高考概率大题及答案

高考概率大题及答案

【篇一：2015年高考数学概率与统计试题汇编】4．为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该

社区5户家庭，得到如下统计数据表：

??a??0.76,a? ，据此估计，??bx? ，其中b???根据上表可得回归

直线方程y

该社区一户收入为15万元家庭年支出为( )

a．11.4万元 b．11.8万元c．

12.0万元 d．12.2万元

【答案】b

考点：线性回归方程．

13．如图，点

a 的坐标为?1,0? ，点c 的坐标为?2,4? ，函数f?x??x2 ，若在矩

形abcd 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于．

【答案】5 12

【解析】

试题分析：由已知得阴影部分面积为4??x2dx?4?1275?．所以此

点取自阴影33

5

5部分的概率等于?． 412考点：几何概型．

16．某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，

该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的

密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确，则结束

尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定. (Ⅰ)求当天小王的该银

行卡被锁定的概率；

(Ⅱ)设当天小王用该银行卡尝试密码次数为x，求x的分布列和数学

期望．

15【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)分布列见解析，期望为． 22

【解析】

试题分析：(Ⅰ)首先记事件“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为a．则银行

3卡被锁死相当于三次尝试密码都错，基本事件总数为a6?6?5?4，事件a包含

3的基本事件数为a5?5?4?3，代入古典概型的概率计算公式求解；(Ⅱ)列出随

机变量x的所有可能取值，分别求取相应值的概率，写出分布列求期望即可．试题解析：（Ⅰ）设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为a，

5431= 则p(a)=6542

（Ⅱ）依题意得，x所有可能的取值是1，2，3

151又p(x=1)=,p(x=2)=?6651542,p(x=3)=

1=. 6653

所以x的分布列为

所以e(x)=1?1122?3?6635． 2

考点：1、古典概型；2、离散型随机变量的分布列和期望．

2015江苏理科

5.袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从

中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________. 【答案】5

. 6

考点：古典概型概率

2015年重庆理科

17．（本小题满分13分，（1）小问5分，（2）小问8分）

端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个。

（1）求三种粽子各取到1个的概率；

（2）设x表示取到的豆沙粽个数，求x的分布列与数学期望

【答案】（1）13；（2）分布列见解析，期望为． 45

【解析】

试题分析：（1）本题属于古典概型，从10个棕子中任取3个，基本事件的总数

3111为c10，其中事件“三种棕子各取1个”含基本事件的个数为

c2c3c5，根据古典概型概率计算公式可计算得所求概率；（2）由于10个棕子中有2个豆沙棕，因此x的可能分别为0,1,2，同样根据古典概型概率公式可得相应的概率，从而列

3出其分布列，并根据期望公式求得期望为． 5

试题解析：(1)令a表示事件“三个粽子各取到1个”，则由古典概型

的概率计算公式有

111c2c3c51p(a)==； 3c104

(2)x的所有可能取值为0，1，2，且

31221c8c2c8c2c771p(x=0)=3=,p(x=1)=3=,p(x=2)=38=,

c1015c1015c1015

综上知，x的分布列为

故e(x)=0?7711?2?1515153． 5

考点：古典概型，随机变量的颁布列与数学期望．

2015北京理科

16.（本小题13分）

a，b两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：

a组：10，11，12，13，14，15，16

b组：12，13，15，16，17，14，a

假设所有病人的康复时间互相独立，从a，b两组随机各选1人，a

组选出的人记为甲，b组选出的人记为乙．

(Ⅰ) 求甲的康复时间不少于14天的概率；

(Ⅱ) 如果a?25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；

(Ⅲ) 当a为何值时，（结论不要求证明） a，b两组病人康复时间的方差相等？

310【答案】（1），（2），（3）a?11或18

749

2015广东理科数学

17．（本小题满分12分）

（1）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一

分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；（2）计算（1）中样本的平均值和方差s2；

（3）36名工人中年龄在?s与?s之间有多少人？所占的百分比是

多少（精确到0.01％）？

【篇二：概率高考题(有答案)】

xt>某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数x依次为1、2、3、4、5。现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行

统计分析，得到频率分布表如下：

（Ⅰ）若所抽取的5的恰有2

件；求a、b、c的值。

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，将等级系数为4的3件记为x1、x2、x3，等级系数为5的2

件记为y1、y2。现从这五件日用品中任取2件（假定每件日用品被

取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这两件日用品的

等级系数恰好相等的概率。

19．本小题主要考查概率、统计等基础知识，考查数据处理能力、

运算求解能力、应用意识，

考查函数与方程思想、分类与整合思想、必然与或然思想，满分12分。解：（i）由频率分布表得a?0.2?0.45?b?c?1,即a+b+c=0.35，因为抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，所以b?等

级系数为5的恰有2件，所以c?所以a?0.1,b?0.15,c?0.1.

（ii）从日用品x1,x2,y1,y2中任取两件，所有可能的结果为：

{x1,x2},{x1,x3},{x1,y1},{x1,y2},{x2,x3},{x2,y1},{x2,y2},{x3,y1},{x3 ,y2},{y1,y2}，

220

320

?0.15,

?0.1，从而a?0.35?b?c?0.1

设事件a表示“从日用品x1,x2,x3,y1,y2中任取两件，其等级系数相等”，则a包含的基本事件为：

{x1,x2},{x1,x3},{x2,x3},{y1,y2}共4个，又基本事件的总数为10，

故所求的概率p(a)?

410

?0.4.

17.（本小题满分13分）

为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂

生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中微量元素x，y的

含量（单位：毫克）.下表是乙厂的5件产品的测量数据：

（1）已知甲厂生产的产品共98件，求乙厂生产的产品数量；

（2）当产品中的微量元素x，y满足x≥175且y≥75时，该产品为

优等品，用上述样本数据估

计乙厂生产的优等品的数量；

（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随即抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数?的分

布列及其均值（即数学期望）.

解:(1)乙厂的产品数量为

(2)从乙厂抽取的

:9814

?5?35;

,

5件产品中,编号为2,5的产品是优等品优等品的数量为

c3c

2

故可估计出乙厂生产的(3)?可以取值 :

25

?35?14;

c2c3c

251

1

?610

,p(??2)?

c2c

2

:0,1,2 ,p(??0)?

:

25

?

310

,p(??1)?

25

?

110

,

故?其分布列为

310

610

?2?

110

??的数学期望为

?45.

e(?)?0??1?

18. 某商店试销某种商品20天，获得如下数据：

试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变），设某天开

始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少

于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，．．．．．将频率

视为概率。

(Ⅰ）求当天商品不进货的概率；．．．

（Ⅱ）记x为第二天开始营业时该商品的件数，求x的分布列和数

学期望。

解析：（i）p（“当天商店不进货”）=p（“当天商品销售量为0件”）+p（“当天商品销售量1

件”）=

120?520

?310

。

（ii）由题意知，x的可能取值为2，3.

p(x?2)?p(当天商品销售量为1件)?

520

?14

；

p(x?3)?p(当天商品销售量为0件)+p(当天商品销售量为2件)+p(当

天商品销售量为3件)?

120+920+520

?34

故x的分布列为

14+3?

34=114

x的数学期望为ex?2?。

19．（本小题满分12分）

某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称

为品种家和品种

乙）进行田间试验．选取两大块地，每大块地分成n小块地，在总

共2n小块地中，随机选n小块地种植品种甲，另外n小块地种植品

种乙．

（i）假设n=4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为x，求x的分布列和

数学期望；

（ii）试验时每大块地分成8小块，即n=8，试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地

上的每公顷产量（单位：kg/hm2）如下表：

应该种植哪一品种？

附：样本数据x1,x2,???,xn的的样本方差s2?中为样本平均数． 19．解：

（i）x可能的取值为0，1，2，3，4，且

即x的分布列为

p(x?0)?

1n

[(x1?x)?(x2?x)?????(xn?x)]

2

2

2

，其170?

2

1c8

14

?

3

,8

p(x?1)?

c4c4c8

24

35

,

p(x?2)?

c4c4c

34

81

?

1835835.

,

??????4分

x的数学期望为

e(x)?0?

170

?1?

835

?2?

1835

?3?

835

?4?

170

?2. ?

p(x?3)?p(x?4)?

c4c4c1c8

448

?1

,

?

70

?????6分

（ii）品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：

x甲?s甲?

1818

(403?397?390?404?388?400?412?406)?400,

(3?(?3)?(?10)?4?(?12)?0?12?6)?57.25.

2

2

2

2

2

2

2

2

??????8分品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：x乙?s乙?

2

1818

(419?403?412?418?408?423?400?413)?412,

(7?(?9)?0?6?(?4)?11?(?12)?1)?56.

2

2

2

2

2

2

2

2

??????10分

由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙.

20．（本小题满分13分）

如图，a地到火车站共有两条路径l1和l2，据统计，通过两条路径

所用的时间互不影响，所用时间落在个时间段内的频率如下表：

现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站．

（1）为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如

何选择各自的路径？（2）用x表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对（1）的选择方案，求x的分布列和数学期

望 . 【分析】（1）会用频率估计概率，然后把问题转化为互斥事件

的概率；（2）首先确定x的取值，然后确定有关概率，注意运用对

立事件、相互独立事件的概率公式进行计算，列出分布列后即可计

算数学期望．

【解】（1）ai表示事件“甲选择路径li时，40分钟内赶到火车站”，bi表示事件“甲选

择路径li时，50分钟内赶到火车站”，i?1，2．用频率估计相应的

概率，则有：

p(a1)?0.1?0.2?0.3?0.6，p(a2)?0.1?0.4?0.5；

∵p(a1)?p(a2)，∴甲应选择路径l

1；

p(

b1

)?0.1?0.2?0.3?0.2?0.8，p(b2)?0.1?0.4?0.4?0.9；

∵p(b2)?p(b1)，∴乙应选择路径l2．

（2）用a，b分别表示针对（1）的选择方案，甲、乙在各自允许

的时间内赶到火车站，由（1）知p(a)?0.6，p(b)?0.9，又事件a，b 相互独立，x的取值是0，1，2，

∴p(x?0)?p(ab)?p(a)?p(b)?0.4?0.1?0.04，

p(x?1)?p(ab?ab)?p(a)p(b)?p(a)p(b)?0.4?0.9?0.6?0.1?0.42

p(x?2)?p(ab)?p(a)?p(b)?0.6?0.9?0.54，

∴x的分布列为

∴ex?0?0.04?1?0.42?2?0.54?1.5． 18．（本小题共l2分）

本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行

车租车点的收费标准是每车每次租车不超过两小时免费，超过两小

时的部分每小时收费标准为2元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙人互相独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为车的概率分别为

12

14

、

12

；两小时以上且不超过三小时还

、

14

；两人租车时间都不会超过四小时．

（Ⅰ）求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；

（Ⅱ）设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量?，求?的分布列和数学期望e?．本小题主要考查相互独立事件、随机变量的分布列、数学期望等概念及相关计算，考查运用所学知识和方法解决实

际问题的能力．

解：（Ⅰ）依题意得，甲、乙在三小时及以上且不超过四小时还车

的概率分别为记“甲、乙两人所付的租车费用相同”为事件a，则p(a)?答：甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为（Ⅱ）?可能的取值有0,2,4,6,8．

p(??0)?p(??6)?

18

14

516

14?12?12?14?14?1414?

、

516

14

．

．

．

；p(??2)?

?

111151111115

；p(??4)???????????

44221644242416

1113111

；p(??8)???． ???

424164416

；

甲、乙两人所付的租车费用之和?的分布列

18?2?

?4?

516

?6?

?8?

116

?72

5

316

．

所以e??0?

16

【篇三：关于高考概率解答题的题型和方法】

txt>陈鹏

高考概率解答题是高考的六道大题之一，也是难点之一.由于其题型

变化多端，故很多学生经常容易混杂，甚至束手无策.本文旨在通过

题型分析，形成一套完整的体系构架，从而使学生胸有成竹，对概

率题答题有个更全面的认识和掌握.

概率解答题表面上大致可以分为两种类型：给出任务概率，未给出

任务概率.一般情况下两类型对应两种不同的方法，但也有例外.

例一某次考试有十道选择题，每道5分.a同学确定能答对其中的四道，另外有三道题都能排除一个选项，有两道题都能排除两个选项，有一道题无法排除任何选项.a同学十道题都答上了，问选择题中他

能答对25分的概率为多少？

分析：此题未给出任务概率，但其方法却是对应给出任务概率的.问

题在于“选”.未给出任务概率的题型一般情况下都是涉及到排列组合

问题，有总体和个体选择之分.但此题的关键在于，十道题每道题都

做了，没有选哪些个体的问题，故不属于排列组合问题.有三道题每

道题能答对的概率为

为11，有两道题每道题能答对的概率为，有一道题能答对的概率321，已知肯定能得到的成绩为20分，只要再对一道即可，故答对25分的概率为4

1211211121113??()2?()2??2?()3????()3?()2??. 3324322432412故我们分题型时不能只看有没有给出任务概率.不妨将题型分为“全选”与“部分选”. 1 全选

直接给出任务概率的题型必然属于这类型，未给出任务概率的需要先判别一下是否“全选”.

1.1 直接给出任务概率

当主体是单个时，讨论相对简单.当主体为多个时，需要抓住问题的关键.而这个关键就是独立重复试验.独立重复试验是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验.判断是否为独立重复试验的关键是每次试验事件a的概率不变，并且每次试验的结果同其他各次试验的结果无关，重复是指试验为一系列的试验，并非一次试验，而是多次，但要注意重复事件发生的概率相互之间没有影响.

1.1.1单个主体

此类题型主要看有没有限定条件.

3，则5次投篮中命中3次的概率为多少？ 4

13533312分析：满足独立重复试验.命中3次的概率为c5()() ?. 44512

3例三甲进行投篮练习，命中率为，则5次投篮中前3次命中的概率为多少？ 4例二甲进行投篮练习，命中率为

分析：有限定条件，故不满足独立重复试验，应逐一写明任务概率.前3次命中的概率为()()?3

431

4227. 1024

1.1.2 多个主体

此类题型主要看各个主体相应的任务概率是否统一.

例四甲、乙进行投篮练习，命中率都为3，若甲、乙各投篮两次，问两人共命中两次4

的概率为多少？

分析：可看成只有一人投篮4次，满足独立重复试验，故两人共命中两次的概率为

2723212c4()()?. 44128

例五甲、乙进行投篮练习，命中率分别为32和，若甲、乙各投篮

两次，问两人共命43

中两次的概率为多少？

分析：虽然不能看成一人投篮，但甲、乙内部还是分别满足独立重

复试验，分布完成.共命中的两次可能有：（1）甲两次；（2）乙两次；（3）甲一次乙一次.故两人共命中两次的概率为

[c2?()?()]?()?()?[c2()()]?(c2?

1.2 未给出任务概率但无选择问题

例一已经阐释.

2 部分选此类题型的概率一般为23421401321422232130131331121?)?(c2??)?. 44331728符合条

件的情况(若碰到“至多”或者“至少”问题时不妨考总的情况

虑用“1-不符合条件的情况”).而“情况”分为可数和不可数. 总的情况

2.1 可数

当情况比较有限，可以一一枚举时，认为是可数的.

例六掷两次骰子，则两次点数之和为7的概率为多少？

分析：符合条件的有：（1,6），（6,1），（2,5），（5,2），

（3,4），（4,3）.共6种可能.故两次点数之和为7的概率为61=.

6?66

2.2 不可数

此时主要就是排列组合问题了.

例七甲盒中有1个红球和3个黑球，乙盒中有2个红球和4个黑球，现从甲、乙两盒中各任取两球，则共取出2个红球的概率为多少？

22分析：总的情况为c4c6.第一种符合条件的情况为甲、乙盒中各

取1红1黑.第二种情

111123c1c3c2c4?c32c2=况为甲盒中取2黑，乙盒中取2红.故共

取出2个红球的概率为. 2210c4c6