用平方差公式分解因式
用平方差公式因式分解公开课教案
用平方差公式因式分解公开课教案一、教学目标：1. 让学生掌握平方差公式的概念和应用。
2. 培养学生运用平方差公式进行因式分解的能力。
3. 提高学生解决实际问题的能力。
二、教学内容：1. 平方差公式的定义和特点。
2. 平方差公式的记忆方法。
3. 运用平方差公式进行因式分解的方法和步骤。
三、教学重点：1. 平方差公式的记忆和应用。
2. 运用平方差公式进行因式分解的方法和技巧。
四、教学难点：1. 平方差公式的灵活运用。
2. 因式分解中的特殊情况的处理。
五、教学方法：1. 采用讲解、演示、练习、讨论等多种教学方法，引导学生主动参与、积极思考。
2. 通过例题和练习题，让学生巩固所学知识，提高解题能力。
3. 鼓励学生提问和发表自己的观点，培养学生的思维能力和创新能力。
一、平方差公式的定义和特点1. 引入平方差公式：a^2 b^2 = (a + b)(a b)2. 解释平方差公式的概念和特点3. 让学生熟记平方差公式二、平方差公式的记忆方法1. 平方差公式记忆口诀：平方差，加减号，乘积不变性质牢2. 讲解记忆方法，引导学生自主记忆3. 进行记忆测试，检查学生掌握情况三、运用平方差公式进行因式分解的方法和步骤1. 讲解因式分解的方法和步骤2. 示例题：因式分解ax^2 + bx + c3. 让学生独立完成练习题，巩固所学知识四、平方差公式的灵活运用1. 讲解平方差公式的灵活运用方法2. 示例题：解决实际问题中的应用3. 让学生尝试解决实际问题，提高应用能力五、因式分解中的特殊情况1. 讲解特殊情况：完全平方公式和平方差公式的结合2. 示例题：因式分解中含有完全平方项的题目3. 让学生练习特殊情况下的因式分解，巩固知识点六、练习题讲解和分析1. 讲解练习题，分析解题思路和方法2. 引导学生总结解题规律，提高解题能力3. 鼓励学生提问和发表自己的观点，培养思维能力七、课堂小结1. 总结本节课所学知识：平方差公式、因式分解的方法和步骤2. 强调平方差公式的记忆和应用重要性3. 布置课后作业，巩固所学知识八、课后作业布置1. 布置练习题：因式分解和应用平方差公式2. 提醒学生按时完成作业，加强练习3. 鼓励学生自主学习，提高解题能力九、作业讲解和反馈1. 讲解作业题目，分析学生解题情况2. 针对学生错误进行讲解和指导3. 给予学生鼓励和反馈，提高学习积极性十、课程总结和反思1. 总结本节课的教学目标和内容2. 反思教学过程中的优点和不足3. 提出改进措施，为下一节课做好准备六、教学活动设计：1. 导入新课：通过复习完全平方公式，引导学生发现平方差公式的规律。
利用完全平方差公式进行因式分解
因式分解的几种方法把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。
因式分解的方法多种多样，现总结如下：1、提公因法如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。
例1、分解因式x3 -2x 2-xx3 -2x2 -x=x(x2 -2x-1)2、应用公式法由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。
例2、分解因式a2 +4ab+4b2解：a2 +4ab+4b2 =（a+2b）23、分组分解法要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n)例3、分解因式m2 +5n-mn-5m解：m2 +5n-mn-5m= m 2-5m -mn+5n= (m2 -5m )+(-mn+5n)=m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n)4、十字相乘法对于mx2 +px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)例4、分解因式7x2 -19x-6分析： 1 ×7=7, 2×(-3)=-61×2+7×(-3)=-19解：7x2 -19x-6=（7x+2）(x-3)5、配方法对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。
例5、分解因式x2 +6x-40解x2 +6x-40=x2 +6x+( 9) -(9 ) -40=(x+ 3)2 -(7 ) 2=[(x+3)+7]*[(x+3) – 7]=(x+10)(x-4)6、拆、添项法可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。
15.5.2.1用平方差公式因式分解
(1) 4x2-9 ４x2=( 2x )2, 9＝（ 3 ）２， ４x２-9=( 2x )2-( 3 )2.
分析：
解：4x2-9=(2x)2-(3)2=(2x+3)(2x-3) 9 2 3 3 2 (2) x -0.01y （ x＋0.1y)( x-0.1y) 49 7 7 (3)(x+p)2 - (x+q)2
平方差公式：
(a+b)(a-b) = a²- b²
整式乘法
两个数的平 方差，等于 这两个数的 和与这两个 数的差的积
a²- b² = (a+b)(a-b)
因式分解
下列多项式能否用平方差公式来分 解因式？
(1) x2 + y2
(2) x2 - y2
(3) -x2+y2 (4) -x2 - y2
(2)(3)能，(1)(4)不能
解:原式=(x+p+x+q)(x+p-x-q)=(2x+p+q)(p-q)
1.下列多项式能否用平方差公式来分解 因式?为什么? 若能请写出结果. (1) x2+y2 (2) x2-y2 (3) – x2+y2 1 (4) –x2-y2 (5)-(x-3)2+1 (6) -3x23 2. 填空: (1)-a2+9= (3+a)(3-a) , (2) 0.81a2-169b2= (0.9a+13b)(0.9a-13b) , 1 1 1 (3)a2- 25 b2= (a+ 5 b)(a, 5 b) (3a+2b)(3a-2b) 2 2 (4)9a -4b = .
(1) ax - ay = a( x – y )
(2) 9a2 - 6ab+3a =3a(a-2b+1)
因式分解“平方差公式”教学反思
因式分解“平方差公式”教学反思因式分解“平方差公式”教学反思篇1用平方差公式分解因式，先从整式乘法的平方差公式：(a＋b)(a-b)=a2-b2引入，把公式反过来：a2-b2=(a＋b)(a-b)就成了因式分解了。
让学生观察公式左右两边的结构特点，在这一环节有点着急，应该让学生多观察，让学生发现并说出公式左右两边的结构特点，我再加以归纳和总结，会让学生印象深刻。
紧接着，辨一辨，下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？（1）x2+y2（2）x2-y2（3）-x2-y2（4）-x2+y2想要通过这一环节，让学生进一步明白平方差公式的结构特征。
在学生辨析中第（4）个，学生们说出了两种方法：方法一：-x2+y2=y2-x2；方法二：-x2+y2=-(x2-y2)因为在前一节课中，学因式分解时，强调：当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内第一项的系数成为正数，在提出“—”号时，多项式的各项都要变号。
这个时候我对说出两种分解方法的同学及时表扬，并强调两种分解因式的结果是相等的，分解因式是多项式的'恒等变形。
由此，只有具备平方差公式特征的多项式（即是二项式）才能用平方差公式分解因式，否则，不能用平方差公式分解因式。
同学们判断以下两道题目能用平方差公式分解因式吗？学习例1.例1.把下列各式分解因式。
（1）25-16x2（2）9(m+n)2-(m-n)2由于是20分钟的微课，所以我对例题进行了删减与重组。
一个是公式的a,b 代表单项式的题目，一个代表多项式的题目。
讲解时先分析，分清公式里的a,b 是题中的哪一项。
（1）让学生尝试去做，（2）老师一边板书一边讲解。
讲完之后师引导学生总结：（1）公式里的两个数指的是a,b而不是a2,b2 （2）其中a,b可以是单项式，也可以是多项式（3）分解因式必须分解到不能再分解为止。
并结合具体例子给学生强调，刚好以上两个例题中有这个问题的体现。
为了检验同学们学的如何，老师再随机出一题：9a2-0.25b2正如我所预想的，学生很快集体口答出了结果。
因式分解的五个公式
因式分解的五个公式导读a-b)2、完全平方公式a²+2ab+b²=(a+b)²3、立方和公式a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)4、立方差公式a& ...因式分解有哪些公式?因式分解八大公式如下：1、平方差公式a²-b²=(a+b)(a-b)2、完全平方公式a²+2ab+b²=(a+b)²3、立方和公式a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)4、立方差公式a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)5、完全立方和公式a³+3a²b+3ab²+b³=(a+b)³6、完全立方差公式a³-3a²b+3ab²-b³=(a-b)³7、三项完全平方公式a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)²8、三项立方和公式a³+b³+c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ac)平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)推导过程：a²-b²=a²+ab-(b²+ab)=a(a+b)-b(a+b)=(a+b)(a-b)说明：这里推导过程使用了后面的课程添项折项法（添项），这个因式分解添加了ab一项，构造了a+b的公因式，同学们也可以自己试试，添加-ab，也是一样的。
应该问哪些方法！常见的有：（1）提取公因式法（2）公式法（3）十字相乘法（4）分组分解法……因式分解的方法因式分解八大公式如下：1、平方差公式a²-b²=(a+b)(a-b)2、完全平方公式a²+2ab+b²=(a+b)²3、立方和公式a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)4、立方差公式a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)5、完全立方和公式a³+3a²b+3ab²+b³=(a+b)³6、完全立方差公式a³-3a²b+3ab²-b³=(a-b)³7、三项完全平方公式a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)²8、三项立方和公式a³+b³+c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ac)因式分解原则：1.因式分解因子是多项式的常数变形，要求方程的左边必须是多项式。
8用平方差公式分解因式
3
x2
y3
2
0.1z 2
4
3 x2 y3 0.1z 3 x2 y3 0.1z
4
4
附：判断
m2 4k2 m2 2k 2
m 4km4k
22
用平方差公式进行简便计算:
1) 38²-37² 2) 213²-87² 3) 229²-171² 4) 91×89
a4 a2b2
解二：原式 a2 2 ab2
a2 aba2 ab
aa b aa b
a2 a ba b
哪种方 法好些？
多项式
分解因式的结果
（1） a2 4 a 2a 2
（2） （3） （4）
16 x2
当我们进行因式分解时，
一、如果多项式各项含有公 因式，一般先提出公因式；
二、分解因式必须分解到每一 个因式都不能再分解为止。
1 1 a 2b2 4
xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ y2 9m2
4 x4 x
1 1 ab1 1 ab 2 2
x y3mx y3m
在如图所示的圆环中，外圆半径R=9.5cm， 内圆半径r=8.5cm，求圆环（阴影部分）的面积 （取3.14，结果保留三个有效数字）
分析：圆环（阴影部分）的
r
面积= S大圆面积 S小圆面积
R
R2 r 2
R2 r 2
R rR r
小结
1、因式分解的一个重要工 具————平方差公式
2、我们在进行因式分解时 应注意的问题
运用平方差公式分解因式
a2 b2 a ba b
a2 b2 a ba b
4.3.利用平方差公式进行因式分解(教案)-
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与平方差公式相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，通过分解不同的二次多项式来演示平方差公式的应用。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了平方差公式的概念、重要性及应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对平方差公式的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决数学问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
不过，我也注意到，对于一些学生来说，将理论知识应用到具体问题中仍然是一个挑战。在实践活动和小组讨论中，我观察到有的小组在解决问题时还是显得有些犹豫不决。这让我意识到，我需要在未来的教学中，更多地设计一些循序渐进的练习，帮助学生巩固知识，提高他们解决实际问题的能力。
此外，我也在思考如何让总结回顾环节更加高效。今天的教学结束时，虽然我邀请学生提问，但响应并不热烈。我考虑在下次课中，尝试让学生自己来总结今天的学习内容，或许这样可以提高他们的参与度和思考的积极性。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《利用平方差公式进行因式分解》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在解数学题时是否遇到过需要将一个二次多项式分解成两个一次多项式的乘积的情况？”（如x² - 4）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索平方差公式的奥秘。
用完全平方差公式因式分解
x2 x1
4
(4)4x2 2xy y2
练一练：按照完全平方公式填空：
(1) a2 10a ( 25 ) ( a 5 )2
(2) ( a2 y2) 2ay 1 ( ay 1 )2
(3) 1 ( rs ) r 2s2 ( 1 rs )2
4
2
平方差公式法和完全平方公式法统称公式法。 平方差公式法：适用于平方差形式的多项式 完全平方公式法：适用于完全平方式
用完全平方公式分解因式的关键是：在判断一个多项式 是不是一个完全平方式。 做一做：下列多项式中，哪些是完全平方式？
(1) a2 4a 4 (2) (3) m2n2 4 4mn
2 (3)a 2a 1
2 (4)4 x 4 x 1
(5)ax2 2a2 x a3
(6) 3x2 6xy 3y2
(7) (a+b)4-10(a+b)2+25
例2.用简便方法运算。
(1)2006 2 62 (2)132 213 3 9 (3)112 39 2 66 13
分解因式4x2-9 =(2x)2-32=(2x+3)(2x-3)
能用平方差公式进行因式分解的多项式有 什么特点？
(1)两项 (2)平方差
下面的多项式能用平方差公式分解因式吗？ (1) a2＋2ab＋b2 (2) a2－2ab＋b2
完全平方公式： 完全平方公式
(a＋b)2 = a²＋2ab＋ b² 反过来就是：
已知a、b、c是三角形的三边,请你判断 a2-b2+c2-2bc的值的正负
解： a2-b2+c2-2bc=a2-(b+c)2
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如图，在边长为6.8cm 正方形钢板上，挖去4个边 长为1.6cm的小正方形，求 剩余部分的面积。
考考你
你知道992-1能否被100整除吗？ 说说你是怎么想的？
1 ）a2－82 = (a+8) (a －8) 看（1 谁 2 －y2 =(4x+y) (4x －y) （ 2 ） 16x 2 快 1 2 又 (3) 3 － y + 4x2=(2x + 1 y) (2x － 1 y) 9 对 3 3
(4) 4 4k2 －25m2n2 =(2k+5mn) (2k －5mn)
例1：把下列各式分解因式： (1) 16a2-9b2 (2) 9(a+b)2-4(a-b)2 (3) (x+p)2-(x+q)2
牛刀小试(一）
把下列各式分解因式： 1 2 2 y ①x 16 ② 0.25m2n2 – 1
③ (2a+b)2 - (a+2b)2
④ 25(x+y)2 - 16(x-y)2
知识探索
平方差公式：
（a+b)(a-b)=a2-b2 a2-b2= (a+b)(a-b)
整式乘法
因式分解
这种分解因式的方法称为公式法。
平方差公式：
2 2 + (a b)(a b) = a - b
整式乘法
两个数的和与两个数的差的乘积， 等于这两个数的平方差。
a - b = ( a+ b)( a -分解，哪些不是，为什么？ 1．(2x-1)2=4x2-4x+1 否 2. 3x2＋9xy－3x＝3x(x＋3y－1)
3．4x2-1-4xy+y2=(2x+1)(2x-1)-y(4x-y)
4 . a2 + a - 2 = a ( a +12 a
2 2
因式分解
两个数的平方差，等于这两个数 的和与这两个数的差的乘积.
-b a ▲
2
2
= (a ▲ + b )( a b) ▲
（１）公式左边：（是一个将要被分解因式的多项式）
★被分解的多项式含有两项，且这两项异号， 并且能写成（ ）２－（ ）２的形式。
(2) 公式右边:
（是分解因式的结果）
★分解的结果是两个底数的和乘以两个底数 的差的形式。
)
是 否 否
把下列各式进行因式分解 1. a3b3-a2b-ab ab(a2b2-a-1)
2. -9x2y+3xy2-6xy -3xy(3x-y+2)
比一比
• 和老师比一比，看谁算的又快又准确！
322-312 8 2- 7 2 ( 15 ) ( ) 15
682-672 5.52-4.52
在横线内填上适当的式子，使等式成立： （1）（x+5)(x-5)= （2）（a+b)(a-b)= （3） x2-25 = (x+5)( （4） a2-b2 = (a+b)( x2-25 a2-b2 x-5 a-b ; ; ); )。
a2 － b2= (a ＋ b) (a － b)
下列多项式能转化成（ ）２－（ ）２的形式吗？ 如果能，请将其转化成（ ）２－（ ）２的形式。
(1) m2 －1 = m2 －12 (2)4m2 －9 (3)4m2+9 = (2m)2 －32 不能转化为平方差形式
(4)x2 －25y 2 ＝ x2 －(5y)2
分解因式：
1. 4x3 - 4x
2. x4-y4
解：1. 4x3-4x=4x(x2-1)=x(x+1)(x-1) 2. x4-y4=(x2+y2) (x2-y2)=(x2+y2)(x+y)(x-y) 结论： 分解因式的一般步骤：一提二套 多项式的因式分解要分解到不能再分解为止。
a2 - b2=(a+b)(a - b)
(5) －x2 －25y2 不能转化为平方差形式
(6) －x2+25y2 = 25y2－x2 =(5y)2 －x2
铺路之石
填空：
（1） 1 ＝（
36
±
1 )2 ; 6
(2) 0.81＝（ ±
0.9
) 2;
（3）9m2 ＝ ( ±
(5) 4(a-b)2=[ ± (6)
1 2=[ (x+y) 16
3m )2;
牛刀小试（二）
• 利用因式分解计算：
（1）2.882-1.882；
（2）782-222。
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解决问题
例2：如图，求圆环形绿地的面积。
不信难不倒你！
用你学过的方法分解因式： 方法：
4x3 - 9xy2
先考虑能否用提取公因式法，再考虑能否用 平方差公式分解因式。 结论： 多项式的因式分解要分解到不能再分解为止。
1 4
(4) 25a2b2=(±
5ab )2;
2; ] 2(a-b)
±
(x+y) ]2。
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做一做
你能试着把下列各式分解因式吗？
（1）a2-16 ＝a2-( 4 )2 ＝（a+4)(a-4)
（2）64-b2 ＝( 8 ) 2-b2＝（8+b)(8-b)
a2 － b2= (a ＋ b) (a － b) 把下列各式分解因式：
a -b
2
2
= ( a + b )( a - b )
2 - ( 3xy) 2 = 22 （(x+z) 2mn ） 2 2 (y+p) 2006 －2005 ==
结论： 公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多 项式，只要被分解的多项式能转化成平方差 的形式，就能用平方差公式因式分解。
解决问题
在使用平方差公式分解因式时，要 注意： 先把要计算的式子与平方差公式对照, 明确哪个相当于 a , 哪个相当于 b.