2014年普通高等学校招生全国统一考试_大纲全国_数学(文)

2014年普通高等学校招生全国统一考试大纲全国文科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2014大纲全国，文1)设集合M＝{1,2,4,6,8}，N＝{1,2,3,5,6,7}，则M∩N中元素的个数为()．A．2 B．3 C．5 D．7答案：B解析：∵M＝{1,2,4,6,8}，N＝{1,2,3,5,6,7}，∴M∩N＝{1,2,6}，∴M∩N中元素的个数为3，故选B.2．(2014大纲全国，文2)已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α＝()．A．45B．35C．35-D．45-答案：D解析：设角α的终边上点(－4,3)到原点O的距离为r，则5r==，∴由余弦函数的定义，得4cos5xrα==-，故选D.3．(2014大纲全国，文3)不等式组(2)01x xx>⎧⎪⎨<⎪⎩+，的解集为()．A．{x|－2＜x＜－1} B．{x|－1＜x＜0} C．{x|0＜x＜1} D．{x|x＞1}答案：C解析：(2)01,x xx>⎧⎪⎨<⎪⎩+，①②由①得，x＜－2或x＞0，由②得，－1＜x＜1，因此原不等式组的解集为{x|0＜x＜1}，故选C.4．(2014大纲全国，文4)已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为()．A．16B．6C．13D．3答案：B解析：如图所示，取AD的中点F，连EF，CF，则EF∥BD，∴异面直线CE与BD所成的角即为CE与EF所成的角∠CEF.由题知，△ABC ，△ADC 为正三角形，设AB ＝2，则C E C F ==112EF BD ==. ∴在△CEF 中，由余弦定理，得222cos 2CE EF CF CEF CE EF +-∠==⋅＝，故选B.5．(2014大纲全国，文5)函数1)(1)y x =>-的反函数是( )．A ．y ＝(1－e x )3(x ＞－1)B ．y ＝(e x －1)3(x ＞－1)C ．y ＝(1－e x )3(x ∈R )D ．y ＝(e x －1)3(x ∈R ) 答案：D解析：由1)y =，得e 1y1y-，x ＝(e y －1)3， ∴f －1(x )＝(e x －1)3.∵x ＞－1，∴y ∈R ，即反函数的定义域为R . ∴反函数为y ＝(e x －1)3(x ∈R )，故选D.6．(2014大纲全国，文6)已知a ，b 为单位向量，其夹角为60°，则(2a －b )·b ＝( )． A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 答案：B解析：由已知得|a |＝|b |＝1，〈a ，b 〉＝60°，∴(2a －b )·b ＝2a ·b －b 2＝2|a ||b |cos 〈a ，b 〉－|b |2 ＝2×1×1×cos 60°－12＝0，故选B.7．(2014大纲全国，文7)有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有( )．A ．60种B ．70种C ．75种D ．150种 答案：C解析：从6名男医生中选出2名有26C 种选法，从5名女医生中选出1名有15C 种选法，故共有216565C C 57521⨯⋅=⨯=⨯种选法，选C. 8．(2014大纲全国，文8)设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3，S 4＝15，则S 6＝( )． A ．31 B ．32 C ．63 D ．64 答案：C解析：∵S 2＝3，S 4＝15，∴由等比数列前n 项和的性质，得 S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等比数列， ∴(S 4－S 2)2＝S 2(S 6－S 4)，即(15－3)2＝3(S 6－15)，解得S 6＝63，故选C.9．(2014大纲全国，文9)已知椭圆C ：2222=1x y a b+(a ＞b ＞0)的左、右焦点为F 1，F 2，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为则C 的方程为( )．A ．22=132x y +B ．22=13x y + C ．22=1128x y + D ．22=1124x y + 答案：A解析：∵2222=1x y a b +(a ＞b ＞0)的离心率为3，∴c a =，∴::a b c =又∵过F 2的直线l 交椭圆于A ，B 两点，△AF 1B 的周长为∴4a =，∴a =∴b =22=132x y +，选A. 10．(2014大纲全国，文10)正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( )．A ．81π4 B ．16π C ．9π D ．27π4答案：A解析：由图知，R 2＝(4－R )2＋2，∴R 2＝16－8R ＋R 2＋2，∴94R =， ∴281814π4ππ164S R ⨯=表==，选A. 11．(2014大纲全国，文11)双曲线C ：2222=1x y a b-(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，焦点到C 的焦距等于( )．A ．2B ．C ．4D ．答案：C解析：∵e ＝2，∴2ca=.设焦点F 2(c,0)到渐近线by x a= 渐近线方程为bx －ay ＝0，=∵c2＝a2＋b2，∴b=由2ca=2=，∴2243cc=-，解得c＝2.∴焦距2c＝4，故选C.12．(2014大纲全国，文12)奇函数f(x)的定义域为R.若f(x＋2)为偶函数，且f(1)＝1，则f(8)＋f(9)＝()．A．－2 B．－1 C．0 D．1答案：D解析：∵奇函数f(x)的定义域为R，∴f(－x)＝－f(x)，且f(0)＝0.∵f(x＋2)为偶函数，∴f(－x＋2)＝f(x＋2)．∴f[(x＋2)＋2]＝f(－x－2＋2)＝f(－x)＝－f(x)，即f(x＋4)＝－f(x)．∴f(x＋8)＝f[(x＋4)＋4]＝－f(x＋4)＝－(－f(x))＝f(x)．∴f(x)是以8为周期的周期函数，∴f(8)＝f(0)＝0，f(9)＝f(8＋1)＝f(1)＝1.∴f(8)＋f(9)＝0＋1＝1.故选D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．(2014大纲全国，文13)(x－2)6的展开式中x3的系数为________．(用数字作答) 答案：－160解析：由通项公式得363333466C(2)8CT x x-=-=-，故展开式中x3的系数为366548C8160321⨯⨯=⨯=-⨯⨯--.14．(2014大纲全国，文14)函数y＝cos 2x＋2sin x的最大值为________．答案：32解析：∵y＝cos 2x＋2sin x＝1－2sin2x＋2sin x＝2132sin22x⎛⎫--+⎪⎝⎭，∴当1sin2x=时，max32y=.15．(2014大纲全国，文15)设x，y满足约束条件2321x yx yx y-≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，，，则z＝x＋4y的最大值为________．答案：5解析：画出x，y的可行域如图阴影区域．由z ＝x ＋4y ，得144z y x =-+. 先画出直线14y x =-，再平移直线14y x =-， 当经过点B (1,1)时，z ＝x ＋4y 取得最大值为5.16．(2014大纲全国，文16)直线l 1和l 2是圆x 2＋y 2＝2的两条切线．若l 1与l 2的交点为(1,3)，则l 1与l 2的夹角的正切值等于________．答案：43解析：如图所示，设l与圆O ：x 2＋y 2＝2相切于点B ，l 2与圆O ：x 2＋y 2＝2相切于点C，则OB ，OA =，AB =∴1tan 2OB AB α===. ∴2122tan 42tan tan 211tan 314BAC ααα⨯∠====--. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)(2014大纲全国，文17)数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2.(1)设b n ＝a n ＋1－a n ，证明{b n }是等差数列； (2)求{a n }的通项公式．分析：本题主要考查等差数列的概念、通项公式以及累加法求数列通项公式． (1)可用定义证明b n ＋1－b n ＝2(常数)即可．(2)利用(1)的结果，求出{b n }的通项公式及a n ＋1－a n 的表达式，再用累加法可求数列{a n }的通项公式．(1)证明：由a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2得a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ＋2， 即b n ＋1＝b n ＋2. 又b 1＝a 2－a 1＝1，所以{b n }是首项为1，公差为2的等差数列． (2)解：由(1)得b n ＝1＋2(n －1)， 即a n ＋1－a n ＝2n －1. 于是111()(21)nnk k k k aa k +==-=-∑∑，所以a n ＋1－a 1＝n 2，即a n ＋1＝n 2＋a 1.又a 1＝1，所以{a n }的通项公式为a n ＝n 2－2n ＋2.18．(本小题满分12分)(2014大纲全国，文18)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3a cos C ＝2c cos A ，1tan 3A =，求B . 分析：先由已知及正弦定理，将边的关系转化为角的关系， 再由同角三角函数基本关系化弦为切，求出tan C .根据三角形内角和定理及两角和的正切公式求出tan B ，即可求角B . 解：由题设和正弦定理得3sin A cos C ＝2sin C cos A . 故3tan A cos C ＝2sin C ， 因为1tan 3A =，所以cos C ＝2sin C ，1tan 2C =. 所以tan B ＝tan[180°－(A ＋C )]＝－tan(A ＋C ) ＝tan tan tan tan 1A CA C +-＝－1， 即B ＝135°.19．(本小题满分12分)(2014大纲全国，文19)如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点A 1在平面ABC 内的射影D 在AC 上，∠ACB ＝90°，BC ＝1，AC ＝CC 1＝2.(1)证明：AC 1⊥A 1B ；(2)设直线AA 1与平面BCC 1B 1A 1－AB －C 的大小．分析：解法一：(1)由已知可证平面AA 1C 1C ⊥平面ABC ，再由面面垂直证线面垂直，利用三垂线定理即得线线垂直．(2)为利用已知，先寻找并证明AA 1与平面BCC 1B 1的距离为A 1E .再由三垂线定理，确定二面角A 1－AB －C 的平面角为∠A 1FD .最后通过解直角三角形求出∠A 1FD 的正切值，即可得出二面角的大小．解法二：建立空间直角坐标系，利用向量知识求解．(1)设出A 1点坐标，确定点及向量坐标，利用数量积为0，证明线线垂直． (2)设法向量，由已知垂直关系，确定坐标．利用向量夹角公式求二面角大小．解法一：(1)证明：因为A 1D ⊥平面ABC ，A 1D ⊂平面AA 1C 1C ， 故平面AA 1C 1C ⊥平面ABC .又BC ⊥AC ，所以BC ⊥平面AA 1C 1C .连结A 1C .因为侧面AA 1C 1C 为菱形，故AC 1⊥A 1C . 由三垂线定理得AC 1⊥A 1B .(2)BC ⊥平面AA 1C 1C ，BC ⊂平面BCC 1B 1， 故平面AA 1C 1C ⊥平面BCC 1B 1.作A 1E ⊥CC 1，E 为垂足，则A 1E ⊥平面BCC 1B 1. 又直线AA 1∥平面BCC 1B 1，因而A 1E 为直线AA 1与平面BCC 1B 1的距离，1A E =.因为A 1C 为∠ACC 1的平分线，故11A D A E ==作DF ⊥AB ，F 为垂足，连结A 1F . 由三垂线定理得A 1F ⊥AB ，故∠A 1FD 为二面角A 1－AB －C 的平面角．由1AD ==得D 为AC 中点，125AC BC DF AB ⨯=⨯=，11tan A D A FD DF ∠==所以二面角A 1－AB －C 的大小为arctan 解法二：以C 为坐标原点，射线CA 为x 轴的正半轴，以CB 的长为单位长， 建立如图所示的空间直角坐标系C －xyz .由题设知A 1D 与z 轴平行，z 轴在平面AA 1C 1C 内．(1)证明：设A 1(a,0，c )，由题设有a ≤2，A (2,0,0)，B (0，1,0)， 则(2,1,0)AB =-，(2,0,0)AC =-，1(2,0)AA a c =-，，11(4,0)AC AC AA a c =+=-，，1(1)BA a c =-，，．由|12AA =2=，即a 2－4a ＋c 2＝0. ①于是221140AC BA a a c ⋅=-+=，所以AC 1⊥A 1B .(2)设平面BCC 1B 1的法向量m ＝(x ，y ，z )，则CB ⊥m ，1BB ⊥m ， 即0CB ⋅=m ，10BB ⋅=m .因()0,1,0CB =，11(2,0)BB AA a c ==-，， 故y ＝0，且(a －2)x ＋cz ＝0.令x ＝c ，则z ＝2－a，m ＝(c,0,2－a )，点A 到平面BCC 1B 1的距离为cos ,CA CA CA c ⋅⋅===〈〉m m m.又依题设，A 到平面BCC 1B 1的距离为3，所以c =代入①解得a ＝3(舍去)或a ＝1. 于是1(AA=-．设平面ABA 1的法向量n ＝(p ，q ，r )，则1AA ⊥n ，AB⊥n ， 即10AA ⋅=n ，0AB ⋅=n ，0p -=，且－2p ＋q ＝0.令p =q =r ＝1，n =． 又p ＝(0,0,1)为平面ABC 的法向量，故1cos||||4⋅==〈，〉n p n p n p .所以二面角A 1－AB －C 的大小为1arccos4. 20．(本小题满分12分)(2014大纲全国，文20)设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4，各人是否需使用设备相互独立．(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率；(2)实验室计划购买k 台设备供甲、乙、丙、丁使用．若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k ”的概率小于0.1，求k 的最小值．分析：(1)先用字母表示各事件，再由互斥与独立事件的概率可求． (2)由(1)分析k 的可能取值情况，比较即得结果．解：记A i 表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i 人需使用设备，i ＝0,1,2， B 表示事件：甲需使用设备， C 表示事件：丁需使用设备，D 表示事件：同一工作日至少3人需使用设备，E 表示事件：同一工作日4人需使用设备，F 表示事件：同一工作日需使用设备的人数大于k .(1)122D A B C A B A B C =⋅⋅+⋅+⋅⋅，P (B )＝0.6，P (C )＝0.4，()22C 0.5ii P A ⨯＝，i ＝0,1,2，所以122()()P D P A B C A B A B C =⋅⋅+⋅+⋅⋅＝()()122()P A B C P A B P A B C ⋅⋅⋅⋅⋅++＝()()()()()()()122()P A P B P C P A P B P A P B P C ++＝0.31.(2)由(1)知，若k ＝2，则P (F )＝0.31＞0.1. 又E ＝B ·C ·A 2， P (E )＝P (B ·C ·A 2) ＝P (B )P (C )P (A 2) ＝0.06.若k ＝3，则P (F )＝0.06＜0.1. 所以k 的最小值为3.21．(本小题满分12分)(2014大纲全国，文21)函数f (x )＝ax 3＋3x 2＋3x (a ≠0)． (1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )在区间(1,2)是增函数，求a 的取值范围．分析：(1)由于导函数的判别式含参数a ，因此要根据导数值的正负判断单调性，需对a 进行分类讨论．当判别式为正时，导函数有两根，为比较两根的大小，需对a 进行二重讨论．(2)根据f (x )在(1,2)上是增函数可列出关于a 的不等式，注意对a ＞0或a ＜0进行讨论． 解：(1)f ′(x )＝3ax 2＋6x ＋3，f ′(x )＝0的判别式Δ＝36(1－a )． ①若a ≥1，则f ′(x )≥0，且f ′(x )＝0当且仅当a ＝1，x ＝－1. 故此时f (x )在R 上是增函数．②由于a ≠0，故当a ＜1时，f ′(x )＝0有两个根：11x a -+=，21x a--=.若0＜a ＜1，则当x ∈(－∞，x 2)或x ∈(x 1，＋∞)时f ′(x )＞0，故f (x )分别在(－∞，x 2)，(x 1，＋∞)是增函数；当x ∈(x 2，x 1)时f ′(x )＜0，故f (x )在(x 2，x 1)是减函数； 若a ＜0，则当x ∈(－∞，x 1)或(x 2，＋∞)时f ′(x )＜0， 故f (x )分别在(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)是减函数；当x ∈(x 1，x 2)时f ′(x )＞0，故f (x )在(x 1，x 2)是增函数．(2)当a ＞0，x ＞0时，f ′(x )＝3ax 2＋6x ＋3＞0，故当a ＞0时，f (x )在区间(1,2)是增函数． 当a ＜0时，f (x )在区间(1,2)是增函数当且仅当f ′(1)≥0且f ′(2)≥0，解得504a -≤<. 综上，a 的取值范围是5,04⎡⎫-⎪⎢⎣⎭∪(0，＋∞)． 22．(本小题满分12分)(2014大纲全国，文22)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，直线y ＝4与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且54QF PQ =. (1)求C 的方程；(2)过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，若AB 的垂直平分线l ′与C 相交于M ，N 两点，且A ，M ，B ，N 四点在同一圆上，求l 的方程．分析：(1)设出Q 点坐标，利用54QF PQ =列出关于p 的方程，借助于p 的几何意义及抛物线的性质确定p .(2)通过题设分析判断直线l 与x 轴不垂直．因直线l 过F (1,0)，可设l 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)．直线l 方程与抛物线方程联立，利用韦达定理得到y 1＋y 2，y 1y 2关于m 的表达式，借助弦长公式得12|||AB y y =-(其中A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2))，同理可得34|||MN y y =-(其中M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4))． 由题目中的A ，M ，B ，N 四点在同一圆上得到关于m 的方程，进而求出m ，得到直线l 的方程．解：(1)设Q (x 0,4)，代入y 2＝2px 得08x p=. 所以8||PQ p =，08||22p p QF x p =+=+.由题设得85824p p p+=⨯，解得p ＝－2(舍去)或p ＝2. 所以C 的方程为y 2＝4x .(2)依题意知l 与坐标轴不垂直，故可设l 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)． 代入y 2＝4x 得y 2－4my －4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4. 故AB 的中点为D (2m 2＋1,2m )，212|||4(1)AB y y m =-=+．又l ′的斜率为－m ，所以l ′的方程为2123x y m m=-++. 将上式代入y 2＝4x ，并整理得2244(23)0y y m m+-+=. 设M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)，则344y y m +=-，y 3y 4＝－4(2m 2＋3)．故MN 的中点为222223,E m mm ⎛⎫++- ⎪⎝⎭，23424(|||m MN y y m+=-=. 由于MN 垂直平分AB ，故A ，M ，B ，N 四点在同一圆上等价于12AE BE MN ==，从而22211||||||44AB DE MN +=， 即2222222242241214(1)22m m m m m m m (+)(+)⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭++， 化简得m 2－1＝0，解得m ＝1或m ＝－1.所求直线l 的方程为x －y －1＝0或x ＋y －1＝0.。