高三一轮总复习材料(全部知识点)

不等式(建议用时：40分钟)一、选择题1．若a ＞b ＞0，则( )．A ．a 2c ＞b 2c (c ∈R ) B.b a ＞1 C ．lg(a －b )＞0D.()12a＜()12b2．关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2＜0(a ＞0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a 等于( )．A.52 B.72 C.154D.1523．“x ＞y ＞0”是“xy＞1”的( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2≥0，x －y －1≤0，x －2y ＋2≥0，则x ＋y 的最大值为( )．A ．4B ．5C ．6D ．75．若x ∈(e －1,1)，a ＝ln x ，b ＝(12)ln x ，c ＝e ln x ，则a ，b ，c 的大小关系是( )．A ．c ＞b ＞aB ．b ＞c ＞aC ．a ＞b ＞cD ．b ＞a ＞c6．若正数x ，y 满足x 2＋3xy －1＝0，则x ＋y 的最小值是( )．A.23B.223 C.33D.2337．若存在x 使不等式x －mex ＞x 成立，则实数m 的取值范围为( )．A ．(－∞，－1e )B ．(－1e ，e)C ．(－∞，0)D ．(0，＋∞)8．已知O 是坐标原点，点A (－1,1)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0上的一个动点，则|AM |的最小值是( )．A.355B. 2C. 5D.139．已知不等式x ＋2x ＋1＜0的解集为{x |a ＜x ＜b }，点A (a ，b )在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn ＞0，则2m ＋1n 的最小值为( )． A ．4 2 B ．8 C ．9D ．1210．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ＞0，－x 2＋4x ，x ≤0，若|f (x )|≥ax －1恒成立，则实数a 的取值范围是( )．A ．(－∞，－6]B ．[－6,0]C ．(－∞，－1]D ．[－1,0]二、填空题11．不等式x ＋5(x －1)2≥2的解集是__________．12．若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是________． 13．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0，且目标函数z ＝kx ＋y 的最大值为11，则实数k ＝________.14．已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(bc ＞0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1c的最小值是________．15．已知O 是坐标原点，点M 的坐标为(2,1)，若点N (x ，y )为平面区域⎩⎨⎧x ＋y ≤2，x ≥12，y ≥x上的一个动点，则OM →·ON→的最大值是__________．参考答案一、选择题1．解析 取a ＝2，b ＝1，c ＝0验证可得D 正确．答案 D 2．解析 由题意知x 1，x 2为方程x 2－2ax －8a 2＝0的两个根，∴x 1＋x 2＝2a ，x 1·x 2＝－8a 2，∴|x 2－x 1|＝(x 2＋x 1)2－4x 1x 2＝4a 2＋32a 2＝15. 又a ＞0，解得a ＝52.答案 A3．解析 x y ＞1⇔(x －y )y ＞0，由x ＞y ＞0，得(x －y )＞0，y ＞0，所以x ＞y ＞0⇒x y ＞1，具有充分性．由xy ＞1，得⎩⎨⎧ x ＞y ，y ＞0或⎩⎨⎧x ＜y ，y ＜0，所以xy ＞1⇒/ x ＞y ＞0，不具有必要性，故选A.答案 A4．解析 画出可行域(如图)，目标函数向上平移至点A 时，取得最大值，由⎩⎨⎧x －y －1＝0x －2y ＋2＝0得A (4,3)，∴(x ＋y )max ＝4＋3＝7.答案 D5．解析 ∵x ∈(e －1,1)，∴－1＜ln x ＜0,1＜(12)ln x ＜2，1e ＜e ln x ＜1，∴b ＞c ＞a .答案 B6．解析 对于x 2＋3xy －1＝0可得y ＝13(1x －x )，∴x ＋y ＝2x 3＋13x ≥229＝223(当且仅当2x 3＝13x ，即x ＝22时等号成立)．答案 B7．解析 依题意得，关于x 的不等式x －me x ＞x ，即－m ＞e x x －x 有解．记f (x )＝e x x －x (x ≥0)，则f ′(x )＝e x ⎝⎛⎭⎫x ＋12x －1≥e x ×2x ×12x－1＝2e x －1＞2－1＞0(x ＞0)，因此函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数，f (x )的最小值是f (0)＝0，于是有－m ＞0，m ＜0，实数m 的取值范围是(－∞，0)． 答案 C8．解析 依题意，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合图形可知，|AM |的最小值等于点A (－1,1)到直线2x ＋y －2＝0的距离，即等于|2×(－1)＋1－2|22＋12＝355. 答案 A9．解析 易知不等式x ＋2x ＋1＜0的解集为(－2，－1)，所以a ＝－2，b ＝－1,2m ＋n ＝1，2m ＋1n ＝(2m ＋n )(2m ＋1n )＝5＋2m n ＋2n m ≥5＋4＝9(当且仅当m ＝n ＝13时取等号)，所以2m ＋1n 的最小值为9. 答案 C10．解析 在同一直角坐标系下作出y ＝|f (x )|和y ＝ax －1的图象如图所示，由图象可知当y ＝ax －1与y ＝x 2－4x 相切时符合题意，由x 2－4x ＝ax －1有且只有一负根，则Δ＝0且a ＋42<0，得a ＝－6，绕点(0，－1)逆时针旋转，转到水平位置时都符合题意，所以a ∈[－6,0]． 答案 B 二、填空题11．解析 ∵(x －1)2≥0且x ≠1，∴x ＋5(x －1)2≥2⇔x ＋5≥2(x －1)2且x ≠1⇔2x 2－5x －3≤0且x ≠1，解得－12≤x ＜1或1＜x ≤3.答案 [－12，1)∪(1,3]12．解析 x 2＋y 2＋xy ＝1⇔(x ＋y )2－xy ＝1⇔(x ＋y )2－1＝xy ≤(x ＋y 2)2， 解得－233≤x ＋y ≤233.答案23313．解析 画图后易知，目标函数在点(2,3)处取到最大值11，所以2k ＋3＝11，即k ＝4. 答案 4 14．解析 依题意得，题中的圆心坐标是(0,1)，于是有b ＋c ＝1，4b ＋1c ＝(4b ＋1c )(b ＋c )＝5＋4c b ＋bc≥5＋24c b ×bc＝9，当且仅当⎩⎨⎧b ＋c ＝1(bc ＞0)，4c b ＝b c ，即b ＝2c ＝23时取等号，因此4b ＋1c的最小值是9. 答案 915．解析 OM →·ON →＝2x ＋y ，如图：当直线2x ＋y ＝z 经过点(1,1)时，达到最大值，z max ＝3.答案 3三角函数与三角恒等变换(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知cos(π2＋α)＝35，且α∈(π2，3π2)，则tan α＝( )．A.43 B.34 C ．－34D ．±342．已知α是第四象限的角，若cos α＝35，则tan2α＝( )．A.157B.167C.207D.2473．已知sin 2α＝13，则cos 2()α－π4＝( )．A ．－13B ．－23C.13D.234．函数f (x )＝3sin2x ＋cos2x 图象的一条对称轴方程是( )．A ．x ＝－π12B ．x ＝π3C ．x ＝5π12D ．x ＝2π35．将函数f (x )＝22sin 2x ＋62cos2x 的图象向右平移π4个单位得到函数g (x )的图象，则g ()π4＝( )．A.62B ．－1 C. 2D ．26．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)()ω＞0，－π2<φ＜π2的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )．A ．2，－π3B ．2，－π6C ．4，－π6D ．4，π37．函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的最小正周期为π，若其图象向右平移π3个单位后关于y 轴对称，则( )．A ．ω＝2，φ＝π3B ．ω＝2，φ＝π6C ．ω＝4，φ＝π6D ．ω＝2，φ＝－π68．已知函数f (x )＝A sin ωx (A ＞0，ω＞0)的最小正周期为2，且f (16)＝1，则函数y ＝f (x )的图象向左平移13个单位后所得图象的函数解析式为( )． A ．y ＝2sin(πx ＋π3)B ．y ＝12sin(πx －π3)C ．y ＝2sin(πx ＋13)D ．y ＝12sin(πx －13)9．设函数f (x )＝3sin(2x ＋φ)＋cos(2x ＋φ)()|φ|＜π2，且其图象关于直线x ＝0对称，则( )．A ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在(0，π2)上为增函数B ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在(0，π2)上为减函数C ．y ＝f (x )的最小正周期为π2，且在(0，π4)上为增函数D ．y ＝f (x )的最小正周期为π2，且在(0，π4)上为减函数10．关于函数f (x )＝2(sin x －cos x )cos x 的四个结论：P 1：最大值为2；P 2：把函数f (x )＝2sin(2x )－1的图象向右平移π4个单位后可得到函数f (x )＝2(sin x －cos x )cos x 的图象；P 3：单调递增区间为[]k π＋7π8，k π＋ 11π8(k ∈Z )； P 4：图象的对称中心为()k 2π＋π8，－1(k ∈Z )． 其中正确的结论有( )． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个二、填空题11．若sin ()π3－α＝14，则cos ()π3＋2α＝________.12．已知角2α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点⎝⎛⎭⎫－12，32，2α∈[0,2π)，则tan α＝________.13．函数y ＝tan ωx (ω＞0)与直线y ＝a 相交于A ，B 两点，且|AB |最小值为π，则函数f (x )＝3sin ωx －cos ωx的单调增区间是__________．14．已知1－cos 2αsin αcos α＝1，tan(β－α)＝－13，则tan(β－2α)＝________.15．设函数f (x )＝3sin (ωx ＋φ)(ω＞0，－π2＜φ＜π2)的图象关于直线x ＝2π3对称，它的周期是π，则下列说法正确的是______．(填序号)①f (x )的图象过点()0，32；②f (x )在[]π12，2π3上是减函数；③f (x )的一个对称中心是()5π12，0；④将f (x )的图象向右平移|φ|个单位得到函数y ＝3sin ωx 的图象．参考答案一、选择题1．解析 因为cos(π2＋α)＝35，所以sin α＝－35，显然α在第三象限，所以cos α＝－45，故tan α＝34. 答案 B2．解析 由cos α＝35，α在第四象限得tan α＝－43，从而tan2α＝2tan α1－tan 2 α＝2×(－43)1－(－43)2＝247. 答案 D3．解析 ∵cos 2()α－π4＝1＋cos ()2α－π22＝1＋sin 2α2，∴cos 2()α－π4＝23. 答案 D4．解析 f (x )＝2(32sin2x ＋12cos2x )＝2sin ()2x ＋π6，由2x ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π2＋π6，k ∈Z ，令k ＝1，得x ＝2π3. 答案 D5．解析 由于f (x )＝22sin 2x ＋62cos 2x ＝2sin ()2x ＋π3，其图象向右平移π4个单位后得到g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2()x －π4＋π3的图象， ∴g ()π4＝2sin ⎣⎡⎦⎤2()π4－π4＋π3＝2sin π3＝62.答案 A6．解析 由图知34T ＝5π12－(－π3)＝3π4，T ＝π，则ω＝2πT ＝2.注意到函数f (x )在x ＝5π12时取到最大值，则有2×5π12＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，而－π2＜φ＜π2，故φ＝－π3.答案 A7．解析 由2πω＝π，得ω＝2，因为将f (x )的图象向右平移π3个单位后得g (x )＝sin(2x －2π3＋φ)的图象，又g (x )为偶函数，所以－2π3＋φ＝k π＋π2，(k ∈Z )，又|φ|＜π2，取k ＝－1，得φ＝π6. 答案 B8．解析 由最小正周期为2，得2πω＝2，则ω＝π，又f ()16＝1，所以A sin π6＝1，A ＝2，所以f (x )＝2sin πx ，将函数y ＝f (x )的图象向左平移13个单位后得到y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤π()x ＋13＝2sin()πx ＋π3的图象．答案 A 9．解析 f (x )＝3sin(2x ＋φ)＋cos(2x ＋φ)＝2sin ()2x ＋π6＋φ，∵图象关于x ＝0对称，∴π6＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，φ＝π3＋k π(k ∈Z )，又∵|φ|＜π2，∴φ＝π3，f (x )＝2cos 2x .其最小正周期T ＝2π2＝π，且在()0，π2上单调递减．答案 B10．解析 因为f (x )＝2sin x cos x －2cos 2x＝sin 2x －cos 2x －1＝2sin ()2x －π4－1. 所以最大值为2－1，故P 1错误．将f (x )＝2sin 2x －1的图象向右平移π4个单位后得到f (x )＝2sin 2()x －π4－1＝2sin ()2x －π2－1的图象，故P 2错误．由－π2＋2k π≤2x －π4≤π2＋2k π，得－π8＋k π≤x ≤3π8＋k π，k ∈Z ，即增区间为[]－π8＋k π，3π8＋k π(k ∈Z )，故P 3正确．由2x －π4＝k π，k ∈Z ，得x ＝k π2＋π8，k ∈Z ，所以函数的对称中心为()k π2＋π8，－1，k ∈Z ，故P 4正确． 答案 B二、填空题11．解析 由sin ()π3－α＝14得sin ⎣⎡⎦⎤π2－()π6＋α＝14，即cos(π6＋α)＝14，∴cos(π3＋2α)＝cos[2(π6＋α)]＝2cos 2(π6＋α)－1＝2×(14)2－1＝－78.答案 －7812．解析 由三角函数定义可知sin 2α＝32，cos 2α＝－12，∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－ 3. 又2α∈[0,2π)，∴2α＝2π3，∴α＝π3，∴tan α＝ 3. 答案313．解析 由函数y ＝tan ωx (ω＞0)的图象可知，函数的最小正周期为π，则ω＝1，故f (x )＝2sin ()x －π6.由2k π－π2≤x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得2k π－π3≤x ≤2k π＋2π3(k ∈Z )．答案 [2k π－π3，2k π＋2π3](k ∈Z )14．解析 由1－cos 2αsin αcos α＝2sin 2αsin αcos α＝2tan α＝1，得tan α＝12，∴tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝tan (β－α)－tan α1＋tan (β－α)tan α＝－13－121－16＝－5656＝－1.答案 －115．解析 ∵周期为π，∴2πω＝π⇒ω＝2， ∴f (x )＝3sin(2x ＋φ)，f ()23π＝3sin ()4π3＋φ， 则sin ()4π3＋φ＝1或－1， ∵φ∈()－π2，π2，∴4π3＋φ∈()5π6，116π， ∴4π3＋φ＝3π2⇒φ＝π6， ∴f (x )＝3sin ()2x ＋π6. ①：令x ＝0⇒f (x )＝32，正确．②：令2k π＋π2＜2x ＋π6＜2k π＋3π2，k ∈Z ⇒k π＋π6＜x ＜k π＋2π3，k ∈Z .令k ＝0⇒π6＜x ＜2π3，即f (x )在()π6，23π上单调递减，而在()π12，π6上单调递增，错误． ③：令x ＝5π12⇒f (x )＝3sin π＝0，正确． ④：应平移π12个单位，错误． 答案 ①③平面向量与解三角形(建议用时：40分钟)一、选择题1．在平面直角坐标系xOy 中，点A (1,3)，B (－2，k )，若向量OA →⊥AB →，则实数k ＝( )．A ．4B ．3C ．2D ．12．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,0)，c ＝(1，－2)，若向量λa ＋b 与c 共线，则实数λ的值为( )．A ．－2B ．－13C ．－1D ．－233. 如图所示的方格纸中有定点O ，P ，Q ，E ，F ，G ，H ，则OP →＋OQ →＝( )．A.OH →B.OG →C.EO →D.FO →4．在平面四边形ABCD 中，满足AB →＋CD →＝0，(AB →－AD →)·AC →＝0，则四边形ABCD 是( )．A ．矩形B ．正方形C ．菱形D ．梯形5．在△ABC 中，若a ＝2b ，面积记作S ，则下列结论中一定成立的是( )．A ．B ＞30° B ．A ＝2BC ．c ＜bD ．S ≤b 26．已知直角坐标系内的两个向量a ＝(1,3)，b ＝(m,2m －3)，使平面内的任意一个向量c 都可以唯一地表示成c ＝λa ＋μb ，则m 的取值范围是( )． A ．(－∞，0)∪(0，＋∞) B ．(－∞，－3)∪(－3，＋∞) C ．(－∞，3)∪(3，＋∞)D ．[－3,3)7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，S 表示△ABC 的面积，若a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，S ＝14(b 2＋c 2－a 2)，则角B 等于( )．A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°8．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且2S ＝(a ＋b )2－c 2，则tan C 等于( )． A.34 B.43 C ．－43D ．－349．已知△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1，若3OA →＋4OB →＋5OC →＝0，则△AOC 的面积为( )．A.25B.12C.310D.6510．已知向量a 是与单位向量b 夹角为60°的任意向量，则对任意的正实数t ，|t a －b |的最小值是( )．A ．0 B.12 C.32D ．1二、填空题11．若向量m ＝(1,2)，n ＝(x,1)满足m ⊥n ，则|n|＝__________. 12．在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝2，且△ABC 的面积为32，则BC 的长为________． 13．在不等边△ABC(三边均不相等)中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且有cos A cos B ＝ba，则角C 的大小为________．14. 在边长为1的正方形ABCD 中，E ，F 分别为BC ，DC 的中点，则AE →·AF →＝________.15．给出以下结论：①在三角形ABC 中，若a ＝5，b ＝8，C ＝60°，则BC →·CA →＝20； ②已知正方形ABCD 的边长为1，则|AB →＋BC →＋AC →|＝22；③已知AB →＝a ＋5b ，BC →＝－2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，则A ，B ，D 三点共线． 其中正确结论的序号为__________．参考答案一、选择题1．解析 因为A (1,3)，B (－2，k )，所以AB →＝(－3，k －3)，因为OA →⊥AB →，所以－3＋3k －9＝0，解得k ＝4.答案 A2．解析 由题知λa ＋b ＝(λ＋2,2λ)，又λa ＋b 与c 共线，∴－2(λ＋2)－2λ＝0，∴λ＝－1.答案 C3. 解析 以F 为坐标原点，FP ，FG 所在直线为x ，y 轴建系，假设一个方格长为单位长，则F (0,0)，O (3,2)，P (5,0)，Q (4,6)，则OP →＝(2，－2)，OQ →＝(1,4)，所以OP →＋OQ →＝(3,2)，而恰好FO →＝(3,2)，故OP →＋OQ →＝FO →.答案 D4．解析 因为AB →＋CD →＝0，所以AB →＝－CD →＝DC →，所以四边形ABCD 是平行四边形，又(AB →－AD →)·AC →＝DB →·AC →＝0，所以四边形的对角线互相垂直，所以四边形ABCD 是菱形． 答案 C5．解析 由三角形的面积公式知S ＝12ab sin C ＝122b ·b sin C ＝b 2sin C ，因为0＜sin C ≤1，所以b 2sin C ≤b 2，即S ≤b 2.答案 D6．解析 由题意可知向量a 与b 为基底，所以不共线，m 1≠2m －33，得m ≠－3.答案 B7．解析 由正弦定理得sin A cos B ＋sin B cos A ＝sin C sin C ，即sin(B ＋A )＝sin C sin C ，因为sin(B ＋A )＝sin C ，所以sin C ＝1，C ＝90°，根据三角形面积公式和余弦定理得，S ＝12bc sin A ，b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，代入已知得12bc sin A ＝14·2bc cos A ，所以tan A ＝1，A ＝45°，因此B ＝45°.答案 C8．解析 由2S ＝(a ＋b )2－c 2，得2S ＝a 2＋b 2＋2ab －c 2，即2×12ab sin C ＝a 2＋b 2＋2ab －c 2，所以ab sin C －2ab ＝a 2＋b 2－c 2，又cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab sin C －2ab 2ab ＝sin C 2－1，所以cos C ＋1＝sin C 2，即2cos 2C2＝sin C 2cos C 2，所以tan C 2＝2，即tan C ＝2tanC21－tan 2C 2＝2×21－22＝－43. 答案 C9．解析 依题意得，(3OA →＋5OC →)2＝(－4OB →)2,9OA →2＋25OC →2＋30OA →·OC →＝16OB →2，即34＋30cos ∠AOC ＝16，cos ∠AOC ＝－35，sin ∠AOC ＝1－cos 2∠AOC ＝45，△AOC 的面积为12|OA →||OC →|sin ∠AOC ＝25.答案 A10．解析 ∵a 与b 的夹角为60°，且b 为单位向量，∴a·b ＝|a |2，|t a －b |＝(t a －b )2＝|a |2t 2－|a |t ＋1＝|a |2()t －12|a |2＋34≥32. 答案 C 二、填空题11．解析 ∵m ⊥n ，∴m ·n ＝0，即x ＋2＝0，∴x ＝－2，∴|n|＝(－2)2＋12＝ 5.答案512．解析 S ＝12×AB ·AC sin60°＝12×2×32AC ＝32，所以AC ＝1，所以BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos60°＝3，所以BC ＝ 3.答案313．解析 依题意得a cos A ＝b cos B ，sin A cos A ＝sin B cos B ，sin2A ＝sin2B ，则2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A＝B 或A ＋B ＝π2，又△ABC 是不等边三角形，因此A ＋B ＝π2，C ＝π2.答案π214. 解析 因为AE →＝AB →＋12AD →，AF →＝AD →＋12AB →，AD →·AB →＝0，所以AE →·AF →＝(AB →＋12AD →)·(AD →＋12AB →)＝12AB →2＋12AD →2＝1. 答案 115．解析 对于①，B C →·C A →＝ab cos(π－C )＝－ab cos C ＝－20；对于②，|AB →＋BC →＋AC →|＝|2AC →|＝2|AC →|＝22；对于③，因为AB →＝a ＋5b ，BD →＝BC →＋CD →＝a ＋5b ，所以AB →＝BD →，则A ，B ，D 三点共线．综上可得，②③正确．答案 ②③数 列(建议用时：40分钟)一、选择题1．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 7＝35，则a 4等于( )．A ．8B ．7C ．6D ．52．已知等比数列{a n }的前三项依次为a －1，a ＋1，a ＋4，则a n ＝( )．A ．4·()32nB ．4·()32n －1C ．4·()23nD ．4·()23n －13．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－2n ＋2，则数列{a n }的通项公式为( )．A ．a n ＝2n －3B ．a n ＝2n ＋3C ．a n ＝⎩⎨⎧1，n ＝12n －3，n ≥2D ．a n ＝⎩⎨⎧1，n ＝12n ＋3，n ≥24．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3＋a 8＝13，S 7＝35，则a 8＝( )．A ．8B ．9C ．10D ．115．在等比数列{a n }中，若a 4，a 8是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则a 6的值是( )．A ．± 2B ．－ 2 C. 2D ．±26．已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 3a 9＝2a 25，a 2＝2，则a 1＝( )．A.12 B.22C. 2D ．27．设数列{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和，已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝( )．A.152B.314C.334D.1728．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＞0，a 3＋a 10＞0，a 6a 7＜0，则满足S n ＞0的最大自然数n 的值为( )． A ．6 B ．7 C ．12D ．139．已知各项不为0的等差数列{a n }满足a 4－2a 27＋3a 8＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 2b 8b 11等于( )． A ．1 B ．2 C ．4D ．810．已知函数f (x )＝(1－3m )x ＋10(m 为常数)，若数列{a n }满足a n ＝f (n )(n ∈N *)，且a 1＝2，则数列{a n }前100项的和为( )． A ．39 400 B ．－39 400 C ．78 800 D ．－78 800二、填空题11．等差数列{a n }中，若a 1＋a 2＝2，a 5＋a 6＝4，则a 9＋a 10＝__________. 12．设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项的和为S n ，则S 4a 3的值为________．13．已知正数a ，b 的等比中项是2，且m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b ，则m ＋n 的最小值是________．14．已知数列{a n }满足a n ＝1＋2＋3＋…＋n n ，则数列{1a n a n ＋1}的前n 项和为__________．15．整数数列{a n }满足a n ＋2＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，若此数列的前800项的和是2 013，前813项的和是2 000，则其前2 014项的和为________．参考答案一、选择题1．解析 由题意，7(a 1＋a 7)2＝7×2a 42＝35，所以a 4＝5. 答案 D 2．解析 由题意得(a ＋1)2＝(a －1)(a ＋4)，解得a ＝5，故a 1＝4，a 2＝6，所以a n ＝4·()64n －1＝4·()32n －1.答案 B3．解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －3.由于当n ＝1时，a 1的值不适合n ≥2的解析式，故选C. 答案 C4．解析 设a n ＝a 1＋(n －1)d ，依题意⎩⎨⎧2a 1＋9d ＝13，7a 1＋21d ＝35，解得⎩⎨⎧a 1＝2，d ＝1，所以a 8＝9.答案 B5．解析 依题意得⎩⎨⎧a 4＋a 8＝3＞0，a 4a 8＝2＞0，因此a 4＞0，a 8＞0，a 6＝a 4a 8＝ 2.答案 C6．解析 因为等比数列{a n }的公比为正数，且a 3a 9＝2a 25，a 2＝2，所以由等比数列的性质得a 26＝2a 25，∴a 6＝2a 5，公比q ＝a 6a 5＝2，a 1＝a 2q＝ 2.答案 C7．解析 设此数列的公比为q (q ＞0)，由已知a 2a 4＝1，得a 23＝1，所以a 3＝1.由S 3＝7，知a 3＋a 3q ＋a 3q2＝7，即6q 2－q －1＝0，解得q ＝12，进而a 1＝4，所以S 5＝4[1－(12)5]1－12＝314. 答案 B8．解析 ∵a 1＞0，a 6a 7＜0，∴a 6＞0，a 7＜0，等差数列的公差小于零，又a 3＋a 10＝a 1＋a 12＞0，a 1＋a 13＝2a 7＜0，∴S 12＞0，S 13＜0，∴满足S n ＞0的最大自然数n 的值为12.答案 C9．解析 设等差数列的公差为d ，由a 4－2a 27＋3a 8＝0，得a 7－3d －2a 27＋3(a 7＋d )＝0，从而有a 7＝2或a 7＝0(a 7＝b 7，而{b n }是等比数列，故舍去)，设{b n }的公比为q ，则b 7＝a 7＝2， ∴b 2b 8b 11＝b 7q 5·b 7q ·b 7q 4＝(b 7)3＝23＝8.答案 D10．解析 ∵a 1＝f (1)＝(1－3m )＋10＝2，∴m ＝3，∴a n ＝f (n )＝－8n ＋10，∴S 100＝－8(1＋2…＋100)＋10×100＝－8×101×1002＋10×100＝－39 400.答案 B二、填空题11．解析 根据等差数列的性质，a 5－a 1＝a 9－a 5＝4d ，a 6－a 2＝a 10－a 6＝4d ，∴(a 5＋a 6)－(a 1＋a 2)＝8d ，而a 1＋a 2＝2，a 5＋a 6＝4，∴8d ＝2，a 9＋a 10＝a 5＋a 6＋8d ＝4＋2＝6. 答案 6 12．解析 ∵S 4＝a 1(1－q 4)1－q，a 3＝a 1q 2，∴S 4a 3＝154.答案15413．解析 由已知正数a ，b 的等比中项是2，可得ab ＝4，又m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b ，∴m ＋n ＝(a ＋b )＋(1a＋1b )≥2ab ＋2ab ＝5，当且仅当a ＝b ＝2时取“＝”，故m ＋n 的最小值为5. 答案 514．解析 a n ＝1＋2＋3＋…＋n n ＝n ＋12，1a n a n ＋1＝4(n ＋1)(n ＋2)＝4⎝⎛⎭⎫1n ＋1－1n ＋2，所求的前n 项和为4⎝⎛⎭⎫12－13＋13－14＋…＋1n ＋1－1n ＋2＝4⎝⎛⎭⎫12－1n ＋2＝2nn ＋2. 答案2nn ＋215．解析 a 3＝a 2－a 1，a 4＝a 3－a 2，a 5＝a 4－a 3，a 6＝a 5－a 4，a 7＝a 6－a 5，…，∴a 1＝a 7，a 2＝a 8，a 3＝a 9，a 4＝a 10，a 5＝a 11，…，{a n }是以6为周期的数列，且有a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝0，S 800＝a 1＋a 2＝2 013，S 813＝a 1＋a 2＋a 3＝2 000，a 3＝－13，∴⎩⎨⎧a 1－a 2＝13，a 1＋a 2＝2 013，∴a 2＝1 000，S 2 014＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 2＋a 3＝1 000＋(－13)＝987. 答案 987立体几何(建议用时：40分钟)一、选择题1．如图为几何体的三视图，根据三视图可以判断这个几何体为( )．A ．圆锥B ．三棱锥C ．三棱柱D ．三棱台2．关于直线a ，b ，l 及平面α，β，下列命题中正确的是( )．A ．若a ∥α，b ∥α，则a ∥bB ．若a ∥α，b ⊥a ，则b ⊥αC ．若a ⊂α，b ⊂α，且l ⊥a ，l ⊥b ，则l ⊥αD ．若a ⊥α，a ∥β，则α⊥β3．已知两条直线a ，b 与两个平面α，β，b ⊥α，则下列命题中正确的是( )．①若a ∥α，则a ⊥b ；②若a ⊥b ，则a ∥α；③若b ⊥β，则α∥β；④若α⊥β，则b ∥β.A．①③B．②④C．①④D．②③4．已知α，β，γ是三个不同的平面，α∩γ＝m，β∩γ＝n，则()．A．若m⊥n，α⊥βB．若α⊥β，则m⊥nC．若m∥n，则α∥βD．若α∥β，则m∥n5. 如图，某几何体的正视图和俯视图都是矩形，侧视图是平行四边形，则该几何体的表面积为()．A．15＋3 3 B．9 3C．30＋6 3 D．18 36．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是()．A．1 440 B．1 200C．960 D．7207．如图所示是一个几何体的三视图，其侧视图是一个边长为a的等边三角形，俯视图是两个正三角形拼成的菱形，则该几何体的体积为()．A．a3 B.a3 2C.a33 D.a348．已知l，m，n是三条不同的直线，α，β是不同的平面，则α⊥β的一个充分条件是()．A．l⊂α，m⊂β，且l⊥m B．l⊂α，m⊂β，n⊂β且l⊥m，l⊥nC．m⊂α，n⊂β，m∥n，且l⊥m D．l⊂α，l∥m，且m⊥β9．一个机器零件的三视图如图所示，其中俯视图是一个半圆内切于边长为2的正方形，则该机器零件的体积为()．A．8＋π3B．8＋2π3C．8＋8π3D．8＋16π310. 如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，BD∩AC＝O，M是线段D1O上的动点，过点M作平面ACD1的垂线交平面A1B1C1D1于点N，则点N到点A距离的最小值为()．A. 2B.6 2C.233D．1二、填空题11. 某一容器的三视图如图所示，则该几何体的体积为__________．12．已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积为________．13．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱C1D1，C1C的中点．给出以下四个结论：①直线AM与直线C1C相交；②直线AM与直线BN平行；③直线AM与直线DD1异面；④直线BN与直线MB1异面．其中正确结论的序号为________．(注：把你认为正确的结论序号都填上)14．已知四面体P－ABC的四个顶点都在球O的球面上，若PB⊥平面ABC，AB⊥AC，且AC＝1，PB＝AB＝2，则球O的表面积为________．15．在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，侧棱P A⊥底面ABCD，P A＝2，E为AB的中点，则四面体PBCE的体积为________．参考答案一、选择题1．解析 根据俯视图与侧视图，可得几何体为三棱柱． 答案 C2．解析 在选项A 中，a ，b 有可能不平行；在选项B 中，b 可能在平面α内；在选项C 中，缺少a 与b 相交的条件，故不正确．由此可知选D. 答案 D3．解析 过直线a 作平面γ使α∩γ＝c ，则a ∥c ，再根据b ⊥α可得b ⊥c ，从而b ⊥a ，命题①是真命题；下面考虑命题③，由b ⊥α，b ⊥β，可得α∥β，命题③为真命题．故正确选项为A.答案 A4．解析 对于D ，两个平面平行的性质定理，即两个平面平行，第三个平面与这两个平面相交，则它们的交线平行，因此D 是正确的，而A ，B ，C 均可以举出反例说明不成立．答案 D5. 解析 图中所示的三视图对应的直观图是一个侧放的四棱柱，该四棱柱四个侧面都是矩形，上、下两个底面是平行四边形，其表面积为2×3×3＋2×3×2＋2×3×3＝30＋6 3.答案 C6．解析 由三视图可知，该几何体是由长方体削掉一个三棱锥得到的，所以其体积为8×9×20－13×12×8×9×20＝1 200. 答案 B7．解析 根据三视图还原出原几何体，易知该几何体的体积V ＝2×13×34a 2×32a ＝a 34. 答案 D8．解析 依题意，A ，B ，C 均不能得出α⊥β.对于D ，由l ∥m ，m ⊥β，得l ⊥β，又l ⊂α，因此有α⊥β.综上所述，选D. 答案 D9． 解析 依题意得，该机器零件的形状是在一个正方体的上表面放置了一个14的球体，其中正方体的棱长为2，相应的球半径是1，因此其体积等于23＋14×43π×13＝8＋π3.答案 A 10. 解析 连接B 1D 1，AN ，则N 在B 1D 1上．设MN ＝x ，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中可求得sin ∠B 1D 1O ＝26，则在Rt △D 1MN 中，D 1N ＝MN sin ∠B 1D 1O ＝62x .又由正方体的性质知∠AD 1N ＝π3，于是在△AD 1N 中，由余弦定理，得|AN |＝(2)2＋(62x )2－2×2×62x cos π3＝126x 2－43x ＋8＝126(x －33)2＋6，所以当x ＝33时，|AN |取得最小值62. 答案 B 二、填空题11. 解析 依题意，题中的几何体是从一个棱长为2的正方体中挖去一个圆锥，其中该圆锥的底面半径是1，高是2，因此题中的几何体的体积等于23－13π×12×2＝8－2π3.答案 8－2π312．解析 由三视图知几何体为组合体，上面为三棱锥，下面为直三棱柱，公用底面为等腰直角三角形且腰长为2，三棱锥和三棱柱的高都为2，则体积V ＝2×12×2×2＋13×2×12×2×2＝163. 答案 16313．解析AM与C1C异面，故①错；AM与BN异面，故②错；③，④正确．答案③④14．解析依题意，记题中的球的半径是R，可将题中的四面体补形成一个长方体，且该长方体的长、宽、高分别是2,1,2，于是有(2R)2＝12＋22＋22＝9,4πR2＝9π，所以球O的表面积为9π.答案9π15．解析S菱形ABCD＝4sin 60°＝23，S△EBC＝32，V P－EBC＝13×2×32＝33.答案3 3。