人教版八年级数学下册教学课件：18.2.3正方形

7、如图，四边形ABCD.DEFG都是 正方形，连接AE.CG。 （1）求证：AE=CG G F （2）观察图形， A 猜想AE与CG的位置 B D E 关系，并证明你的 C 猜想。
8、如图,以△ABC的边AB、AC向形 外作正方形ABDE和ACFG，M是BC的 E 中点．
求证：
D A
G
⑴CE=BG；
⑵EG=2AM．
B
H
F M C
归纳
有 一组邻边相等 并且 有一个角是直角 的
A O
D
平行四边形 是 正方形
B
C
1 .正方形是中心对称图形，轴对称图形。 2.正方形的四条边都相等。 3.正方形的四个角都相等。 4.正方形的对角线互相垂直平分且相等， 且每一条对角线平分一组对角。
小结
性质 图形 平行四 矩形 边形 菱形 正方形
即是中心对称图形，
又是轴对称图形（两条）
即是中心对称图形， 又是轴对称图形（两条）
即是中心对称图形， 又是轴对称图形（四条）
正方形、矩形、菱形以及平行四边形四者之间的关系：
(3)
有一组邻边相等且有一个角是直角
(1) (4)
(2)
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系
四边形
平行四边形
四边形 平行四边形 正 方 形
菱形
矩形
菱形 正方形 矩形
求证: 正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等 的等腰直角三角形. 已知:如图,四边形ABCD是正方 形,对 角线 AC、BD相交于点O. ,该怎么做?你会做吗 这是一道文字证明题 ? O 求证第一步 :△ABO 、 △BCO、 △CDO、 :根据题意画出图形 B △DAO是全等的等腰直角三角形.
边 正方形对边平行 四边相等 角 正方形的四个角都是直角
A
D
O
B C
对角线 正方形的对角线相等，互相垂直平分，
每条对角线平分一组对角。
正方形是中心对称图形，它也是轴对称图形
正方形是一个完美的图形
(C) A
D (B) O
对称性
正方形是中心对称图形,对称中心为点O 它也是轴对称图形,有4条对称轴 (D) B
邻边 相等
发现：
正方形
矩 形
一组邻边相等的矩形 叫正方形
菱 形
一个角是直角
正方形
发现：
一个角为直角的菱形叫 正方形
如何来给正方形下定义？
∟
-*/正方形定义+ /
1、有一个角是直角且邻边相等的平行四边形 叫做正方形； 2、有一个角是直角的菱形是正方形； 3、有一组邻边相等的矩形是正方形 正方形是特殊的平行四边形，又是特殊的 菱形，特殊的矩形，你能猜出它具有怎样 的性质？
C
1．正方形的两条对角线把正方形分成四个 全等的 等腰直角三角形 __________________ 2.一正方形边长为4,则它的面积为16 ．
8 3.一正方形对角线长为4,则它的面积为
A
．
D
4.正方形ABCD的面积是9cm2。则
AB=________AC=___________ 3 2cm 3cm B
F E
C
D
例题赏析
4.在正方形ABCD中,AC是对角线,AE平分 ∠BAC,试猜想AB、AC、BE之间的关系，并 证明你的猜想．
A D
F B G E C
练习5．如图(5)，在AB上取一点C，
以AC、BC为正方形的一边在同一侧作 正方形AEDC和BCFG连结AF、BD延 长BD交AF于H。 求证：(1) △ACF≌△DCB
拓展讨论:
正方形对角线把正方形分成多少个等腰直角三角形？
A
D
O
B
C
结论：
分成八个等腰直角三角形，分别是△ABC、 △ADC、 △ABD、 △BCD ； △AOB、 △BOC、 △COD、 △DOA.
1. 正方形具有而矩形不一定具有的性质是(B ) A、四个角相等. B、对角线互相垂直平分. C、对角互补. D、对角线相等.
D
A
D
B
C
B
C
问题:
图中CD在平移时，这个图形始终是怎样的图形？
当CD移动到CD位置，此时AD ＝A究（一）
矩形一组邻边相等时变成怎样的图形呢?
正方形
矩
〃
形
探 究（二）
∟
∟
正方形
菱
形
∟
菱形有一个角是直角时变成怎样的图形呢?
∟
探究小结
2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（ D ） A、四条边相等. B、对角线互相垂直平分. C、对角线平分一组对角. D、对角线相等.
看一看，选一选
2.下列说法正确的是（B） A.四条边相等的四边形是正方形 B.两条对角线互相垂直的矩形是正方形 C.两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形 D.两条对角线分别平分一组对角的四边形是正
证明：
(2) BH⊥AF
6.如图，正方形OPQR的一个顶点 O是边长为2的正方形ABCD对角线 AC与BD的交点，则两 R 正方形重合部分的 Q A D 面积是
O
B
C P
7、如图，正方形ABCD的边长为8， M在DC上，且DM=2，N是AC上一个动 点，求DN+MN的最小值。
A
N D M
B
C
大 显 身 手
练一练
已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上 一点，点F是CB的延长线上一点，且 DE=BF．求证：（1）AE=AF；（2） EA⊥AF．
1
2
3
证明：（1）∵ ABCD是正方形 ∴AD=AB，∠ADE=∠ABF=90° 在△ABF与△ADC中 AD=AB ∠ADE=∠ABF=90° DE=BF 1 ∴ △ABF≌△ADE（SAS） ∴ FA=EA ,∠1=∠3 （2）∵∠2+∠3=90 ° ∴∠1+∠2=90 ° ∴ EA⊥FA
2
3
想一想：
１．若O点移动至E点时，连接AE、
CE，你有那些结论？
A O B
D
E
C
该怎样证明这些结论？
变一变
如图所示，正方形ABCD中，P为BD上一点， PE⊥BC于E， PF⊥DC于F。试说明：AP=EF
解:
连接PC ∵PE⊥BC ， PF⊥DC
A
P
D
F
而四边形ABCD是正方形 ∴∠FCE=90° B ∴四边形PECF是矩形 E ∴PC=EF 又∵四边形BAPC是以BD为轴的轴对称图形 ∴AP=PC ∴AP=EF
E
C
B
例2.如图四边形ABCD和DEFG都是正方形， 试说明AE=CG
因为四边形ABCD是正方形 解： 根据正方形的四边相等，得 AD=CD 又知四边形DEFG也是正方形 所以 DE=DG B 又因为正方形的每个内角为90°
A E D G
F
C
所以∠ADE＋∠EDC＝∠CDG＋∠EDC 所以∠ADE＝∠CDG 所以三角形ADE可以看成是由三角形CDG绕着点D顺时针 旋转 90° 得到。⊿AED≌ ⊿CGD 所以AE=CG
18.2.3 正方形
回顾：平行四边形,矩形与菱形有哪些性质?
边: 对边平行且相等
平行四边形 角: 对角相等,邻角互补 对角线: 对角线互相平分组卷网 具有平行四边形所有性质
矩形
边： 对边平行且相等
角: 四个角是直角 对角线: 对角线相等且互相平分
菱形的性质
具有平行四边形一切性质 菱形的性质
边: 四条边相等
对角相等,邻角互补 角： 对角线: 互相垂直平分 分别平分两组对角
情境一： 观察体会
平行四边形
矩形
矩形
矩形
菱形
矩形
平行四边形
菱形
矩形
平行四边形
菱形
矩形
平行四边形
菱形
矩形
平行四边形
菱形
矩形
平行四边形
菱形
你能给正方形下一个定义吗？ 矩形
平行四边形
正方形
菱形
情景二
A
两组互相垂直的平行线围成矩形ABCD
C (A)
(1)它具有平行四边形的一切性质 两组对边分别平行且相等，两组对角相等，对角线互相平分 (2)具有矩形的一切性质 四个角都是直角，对角线相等 (3)具有菱形的一切性质 四条边相等；对角线互相垂直，每条对角线平分一组对角
总结：平行四边形、矩形、菱形、正方形的
对称性
平行四边形
中心对称图形 （对角线的交点）
于F，则ME+MF=（）
D C
F E A M B
8.在正方形ABCD中，点P是对角线 AC上一点，PE⊥AB， D
C
PF⊥BC，垂足分别是
点E、F.求证：DP=EF
P
F
A
E
B
3.如图，正方形ABCD中，点E是CD 边上一点，连接AE交对角线BD于点 F，则图中全等三角形共有（ C ）
A B
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
第二步:写出已知、求证 第三步：进行证明
C
A
D
证明 :∵ 四边形ABCD是正方形 , 分析 :利用正方形的性质 ,对角线互相垂直平分且相 等,每条对角线平分一组对角 .平分可以产生线段等量 ∴ AC=BD,AC⊥BD,AO=BO=CO=DO. 关系,垂直可以产生直角,于是可以得到四个全等的等 ∴ △ABO 腰直角三角形 . 、 △BCO、 △CDO、 △DAO都 是等腰直角三角形,并且 △ABO≌ △BCO ≌ △CDO ≌ △DAO
方形
想一想，填一填
3.一个正方形的面积等于8，则其对角线 的长为（ ） 4.正方形ABCD的边长为2，对角线AC 、BD相交于点O，AE平分∠BAC交 BD于E，则DE的长为（ ）