立体几何题经典例题

DEAFBCO O 1MDCAS15．如图，在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，已知AB =1，D 在棱BB 1上，且BD =1，则AD 与平面AA 1C 1C 所成角的正弦值为 .6．已知正三棱柱111C B A ABC -的棱长为2，底面边长为1，M 是BC 的中点. （1）在直线1CC 上求一点N ，使1AB MN ⊥； （2）当1AB MN ⊥时，求点1A 到平面AMN 的距离. （3）求出1AB 与侧面11A ACC 所成的角θ的正弦值．7. 如图所示，AF 、DE 分别是1O O ⊙、⊙的直径．AD 与两圆所在的平面均垂直，8=AD ．BC 是O ⊙的直径，AD OE AC AB //,6==．（1）求二面角F AD B --的大小； （2）求直线BD 与EF 所成角的余弦值．8．如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是1，而且平面ABCD 、ABEF 互相垂直．点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若a BN CM ==)20(<<a ．（1）求MN 的长；（2）当a 为何值时，MN 的长最小；（3）当MN 长最小时，求面MNA 与面MNB 所成的二面角θ的余弦值． 14．如图，四棱锥ABCD S -的底面是边长为1的正方形，SD 垂直于底面ABCD ，3=SB ．（1）求证：SC BC ⊥；（2）求面ASD 与面BSC 所成二面角的大小；（3）设棱SA 的中点为M ，求异面直线DM 与SB 所成角的大小．A BCM N1A 1B1C18.（本小题满分12分）已知矩形ABCD 与正三角形AED 所在的平面互相垂直， M 、N 分别为棱BE 、AD 的中点，1=AB ,2=AD ，(1)证明：直线//AM 平面NEC ； (2)求二面角D CE N --的大小．19．(本小题满分12分)如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是直角梯形，2π=∠=∠ABC DAB ，且22===AD BC AB ，侧面 ⊥PAB 底面ABCD ，PAB ∆是等边三角形． (1)求证：PC BD ⊥；(2)求二面角D PC B --的大小．15、(北京市东城区2008年高三综合练习一）如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠BAC =90°，AB =BB 1，直线B 1C 与平面ABC 成30°角.（I ）求证：平面B 1AC ⊥平面ABB 1A 1；（II ）求直线A 1C 与平面B 1AC 所成角的正弦值； （III ）求二面角B —B 1C —A 的大小.52、(河南省濮阳市2008年高三摸底考试)如图，在多面体ABCDE 中，AE ⊥面ABC ，BD ∥AE ，且AC ＝AB ＝BC ＝BD ＝2，AE ＝1，F 为CD 中点．(1)求证：EF ⊥面BCD ；(2)求面CDE 与面ABDE 所成的二面角的余弦值．ABCDMN第18题图ABCA 1B 1C 1O54、(黑龙江省哈尔滨九中2008年第三次模拟考试)已知斜三棱柱111C B A ABC -的各棱长均为2， 侧棱1BB 与底面ABC 所成角为3π， 且侧面⊥11A ABB 底面ABC .（1）证明：点1B 在平面ABC 上的射影O 为AB 的中点； （2）求二面角B AB C --1的大小 ； （3）求点1C 到平面A CB 1的距离.（1）证明：过B 1点作B 1O ⊥BA 。

∵侧面ABB 1A 1⊥底面ABC∴A 1O ⊥面ABC ∴∠B 1BA 是侧面BB 1与底面ABC 倾斜角∴∠B 1BO=3π在Rt △B 1OB 中，BB 1=2，∴BO=21BB 1=1又∵BB 1=AB ，∴BO=21AB ∴O 是AB 的中点。

即点B 1在平面ABC 上的射影O 为AB 的中点…………4分（2）连接AB 1过点O 作OM ⊥AB 1，连线CM ，OC ，∵OC ⊥AB ，平面ABC ⊥平面AA 1BB 1 ∴OC ⊥平面AABB 。

∴OM 是斜线CM 在平面AA 1B 1B 的射影 ∵OM ⊥AB 1 ∴AB 1⊥CM ∴∠OMC 是二面角C —AB 1—B 的平面角在Rt △OCM 中，OC=3，OM=2tan ,23==∠∴OMOC OMC ∴∠OMC=cosC+sin2∴二面角C —AB 1—B 的大小为.2arctan…………8分（3）过点O 作ON ⊥CM ，∵AB 1⊥平面OCM ，∴AB 1⊥ON∴ON ⊥平面AB 1C 。

∴ON 是O 点到平面AB 1C 的距离51521523328433.23,3,=⨯=⋅=∴=+=∴==∆CMOCOM ON CM OM OC OMC Rt 中在连接BC 1与B 1C 相交于点H ，则H 是BC 1的中点∴B 与C 1到平面ACB 1的相导。

又∵O 是AB 的中点 ∴B 到平面AB 1C 的距离 是O 到平面AB 1C 距离的2倍 是G 到平面AB 1C 距离为.5152 …………12分 56、(湖北省八校高2008第二次联考)如图，已知四棱锥S ABCD -中，SAD ∆是边长为a 的正三角形，平面SAD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为菱形，60DAB ∠=o ，P 为AD 的中点，Q 为SB 的中点.（Ⅰ）求证：//PQ 平面SCD ； （Ⅱ）求二面角B PC Q --的大小． 解：（1）证明取SC 的中点R ，连QR, DR .由题意知：PD ∥BC 且PD =12BC ;QR ∥BC 且QP =12BC ,∴QR ∥PD 且QR=PD .∴PQ ∥DR , 又PQ ⊄面SCD ,∴PQ ∥面SCD . …………（6分）S QD ABPC（2）法一：连接SP ，,,.SP AD SCD ABCD SP ABCD ⊥⊥∴⊥Q 面面面 ,PB H QH QH ABCD QH SP ∴⊥取的中点，连，得面P .,,11,222490,,.22HG PC G QG QGH QH SP PBC PBC PB BC a PC ⊥∠==∆∠===∴=o 作于连由三垂线定理知：即为所求二面角的平面角.而＝在中，sin 4HG PH BPC ∴=⋅∠==. tan QH QGH HG∴∠===，B PC Q ∴--二面角的大小为 …………（12分） （2）法二：以P 为坐标原点，PA 为x 轴，PB 为y 轴，PS 为z 轴建立空间直角坐标系，则S（），B（,0）,C（,0a -），Q（）. 面PBC 的法向量为PS =u u u r（）,设(,,)n x y z =r 为面PQC 的一个法向量，由003(200n PQ n n PC ax ⎧=⎪⋅=⎪⇒⇒=⎨⎨⋅=⎪⎪-=⎪⎪⎩⎩r u u u r r r u u u r，cos 3,a n PS -<>===r u u u r63、(湖北省武汉市武昌区2008届高中毕业生元月调研测试)如图,四棱锥ABCD P -的底面是边长为a 的菱形,ο60=∠DAB ,⊥PD 平面ABCD , AD PD =.（Ⅰ）求直线PB 与平面PDC 所成的角的正切值; （Ⅱ）求二面角A －PB －D 的大小.A解：（Ⅰ）取DC的中点E.∵ABCD是边长为a的菱形,ο60=∠DAB，∴BE⊥CD.∵⊥PD平面ABCD, BE⊂平面ABCD，∴⊥PD BE.∴BE⊥平面PDC.∠BPE为求直线PB与平面PDC所成的角. ……………………3分∵BE=2a，PE=2a,∴tan BPE∠=BEPE. ……………………………6分（Ⅱ）连接AC、BD交于点O，因为ABCD是菱形，所以AO⊥BD.∵⊥PD平面ABCD, AO⊂平面ABCD，∴AO⊥PD. ∴AO⊥平面PDB.作OF⊥PB于F，连接AF，则AF⊥PB.故∠AFO就是二面角A－PB－D的平面角. ……………………………9分∵AO=2a，OF=4a，∴tanAOAFOOF∠=.∴AFO∠=. ……………………………12分64、(湖南省十二校2008届高三第一次联考)已知在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=2，E、F分别是AB、PD的中点．（Ⅰ）求证：AF∥平面PEC；（Ⅱ）求PC与平面ABCD所成角的大小；（Ⅲ）求二面角P一EC一D的大小．解：（Ⅰ）取PC的中点O，连结OF、OE．∴FO∥DC，且FO=12 DC∴FO∥AE ……………………2分又E是AB的中点．且AB=DC．∴FO=AE．∴四边形AEOF是平行四边形．∴AF∥OE 又OE⊂平面PEC，AF⊄平面PEC∴AF∥平面PEC（Ⅱ）连结AC∵PA⊥平面ABCD，∴∠PCA是直线PC与平面ABCD所成的角……………………6分在Rt△PAC中，tan5PAPCAAC∠===即直线PC与平面ABCD所成的角大小为arctan……………………9分（Ⅲ）作AM⊥CE，交CE的延长线于M．连结PM，由三垂线定理．得PM⊥CE ∴∠PMA是二面角P—EC—D的平面角．……………………11分由△AME∽△CBE，可得AM=，∴tanPAPMAAM∠==∴二面角P 一EC 一D 的大小为arctan 2 ……………………13分 解法二：以A 为原点，如图建立直角坐标系， 则A （0．0，0），B （2，0，0），C （2，l ，0）， D （0，1，0），F （0，12，12），E （1，0，0）， P （0，0，1）（Ⅰ）取PC 的中点O ，连结OE ，则O （1，12，12）， 1111(0,,),(0,,)2222AF EO ==u u u r u u u r∴AF EO u u u r u u u rP ……………………5分又OE ⊂平面PEC ，AF ⊄平面PEC ，∴AF ∥平面PEC ………………… 6分（Ⅱ）由题意可得(2,1,1)PC =-u u u r ，平面ABCD 的法向量(0,0,1)PA =-u u u r6cos ,6||||6PA PC PA PC PA PC ⋅<>===u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r 即直线PC 与平面ABCD 所成的角大小为-2π6arccos …………9分 （Ⅲ）设平面PEC 的法向量为(,,),(1,0,1),(1,1,0)m x y z PE EC ==-=u r u u u r u u u r则0m PE m EC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u ru r u u u r，可得00x z x y -=⎧⎨+=⎩，令1z =-，则(1,1,1)m =--u r ……11分 由（2）可得平面ABCD 的法向量是(0,0,1)PA =-u u u r3cos ,||||3m PA m PA m PA ⋅<>===u r u u u ru r u u u r u r u u u r ∴二面角P 一EC 一D 的大小为3arccos……………………13分 69、(吉林省吉林市2008届上期末)如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1=5， AC=BC=2，∠C=90°，点D 是A 1C 1的中点.（1）求证：BC 1（1）证明：连结A 1B 交AB 1于点O ，连结OD∵点D 是A 1C 1的中点，点O 是A 1B 的中点，∴OD ∥BC 1 …………………………2分 又∵OD ⊂平面A 1B 1C 1，BC 1⊄平面A 1B 1C 1∴BC 1∥平面AB 1D ………………………………………………………………5分 （2）过点A 1作A 1E 垂直B 1D 交B 1D 延长于点E ，连结AE∵ABC —A 1B 1C 1是直三棱柱 ∴A 1A ⊥平面A 1B 1C 1又∵A 1E ⊥B 1D ∴AE ⊥B 1D ∴∠AEA 1是二面角A —B 1D —A 1的平面角 ………9分55252152,9011=⨯=∴=∴===∠E A D B BC AC C οΘ 255525tan 1==∠∴AEA …………………………………………………………12分 解法二：利用空间向量法（略）70、(吉林省实验中学2008届高三年级第五次模拟考试)如图，正三棱柱111C B A ABC -中，D 是BC 的中点，11==AB AA （Ⅰ）求证：C A 1∥平面D AB 1； （Ⅱ）求二面角D AB B --1的大小。