【优化方案】2012高中数学 第3章3.1.3空间向量基本定理精品课件 苏教版选修2-1

3．1.3 空间向量基本定理
学习目标 1.理解空间向量基本定理．
2．理解基底、基向量的概念，能正确选择合
适基底表示空间向量．
课前自主学案
3．1.3
课堂互动讲练
知能优化训练
课前自主学案
温故夯基 1．平面向量基本定理：如果两个向量a、b不
惟一 共线，那么对平面内任一向量p，存在_____
xa＋yb 的有序实数对(x，y)，使p＝_______. 2．平面内的任意一个向量p都可以用 两个不共线的向量a，b _____________________来表示(平面向量基本 定理)．
知新益能
1．空间向量基本定理：如果三个向量e1、e2、e3 不共面，那么对空间任一向量p，存在惟一的 有序实数组(x，y，z) ___________________，使p＝xe1＋ye2＋ze3. 2．如果三个向量e1、e2、e3不共面，那么空间的 每一个向量都可由向量e1、e2、e3____表示，我 们把{e1，e2，e3}称为空间的一个____，e1、e2、 线性 e3叫做______．
m－3n＋z＝2， ∴2m＋n＋z＝－1， －m＋2n－z＝3.
12 分
∴m＝17，n＝－5，z＝－30. → → → → ∴OP＝17 OA－5 OB－30 OC.14 分
【名师点评】 判断给出的某一向量组中的三 个向量能否作为基底，关键是要判断它们是否 共面，如果从正面难以入手，常用反证法或借 助一些常见的几何图形帮助我们进行判断．
自我挑战1 若{a，b，c}是空间的一个基底，试 判断{a＋b，b＋c，c＋a}能否作为该空间的一个 基底．
解：假设 a＋b，b＋c，c＋a 共面，则存在实数 λ、μ 使得 a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，∴a＋b＝λb ＋μa＋(λ＋μ)c. ∵{a，b，c}为基底，∴a，b，c 不共面．
基底
基向量
3． 如果空间的一个基底的三个基向量是两两互相垂
正交基底 直的，那么这个基底叫做__________．
4．设 O、A、B、C 是不共面的四点，则对空间任意
惟一 一点 P，都存在_____的有序实数组{x，y，z}，使得 → → → → OP＝xOA＋yOB＋zOC ____________________.
→ → → 1→ 2→ 法二：MN＝PN－PM＝ PD－ PC 2 3 1 → → 2 → → ＝ (PA＋AD )－ (PA＋AC) 2 3 1→ 1→ 2 → → → ＝－ AP＋ AD － (－AP＋AB＋AD ) 2 2 3 2 → 1 → 1→ ＝－ AB－ AD ＋ AP， 3 6 6 2 1 1 ∴x＝－ ，y＝－ ，z＝ . 3 6 6
【规范解答】 充要条件有： → → → OA＝xOB＋yOC，2 分 则有：e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3) ＝(－3x＋y)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3.
→ → → 假设OA，OB，OC共面，据向量共面的
－3x＋y＝1， ∴x＋y＝2， 此方程组无解.6 分 2x－y＝－1.
方法感悟
1．空间向量基本定理指明：(1)空间任意三个不 共面的向量都可以作为空间的一个基底；(2)基 底中的三个向量e1、e2、e3都不是0；(3)一个基 底是由不共面的三个向量构成，一个基向量是 指基底中的某个向量；(4)空间任一向量可用空 间不共面的三个向量惟一线性表示．
2．单位正交基底是基底的特例，它是建立空间 直角坐标系的理论基础．
【解】 法一：如图所示，取 PC 的中点 E， → → → 连结 NE、AC，则MN＝EN －EM. 1→ → 1→ 1→ ∵EN ＝ CD ＝ BA＝－ AB， 2 2 2 → → → 2→ 1→ EM＝PM－PE＝ PC－ PC 3 2 1→ ＝ PC， 6
→ → → → → → 又PC＝AC－AP＝AB＋AD －AP， 1→ 1 → → → → ∴MN＝－ AB－ (AB＋AD －AP) 2 6 2 → 1 → 1→ ＝－ AB－ AD ＋ AP， 3 6 6 2 1 1 ∴x＝－ ，y＝－ ，z＝ . 3 6 6
问题探究
空间的基底是惟一的吗？ 提示：由空间向量基本定理可知，任意三个不 共面的向量都可以组成空间的一个基底，所以 空间的基底有无数个，因此不惟一．
课堂互动讲练
考点突破 基底的概念 用反证法．
例1 (本题满分 14 分)已知{e1，e2，e3}为空间一
已知矩形 ABCD， 为平面 ABCD 外一点， P 且 PA⊥平面 ABCD，M、N 分别为 PC、PD 上 → → 的点，且 M 分PC成定比 2，N 分PD成定比 1， → → → → 求满足MN＝xAB＋yAD ＋zAP的实数 x、y、z 的 值．
例2
【思路点拨】
由题目可获取以下主要信息：①四边 → 形 ABCD 为矩形． ②PA⊥面 ABCD.③M、 分别为PC、 N → PD的定比分点． → 解答本题应结合图形，从向量MN出发，利用向量运算 → → → 法则不断进行分解， 直到全部向量都用AB、 、 表 AD AP 示出来，即可求出 x、y、z 的值．
→ → → ∴OA，OB，OC不共面.8 分 → → → ∴{OA，OB，OC}可作为空间的一个基底． → → → → 设OP＝m OA＋n OB＋z OC，有：2e1－e2＋3e3＝ m(e1 ＋2e2－e3)＋n(－3e1＋e2 ＋2e3)＋z(e1＋e2 －e3) ＝(m－3n＋z)e1＋(2m＋n＋z)e2＋(－m＋2n－z)e3.
→ → → 基底， 且OP＝2e1－e2＋3e3， ＝e1＋2e2－e3， OA OB → → ＝－3e1＋e2＋2e3， ＝e1＋e2－e3， OC 能否以{OA， → → OB，OC}作为空间的一个基底？若不能，说明理 → 由；若能，试以这一基底表示向量OP.
→ → → 【思路点拨】 可先用反证法， 判断OA，OB， OC 是否共面，若不共面， 则可作为一个基底， 否则， 不能作为一个基底．
自我挑战 2 如图所示，M、N 分别是四面体 O－ABC 的棱 OA、BC 的中点，P、Q 是 MN 的三等分点，用 → → → → → 向量OA、OB、OC表示OP和OQ.
→ → → 1→ 2 → 1→ 2 → 解：OP ＝OM ＋MP ＝ OA ＋ MN ＝ OA ＋ (ON － 2 3 2 3 1→ 2 → 1→ → OM)＝ OA＋ (ON－ OA) 2 3 2 1→ 2 1 → → 1→ 1→ 1→ ＝ OA＋ × (OB＋OC)＝ OA＋ OB＋ OC. 6 3 2 6 3 3 → → → 1→ 1 → OQ＝OM＋MQ＝ OA＋ MN 2 3 1→ 1 → 1→ 1 → 1→ → ＝ OA＋ (ON－OM)＝ OA＋ (ON－ OA) 2 3 2 3 2 1→ 1 1 → → 1→ 1→ 1→ ＝ OA＋ × (OB＋OC)＝ OA＋ OB＋ OC. 3 3 2 3 6 6
【名师点评】 选定空间不共面的三个向量作基 向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解 决立体几何问题的一项基本功．要结合已知和所 求，观察图形，联想相关的运算法则和公式等， 就近表示所需向量，再对照目标，将不符合目标 要求的向量当作新的所需向量，如此继续下去， 直到所有向量都符合目标要求为止．这就是向量 的分解．空间向量分解定理表明，用空间三个不 共面的向量组{a，b，c}可以表示出任意一个向量， 而且a，b，c的系数是惟一的．
3．空间的一个基底是由不共面的三个向量构成 的，具体解题时，可取空间不共面的四点，将 其中之一作为起点，与其他各点相连即可得到 空间的一个基底．
知能优化训练
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1＝μ， ∴1＝λ， 0＝λ＋μ.
此方程组无解．
∴a＋b，b＋c，c＋a不共面．
∴{a＋b，b＋c，c＋a}可以作为空间的一个基 底．
利用基底表示其他向量
利用数形结合的思想方法，将需要表示的向量 用与其相关联的其他向量表示，充分利用三角 形法则或平行四边形法则，直至转化为只用基 向量表示．