概率统计2.3
概率统计-习题及答案-(2)
习题二2.1 从装有4个黑球，8个白球和2个黄球的箱子中，随机地取出2个球，假定每取出1个黑球得2分，而每取出1个白球失1分，每取出1个黄球既不得分也不失分。
以X 表示我们得到的分数，求X 的概率分布。
2.2 口袋中有5个球，分别标有号码1，2，3，4，5，现从这口袋中任取3个球。
（1）设X 是取出球中号码的最大值，求X 的概率分布，并求出4X ≤的概率； （2）设Y 是取出球中号码的最小值，求Y 的概率分布，并求出3Y >的概率。
2.3 10个灯泡中有2个坏的，从中任取3个，设X 是取出3个灯泡中好灯泡的个数。
（1）写出X 的概率分布和分布函数。
（2）求所取的3个灯泡中至少有2个好灯泡的概率。
2.4 某种电子产品中，合格品占43，不合格品占41，现在对这批产品随机抽取，逐个测试，设第X 次才首次测到合格品，求X 的概率分布。
2.5 已知某人在求职过程中每次求职的成功率都是0.4，问他预计最多求职多少次，就能保证有99%的把握获得一个就业机会？2.6 已知1000个产品中有100个废品。
从中任意抽取3个，设X 为取到的废品数。
（1）求X 的概率分布，并计算X =1的概率。
（2）由于本题中产品总数很大，而从中抽取产品的数目不大，所以，可以近似认为是“有放回地任意抽取3次”，每次取到废品的概率都是0.1，因此取到的废品数服从二项分布。
试按照这一假设，重新求X 的概率分布，并计算X =1的概率。
2.7 一个保险公司推销员把保险单卖给5个人，他们都是健康的相同年龄的成年人。
根据保险统计表，这类成年人中的每一个人未来能活30年的概率是2/3。
求： （1）5个人都能活30年的概率；（2）至少3个人都能活30年的概率； （3）仅2个人都能活30年的概率； （4）至少1个人都能活30年的概率。
2.8 一张答卷上有5道选择题，每道题列出了3个可能的答案，其中有一个答案是正确的。
某学生靠猜测能答对至少4道题的概率是多少？2.9 设随机变量X 、Y 都服从二项分布，X ～),2(p b ，Y ～),3(p b 。
概率统计 第二章 离散型随机变量.
以随机变量X表示n次试验中A发生的次数，X可能取值 为0,1,2,3,…,n。设每次试验中A发生的概率为p， 发生的概率为1-p=q。 (X=k)表示事件“n重贝努里试验中A出现k次”，即
A
AA A A A A A A A A A A AA A A A A
因此X的分布律为
P ( X k ) C 0 .6 0 .4
k 7 k
7k
, k 0 ,1, 2 ,..., 7
所求概率为 P ( X 4 ) P7( X 4 ) P ( X 5 ) P ( x 6 ) P ( X 7 )
C
k 4
k 7
( 0 .6 ) ( 0 .4 )
k
( p q) 1
n
k 0
正好是二项式(p+q)n展开式的一般项，故称二 项分布。特别地，当n=1时P(X=k)=pkq1-k(k=0,1)即为 0-1分布。
例2.6 某厂长有7个顾问，假定每个顾问贡献正确意见 的概率为0.6，且设顾问与顾问之间是否贡献正确意见 相互独立。现对某事可行与否个别征求各顾问的意见， 并按多数顾问的意见作出决策，试求作出正确决策的概 率。 解 设X=k表示事件“7个顾问中贡献正确意见的人 数”， 则X可能取值为0，1，2，…，7。 （视作7重贝努里实验中恰有k次发生，k个顾问贡献出 正确意见）,X~B(7,0.6)。
1 X 0 当 e1 发生时 当 e 2 发生时
即它们都可用0-1分布来描述，只不过对不同 的问题参数p的值不同而已。
3、超几何分布（参见第一章）
4、二项分布
(1)贝努里(Bernoulli)试验模型。 设随机试验满足： 1°在相同条件下进行n次重复试验； 2°每次试验只有两种可能结果，A发生或A不发生； 3°在每次试验中，A发生的概率均一样，即P(A)=p； 4°各次试验是相互独立的， 则称这种试验为贝努里概型或n重贝努里试验。 在n重贝努里试验中，人们感兴趣的是事件A发 生的次数。
概率与统计的基本概念
概率与统计的基本概念概率与统计是数学中的两个重要分支，了解其基本概念对于研究和应用各领域都非常重要。
本文将介绍概率与统计的基本概念、特点以及应用，并探讨它们在现实生活中的重要性。
一、概率的基本概念及特点1.1 概率的定义概率是用来描述事件发生可能性的数值，通常用0到1之间的小数表示。
概率值越接近1，表示事件发生的可能性越大；概率值越接近0，表示事件发生的可能性越小。
1.2 概率的计算方法概率的计算可以通过频率法、古典概型、几何概型等方法进行。
其中频率法是通过实验来确定事件发生的概率；古典概型是指基于假设，并根据样本空间下事件发生的可能性进行计算；几何概型是指通过模型或图形来计算概率。
1.3 概率的特点概率具有以下特点：1) 可加性：对于一系列互斥事件，它们的概率可以相加；2) 非负性：概率的取值范围始终在0到1之间；3) 确定性：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0；4) 相对性：概率是相对于某个事件而言的。
二、统计的基本概念及特点2.1 统计的定义统计是指通过收集、整理和分析数据来研究事物的数量关系以及规律，并对未知的事物进行预测或估计的一门学科。
2.2 统计的基本步骤统计的基本步骤包括：1) 数据的收集：通过实验、调查或观察等方式获取相关数据；2) 数据的整理与分类：将收集到的数据进行整理和分类，以便更好地进行分析；3) 数据的分析与推断：通过统计方法对数据进行分析，得出相应的结论；4) 结果的表达：将统计结果通过图表、报告等形式进行表达，以便于理解和使用。
2.3 统计的特点统计具有以下特点：1) 客观性：统计结果应该客观地反映现象或问题的实际情况；2) 近似性：由于统计方法基于样本数据，统计结果通常是近似的；3) 可行性：统计方法应该具有实际可操作性，便于应用；4) 概括性：通过对数据的整理和分析，可以对总体进行概括和描述。
三、概率与统计在现实生活中的应用3.1 概率的应用概率在现实生活中有广泛的应用，例如：1) 金融风险管理：通过概率模型来衡量金融市场的风险，辅助投资决策；2) 医学诊断：通过概率模型来计算疾病的发生概率，辅助医学诊断；3) 交通规划：通过概率统计分析来预测交通流量，优化道路规划；4) 自然灾害预测：通过概率模型来预测地震、气候变化等自然灾害的发生概率，提前采取相应防范措施。
为随机变量X的分布函数
就会离去. 若该顾客一个月到银行5次, 以Y表示一个月内他未等
到服务而离开窗口的次数，写出Y的分布律，并求P{Y≥1}.
解：
X的分布函数
F
(
x)
1
1
e5
x
,
x 0;
0, x 0.
该顾客未得到服务事件为{X>10}，其概率为
p
P{X
10} 1 P{X
10} 1 F(10)
3
f (x)dx
3
f (x)dx
1
3 1dx 0 5 .
26
6
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2.指数分布 若随机变量X的密度函数为
ex , x 0
f (x)
,
0,
x0
则称X服从参数为的指数分布, 记作X～E[] . >0为常数.
分布函数为
F
(
x)
2
即
A=1 .
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四、常见连续型随机变量的分布
1.均匀分布
如果随机变量X的概率密度为
f
(x)
b
1
a
,
0,
a xb 其它
则称X在区间[a,b]上服从均匀分布, 记为X～U[a,b].
0,
xa
分布函数为
F
(x)
x b
a a
a xb
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三、分布函数求法 例1.设随机变量X的密度函数为
f
(x)
概率统计2-3
1−p o p 1
p x
9
例题与解答
例2 甲乙两名射手在一次射击中得分(分别用 ξ,η表示)的分布律如下表所示, 试比较甲,乙两 射手的技术.
ξ
P
8
9
10
η
P
8
9
10
0.3 0.1 0.6
0.2 0.5 0.3
解 Eξ=8×0.3+9×0.1+10×0.6=9.3 Eη=8×0.2+9×0.5+10×0.3=9.1 这表明, 如多次射击, 他们得分的平均值分 别是9.3和9.1, 故甲射手较乙射手的技术好。
+ ∫ ( 55 − x )dx + ∫ ( 65 − x )dx ]
25 55
55
60
E(Y)=E(g(X))=
∫
+∞
−∞
g( x ) f ( x )dx
1 = ( 12.5 + 200 + 450 + 37.5 ) 60 =11.67(分)
21
例题与解答
*例8.假定世界市场对我国某种出口商品的需求量 X(吨)是个随机变量，它服从区间[2000,4000]上的均 匀分布，设该商品每出售一吨，可获利3万美元外汇， 但若销售不出去而压库，则每吨支付保养费1万美元， 问如何计划年出口量，可使期望获利最多。 解：设计划年出口量为y吨，年创利Y万美元，显然 X≥y 3y y∈[2000,4000],且有 Y = g( X ) = 3X − ( y − X ) X < y +∞ 4000 1 EY = ∫ g( x) f ( x)dx = 2000 g ( x ) dx −∞ 由微积分可知： 由微积分可知： 2000 4000 y 1 y=3500时 = 2000 [ ∫ ( 4 x − y ) dx + ∫ 3 ydx 当y=3500时， 2000 y EY最大 EY最大。 最大。 2
概率统计2-3
f ( x )d x
a
b
F (b) F (a)
b x
a
Ch2-51
P( X a ) P( X a) 1 F ( a )
p ( x)
0.06 0.04 0.02
-5
5
a a
x
例1 设连续型 r.v 的 d.f 为
Ch2-52
1 其分布函数 F ( x) 2
作变量代换 s
t
x
(t )2 2 2
e
d t P( X x)
x F ( x)
P(a X b) F (b) F (a)
b a P( X a) 1 F (a)
(t ) e P(T t ) P( N (t ) 0) 0!
0
1 P(T t ), t 0
t
e
t
t0 t0 0, 0, f (t ) t F (t ) t e , t 0 1 e , t 0
即
T ~ E ( )
P( X ) F ( )
Ch2-72
1 F ( ) P( X )
1 2
0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 -6 -5 -4 -3 -2 -1
Ch2-73
正态变量的条件
若 r.v. X
① 受众多相互独立的随机因素影响 ② 每一因素的影响都是微小的 ③ 且这些正、负影响可以叠加
1
x 0
对于任意的 0 < a < b, b x P(a X b) a e d x
概率论与数理统计2.3
m! m 0,1,2,3,...
1 2 e e 1! 2!
2
0 2 P X 0 e e 为一页上无印刷错误的概率. 0! 任取4页, 设 Ai 表示 “第 i 页上 无印刷错误”
8 P ( Ai ) e 2 P A1 A2 A3 A4 P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) P ( A4 ) e
贝努利试验: 只有两种对立结果的试 验. n 重贝努利试验: 一个贝努利试验独立重 复 n次 .
例 一批产品合格率是0.9，有放回的抽取三 件：每次一件，连续三次，求三次中取到的合 格品数X的概率分布
设在一次试验中事件A 发生的概率为p ( 0 p 1), 则在 n 重贝努利试验中事件 A恰好发生k 次的概率为 k k Cn p (1 p) n k
2
n 1
np
2
EX n(n 1) p np
例. 已知随机变量X~b(n,p)，EX＝6，DX＝4.2, 计算 P{X. 解 EX＝np＝6, 解得 DX=npq＝4.2 ,
ｑ＝0.7，ｐ＝0.3，ｎ＝20，
P{X P{X<5} = 1–P{X
例 一大楼有五个同类型供水设备。调查表明： 在任一时刻，每台设备被使用的概率为0,1. 求：在某时刻（1）恰有两台设备被使用的概率； （2）至少有三台设备被使用的概率； （3）最多有三台设备被使用的概率。
设有 X 台设备同时被使用
则 X ~ b(5 , 0.1)
例.设某车间有10台同型车床.如果每台车床的工作情况
例. 每个粮仓内老鼠数目服 从泊松分布, 若已知 一个粮仓内有一只老鼠 的概率是有两只老鼠 概率的两倍, 求粮仓内无鼠的概率 . 现有 10 个 这样的粮仓, 求有老鼠的粮仓不超过 两个的概率
随机变量的分布函数
x0 0 x2 x2
结束
引例.靶子是半径2米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点与
该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶.以X表示弹着点与圆心 的距离，求X的分布函数. 易证，F(x)是一个连续函数，可表示为
F ( x)
其中
x
-
f (t )dt
x , f ( x) 2 0,
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例 2.
随机变量 X 的概率分布为 2 1/2
X 0 1 P 1/3 1/6 试求（1）X 的分布函数 F(x)，并作出 F(x)的图形； （2） P{ X },
1 2
3 P{1 X }, 2
3 P{1 X } 2
(2)
1 1 1 P{ X } F 2 2 3 3 3 1 1 P{1 X } F - F (1) - 0 2 2 2 2 3 3 1 P{1 X } F - F (1) P{ X 1} 2 6 2
x
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§2.3
随机变量的分布函数
一、定义 设X为随机变量，对于任意实数x，称函数
F ( x) P{X x} (- x )
为随机变量X的分布函数. 重要公式
(1) P{ X a} 1 - F (a).
(2) P{a X b} P{ X b} - P{ X a} F (b) - F (a)
pk P{X xk }.
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§2.４
连续型随机变量
引例.靶子是半径2米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点与
该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶.以X表示弹着点与圆心 的距离，求X的分布函数.
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Poisson定理说明若X ~ B( n, p), 则当n 较大， p 较小, 而 np 适中, 则可以用近似公式
k k Cn p (1 p )n k e
k
k!
,
k 0,1, 2,
Ch2-14
例2 设一批产品共2000个，其中有40个次品。 放回抽样随机抽取100个样品，求样品中次品 数X的概率分布。 解 放回抽样，则次品数服从二项分布
§2.3 泊松分布
若
P( X k ) e
k
其中 0 是常数，则称 X 服从参数为 的Poisson 分布. 记作 X ~ ( ) 或 P ( )
附表（ 2 P202） P ( X x ) 1 F ( x 1)
k x
k!
, k 0,1, 2,
X ~ B(100,0.02), 即
P( X x)=C (0.02) (0.98)
x 100 x 100 x
, x 0,1,2,
,100.
=np 100 0.02 2 由于n=100较大，p=0.02较小，
适中，可近似用泊松分布计算，即
2 2 P ( X x ) e , x 0,1, 2, x!
Ch2-16
k
k
(2) P ( X 10) 1 P ( X 11) 5 5 1 e 1 0.0137 0.9863; k 11 k ! P[( X 3) ( X 1)] (3) P ( X 3 X 1) P ( X 1) P ( X 3) 0.8753 0.8812 P ( X 1) 0.9933
k
k!
e .
下表中都可以看作是源源不断出现的随机 质点流 , 若它们满足一定的条件, 则称为 Poisson 流, 在 长为 t 的时间内出现的质 点数 Xt ~ P ( t )
Ch2-12
例1 某商店出售某种大件商品，据历史记录分析， 每月销售量服从泊松分布，λ= 4，问在月初进货时 要库存多少件此种商品，才能以0.95的概率充分满 足顾客的需要？ 解 销售量 X ~ P(4) ， 设至少库存N件，则
x
,100.
Ch2-15
例3 某商店某种商品日 销 量X ~ (5)(或X ~ P (5))， 求以下事件的概率：
（）日消 1 3件的概率；（） 2 日消量不超10件的概率；
当 （）在已售出 3 1件的条 件下，求 日至少售出3件的概率。
解 （） 1 P ( X 3) P ( X 3) P ( X 4) 5 5 5 5 e e k 3 k ! k 4 k ! 0.8753 0.7350 0.1403;
P{ X N } P{ X k }
k 0
k 0
N
N
k
k!eFra bibliotek 0.95，
经计算，必须取 N = 8。
Possion定理 设 npn 0 , 则对固定的 k
k k lim C n pn (1 pn )n k e n
k
k! k 0,1, 2,
k
作业
P33
1
Ch2-17
Ch2-18