2009年数学周报杯数学竞赛试题及答案

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2008年2009年2010年《数学周报》杯全国初中数学竞赛试题及简要答案

2008年2009年2010年《数学周报》杯全国初中数学竞赛试题及简要答案

中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2008年全国初中数学竞赛试题班级__________学号__________姓名______________得分______________一、选择题(共5小题,每小题6分,满分30分.以下每道小题均给出了代号为A ,B ,C ,D 的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的,请将正确选项的代号填入题后的括号里.不填、多填或错填都得0分)1.已知实数x ,y 满足:4x 4-2x 2=3,y 4+y 2=3,则4x 4+y 4的值为 ( )(A )7 (B )1+132 (C )7+132 (D )5 2.把一枚六个面编号分别为1,2,3,4,5,6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次,若两个正面朝上的编号分别为m ,n ,则二次函数y =x 2+mx +n 的图象与x 轴有两个不同交点的概率是( ) (A )512 (B )49 (C )1736 (D )123.有两个同心圆,大圆周上有4个不同的点,小圆周上有2个不同的点,则这6个点可确定的不同直线最少有 ( )(A )6条 (B )8条(C )10条 (D )12 4.已知AB 是半径为1的圆O 的一条弦,且AB =a <1.以AB 为一边在圆O 内作正△ABC ,点D 为圆O 上不同于点A 的一点,且DB =AB =a ,DC 的延长线交圆O 于点E ,则AE 的长为( ) (A )52a (B )1 (C )32 (D )a 5.将1,2,3,4,5这五个数字排成一排,最后一个数是奇数,且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除,那么满足要求的排法有( )(A )2种 (B )3种 (C )4种 (D )5种 二、填空题(共5小题,每小题6分,满分30分)6.对于实数u ,v ,定义一种运算“*”为:u *v =uv +v .若关于x 的方程x *(a *x )=-14有两个不同的实数根,则满足条件的实数a 的取值范围是_______.7.小王沿街匀速行走,发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车,每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车.假设每辆18路公交车行驶速度相同,而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车,那么发车间隔的时间是_____分钟.8.如图,在△ABC 中,AB =7,AC =11,点M 是BC 的中点,AD 是∠BAC 的平分线,MF ∥AD ,则FC 的长为______.9.△ABC 中,AB =7,BC =8,CA =9,过△ABC 的内切圆圆心I 作DE ∥BC ,分别与AB ,AC 相交于点D ,E ,则DE 的长为______.10.关于x ,y 的方程x 2+y 2=208(x -y )的所有正整数解为________. F M D B A三、解答题(共4题,每题15分,满分60分)11.在直角坐标系xOy中,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,且使得△OAB的面积值等于|OA|+|OB|+3.(1)用b表示k;(2)求△OAB面积的最小值.12.是否存在质数p,q,使得关于x的一元二次方程px2-qx+p=0有有理数根?13.是否存在一个三边长恰是三个连续正整数,且其中一个内角等于另一个内角2倍的△ABC?证明你的结论.14.从1,2,…,9中任取n个数,其中一定可以找到若干个数(至少一个,也可以是全部),它们的和能被10整除,求n的最小值.简答:一.选择题 ACBBD ;二.填空题 6. a > 0 或 a <-1; 7. 4; 8. 9; 9. 163; 10. x =48, x =160, =32; y =32.三.解答题:11. (1)k =2b -b 22(b +3),b > 2; (2)当 b =2+10, k =-1时,△OAB 面积的最小值为7+210; 12. 存在满足题设条件的质数p ,q . 当p =2,q =5时,方程2x 2-5x + 2=0 的两根为 x 1=12, x 2=2. 它们都是有理数; 13. 存在满足条件的三角形. △ABC 的边 a =6,b =4,c =5,且∠A =2∠B ,证明略. 14. n 的最小值是5,证明略.中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2009年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题(共5小题,每小题7分,共35分. 以下每道小题均给出了代号为A ,B ,C ,D 的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填、多填或错填都得0分)1.已知非零实数a ,b 满足 24242a b a -++=,则a b +等于( ).(A )-1 (B )0 (C )1 (D )2【答】C .解:由题设知a ≥3,所以,题设的等式为20b ++=,于是32a b ==-,,从而a b +=1.2.如图,菱形ABCD 的边长为a ,点O 是对角线AC 上的一点,且OA =a ,OB =OC =OD =1,则a 等于( ).(A)12 (B)12 (C )1 (D )2 【答】A .解:因为△BOC ∽ △ABC ,所以BO BC AB AC=,即 11a a a =+, 所以, 210a a --=.由0a >,解得a = 3.将一枚六个面编号分别为1,2,3,4,5,6的质地均匀的正方体骰子先 后投掷两次,记第一次掷出的点数为a ,第二次掷出的点数为b ,则使关于x ,y的方程组322ax by x y +=⎧⎨+=⎩, 只有正数解的概率为( ). (A )121 (B )92 (C )185 (D )3613 【答】D .解:当20a b -=时,方程组无解.当02≠-b a 时,方程组的解为62,223.2b x a b a y a b -⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩由已知,得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-->--,0232,0226b a a b a b 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<>>-,3,23,02b a b a 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><<-.3,23,02b a b a 由a ,b 的实际意义为1,2,3,4,5,6,可得2345612a b =⎧⎨=⎩,,,,,,,共有 5×2=10种情况;或1456a b =⎧⎨=⎩,,,,共3种情况. 又掷两次骰子出现的基本事件共6×6=36种情况,故所求的概率为3613. 4.如图1所示,在直角梯形ABCD 中,AB ∥DC ,90B ∠=︒. 动点P 从点 B 出发,沿梯形的边由B →C →D →A 运动. 设点P 运动的路程为x ,△ABP的面积为y . 把y 看作x 的函数,函数的图像如图2所示,则△ABC 的面积为( ).(A )10 (B )16 (C )18 (D )32【答】B . 解:根据图像可得BC =4,CD =5,DA =5,进而求得AB =8,故S △ABC =12×8×4=16.5.关于x ,y 的方程22229x xy y ++=的整数解(x ,y )的组数为(). (A )2组 (B )3组 (C )4组 (D )无穷多组【答】C .解:可将原方程视为关于x 的二次方程,将其变形为22(229)0x yx y ++-=.由于该方程有整数根,则判别式∆≥0,且是完全平方数.由 2224(229)7116y y y ∆=--=-+≥0,解得 2y ≤11616.57≈.于是显然,只有216y =时,4∆=是完全平方数,符合要求.当4y =时,原方程为2430x x ++=,此时121,3x x =-=-;当y =-4时,原方程为2430x x -+=,此时341,3x x ==.所以,原方程的整数解为111,4;x y =-⎧⎨=⎩223,4;x y =-⎧⎨=⎩ 331,4;x y =⎧⎨=-⎩ 443,4.x y =⎧⎨=-⎩二、填空题(共5小题,每小题7分,共35分)6.一个自行车轮胎,若把它安装在前轮,则自行车行驶5000 km 后报废;若把它安装在后轮,则自行车行驶 3000 km 后报废,行驶一定路程后可以交换前、后轮胎.如果交换前、后轮胎,要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废,那么这辆车将能行驶 km .【答】3750.解:设每个新轮胎报废时的总磨损量为k ,则安装在前轮的轮胎每行驶1 km 磨损量为5000k ,安装在后轮的轮胎每行驶1km 的磨损量为3000k .又设一对新轮胎交换位置前走了x km ,交换位置后走了y km .分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程,有,50003000,50003000kx ky k ky kx k ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 两式相加,得 ()()250003000k x y k x y k +++=, 则 237501150003000x y +==+. 7.已知线段AB 的中点为C ,以点A 为圆心,AB 的长为半径作圆,在线段AB 的延长线上取点D ,使得BD =AC ;再以点D 为圆心,DA 的长为半径作圆,与⊙A 分别相交于F ,G 两点,连接FG 交AB 于点H ,则AH AB的值为 . 解:如图,延长AD 与⊙D 交于点E ,连接AF ,EF . 由题设知13AC AD =,13AB AE =,在△FHA 和△EF A 中, 90EFA FHA ∠=∠=︒,FAH EAF ∠=∠所以 Rt △FHA ∽Rt △EF A , AH AF AF AE=. 而AF AB =,所以AH AB 13=. 8.已知12345a a a a a ,,,,是满足条件123459a a a a a ++++=的五个不同的整数,若b 是关于x 的方程()()()()()123452009x a x a x a x a x a -----=的整数根,则b 的值为 .【答】 10.解:因为()()()()()123452009b a b a b a b a b a -----=,且12345a a a a a ,,,,是五个不同的整数,所有12345b a b a b a b a b a -----,,,,也是五个不同的整数.又因为()()2009117741=⨯-⨯⨯-⨯,所以1234541b a b a b a b a b a -+-+-+-+-=.由123459a a a a a ++++=,可得10b =.9.如图,在△ABC 中,CD 是高,CE 为ACB ∠的平分线.若AC =15,BC =20,CD =12,则CE 的长等于 .【答】7. 解:如图,由勾股定理知AD =9,BD =16,所以AB =AD +BD =25 . 故由勾股定理逆定理知△ACB 为直角三角形,且90ACB ∠=︒.作EF ⊥BC ,垂足为F .设EF =x ,由1452ECF ACB ∠=∠=︒,得CF =x ,于是BF =20-x .由于EF ∥AC ,所以E F B F A C B C=, 即 201520x x -=, 解得607x =.所以7CE ==. 10.10个人围成一个圆圈做游戏.游戏的规则是:每个人心里都想好一个数,并把自己想好的数如实地告诉他两旁的两个人,然后每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出来.若报出来的数如图所示,则报3的人心里想的数是 .【答】2-.解:设报3的人心里想的数是x ,则报5的人心里想的数应是8x -.于是报7的人心里想的数是 12(8)4x x --=+,报9的人心里想的数是 16(4)12x x -+=-,报1的人心里想的数是 20(12)8x x --=+,报3的人心里想的数是4(8)4x x -+=--.所以4x x =--,解得2x =-.三、解答题(共4题,每题20分,共80分)11.已知抛物线2y x =与动直线c x t y --=)12(有公共点),(11y x ,),(22y x ,且3222221-+=+t t x x .(1)求实数t 的取值范围;(2)当t 为何值时,c 取到最小值,并求出c 的最小值.解:(1)联立2y x =与c x t y --=)12(,消去y 得二次方程2(21)0x t x c --+= ①有实数根1x ,2x ,则121221,x x t x x c +=-=.所以 2221212121[()()]2c x x x x x x ==+-+ =221[(21)(23)]2t t t --+-=21(364)2t t -+. ② ………………5分 把②式代入方程①得221(21)(364)02x t x t t --+-+=. ③ ………………10分t 的取值应满足2221223t t x x +-=+≥0, ④ 且使方程③有实数根,即22(21)2(364)t t t ∆=---+=2287t t -+-≥0, ⑤解不等式④得 t ≤-3或t ≥1,解不等式⑤得 22-t ≤22+所以,t 的取值范围为22-t ≤22+⑥ ………………15分(2) 由②式知22131(364)(1)222c t t t =-+=-+.由于231(1)22c t =-+在22-t ≤22+22t =-时,2min 31(21)22c =-+=………………20分 12.已知正整数a 满足3192191a +,且2009a <,求满足条件的所有可能的正整数a 的和.解:由3192191a +可得31921a -.619232=⨯,且()[]311(1)1(1)(1)(1)a a a a a a a a -=-++=-++-.………………5分因为()11a a ++是奇数,所以6321a -等价于621a -,又因为3(1)(1)a a a -+,所以331a -等价于31a -.因此有1921a -,于是可得1921a k =+.………………15分又02009a <<,所以0110k =,,,.因此,满足条件的所有可能的正整数a 的和为11+192(1+2+…+10)=10571. ………………20分13.如图,给定锐角三角形ABC ,BC CA <,AD ,BE 是它的两条高,过点C 作△ABC 的外接圆的切线l ,过点D ,E 分别作l 的垂线,垂足分别为F ,G .试比较线段DF 和EG 的大小,并证明你的结论.解法1:结论是DF EG =.下面给出证明. ………………5分因为FCD EAB ∠=∠,所以Rt △FCD ∽ Rt △EAB .于是可得CD DF BE AB=⋅. 同理可得 CE EG AD AB =⋅.又因为tan AD BE ACB CD CE∠==,所以有BE CD AD CE ⋅=⋅DF EG =. ………………20分解法2:结论是DF EG =.下面给出证明.……………… 5分连接DE ,因为90ADB AEB ∠=∠=︒,所以A ,B ,D ,E 四点共圆,故 CED ABC ∠=∠. ………………10分又l 是⊙O 的过点C 的切线,所以ACG ABC ∠=∠. ………………15分 所以,CED ACG ∠=∠,于是DE ∥FG ,故DF =EG .………………20分14.n 个正整数12n a a a ,,,满足如下条件:1212009n a a a =<<<=; 且12n a a a ,,,中任意n -1个不同的数的算术平均数都是正整数.求n 的最大值.解:设12n a a a ,,,中去掉i a 后剩下的n -1个数的算术平均数为正整数i b ,12i n =,,,.即 12()1n i i a a a a b n +++-=-. 于是,对于任意的1≤i j <≤n ,都有1j ii j a a b b n --=-,从而 1()j i n a a --. ………………5分 由于 11200811n n a a b b n n --==--是正整数,故 312251n -⨯. ………………10分 由于 ()()()112211n n n n n a a a a a a a ----=-+-++-≥()()()2111(1)n n n n -+-++-=-,所以,2(1)n -≤2008,于是n ≤45.结合312251n -⨯,所以,n ≤9. ………………15分另一方面,令123801,811,821a a a =⨯+=⨯+=⨯+,…,8871a =⨯+,982511a =⨯+,则这9个数满足题设要求.综上所述,n 的最大值为9. ………………20分中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2010年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题(共5小题,每小题7分,共35分.其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填、多填或错填都得0分) 1.若20 10a b b c ==,,则a bb c++的值为( ). (A )1121 (B )2111 (C )11021 (D )21011解:D 由题设得12012101111110a ab bc b c b +++===+++. 代数式变形,同除b2.若实数a ,b 满足21202a ab b -++=,则a 的取值范围是 ( ).(A )a ≤2- (B )a ≥4 (C )a ≤2-或 a ≥4 (D )2-≤a ≤4 解.C因为b 是实数,所以关于b 的一元二次方程21202b ab a -++=的判别式 21()41(2)2a a ∆--⨯⨯+=≥0,解得a ≤2-或 a ≥4.方程思想,未达定理;要解一元二次不等式3.如图,在四边形ABCD 中,∠B =135°,∠C =120°,AB=BC=4-CD=则AD 边的长为( ).(A)(B )64(C )64+ (D )622+ 解:D如图,过点A ,D 分别作AE ,DF 垂直于直线BC ,垂足分别为E ,F .由已知可得BE =AE,CF=DF =于是 EF =4+过点A 作AG ⊥DF ,垂足为G .在Rt △ADG 中,根据勾股定理得AD ==2+勾股定理、涉及双重二次根式的化简,补全图形法4.在一列数123x x x ,,,……中,已知11=x ,且当k ≥2时,1121444k k k k x x -⎛--⎫⎡⎤⎡⎤=+-- ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭(取整符号[]a 表示不超过实数a 的最大整数,例如[]2.62=,[]0.20=),则2010x 等于( ).(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 解:B由11=x 和1121444k k k k x x -⎛--⎫⎡⎤⎡⎤=+-- ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭可得 11x =,22x =,33x =,44x =,51x =,62x =,73x =,84x =,……因为2010=4×502+2,所以2010x =2. 高斯函数;找规律。

“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛试题(Word版,含答案)

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中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛试题一、选择题(共5小题,每小题7分,共35分. 以下每道小题均给出了代号为A ,B ,C ,D 的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填、多填或错填都得0分)1.已知非零实数a ,b 满足24242a b a -+++=,则a b +等于( ).(A )-1 (B )0 (C )1 (D )22.如图,菱形ABCD 的边长为a ,点O 是对角线AC 上的一点,且OA =a ,OB=OC =OD =1,则a 等于( ).(A(B(C )1 (D )23.将一枚六个面编号分别为1,2,3,4,5,6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次,记第一次掷出的点数为a ,第二次掷出的点数为b ,则使关于x ,y 的方程组322ax by x y +=⎧⎨+=⎩,只有正数解的概率为( ). (A )121 (B )92 (C )185 (D )3613 4.如图1所示,在直角梯形ABCD 中,AB ∥DC ,90B ∠=︒. 动点P 从点B 出发,沿梯形的边由B →C →D →A 运动. 设点P 运动的路程为x ,△ABP 的面积为y . 把y 看作x 的函数,函数的图像如图2所示,则△ABC 的面积为( ). (A )10 (B )16 (C )18 (D )325.关于x ,y 的方程22229x xy y ++=的整数解(x ,y )的组数为( ).(A )2组 (B )3组 (C )4组 (D )无穷多组DCOB二、填空题(共5小题,每小题7分,共35分)6.一个自行车轮胎,若把它安装在前轮,则自行车行驶5000 km 后报废;若把它安装在后轮,则自行车行驶 3000 km 后报废,行驶一定路程后可以交换前、后轮胎.如果交换前、后轮胎,要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废,那么这辆车将能行驶 km . 7.已知线段AB 的中点为C ,以点A 为圆心,AB 的长为半径作圆,在线段AB 的延长线上取点D ,使得BD =AC ;再以点D 为圆心,DA 的长为半径作圆,与⊙A 分别相交于F ,G 两点,连接FG 交AB 于点H ,则AHAB的值为 .8.已知12345a a a a a ,,,,是满足条件123459a a a a a ++++=的五个不同的整数,若b 是关于x 的方程()()()()()123452009x a x a x a x a x a -----=的整数根,则b 的值为 .9.如图,在△ABC 中,CD 是高,CE 为ACB ∠的平分线.若AC =15,BC =20,CD =12,则CE 的长等于 .10.10个人围成一个圆圈做游戏.游戏的规则是:每个人心里都想好一个数,并把自己想好的数如实地告诉他两旁的两个人,然后每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出来.若报出来的数如图所示,则报3的人心里想的数是 .三、解答题(共4题,每题20分,共80分)11.已知抛物线2y x =与动直线c x t y --=)12(有公共点),(11y x ,),(22y x ,且3222221-+=+t t x x . (1)求实数t 的取值范围;(2)当t 为何值时,c 取到最小值,并求出c 的最小值.ED CB12.已知正整数a 满足3192191a +,且2009a <,求满足条件的所有可能的正整数a 的和.13.如图,给定锐角三角形ABC ,BC CA <,AD ,BE 是它的两条高,过点C 作△ABC 的外接圆的切线l ,过点D ,E 分别作l 的垂线,垂足分别为F ,G .试比较线段DF 和EG 的大小,并证明你的结论.。

2009-2010学年上学期八年级竞赛数赛数学试题(含答案)97

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2009--2010学年上学期八年级竞赛数 学 试 题(总分100分)一、选择题(每小题5分,共30分)1、已知三点A (2,3),B(5,4),C (-4,1)依次连接这三点,则( ) A.构成等边三角形 B.构成直角三角形 C.构成锐角三角形 D.三点在同一直线上2、边长为整数,周长为20的三角形个数是( ) **个 B.6个 C.8个 D.123.已知a+b+c≠0,且a+b c =b+c a =a+cb =p ,则直线y=px+p 不经过( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.若交换代数式中的任意两个字母,代数式不变,则称这个代数式为完全对称式,如a+b+c 就是一个完全对称式.已知三个代数式:①a(b+c)+b(a+c)+c(a+b);②ab c ac b bc a 222++;③ac bc ab c b a ---++222.其中是完全对称式的( ) A .只有①② B .只有①③C .只有②③D .有①②③5.已知=++++++++2009200913312211112222 ( ) A.1 B.20092008 C .20102009 D .200920106.下图是韩老师早晨出门散步时,离家的距离y 与时间x 之间的函数图象,若用黑点表示韩老师家的位置,则韩老师散步行走的路线可能是( )二、填空题(每小题5分,共30分)7.已知正数a,b,c, 满足ab+a+b=bc+b+c=ca+c+a=99,则(a+1)(b+1)(c+1)= . 8.当x =3时,函数y=33++qx px 的值是2005,则当x =-3时,函数y=33++qx px 的值为 .9.已知62-+x x 是多项式12234-+++-+b a bx ax x x 的因式,则=a ,=b .10.如图,已知Rt △ABC ,∠C =90°,∠A =30°,在直线BC 或AC 上取一点P ,使得△PAB 是等腰三角形,则符合条件的P 点有 . 11.一次函数111+++-=k x k k y (k 为正整数)的图像与x 轴、y 轴的交点是O B A ,,为原点.设Rt △ABO 的面积是k S ,则2009321S S S S ++++ = .12.如图,△ABC 是边长为3的等边三角形,△BDC 是等腰三角形,且∠BDC =120°.以D 为顶点作一个60°角,使其两边分别交AB 于点M ,交AC 于点N ,连接MN ,则△AMN 的周长为 .三、解答题(每小题10分,共40分)13.阅读下列解题过程:2545)4()5()45()45()45()45(145122-=-=--=-⨯+-⨯=+;56)5()6(56)56()56()56(156122-=--=-⨯+-⨯=+.请回答下列问题:(1)观察上面的解题过程,请直接写出式子=-+11n n ;(2)利用上面所提供的解法,请化简9101451341231121++++++++++ 的值.第6题图C BA14.已知△ABC 是等边三角形,E 是AC 延长线上一点,选择一点D ,使得△CDE 是等边三角形,如果M 是线段AD 的中点,N 是线段BE 的中点. 求证:△CMN 是等边三角形.15.设关于x 的一次函数11b x a y +=与22b x a y +=,则称函数)()(2211b x a n b x a m y +++=(其中1=+n m )为此两个函数的生成函数.(1)当x=1时,求函数1y x =+与y=2x 的生成函数的值;(2)若函数11b x a y +=与22b x a y +=的图象的交点为P ,判断点P 是否在此两个函数的生成函数的图象上,并说明理由.16.我市某镇组织20辆汽车装运完A、B、C三种脐橙共100吨到外地销售。

全国2009年初中数学联合竞赛试题(含解析)

全国2009年初中数学联合竞赛试题(含解析)

全国2009年初中数学联合竞赛试题(含解析)一、选择题(本题满分42分,每小题7分)1.设a=7-1,则3a 3+12a 2-6a-12= ( )A.24.B. 25.C.. 47+10D. 47+122.在△ABC 中,最大角∠A 是最小角∠C 的两倍,且AB =7,AC =8,则BC = ( )A.103.用[]x 表示不大于x 的最大整数,则方程x 2-2[x]-3=0的解的个数为( )A.1.B. 2.C. 3.D. 4.4.设正方形ABCD 的中心为点O,在以五个点A 、B 、C 、D 、O 为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个,它们的面积相等的概率为( ) A.314. B. 37. C. 12. D. 47.5.如图,在矩形ABCD 中,AB =3,BC =2,以BC 为直径在矩形内作半圆,自点A 作半圆的切线AE,则sin ∠CBE= ( )A.323. C. 13. D. 106.设n 是大于1909的正整数,使得19092009n n --为完全平方数的n 的个数是( )A.3.B. 4.C. 5.D. 6.二、填空题(本题满分28分,每小题7分)7.已知t 是实数,若,a b 是关于x 的一元二次方程2210x x t -+-=的两个非负实根,则22(1)(1)a b --的最小值是____________.8. 设D 是△ABC 的边AB 上的一点,作DE//BC 交AC 于点E,作DF//AC 交BC 于点F,已知△ADE 、△DBF 的面积分别为m 和n ,则四边形DECF 的面积为______.9.如果实数,a b 满足条件221a b +=,22|12|21a b a b a -+++=-,则DCa b +=______.10.已知,a b 是正整数,且满足15152()a b +是整数,则这样的有序数对(,)a b 共有_____对.第二试 (A )一.(本题满分20分)已知二次函数2(0)y x bx c c =++<的图象与x 轴的交点分别为A 、B,与y 轴的交点为C.设△ABC 的外接圆的圆心为点P.(1)证明.⊙P 与y 轴的另一个交点为定点.(2)如果AB 恰好为⊙P 的直径且2ABC S △=,求b 和c 的值.二.(本题满分25分)设CD 是直角三角形ABC 的斜边AD 上的高,1I 、2I 分别是△ADC 、△BDC 的内心,AC =3,BC =4,求1I 2I .三.(本题满分25分)已知,,a b c 为正数,满足如下两个条件. 32a b c ++= ①14b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+-++= ② 证明.以,,a b c 为三边长可构成一个直角三角形.第二试 (B )一.(本题满分20分)题目和解答与(A )卷第一题相同.二. (本题满分25分) 已知△ABC 中,∠ACB =90°,AB 边上的高线CH 与△ABC 的两条内角平分线 AM 、BN 分别交于P 、Q 两点.PM 、QN 的中点分别为E 、F.求证.EF ∥AB.三.(本题满分25分)题目和解答与(A )卷第三题相同.第二试 (C )一.(本题满分20分)题目和解答与(A )卷第一题相同.二.(本题满分25分)题目和解答与(B )卷第二题相同.三.(本题满分25分)已知,,a b c 为正数,满足如下两个条件.32a b c ++= ① 14b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+-++= ② 是否存在以,,a b c 为三边长的三角形?如果存在,求出三角形的最大内角.一、选择题1. 设a=7-1,则3a 3+12a 2-6a-12=()A.24.B. 25.C.. 47+10D. 47+122.在△ABC中,最大角∠A是最小角∠C的两倍,且AB=7,AC=8,则BC=()A.72.B. 10.C. 105.D. 73.3.用[]x表示不大于x的最大整数,则方程x2-2[x]-3=0的解的个数为()A.1.B. 2.C. 3.D. 4.4.设正方形ABCD的中心为点O,在以五个点A、B、C、D、O为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个,它们的面积相等的概率为()A.314. B.37. C.12. D.47.5.如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=2,以BC为直径在矩形内作半圆,自点A作半圆的切线AE,则sin∠CBE= ()A.63. B.23. C.13. D.10106.设n是大于1909的正整数,使得19092009nn--为完全平方数的n的个数是()A.3.B. 4.C. 5.D. 6.原式=99,49,24,19,9,4,3, 1其中有4个完全平方数.49,9,4,1二、填空题(本题满分28分,每小题7分)7.已知t 是实数,若,a b 是关于x 的一元二次方程2210x x t -+-=的两个非负实根,则22(1)(1)a b --的最小值是____________.8.设D 是△ABC 的边AB 上的一点,作DE//BC 交AC 于点E,作DF//AC 交BC 于点F,已知△ADE 、△DBF 的面积分别为m 和n ,则四边形DECF 的面积为______.9.如果实数,a b 满足条件221a b +=,22|12|21a b a b a -+++=-,则a b +=______.10.已知,a b是正整数,且满足15152()a b是整数,则这样的有序数对(,)a b共有_____对.第二试(A)一.(本题满分20分)已知二次函数2(0)y x bx c c =++<的图象与x 轴的交点分别为A 、B,与y 轴的交点为C.设△ABC 的外接圆的圆心为点P.(1)证明.⊙P 与y 轴的另一个交点为定点.(2)如果AB 恰好为⊙P 的直径且2ABC S △=,求b 和c 的值.二.(本题满分25分)设CD 是直角三角形ABC 的斜边AD 上的高,1I 、2I 分别是△ADC 、△BDC 的内心,AC =3,BC =4,求1I 2I .三.(本题满分25分)已知,,a b c 为正数,满足如下两个条件.32a b c ++= ①14b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+-++= ② 证明.,,a b c .第二试(B)一.(本题满分20分)题目和解答与(A)卷第一题相同.二.(本题满分25分)已知△ABC中,∠ACB=90°,AB边上的高线CH与△ABC的两条内角平分线 AM、BN分别交于P、Q两点.PM、QN的中点分别为E、F.求证.EF∥AB.三.(本题满分25分)题目和解答与(A)卷第三题相同.第二试(C)一.(本题满分20分)题目和解答与(A)卷第一题相同.二.(本题满分25分)题目和解答与(B)卷第二题相同.a b c为正数,满足如下两个条件.三.(本题满分25分)已知,,32a b c ++= ① 14b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+-++= ② 是否存在以,,a b c 为三边长的三角形?如果存在,求出三角形的最大内角.。

2009年全国高中数学联合竞赛试题及解答.

2009年全国高中数学联合竞赛试题及解答.

2009年全国高中数学联合竞赛一试一、填空题:本大题共8个小题,每小题7分,共56分。

2009*1、函数21)(x x x f +=,且fn n x f f f f x f个)]]([[)()(=,则=)1()99(f◆答案:101★解析:由题意得2)1(1)()(xxx f x f+==,2)2(21)]([)(xx x f f x f+==,······2)99(991)(x x x f +=.故 101)1()99(=f .2009*2、已知直线09:=-+y x L 和圆018822:22=---+y x y x M ,点A 在直线L 上,点C B ,为圆M 上两点,在ABC ∆中,045=∠BAC ,直线AB 过圆心M ,则点A 横坐标的取值范围为 ◆答案:[]6,3★解析:设A (a ,9-a ),则圆心M 到直线AC 的距离d =AM sin ︒45,由直线AC 与圆M 相交,得 234≤d .解得 63≤≤a .2009*3、在坐标平面上有两个区域M 和N ,M 为⎪⎩⎪⎨⎧-≤≤≥x y x y y 20,N 是随t 变化的区域,它由不等式1+≤≤t x t 所确定,t 的取值范围是10≤≤t ,则M 和N 的公共面积是函数=)(t f◆答案:212++-t t ★解析:由题意知阴影部分面积s t f =)( =BEF OCD AOB S S S ∆∆∆--=212++-t t2009*4、若不等式3120071212111<++++++n n n 对一切正整数n 都成立,则最小正整数a 的值为 ◆答案:2009 ★解析:设121...2111)(++++++=n n n n f .显然)(n f 单调递减.则由)(n f 的最大值312007)1(-<a f ,可得2009=a .2009*5、椭圆12222=+by a x (0>>b a )上任意两点Q P ,,若OQ OP ⊥,则OQ OP ⋅的最小值为◆答案:.22222ba b a + ★解析:设)sin ,cos (θθOP OP P ,)).2sin(),2cos((πθπθ±±OQ OQ Q由Q P 、在椭圆上,有22222sin cos 1b a OP θθ+=(1), 22222cos sin 1b a OQθθ+=(2) (1)+(2)得.11112222b a OQOP+=+于是当 22222ba b a OQ OP +==时,OQ OP 达到最小值.22222b a b a +2009*6、若关于x 的方程)1lg(2lg +=x kx 仅有一个实根,则实数k 的取值范围为 ◆答案:0<k 或4=k★解析:由题意,方程等价于⎪⎩⎪⎨⎧+=>+>2)1(010x kx x kx ,当且仅当 0>kx (1);01>+x (2);01)2(2=+-+x k x (3) 对(3)由求根公式得]42[21,221k k k x x -±-= (4)又0042≤⇒≥-=∆k k k 或4≥k)(i 当0<k 时,由(3)得⎩⎨⎧>=<-=+01022121x x k x x ,所以21x x 同为负根。

大学生数学竞赛试卷及答案(数学类)

大学生数学竞赛试卷及答案(数学类)

Fe1 = e2 , F 2 e1 = Fe2 = e3 ," , F n −1e1 = F ( F n − 2 e1 ) = Fen −1 = en

(*)
Me1 = (an1 F n −1 + an −11 F n − 2 + " + a21 F + a11 E )e1 = an1 F n −1e1 + an −11 F n − 2 e1 + " + a21 Fe1 + a11 Ee1 = an1en + an −11en −1 + " + a21e2 + a11e1 = α1 = Ae1
圆柱面的半径即为平行直线 x = y = z 和 x − 1 = y + 1 = z 之间的距离. P0 (1, −1, 0) 为 L0 上的点.
G JJJG G JJJG | n ×ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱP0 S | | n × P0O | G G = 对圆柱面上任意一点 S ( x, y, z ) , 有 , 即 |n| |n| (− y + z − 1) 2 + ( x − z − 1) 2 + (− x + y + 2) 2 = 6 ,
地, Wm 在 g 下是不变的. 下面证明, Wm 在 f 下也是不变的.事实上,由 f (η ) = λ0η ,知
fg (η ) = gf (η ) + f (η ) = λ0 g (η ) + λ0η
fg 2 (η ) = gfg (η ) + fg (η ) = g (λ0 g (η ) + λ0η ) + (λ0 g (η ) + λ0η ) = λ0 g 2 (η ) + 2λ0 g (η ) + λ0η

2009年全国高中数学联赛试题及解答

2009年全国高中数学联赛试题及解答


x1 + x1 x2
x2 = k − =1 0
2

0
所以 x1 , x2 同为正根,且 x1 x2 ,不合题意,舍去.
综上可得 k 0 或 k = 4 为所求.
11
7. 一个由若干行数字组成的数表,从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和,最 后一行仅有一个数,第一行是前100 个正整数按从小到大排成的行,则最后一行的数是(可以 用指数表示).
条.………14 分
11
2. (本小题 15 分)已知 p , q (q 0) 是实数,方程 x2 − px + q = 0 有两个实根 , ,数列an 满足 a1 = p , a2 = p2 − q , an = pan−1 − qan−2 (n = 3,4 , ) (Ⅰ)求数列an 的通项公式(用 , 表示);
比为 的等比数列.
数列bn 的首项为: b1 = a2 − a1 = p2 − q − p = ( + )2 − − ( + ) = 2 . ( 所以 bn = 2 n−1 = n+1 ,即 an+1 − an = n+1 n = 1,2 , ) .所以 an+1 = an + n+1 (n = 1,2 , ) . ① 当 = p2 − 4q = 0 时 , = 0 , a1 = p = + = 2 , an+1 = an + n+1 (n = 1,2 , ) 变 为
(Ⅱ)若
p
=1

q
=
1 4
,求 an
的前
n
项和.

2009年全国高中数学联赛试题参考答案及评分标准

2009年全国高中数学联赛试题参考答案及评分标准

2009年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准说明:1.评阅试卷时,请依据本评分标准,填空题只设7分和0分两档;其他各题的评阅,请严格按照本评分标准的评分档次给分,不要增加其他中间档次.2.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分,解答题中至少4分为一个档次,不要增加其他中间档次. 一、填空(共8小题,每小题7分,共56分)1. 若函数()f x =且()()()n nf x f f f f x ⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ,则()()991f = . 【答案】 110【解析】 ()()()1f x f x ==, ()()()2f x f f x ==⎡⎤⎣⎦……()()99f x =.故()()991110f =.2. 已知直线:90L x y +-=和圆22:228810M x y x y +---=,点A 在直线L 上,B ,C 为圆M 上两点,在ABC ∆中,45BAC ∠=︒,AB 过圆心M ,则点A 横坐标范围为 .【答案】 []36, 【解析】 设()9A a a -,,则圆心M 到直线AC 的距离sin 45d AM =︒,由直线AC 与圆M 相交,得d 解得36a ≤≤.3. 在坐标平面上有两个区域M 和N ,M 为02y y x y x ⎧⎪⎨⎪-⎩≥≤≤,N 是随t 变化的区域,它由不等式1t x t +≤≤所确定,t 的取值范围是01t ≤≤,则M 和N 的公共面积是函数()f t = . 【答案】 212t t -++【解析】 由题意知()f t S =阴影部分面积 AOB OCD BEF S S S ∆∆∆=--()22111122t t =---212t t =-++4. 使不等式1111200712213a n n n +++<-+++ 对一切正整数n 都成立的最小正整数a 的值为 . 【答案】2009 【解析】 设()1111221f n n n n =++++++ .显然()f n 单调递减,则由()f n 的最大值()1120073f a <-,可得2009a =.5. 椭圆22221x y a b+=()0a b >>上任意两点P ,Q ,若O P O Q ⊥,则乘积OP OQ ⋅的最小值为 . 【答案】 22222a b a b +【解析】 设()cos sin P OP OP θθ,, ππcos sin 22Q OQ OQ θθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫±± ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,.由P ,Q 在椭圆上,有222221cos sin a b OP θθ=+ ① 222221sin cos a b OQ θθ=+ ② ①+②得22221111a b OP OQ+=+.于是当OP OQ =时,OP OQ 达到最小值22222a b a b +.6. 若方程()lg 2lg 1kx x =+仅有一个实根,那么k 的取值范围是 . 【答案】0k <或4k = 【解析】 ()20101kx x kx x ⎧>⎪⎪+>⎨⎪=+⎪⎩ 当且仅当 0kx > ① 10x +> ② ()2210x k x +-+=③对③由求根公式得1x,2122x k ⎡=-⎣④2400k k k ∆=-⇒≥≤或4k ≥. (ⅰ)当0k <时,由③得 12122010x x k x x +=-<⎧⎨=>⎩ 所以1x ,2x 同为负根. 又由④知121010x x +>⎧⎨+<⎩所以原方程有一个解1x .(ⅱ)当4k =时,原方程有一个解112kx =-=. (ⅲ)当4k >时,由③得12122010x x k x x +=->⎧⎨=>⎩所以1x ,2x 同为正根,且12x x ≠,不合题意,舍去. 综上可得0k <或4k =为所求.7. 一个由若干行数字组成的数表,从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和,最后一行仅有一个数,第一行是前100个正整数按从小到大排成的行,则最后一行的数是 (可以用指数表示) 【答案】981012⨯ 【解析】 易知:(ⅰ)该数表共有100行;(ⅱ)每一行构成一个等差数列,且公差依次为11d =,22d =,232d =,…,98992d =(ⅲ)100a 为所求.设第()2n n ≥行的第一个数为n a ,则 ()22111222n n n n n n a a a a -----=++=+3222222n n n a ---⎡⎤=++⎣⎦24223222222n n n n a ----⎡⎤=++⨯+⎣⎦323232n n a --=+⨯……()121212n n a n --=+-⨯()212n n -=+故981001012a =⨯.8. 某车站每天800~900∶∶,900~1000∶∶都恰有一辆客车到站,但到站的时刻是随一旅客820∶到车站,则它候车时间的数学期望为 (精确到分).【答案】 27【解析】 旅候车时间的数学期望为1111110305070902723361218⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=二、解答题1. (本小题满分14分)设直线:l y kx m =+(其中k ,m 为整数)与椭圆2211612x y +=交于不同两点A ,B ,与双曲线221412x y-=交于不同两点C ,D ,问是否存在直线l ,使得向量0AC BD +=,若存在,指出这样的直线有多少条?若不存在,请说明理由. 【解析】 由2211612y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 化简整理得()2223484480k xkmx m +++-=设()11A x y ,,()22B x y ,,则122834kmx x k +=-+()()()222184344480km k m ∆=-+->① ………………………………………………4分 由221412y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 化简整理得()22232120k xkmx m ----=设()34C x y ,,()44D x y ,,则34223kmx x k +=- ()()()2222243120km k m ∆=-+-+>② ………………………………………………8分因为0AC BD +=,所以()()42310x x xx -+-=,此时()()42310y y y y -+-=.由1234x x x x +=+得2282343km kmk k -=+-. 所以20km =或2241343k k-=+-.由上式解得0k =或0m =.当0k =时,由①和②得m -<因m 是整数,所以m 的值为3-,2-,1-,0,1,2,3.当0m =,由①和②得k <.因k 是整数,所以1k =-,0,1.于是满足条件的直线共有9条.………14分2. (本小题15分)已知p ,()0q q ≠是实数,方程20x px q -+=有两个实根α,β,数列{}n a 满足1a p =,22a p q =-,()1234n n n a pa qa n --=-= ,,(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式(用α,β表示);(Ⅱ)若1p =,14q =,求{}n a 的前n 项和.【解析】 方法一:(Ⅰ)由韦达定理知0q αβ⋅=≠,又p αβ+=,所以()1212n n n n n a px qx a a αβαβ------=+-,()345n = ,,,整理得()112n n n n a a a a βαβ----=-令1n n n b a a β+=-,则()112n n b b n α+== ,,.所以{}n b 是公比为α的等比数列. 数列{}n b 的首项为:()()222121b a a p q p ββαβαββαβα=-=--=+--+=.所以21n n n b ααα-+=⋅=,即11n n n a a βα++-=()12n = ,,.所以11n n n a a βα++=+()12n = ,,. ①当240p q ∆=-=时,0αβ=≠,12a p ααα==+=,11n n n a a βα++=+()12n = ,,变为11n n n a a αα++=+()12n = ,,.整理得,111n nn na a αα++-=,()12n = ,,.所以,数列n n a α⎧⎫⎨⎬⎩⎭成公差为1的等差数列,其首项为122a ααα==.所以()2111nna n n α=+-=+.于是数列{}n a 的通项公式为()1n n a n α=+;……………………………………………………………………………5分②当240p q ∆=->时,αβ≠,11n n n a a βα++=+1n n a βαβαβα+-=+-11n n n a βαβααβαβα++=+---()12n = ,,.整理得211n n n n a a ααββαβα+++⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭,()12n = ,,. 所以,数列1n n a αβα+⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭成公比为β的等比数列,其首项为2221a ααβαββαβαβα+=++=---.所以121n n n a αβββαβα+-+=--. 于是数列{}n a 的通项公式为11n n n a βαβα++-=-.………………………………………………10分(Ⅱ)若1p =,14q =,则240p q ∆=-=,此时12αβ==.由第(Ⅰ)步的结果得,数列{}n a 的通项公式为()11122nn n n a n +⎛⎫=+= ⎪⎝⎭,所以,{}n a 的前n 项和为231234122222n n n n n s -+=+++++234112341222222n n n n s n ++=+++++以上两式相减,整理得1133222n n n s ++=-所以332n n n s +=-.……………………………………………………………………………15分 方法二:(Ⅰ)由韦达定理知0q αβ⋅=≠,又p αβ+=,所以1a αβ=+,222a αβαβ=++.特征方程20p q λλ-+=的两个根为α,β.①当0αβ=≠时,通项()()1212n n a A A n n α=+= ,,由12a α=,223a α=得()()122212223A A A A αααα+=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 解得121A A ==.故()1n n a n α=+.……………………………………………………5分②当αβ≠时,通项()1212n n n a A A n αβ=+= ,,.由1a αβ=+,222a αβαβ=++得12222212A A A A αβαβαβαβαβ+=+⎧⎪⎨+=++⎪⎩ 解得1A αβα-=-,2A ββα=-.故1111n n n n n a αββαβαβαβα++++--=+=---.…………………………………………………………10分 (Ⅱ)同方法一.3. (本小题满分15分)求函数y 【解析】 函数的定义域为[]013,.因为y ==当0x =时等号成立.故y 的最小值为.……………………………………………5分又由柯西不等式得22y =()()()11122731312123x x x ⎛⎫+++++-= ⎪⎝⎭≤所以11y ≤. ………………………………………………………………………………10分由柯西不等式等号成立的条件,得()491327x x x =-=+,解得9x =.故当9x =时等号成立.因此y 的最大值为1.…………………………………………………………………………………15分2009年全国高中数学联合竞赛加试 试题参考答案及评分标准(A 卷)说明:1.评阅试卷时,请严格按照本评分标准的评分档次给分.2.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分,10分为一个档次,不要增加其他中间档次. 一、填空(共4小题,每小题50分,共200分)9. 如图,M ,N 分别为锐角三角形ABC ∆(A B ∠<∠)的外接圆Γ上弧 BC、 AC 的中点.过点C 作PC MN ∥交圆Γ于P 点,I 为ABC ∆的内心,连接PI 并延长交圆Γ于T .⑴求证:MP MT NP NT ⋅=⋅;⑵在弧AB (不含点C )上任取一点Q (Q A ≠,T ,B ),记AQC ∆,QCB △的内心分别为1I ,2I ,B求证:Q ,1I ,2I ,T 四点共圆.【解析】 ⑴连NI ,MI .由于PC MN ∥,P ,C ,M ,N 共圆,故PCMN 是等腰梯形.因此NP MC =,PM NC =.ABCMNPTI连AM ,CI ,则AM 与CI 交于I ,因为MIC MAC ACI MCB BCI MCI ∠=∠+∠=∠+∠=∠, 所以MC MI =.同理 NC NI =.于是NP MI =,PM NI =.故四边形MPNI 为平行四边形.因此PMT PNT S S =△△(同底,等高). 又P ,N ,T ,M 四点共圆,故180TNP PMT ∠+∠=︒,由三角形面积公式1sin 2PMT S PM MT PMT =⋅∠△1s i n 2PNT S PN NT PNT ==⋅∠△1s i n 2P N N T P MT =⋅∠ 于是PM MT PN NT ⋅=⋅. ⑵因为1111NCI NCA ACI NQC QCI CI N ∠=∠+∠=∠+∠=∠,B所以1NC NI =,同理2MC MI =.由MP MT NP NT ⋅=⋅得NT MTMP NP=. 由⑴所证MP NC =,NP MC =,故 12NT MTNI MI =. 又因12I NT QNT QMT I MT ∠=∠=∠=∠, 有12I NT I MT ∆∆∽. 故12NTI MTI ∠=∠,从而1212I QI NQM NTM I TI ∠=∠=∠=∠.因此Q ,1I ,2I ,T 四点共圆. 10. 求证不等式:2111ln 12n k k n k =⎛⎫-<- ⎪+⎝⎭∑≤,1n =,2,… 【解析】 证明:首先证明一个不等式:⑴ln(1)1x x x x<+<+,0x >. 事实上,令()ln(1)h x x x =-+,()ln(1)1xg x x x=+-+. 则对0x >,1()101h x x '=->+,2211()01(1)(1)x g x x x x '=-=>+++. 于是()(0)0h x h >=,()(0)0g x g >=.在⑴中取1x n=得⑵111ln 11n n n ⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭. 令21ln 1nn k k x n k ==-+∑,则112x =, 121ln 111n n n x x n n -⎛⎫-=-+ ⎪+-⎝⎭211n n n<-+ 210(1)n n=-<+ 因此1112n n x x x -<<<= .又因为 111ln (ln ln(1))(ln(1)ln(2))(ln 2ln1)ln1ln 1n k n n n n n k -=⎛⎫=--+---++-+=+ ⎪⎝⎭∑ .从而12111ln 11nn n k k k x k k -==⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭∑∑ 12211ln 111n k k n k k n -=⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭∑12111n k k k k -=⎛⎫>- ⎪+⎝⎭∑ 1211(1)n k k k -==-+∑111(1)n k k k -=-+∑≥111n=-+>-.11. 设k ,l 是给定的两个正整数.证明:有无穷多个正整数m k ≥,使得C k m 与l 互素.【解析】 证法一:对任意正整数t ,令(!)m k t l k =+⋅⋅.我们证明()C 1k m l =,. 设p 是l 的任一素因子,只要证明:C k m p Œ.若!p k Œ,则由 1!C ()kk mi k m k i ==-+∏1[((!)]ki i t l k =≡+∏ 1ki i =≡∏()1!m o d k p α+≡.及|!p k α,且1!p k α+Œ,知|!C k m p k α且1!C k m p k α+Œ.从而C k m p Œ.证法二:对任意正整数t ,令2(!)m k t l k =+⋅⋅,我们证明()C 1k m l =,. 设p 是l 的任一素因子,只要证明:C k m p Œ.若!p k Œ,则由 1!C ()kk mi k m k i ==-+∏21[((!)]ki i t l k =≡+∏ 1ki i =≡∏()!m o d k p ≡.即p 不整除上式,故C k m p Œ.若|!p k ,设1α≥使|!p k α,但1!p k α+Œ.12|(!)p k α+.故由11!C ()k kmi k m k i -==-+∏21[((!)]ki i t l k =≡+∏ 1ki i =≡∏()1!mod k p α+≡及|!p k α,且1!p k α+Œ,知|!C k m p k α且1!C k m p k α+Œ.从而C k m p Œ. 12. 在非负数构成的39⨯数表111213141516171212223242526272829313233343536373839x x x x x x x x x P x x x x x x x x x x x x x x x x x x⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 中每行的数互不相同,前6列中每列的三数之和为1,1728390x x x ===,27x ,37x ,18x ,38x ,19x ,29x 均大于.如果P 的前三列构成的数表111213212223313233x x x S x x x x x x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭满足下面的性质()O :对于数表P 中的任意一列123k k k x x x ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭(1k =,2,…,9)均存在某个{}123i ∈,, 使得⑶{}123min ik i i i i x u x x x =≤,,.求证:(ⅰ)最小值{}123min i i i i u x x x =,,,1i =,2,3一定自数表S 的不同列.(ⅱ)存在数表P 中唯一的一列***123k k k x x x ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,*1k ≠,2,3使得33⨯数表***111212122231323k k k x x x S x x x x x x ⎛⎫ ⎪'= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭仍然具有性质()O .【解析】 (ⅰ)假设最小值{}123min i i i i u x x x =,,,1i =,2,3不是取自数表S 的不同列.则存在一列不含任何i u .不妨设2i i u x ≠,1i =,2,3.由于数表P 中同一行中的任何两个元素都不等,于是2i i u x <,1i =,2,3.另一方面,由于数表S 具有性质()O ,在⑶中取2k =,则存在某个{}0123i ∈,,使得002i i x u ≤.矛盾.(ⅱ)由抽届原理知{}1112min x x ,,{}2122min x x ,,{}3132min x x , 中至少有两个值取在同一列.不妨设{}212222min x x x =,,{}313232min x x x =,.由前面的结论知数表S 的第一列一定含有某个i u ,所以只能是111x u =.同样,第二列中也必含某个i u ,1i =,2.不妨设222x u =.于是333u x =,即i u 是数表S 中的对角线上数字. 111213212223313233x x x S x x x x x x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭记{}129M = ,,,,令集合{}{}12|min 13ik i i I k M x x x i =∈>=,,,.显然{}111332|k k I k M x x x x =∈>>,且1,23I ∉.因为18x ,38111x x >≥,32x ,所以8I ∈.故I ∅≠.于是存在*k I ∈使得{}*22max |k k x x k I =∈.显然,*1k ≠,2,3. 下面证明33⨯数表***111212122231323k k k x x x S x x x x x x ⎛⎫ ⎪'= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭具有性质()O .从上面的选法可知{}{}*1212:min min i i i i i ik u x x x x x '==,,,,(13)i =,.这说明 {}*111211min k x x x u >,≥,{}*313233min k x x x u >,≥.又由S 满足性质()O .在⑶中取*k k =,推得*22k x u ≤,于是{}**2212222min k k u x x x x '==,,.下证对任意的k M ∈,存在某个1i =,2,3使得i ik u x '≥.假若不然,则{}12min ik i i x x x >,,1i =,3且*22k k x x >.这与*2k x 的最大性矛盾.因此,数表S '满足性质()O .下证唯一性.设有k M ∈使得数表111212122231323k k k x x x S x x x x x x ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭具有性质()O ,不失一般性,我们假定{}111121311m i n u x x x x ==,, ⑷{}221222322min u x x x x ==,,{}331323333m i n u x x x x==,, 3231x x <.由于3231x x <,2221x x <及(ⅰ),有 {}11112111m i n k u x x x x ==,,.又由(ⅰ)知:或者()a {}3313233min kku x x x x ==,,,或者 {}2212222()min kkb u x x x x ==,,.如果()a 成立,由数表 S 具有性质()O ,则 {}11112111m i n k u x x x x==,,, ⑸ {}22122222min k u x x x x ==,,, {}3313233m i n k ku x x x x ==,,.由数表 S 满足性质()O ,则对于3M ∈至少存在一个{}123i ∈,,使得 *i ik u x ≥.由*k I ∈及⑷和⑹式知, *1111k x x u >=, *3323k x x u >=.于是只能有 *222k k x u x =≤.类似地,由S '满足性质()O 及k M ∈可推得*222k k x u x '=≤.从而*k k =.。

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中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2008年全国初中数学竞赛试题参考答案答题时注意:1.用圆珠笔或钢笔作答.2.解答书写时不要超过装订线. 3.草稿纸不上交.一、选择题(共5小题,每小题6分,满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A ,B ,C ,D 的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填都得0分)1.已知实数x y ,满足 42424233y y x x -=+=,,则444y x+的值为( ).(A )7 (B ) (C ) (D )5 【答】(A )解:因为20x >,2y ≥0,由已知条件得21x ==, 2y ==, 所以444y x +=22233y x ++- 2226y x=-+=7. 另解:由已知得:2222222()()30()30x x y y ⎧-+--=⎪⎨⎪+-=⎩,显然222y x -≠,以222,y x -为根的一元二次方程为230t t +-=,所以 222222()1,()3y y x x-+=--⨯=- 故444y x +=22222222[()]2()(1)2(3)7y y x x-+-⨯-⨯=--⨯-= 2.把一枚六个面编号分别为1,2,3,4,5,6的质地均匀的正方体骰子先 后投掷2次,若两个正面朝上的编号分别为m ,n ,则二次函数2y x mx n =++的(第3题)图象与x 轴有两个不同交点的概率是( ).(A )512 (B )49 (C )1736(D )12【答】(C )解:基本事件总数有6×6=36,即可以得到36个二次函数. 由题意知∆=24m n ->0,即2m >4n .通过枚举知,满足条件的m n ,有17对. 故1736P =. 3.有两个同心圆,大圆周上有4个不同的点,小圆周上有2个不同的点,则这6个点可以确定的不同直线最少有( ).(A )6条 (B ) 8条 (C )10条 (D )12条 【答】(B )解:如图,大圆周上有4个不同的点A ,B ,C ,D ,两两连线可以确定6条不同的直线;小圆周上的两个点E ,F 中,至少有一个不是四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的交点,则它与A ,B ,C ,D 的连线中,至少有两条不同于A ,B ,C ,D 的两两连线.从而这6个点可以确定的直线不少于8条.当这6个点如图所示放置时,恰好可以确定8条直线. 所以,满足条件的6个点可以确定的直线最少有8条.4.已知AB 是半径为1的圆O 的一条弦,且1AB a =<.以AB 为一边在圆O 内作正△ABC ,点D 为圆O 上不同于点A 的一点,且DB AB a ==,DC 的延长线交圆O 于点E ,则AE 的长为( ).(A(B )1 (C (D )a 【答】(B )解:如图,连接OE ,OA ,OB . 设D α∠=,则 120ECA EAC α∠=︒-=∠.又因为()1160180222ABO ABD α∠=∠=︒+︒-120α=︒-,所以ACE △≌ABO △,于是1AE OA ==. 另解:如图,作直径EF ,连结AF ,以点B 为圆心,AB 作⊙B,因为AB =BC =BD ,则点A ,C ,D 都在⊙B 上,(第4题)由11603022F EDA CBA ∠=∠=∠=⨯︒=︒ 所以2301AE EF sim F sim =⨯∠=⨯︒=5.将1,2,3,4,5这五个数字排成一排,最后一个数是奇数,且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除,那么满足要求的排法有( ).(A )2种 (B )3种 (C )4种 (D )5种 【答】(D )解:设12345a a a a a ,,,,是1,2,3,4,5的一个满足要求的排列. 首先,对于1234a a a a ,,,,不能有连续的两个都是偶数,否则,这两个之后都是偶数,与已知条件矛盾.又如果i a (1≤i ≤3)是偶数,1i a +是奇数,则2i a +是奇数,这说明一个偶数后面一定要接两个或两个以上的奇数,除非接的这个奇数是最后一个数.所以12345a a a a a ,,,,只能是:偶,奇,奇,偶,奇,有如下5种情形满足条件:2,1,3,4,5; 2,3,5,4,1; 2,5,1,4,3; 4,3,1,2,5; 4,5,3,2,1. 二、填空题(共5小题,每小题6分,满分30分)6.对于实数u ,v ,定义一种运算“*”为:u v uv v *=+.若关于x 的方程1()4x a x **=-有两个不同的实数根,则满足条件的实数a 的取值范围是 .【答】0a >,或1a <-.解:由1()4x a x **=-,得21(1)(1)04a x a x ++++=,依题意有 210(1)(1)0a a a +≠⎧⎨∆=+-+>⎩,, 解得,0a >,或1a <-.7.小王沿街匀速行走,发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车,每隔(第8题)(第9题答案)D 3分钟从迎面驶来一辆18路公交车.假设每辆18路公交车行驶速度相同,而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车,那么发车间隔的时间是 分钟.【答】4.解:设18路公交车的速度是x 米/分,小王行走的速度是y 米/分,同向行驶的相邻两车的间距为s 米.每隔6分钟从背后开过一辆18路公交车,则 s y x =-66. ① 每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车,则s y x =+33. ② 由①,②可得 x s 4=,所以4=xs. 即18路公交车总站发车间隔的时间是4分钟.8.如图,在△ABC 中,AB =7,AC =11,点M 是BC 的中点, AD 是∠BAC 的平分线,MF ∥AD ,则FC 的长为 . 【答】9.解:如图,设点N 是AC 的中点,连接MN ,则MN ∥AB . 又//MF AD ,所以 FMN BAD DAC MFN ∠=∠=∠=∠,所以 12FN MN AB ==. 因此 1122FC FN NC AB AC =+=+=9.另解:如图,过点C 作AD 的平行线交BA 的延长线为E ,延长MF AE 于点N.则E BAD DAC ACE ∠=∠=∠=∠所以11AE AC ==. 又//FN CE ,所以四边形CENF 是等腰梯形, 即11(711)922CF EN BE ===⨯+=9.△ABC 中,AB =7,BC =8,CA =9,过△ABC 的内切圆圆心I 作DE ∥BC ,分别与AB ,AC 相交于点D ,E ,则DE 的长为 .【答】163. 解:如图,设△ABC 的三边长为a ,b ,c ,内切圆I 的半径为r , BC 边上的高为a h ,则(第8题答案)11()22a ABC ah S abc r ==++△, 所以a r ah a b c=++. 因为△ADE ∽△ABC ,所以它们对应线段成比例,因此a a h r DEh BC-=, 所以 (1)(1)a a a h r r aDE a a a h h a b c-=⋅=-=-++()a b c a b c +=++, 故 879168793DE ⨯+==++().另解:ABC S rp ∆====(这里2a b cp ++=) 所以112r ==,228ABC a S h a ⨯===△由△ADE ∽△ABC ,得23a a h r DE BC h -===, 即21633DE BC === 10.关于x ,y 的方程22208()x y x y +=-的所有正整数解为 .【答】481603232.x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩,,, 解:因为208是4的倍数,偶数的平方数除以4所得的余数为0,奇数的平方数除以4所得的余数为1,所以x ,y 都是偶数.设2,2x a y b ==,则22104()a b a b +=-,同上可知,a ,b 都是偶数.设2,2a c b d ==,则2252()c d c d +=-,所以,c ,d 都是偶数.设2,2c s d t ==,则2226()s t s t +=-,于是 22(13)(13)s t -++=2213⨯, 其中s ,t 都是偶数.所以222(13)213(13)s t -=⨯-+≤2222131511⨯-<.所以13s -可能为1,3,5,7,9,进而2(13)t +为337,329,313,289,257,故只能是2(13)t +=289,从而13s -=7.于是62044s s t t ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩,,;, 因此 481603232.x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩,,,另解:因为222(104)(104)2104216x y -++=⨯= 则有2(104)21632,y +≤又y 正整数,所以 143y ≤≤令22|104|,|104|,21632a x b y a b =-=++= 则 因为任何完全平方数的个位数为:1,4,5,6,9由2221632a b +=知22,a b 的个位数只能是1和1或6和6; 当22,a b 的个位数是1和1时,则,a b 的个位数字可以为1或9但个位数为1和9的数的平方数的十位数字为偶数,与22a b +的十位数字为3矛盾。

当22,a b 的个位数是6和6时,则,a b 的个位数字可以为4或6。

由105147b ≤≤,取b =106,114,116,124,126,134,136,144,146代入2221632a b +=得,只有当b =136时,a =56,即|104|56|104|136x y -=⎧⎨+=⎩解得48160,3232x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩ 三、解答题(共4题,每题15分,满分60分)11.在直角坐标系xOy 中,一次函数b kx y +=0k ≠()的图象与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ,B 两点,且使得△OAB 的面积值等于3OA OB ++.(1) 用b 表示k ;(2) 求△OAB 面积的最小值.解:(1)令0=x ,得0y b b =>,;令0=y ,得00bx k k=-><,. 所以A ,B 两点的坐标分别为0)(0)b AB b k -(,,,,于是,△OAB 的面积为 )(21kbb S -⋅=.由题意,有 3)(21++-=-⋅b kbk b b ,解得 )3(222+-=b b b k ,2b >.……………… 5分(2)由(1)知 21(3)(2)7(2)10()222b b b b b S b k b b +-+-+=⋅-==--21027)72b b =-++=++-≥1027+,当且仅当1022b b -=-时,有S =102+=b ,1-=k 时,不等式中的等号成立.所以,△ABC 面积的最小值为1027+. ……………… 15分12.是否存在质数p ,q ,使得关于x 的一元二次方程20px qx p -+=有有理数根?解:设方程有有理数根,则判别式为平方数.令2224q p n ∆=-=,其中n 是一个非负整数.则2()()4q n q n p -+=. ……………… 5分 由于1≤q n -≤q +n ,且q n -与q n +同奇偶,故同为偶数.因此,有如下几种可能情形:222q n q n p -=⎧⎨+=⎩,, 24q n q n p -=⎧⎨+=⎩,, 4q n p q n p -=⎧⎨+=⎩,, 22q n p q n p -=⎧⎨+=⎩,,24.q n p q n ⎧-=⎨+=⎩, 消去n ,解得22251222222p p p q p q q q p q =+=+===+, , , , .……………… 10分对于第1,3种情形,2p =,从而q =5;对于第2,5种情形,2p =,从而q =4(不合题意,舍去);对于第4种情形,q 是合数(不合题意,舍去).又当2p =,q =5时,方程为22520x x -+=,它的根为12122x x ==,,它们都是有理数.综上所述,存在满足题设的质数……………… 15分 ★12、已知,a b 为正整数,关于x 的方程220x ax b -+=的两个实数根为12x x ,,关于y 的方程220y ay b ++=的两个实数根为12y ,y ,且满足11222008x y x y -= .求b 的最小值.另解:由韦达定理,得12122,x x a x x b +== ;12122,y y a y y b +=-= 即12121212122()()(),()()y y a x x x x y y b x x +=-=-+=-+-⎧⎨==--⎩ 解得:11122221y x y x y x y x =-=-⎧⎧⎨⎨=-=-⎩⎩或 把12,y y 的值分别代入11222008x y x y -= 得1122()()2008x x x x ---=或1221()()2008x x x x ---= (不成立) 即22212008x x -=,2121()()2008x x x x +-=因为121220,0x x a x x b +=>=> 所以120,0x x >> 于是有22008a =即50215022251a ==⨯=⨯ 因为a,b都是正整数,所以2222221505225150212514a a a a ab a b a b a b ====⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨-=-=-=-=⎩⎩⎩⎩或或或 分别解得:2222150222511502502122512514a a a a b b b b ====⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨=-=-=-=-⎩⎩⎩⎩或或或 经检验只有:2250225150212514a ab b ==⎧⎧⎨⎨=-=-⎩⎩, 符合题意. 所以b 的最小值为:2251462997b =-最小值=13.是否存在一个三边长恰是三个连续正整数,且其中一个内角等于另一个内角2倍的△ABC ?证明你的结论.解:存在满足条件的三角形.当△ABC 的三边长分别为6=a ,4=b ,5=c 时,B A ∠=∠2.……………… 5分如图,当B A ∠=∠2时,延长BA 至点D ,使b AC AD ==.连接CD ,则△ACD 为等腰三角形.因为BAC ∠为△ACD 的一个外角,所以2BAC D ∠=∠.由已知,2BAC B ∠=∠,所以D B ∠=∠.所以△CBD 为等腰三角形.又D ∠为△ACD 与△CBD 的一个公共角,有△ACD ∽△CBD ,于是BD CD CD AD =, 即 cb aa b +=, 所以 ()c b b a +=2.而264(45)=⨯+,所以此三角形满足题设条件,故存在满足条件的三角形. ……………… 15分说明:满足条件的三角形是唯一的.若B A ∠=∠2,可得()c b b a +=2.有如下三种情形:(i )当b c a >>时,设1+=n a ,n c =,1-=n b (n 为大于1的正整数),代入()c b b a +=2,得()()()21121n n n +=--,解得5=n ,有6=a ,4=b ,5=c ; (ⅱ)当b a c >>时,设1+=n c ,n a =,1-=n b (n 为大于1的正整数), 代入()c b b a +=2,得()n n n 212⋅-=,解得 2=n ,有2=a ,1=b ,3=c ,此时不能构成三角形;(第13(A )题答案)aC(ⅲ)当c b a >>时,设1+=n a ,n b =,1-=n c (n 为大于1的正整数), 代入()c b b a +=2,得()()1212-=+n n n ,即 0132=--n n ,此方程无整数解.所以,三边长恰为三个连续的正整数,且其中一个内角等于另一个内角的2倍的三角形存在,而且只有三边长分别为4,5,6构成的三角形满足条件.★13、如图,△ABC 的三边长,,,,,BC a AC b AB c a b c === 都是整数,且,a b 的最大公约数是2。

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