高中数学解题方法谈：数形结合巧求最值
高中数学几何解题技巧之数形结合策略
高中数学几何解题技巧之"数""形"结合策略摘要："数""形"结合策略是高中数学几何解题的重要技巧，通过将几何形状与数学关系相结合，利用数学方法解决几何问题。
关键词：高中数学；几何解题技巧；数""形"结合策略前言在高中数学几何解题中，"数""形"结合策略是一种重要的技巧。
通过将几何形状与数学关系相结合，可以更好地理解和解决几何问题。
一、介绍"数""形"结合策略的概念和重要性"数""形"结合策略是在解决高中数学几何问题时常用的一种方法。
它结合了数学的抽象思维和几何的形象思维，通过数学的计算和几何的图形分析相互支持，从而更全面地理解和解决问题。
这种策略的重要性在于它能够帮助我们从不同的角度来理解几何问题。
几何问题通常涉及到图形的形状、大小、位置等方面的特征，而数学则提供了精确的计算和推理工具。
通过将数学和几何结合起来，我们可以更好地理解几何问题的本质，并找到解决问题的有效方法。
"数""形"结合策略的基本思路是将几何问题转化为数学问题，然后利用数学的方法进行计算和推理，最后再将结果转化回几何语言。
这种策略使我们能够通过数学的计算和推理来揭示几何问题的隐藏规律和性质，从而更深入地理解几何概念。
例如，在解决三角形的问题时，我们可以利用角度和边长的关系，通过数学计算来推导出三角形的性质和关系。
同时，我们也可以通过几何图形的分解和组合，利用图形的对称性和变换来简化问题的解决过程。
这种数形结合的策略使我们能够更全面地理解和解决几何问题[1]。
二、解释为什么这种策略在解决几何问题时很有用"数""形"结合策略在解决几何问题时非常有用，原因如下：首先，几何问题通常涉及到图形的形状、大小、位置等方面的特征。
将数与形结合，提升解答与圆相关的最值问题的效率
考点透视数形结合思想是高中数学中的重要思想之一，特别是在解答与圆有关的综合问题时，将题设中所给的数量关系和图形结合起来，能有效地避免大量的代数运算，提升解题的效率.与圆有关的最值问题通常运算量较大，这让很多同学感觉“头疼”.我们不妨从图形的特点出发，结合代数关系，运用数形结合思想来解答最值问题.例1.已知P 是直线l :3x -4y +11=0上的动点，PA ,PB 是圆x 2+y 2-2x -2y +1=0的两条切线，C 是圆心，求四边形PACB 面积的最小值.分析：本题中涉及了动点，直接求解较为困难.不妨依题意画出图形，根据圆与切线的位置关系及其性质来分析四边形PACB 面积最小时的情形.由图可知S 四边形PACB =2S △PAC ,那么只要求得S △PAC 的最小值，即可求得四边形PACB 面积的最小值.解：因为PA ,PB 是圆的切线，所以PA =PB ,S △PAC =12AC ⋅AP ,设|AC |=r ,|AP |2=|CP |2-r 2，当|CP |取最小值时，|AP |取最小.过圆心C 作直线l 的垂线，如图1所示，此时|CP |最小.由x 2+y 2-2x -2y +1=0可得(x -1)2+(y -1)2=1，则r =1.由点到直线的距离可知||CP =2，则||AP 2=||CP 2-r 2=3，所以S △PAC =12AC ⋅AP =12×1×3，可得S 四边形PACB =2S △PAC =3.在解答与圆有关的最值问题时，要善于利用题目中所给的数量关系，根据代数式的几何意义，将代数关系转化为几何关系，通过数形结合,快速求得问题的答案.例2.已知点A (0,m )，B (0,-m )(m >0),圆C :(x -3)2+(y -4)2=1上有一动点P ，且∠APB =90°，求m 的最值.分析：由∠APB =90°联想到圆的直径，于是构造以AB 为直径的圆E .点P 不仅在圆E 上，还在圆C 上，那么两圆有交点，借助图形分析两圆的位置关系，通过数形结合便可求得m 的最值.解：设以AB 为直径的圆的方程为：x 2+y 2=m 2，则圆E 的圆心为E (0,0)，半径r =m ，要使两圆有交点，需使两圆的圆心距离：||r 1-r 2≤||EC ≤||r 1+r 2，通过计算得||EC =5.||r 1-r 2=||m -1，||r 1+r 2=m +1，可得m ∈[4,6].例3.如图2，点C 为半圆：(x +1)2+y 2=1(x <0)的直径AB 延长线上的一点，||AB =||BC =2,过动点P 作半圆的切线PQ ，若||PC =2||PQ ,D 为(x +1)2+y 2=1的圆心，则△PAC 的面积的最大值是.AB CPQxyxy A PCO图2图3分析：由于点P 是动点，所以点Q 、切线PQ 都会随它改变而改变.要求得△PAC 面积的最值，需先求得△PAC 的面积.可根据题意画出图形，以点B 为原点建立平面直角坐标系，求出点P 的轨迹方程，从而求出△PAC 面积的最大值.解：由题意可知||PQ 2=||PD 2-r 2，||PC =2||PQ ,||PC 2=4||PQ 2=4(||PD 2-r 2)，可得(x -2)2+y 2=4[(x +1)2+y 2]，则点P 的轨迹是一个圆，其方程为(x +2)2+y 2=163，由图3可知，当点P 在最高点时，△PAC 的高d最大，此时S △PAC =12||AC ⋅d =2d .可见，运用数形结合思想解答与圆有关的最值问题的基本思路是：（1）挖掘题目中代数式的几何意义，如将()x +a 2+()y +b 2=r 2看作圆心为(a ,b )，半径为r 的圆，将ax +by =c 看作一条直线；（2）画出相应的几何图形；（3）借助图形，分析点、直线、圆之间的位置关系，根据圆的性质找出临界的情形；（4）求得最值.（作者单位：山东省聊城第一中学）将数与形结合，提升解答与圆相关的最值问题的效率李冰图139。
运用数形结合思想巧解高中数学题例析
运用数形结合思想巧解高中数学题例析数学是一门抽象的学科，与大多数人口中的“实在”“有形”等形容词相悖。
但是，数学却可以通过数形结合的方法让我们看到它的立体感。
在高中数学中，数形结合思想尤为重要，它能够启发我们思考问题，化繁为简，找到解题的技巧性思路。
数形结合思想是一种通过图形来解决数学问题的方法。
它将数学公式和几何图形有机地结合在一起，借助图形的视觉效果，使得数学问题更加直观易懂，容易解决。
以下将通过举例说明如何巧妙地运用数形结合思想解决高中数学问题。
例1. 在平面直角坐标系内，将直线 $y = x$ 上的点分别与 $x, y, -x,-y$ 坐标轴上的点两两连成线段，把平面分成了 $8$ 个部分，求其中钝角三角形的个数。
这是一道很巧妙的数形结合题。
题目中要求我们求的是钝角三角形的个数。
我们可以从图形入手，由题意可知，随着绕点 $O(0,0)$ 以 $(x, x)$，$(y, 0)$，$(-x,-x)$ 和$(0, y)$ 为端点的线段依次连接，整个平面被分成八个区域。
根据锐角、直角、钝角三角形三种情况，可以发现，当一个三角形中必须至少有一条边与 $y=x$ 相交时，这个三角形就是钝角三角形。
因为它的另外两条边必须显著“弯曲”，而直角三角形则需要两条边与 $y=x$ 垂直。
同样的，当一条边与 $y=-x$ 相交时，也可能会构成钝角三角形。
那么我们可以可以通过观察不同的区域得到钝角三角形的数目。
对于 $A$ 区域，只有 $(3)$ 构成的三角形（实心的）是钝角三角形。
通过以上分析，我们得到：在这八个区域中，钝角三角形的个数为$1+3+4+1+1+3+3+1=17$。
例2. 已知 $\triangle ABC$ 的三个顶点的坐标分别为 $A(0,0)$，$B(6,0)$，$C(3,5)$，$P$ 点在 $\triangle ABC$ 内部，$AP$ 与 $BC$ 相交于点 $D$，$BP$ 与$AC$ 相交于点 $E$，$CP$ 与 $AB$ 相交于点 $F$，三边上的点 $D$，$E$，$F$ 互不相同。
例说数形结合解决求函数最值问题
例说数形结合解决求函数最值问题数形结合就是将抽象的数的方式与直观图形结合起来，既分析其代数含义又分析其几何含义。
在数与形的结合上往往采用“以形助数”或“以数辅形”的手段寻找解题的思路。
求函数的最值是中学数学的重要内容之一，题型多变，解法灵活，也是历年高考的必考内容，下面仅就这一方面利用数形结合的技巧举例说明。
例1：求函数的值域。
分析：我们可以先进行换元，去掉根号，然后在寻找解决问题的突破口。
解：令则原函数表达式等价转化为，即为过点和点的直线的斜率。
作出示意图像，经观察，计算可知的变化范围为。
评注：此题若采取代数方法，比较繁琐，但是给代数问题赋以一个合适的几何意义，问题就变得鲜活，简单。
例2：已知，求的最小值。
【分析】将看成是直线上的点A（x，y）与定点B（1，1）间的距离，则的最小值也就是点B（1，1）到直线的距离。
解：是由直线上动点与定点间的距离，显然的最小值是点到直线的距离，即例3.求函数的最值。
分析：等式右边根号内同为的一次式，如简单的换元无法转化为二次函数求最值，故用常规方法比较难。
如能联想到直线的截距，数形结合换元后，以形助数，则可轻松解决。
令则则所函数化为以为参数的直线族，它与椭圆在第一象限的部分有公共点又例4：对于任意函数f（x）、g（x），在公共定义域内，规定f（x）*g（x）=min{ f（x）、g（x）}，若f（x）=，g（x）=，求f（x）*g（x）的最大值。
分析：本题可首先确定函数的定义域，然后作出函数的图像，由图像可求出解析式，最后求最大值。
解：由题意得：的解为x=2故其图象如图，显然在点P时f（x）*g（x）取最大值，最大值为1。
例5.甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速驶到乙地，速度不得超过c 千米/小时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v（km/h）的平方成正比，比例系数为b，固定部分为a 元（1）把全程运输成本y（元）表示为v（km/h）的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？分析：本题可根据实际问题抽象出函数模型，然后根据不等式性质、最值等知识，结合函数的图像，即可求解。
巧用数形结合思想求函数最值
巧用数形结合思想求函数最值六招破解函数最值及巧用数形结合求参数问题一、六招破解函数最值问题函数最值问题一直是高考的一个重要的热点问题，在高考中占有极其重要的地位.为了让大家能够更加系统、全面地掌握函数最值问题的解决方法，下面就其问题的常用解法，分类浅析如下：1.配方法配方法是求二次函数最值的基本方法，如函数F(x)=6z/(x)2+/7/(x)+c(qHO)的最值问题，可以考虑用配方法.［例 1］已知函数 =(eA—a)2+(e A—tz)2(tzeR, aHO),求函数 y 的最小值.2.换元法换元法是指通过引入一个或几个新的变量，来替换原来的某些变量(或代数式)，以便使问题得以解决的一种数学方法.在学习中，常常使用的换元法有两类，即代数换元和-:角换元，我们可以根据具体问题及题目形式灵活选择换元的方法，以便将复杂的函数最值问题转化为简单的函数最值问题.如可用三角换元解决形如/+/=1及部分根式函数形式的最值问题.3・不等式法利用不等式法求解函数最值，主要是指运用基本不等式及其变形公式來解决函数最值问题的一-种方法.常常使用的基本不等式有以下几种：aIb#a|b。
er2ab(a, b 为实数),° ^y［ab(a0, b20), abW。
J 些艺(a, b为实数).14［例3］函数fix) =-+t^(O<x< 1)的最小值为・兀1X4.函数单调性法先确定函数在给定区间上的单调性，然后依据单调性求函数的最值.这种利用函数单调性求最值的方法就是函数单调性法.这种方法在高考屮是必考的，多在解答题中的某一问出现.［例4］已知函数»=xln x,则函数心)在也r+2］(r>0)上的最小值为.5.导数法设函数兀Q在区间［a, b］上连续,在区间(a, b)内可导,则的在［a, b］上的最大值和最小值应为兀0在(d, b)内的各极值与», fib) 中的最大值和最小值.利用这种方法求函数最值的方法就是导数法.［例5］函数»=x3-3x+l在闭区间［—3,0］上的最大值，最小值分别是，•6.数形结合法数形结合法是指利用函数所表示的几何意义，借助几何方法及函数的图象求函数最值的…种常用的方法.这种方法借助儿何意义，以形助数，不仅可以简捷地解决问题，还可以避免诸多失误，是我们开阔思路、正确解题、提高能力的-种重要途径.［a,［例 6］对 a, bWR,记 max|d, b\=\i1 函数=max||x+l|, |x—2||(x£R)的最小值是.二、巧用数形结合妙解3类求参数问题通过以下三个方面体会数形结合思想的运用.1.通过基本函数模型及变式的图象求参数的取值范围或值|lg x|, OvxWlO,若a,b,c互不相等,［例1］已知函数fix)=<1—2^+6,兀>10,_!»=»=»,则abc的取值范围是(2•通过函数的零点与方程的解的相互关系求函数零点和方程的解及参数的范围［例2］已知mGR,函数/(x)=x2+2(m2+l)x+7,g(x)=-(2m2—m+2)x+m.(1)设函数p(x)=/U)+g(x)・如果p(x)=0在区间(1,5)内有解但无重根，求实数加的取值范围；d,总存在唯一非零实数b(bHa),使得/2(d)=/z(b)成立？若存在，求加的值；若不存在，请说明理由.3.通过圆或圆锥曲线的部分图形与函数图象的关系来求参数的范围［例3］如果函数y=l+p4—F(|x|W2)的图象与函数2)。
数形结合在高中数学教学中的巧妙应用
数形结合在高中数学教学中的巧妙应用1. 引言1.1 数形结合在高中数学教学中的重要性数目。
感谢理解！数形结合在高中数学教学中的重要性体现在多个方面。
数形结合可以帮助学生更深入地理解数学概念，将抽象的数学知识具体化，让学生更直观地感受到数学的美妙之处。
数形结合可以促进学生的逻辑思维能力和空间想象能力的发展，培养学生解决问题的能力。
数形结合还能够激发学生学习数学的兴趣，提高他们学习数学的积极性与主动性。
通过数形结合的教学方法，学生可以更全面地理解数学知识，将数学与实际生活中的问题联系起来，提高数学学习的效果和质量。
数形结合在高中数学教学中扮演着重要的角色，为学生提供了更丰富多彩的学习体验，有助于他们全面提升数学素养。
2. 正文2.1 数形结合的教学方法数、格式等。
数形结合在高中数学教学中的巧妙应用是一种非常重要的教学方法，它通过结合数学中的符号和几何中的图形，使学生更直观地理解抽象的数学概念。
在进行数形结合的教学时，教师需要运用多样化的教学方法，以激发学生的学习兴趣和提高他们的学习效果。
教师可以通过举例说明的方式引入数形结合的概念，让学生从具体的实例中感受数学与几何之间的联系。
在解决几何问题时，可以让学生通过画图的方式将问题可视化，再通过数学方法解决问题，从而深刻理解数学与几何之间的联系。
教师可以组织学生进行小组讨论或合作学习，让他们互相交流思想，共同探讨解决问题的方法。
通过互动交流，学生可以更好地理解数形结合的概念，并且在实践中加深对知识的理解。
教师还可以借助现代化的技术手段，如数学软件或在线资源，来辅助数形结合的教学。
通过多媒体教学，学生可以更直观地感受到数学与几何之间的联系，提高学习效果。
2.2 数形结合在几何学习中的应用数目、格式要求等。
数形结合在几何学习中起着至关重要的作用，通过将数学知识与几何图形相结合，可以帮助学生更好地理解几何概念，提高他们的几何思维能力。
在高中数学教学中，数形结合可以应用于各种几何问题的解决中，如计算三角形的面积、判断平行四边形的性质等。
浅谈高中数学教学中的“数形结合”
图 １
，
成 立．
例 ４ 当 １ ＜ｎ ＜ ６时 ， 求证： ａ ＞
解 析 ：“ ＞ ＿ １㈢
．
ｂ ）， （ Ｃ， ０）， （ ０， ｄ） ．
（ ６ — １）ｌ ｎ ａ ＞
由 Ｆ， Ｇ分 别 为 Ａ Ｂ， Ｃ Ｄ 中点 ，
知 Ｆ （ 一 旦 ２ ， 一 ｂ ） ， Ｇ （ 专 ， 导 ） ．
又 Ｅ 同时 在 ＡＣ， Ｂ Ｄ 的垂 直
／
＼ ／
（ ｎ 一 １ ） １ ｎ “ 一 半 ｌ ＞ Ｄ — ｌ ．
设 函数 ｌ ，（ ） ＝ｌ ｎ ｘ， 则 其 图 像 必 过 点 Ｃ（ １ ， ０ ） ， 在 图像 上 任取 两 点 Ａ（ “ ， ｌ ｎ ａ） ，
波利亚在《 怎样解题 》 一 书 中说 ： “ 数 学 解 题 是 命 题 的 连 续
的变 换 ． ” 可见“ 转化” 是 解 题 的 重要 手 段 ． 而数 形 结 合 ， 是 转 化 的重 要 方 法 之 一 ． 纵 观 近 年 来 的高 考 ， 熔“ 数” 和“ 形” 于 一 体 的 试 题 屡 见不 鲜 ． 本 文就 运 用 “ 数形 结合” 进 行 解 题 的 常 见题 型 进行分类解析．
一 ２ ｆ
．
『 Ｊ
图 ３
特 定 的 问题 ， 可以被转化为一个图形 ， 那 么 思 想 就 整 体 地 把 握
了问题 ， 并且能创造性地思索问题的解法． ”
即— ｌ ｎ ａ ｌ ｎ ｌ ＞
得证
．
数学 教学 中 的 数 形结合 浅 谈 ４ ． 利 用 图 形 求最 值 例 ２ 解不等式 ｌ ３ ｘ －２ ｌ ＋Ｉ ３ 十１ ｌ ≤６ （ ∈ Ｒ） ．
巧用数形结合思想求函数最值
巧用数形结合思想求函数最值
1.利用函数图像：函数的图像能够直观地表示出函数的性质和变化规律。
通过观察函数图像的形状和趋势，可以得到函数的最值。
例如，对于一个连续递增函数，其最小值一定在定义域的最左边，最大值一定在定义域的最右边。
对于一个连续递减函数，则相反。
因此，可以通过观察函数图像的趋势来确定函数的最值。
2.利用导数和极值：当函数存在导数时，可以通过导数和极值的关系来求函数的最值。
根据导数的定义，函数的极值点对应着导数为0的点。
因此，求函数的最值可以转化为求函数导数的零点。
利用微积分的知识，可以求得函数的导数，然后找出导数为0的点，通过比较这些点的函数值来确定函数的最值。
3.利用平均值不等式：平均值不等式是数学中的一个重要定理，它可以用来求函数的最值。
平均值不等式的基本内容是：对于一组非负数的平均值，其最大值等于这组数中的最大值，最小值等于这组数中的最小值。
利用这个定理，可以将函数的求最值问题转化为一组非负数的最值问题，进而求得函数的最值。
除了以上几种常见的数形结合思想，还有其他一些方法，如利用等式和不等式的性质，利用对称性等。
这些方法在不同的问题中都有所应用。
最后，需要注意的是，求函数的最值并不总是一件容易的事情，它涉及到数学的各个方面，需要灵活运用各种方法。
在解决问题的过程中，除了观察图形和利用数学定理外，还需要深入理解问题的背景和条件，灵活运用数学知识，才能得出准确的结果。
因此，在求函数最值时，需要注意综合运用各种数学思想和方法，以取得较好的效果。
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数形结合巧求最值
根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，在分析其代数含义的基础上揭示其几何意义，使数量关系和几何图形巧妙和谐地结合起来．充分利用这种结合，从图形中观察寻找解题思路，不失为一种好的策略．请看下面几个巧妙利用图形求最值的例子：
例1 已知x y ，满足不等式组242y x x y y ⎧⎪+⎨⎪-⎩
，，，≤≤≥则22222t x y x y =++-+的最小值为____
_．
解析：2222222(1)(1)t x y x y x y =++-+=++-，即在可行域中找一点，使它与点(11)P -，的距离的平方最小，由图1可进一步转化为在直线y x
=上找一点使它与点(11)
P -，的距离的平方最小，即求点(11)P -，到直线y x =的距离的平方．易知，原点(00)，
为所求点，故2t =．
例2 若224x y +=，则x y -的最大值是___ __．
解析：利用线性规划知识求解．设z x y =-，即直线
x y z =+在x 轴上截距最大时，z 取得最大值，最大值即为
在x 轴上的截距．由图2知在x
轴上的最大截距为以x y -的最大值为2． 例3 已知直线l 过点(20)-，，且直线l 与圆222x y x
+=有交点，则直线l 的最大斜率k 是_ ____． 解析：过点(20)-，
作圆22(1)1x y -+=的两条切线，结合图3，
不难算出切线斜率分别为4-
、4
，所以直线l 的
例4 已知向量(3
4)=，b ，1-=a b ，则a 的最大值是_ ____．
解析：如图4，设34OB =()，b =，OA =a
，由向量减法
及模的几何意义可知，点A 在以B 为圆心，1为半径的圆上．由图可知，当点A 在A ''位置时取得最大值，此时max 6=a ．
例5 （2004年湖南·文科）已知向量cos sin θθ()，a =
，1-)b =，则2-a b 的最大值、
最小值分别是（ ）．
（Ａ）
（Ｂ）4 （Ｃ）170，
（Ｄ）40， 解析：由已知得22cos 2sin θθ()，
a =，向量2a 所表示的点为圆224x y +=上的动点，2-a b
表示点1)-到圆上点的距
离．
因为向量1-)b =表示的点也在圆224x y +=上
（如图5），由图易知，2-a b 的最大值为4，最小值为0，故选（D ）．
例6 在ABC △中，O 为中线AM 上一个动点，若2AM =，
则()OA OB OC +的最小值是_ ____． 解析：构造图形．如图6，以线段OB 、OC 为邻边构造OBDC ，则点M 是其对角线的交点，
有2OB OC OM +=，又向量OM ，OA 反向，故
()2OA OB OC OA OM +=-．而2OA OM AM +==，由均值不等式，有222OA OM OA OM ⎛⎫+ ⎪--2 ⎪⎝⎭≥，当且仅当1OA OM
=
=，即O 为AM 的中点时取等号．故所求最
小值是2-．。