0,
M r T R mg Rmgsin
r
T
T cos mg M 0
mg
WT 0 WG 0
vB
《大学物理习题讨论课辅导书》
o●
p47
L
B
L0
m v0
M
A
已知：M m k
vB
t 0时,子弹和木块在 A点发生碰撞
v子弹 v v0 碰前 : v木块 V 0
o ●
L
L0
B
A L0
碰后:
v子弹
A
V木块 L0
vA
求：V (t) vB
A2
4RB
R
思考讨论题
1、分析以下各种情况中物体A和B的受力：
（1）A、B为均质球体，静止放置。
N’ A N
BN N’
mg
mg
判断有无N’：
1）有无施力物
2）有无加速度
fA
A
B
mg
N
1)A、B静止
fA mAg fA fB
NB fB mB g (mA mB )g
2）C抽出瞬间，N=0
初4速．度一为质点从，O如点v图0 出所发示作。抛请体回运答动以（下忽问略题空：气在阻运力动）过，
程中，
y
1）dv/dt是否变化？
v0
t
2）| dv / dt | 是否变化？
3）a n 是否变化？
θ αn
x
o
4）轨道何处曲率半径最大？其值是多少？
解 1） a g g sin t g cos n
ω
F dman
用变量 x 表示 “质点” dm的质量
dT dm x
dm l dl
即：dm
ml ddxx
l dx
m dx l
l dT m xdx
两边积分：
得：
0 dT
lm
l
xdx
T (x)
lx
T m (l 2 x2 )
at
dv dt
B
v2 an R
v ds dt
ds vdt
2R
T
0 ds 0 ( A Bt)dt
2R AT 1 BT 2
2
BT 2 2AT 4R 0 A A2 4BR
T B
v A BT A2 4BR
an
v2 R
m M
vA vB
2m M
vA
Ae Aid 0
1）外力：N，T，AN=0，AT≠ 0 Ae ≠ 0 机械能不守恒 2）外力：N，T，T‘，AN=0， AT≠ 0， AT’≠ 0 AT+ AT’=0 Ae = 0 机械能守恒 3）T，-T，T‘，- T‘均为内力，N及R 不作功
Ae = 0 机械能守恒
m v0
M
A
vA
t时刻:
v子弹
B
V木块 L
vB
解： 1、选取对象，查受力：
vB
对象：《子弹、木块》 受力：
o ●
B
L
L0
内力——弹力、碰撞力及摩擦力
v0
外力——弹力、重力、支持力
m
2、分析过程，看运动
M A
vA
➢ 子弹与木块发生的碰撞过程。时间极短，弹 两个过程 ： 簧未发生形变，碰前、碰后均在A点发生
➢ 碰后，子弹与木块以vA共同的速度从A点
运动B点的过程
3、根据定理、定律，列方程
vB
❖首先考虑守恒，
o ●
B
L
求速度（运动）
L0
碰撞过程，水平方向动量守恒 m v0
M
mv0 (M m)vA
A
vA
系统在水平方向上不受
A-B过程，系统机械能守恒 外力 ，系统动量守恒
1 2
(M
m)vA2
1)动量守恒条件 F i 0, 动量不守恒
Fi T mg 0
O
角动量守恒条件M 0,
对O点 M R T R m g
设小球逆时针旋转为正
M RT sin Rmg RT cos Rmg
T cos mg
M 0
角动量守恒
E
1 2
(M
m)vB2
1 2
k(L
L0
)2
系统在光滑水平 面内运动,只有弹
簧弹力做功，系 统机械能守恒
LA0-BL0过(vmA程，ML系v)B统vsAi对n0L点的(m角动M量o)●守vB恒 L
4、分析变量，解方程，
L0
f
不忘解题技巧来应用
由：mv0 (M m)vA
1 2
(M
m)vA2
1 2
(M
m)vB2
m
v0
1k 2
(
M A
L L0
vA
)2
解得：
vB
m2v02 k(L L0)2 (m M )
vB
B
子弹和小木块 一起运动只受 弹簧的弹力作 用始终都指向 o点
由：vB m2v02 k(M m)(L L0 )2 (m M )
2l
思考：如果绳子的另一端系一个质量为m 的小球，
如何求T？
方法2： 选 l－x 段绳子为研究对象
“绳子内部距o
点
为x处的张力T ” T (l x)
0xl
lx
o
•
xc
ω
此时，绳子为一质点系。利用质心运动定理求解
Fi
maC
T maC
在光滑水平面内 T 为 l－x 所受合外力
T (l x)
0
x
•
l
T maC
C为 l－x 段绳子质心距o 点距离为
1
xl
xc x 2 (l x) 2
lx
o
•
xc
C 随绳子绕o 点以角速度ω 作圆周运动
ω
aC
xl 2
2
m m (l x) l
aC r 2 xc 2
解得： T
maC
m (l 2 x2 ) 2
v02
g cos
最高点( 0)
an g最大, v v cos最小, 最小
v2
(v0 cos ) 2
an
g
5．一质点沿着半径为R的圆周运动，在t=0时经过P点， 此后的速率按v=A+Bt（A,B为已知常数）变化，则质 点沿圆周运动一周再经过P点时的切向加速度 at=___________，法向加速度an=_____________。
at g sin
an g cos
at
dv dt
g sin
dv a
变化
dt
2)a d v g dt
不变化
3)an g cos
变化
v2
v2
v2
4)an g cos
an g cos
起点,终点( ) an最 小, v v0最 大, 最 大 max
(m
M
)v 2
1 2
kxm2
p47
（3）