现代控制理论课程设计

现代控制理论

学院：电气工程学院

班级：09级自动化3班姓名：赵明

学号：

任课教师：刁晨

单倒置摆控制系统的状态空间设计

一．设计题目

1.介绍

单倒置摆系统的原理图，如图1所示。设摆的长度为L、质量为m，用铰链安装在质量为M的小车上。小车有一台直流电动机拖动，在水平方向对小车施加控制力u,相对参考系产生位移z。若不给小车施加控制力，则倒置摆会向左或向右倾倒，因此，它是一个不稳定系统。控制的目的是，当倒置摆无论出现向左或向右倾倒时，通过控制直流电动机，使小车在水平方向运动，将倒置摆保持在垂直位置上。

2.用途

倒立摆系统以其自身的不稳定性为系统的平衡提出了难题,也因此成为自动控制实验中验证控制算法优劣的极好的实验装置。单倒立摆的系统结构、数学模型以及系统的稳定性和可控性,对倒立摆进行了成功的控制,并在MATLAB 中获得了良好的仿真效果。倒立摆控制理论将在半导体及精密仪器加工、机器人技术、伺服控制领域、导弹拦截控制系统、航空器对接技术等方面具有广阔的开发利用前景。

3.意义

倒立摆是一种典型的快速、多变量、非线性、绝对不稳定系统. 人们试图寻找同的控制方法以实现对倒立摆的控制,以便检验或说明该方法对严重非线性和绝对不稳定系统的控制能力。同时，由于摩擦力的存在，该系统具有一定的不确定性。对这样一个复杂系统的研究在理论上将涉及系统控制中的许多关键问题：如非线性问题、鲁棒性问题、镇定问题、随动问题以及跟踪问题等都可以以它为例进行研究。

二．被控对象的模型

为简化问题，工程上往往忽略一些次要因素。这里，忽略摆杆质量、执行电动机惯性以及摆轴、轮轴、轮与接触面之间的摩擦及风力。设小车瞬时位置为z，倒置摆出现的偏角为θ，则摆心瞬时位置为(z+lsinθ)。在控制力u的作用下，小车及摆均产生加速运动，根据

牛顿第二定律，在水平直线运动方向的惯性力应与控制力u 平衡，则有

u l z dt

d m dt z d M =++)θsin (22

22

即

u θsin θml - θcos θ)(2

=++∙∙

∙∙

∙ml z m M (1)

由于绕摆轴旋转运动的惯性力矩与重力矩平衡，因而有 mglsin θθcos )]θsin ([22

=+l l z dt

d m 即

θθθθθθθsin cos sin cos

cos 2

2

g l l z =-+∙∙

∙∙

∙

(2)

式(1)、式(2)两个方程都是非线性方程，需作线性化处理。由于控制的目的是保持倒置摆直立，因此，在施加合适u 的条件下，可认为θ、∙

θ均接近零，此时sin θ≈θ，cos θ≈1，且可忽略θθ∙2

项，于是有

u ml z m M =++∙

∙∙

∙θ)(

(3) θθg l z =+∙

∙∙

∙

(4)

联立求解式(3) 、式(4)，可得

u M M mg z 1

+-

=∙

∙θ (5) u Ml

g Ml m M 1

)(-+-=∙∙θθ

(6)

消去中间变量θ，可得输入变量为u 、输出变量为z 的系统微分方程为 u Ml

g u M z Ml g m M z

-=+-∙∙∙∙1)()

4(

(7)

选取小车的位移z 及其速度∙

z 、摆角的位置θ及其角速度∙

θ作为状态变量，z 为输出变量，

并考虑恒等式∙=z dt dz ，∙

=θθdt

d 及式(5)、式(6)，可列出系统的状态空间表达式为

u x x ⎪⎪

⎪

⎪⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛+-=∙

Ml M Ml

g m M M mg 10100)(0

010*********

(8a)

[]x 0001=y

(8b)

式中

T

z z

x ⎪⎭

⎫

⎝⎛=∙

∙θθ

假定系统参数M = 1kg ，m=0.1kg ，l = 1m ，g = 9.81m/s 2，则状态方程中参数矩阵为

⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛-=011001000010000

1

0A ，⎪⎪

⎪⎪

⎪

⎭

⎫ ⎝⎛-=10

10b ，()0001=c

(9)

三．

分析模型的运动特性

作为被控制的倒置摆，当它向左或向右倾倒时，能否通过控制作用使它回复到原位直立位置？这须首先进行能控性的分析。 1、 能控性分析

根据能控性的秩判据，并把式(9)的相关数值代入该判据，可得

()

432==b A b A Ab b M rank rank

(10)

因此，单倒置摆的运动状态是可控的。这意味着总存在一控制作用u ，将非零状态x 转移到零。

2、 稳定性分析

由单倒置摆系统的状态方程，可求出其特征方程

()01122=-=-λλλA I

(11)

解得特征值为0，0，11， 11-。4个特征值中存在一个正根，两个零根，这说明单倒置摆系统，即被控系统是不稳定的，须对被控系统进行反馈综合，使4个特征值全部位于根平面s 左半边的适当位置，以满足系统稳定工作并达到良好动、静态性能的要求。

四． 设计方案 1.全维观测器设计 全维状态观测器设计

为实现单倒置摆控制系统的全状态反馈，必须获取系统的全部状态，即z 、∙z 、θ、∙

θ的信息。因此需要设置测量z 、∙

z 、θ、∙

θ的4个传感器。正如第五章第四节所指出的，往往在一实际工程系统中并不是所有的状态信息都能检测到，或者，虽有些可以检测，但也可能由于检测装置昂贵或安装上的困难造成实际上难于获取信号，从而状态反馈在实际中难于实现，甚至不可能实现。在这种情况下可设计全维观测器，解决全状态反馈实现问题。 状态观测器设计钱，先要对被控对象的状态作能观测性的判定。由能观测秩判据，并把式（9）的有关数值代入该判据，得

(

)

4==T 3T T 2T T T T

c )(A c )(A c A c N rank rank

（16）

故被控系统的4个状态均是可观测的。这意味着，其状态可由一全维（四维）状态观测器给出估值。