2017_2018学年高中数学第三章导数及其应用3.2.2导数的运算法则课时达标训练含解析新人教A版
3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(课件)
§3.2 导数的计算
3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数
的运算法则
1.掌握基本初等函数的导数公式． 2.掌握导数的和、差、积、商的求导法则． 3.会运用导数的四则运算法则解决一些函数的求导问题.
1.导数公式表的记忆．(重点)
2.应用四则运算法则求导．(重点)
3.利用导数研究函数性质．(难点)
x xlna
2.导数的四则运算法则 设f(x)、g(x)是可导的. 公式 语言叙述 两个函数的和(或差)的导数，等于 这两个函数的导数的 和(差)
[f(x)±g(x)]′＝ f′(x)±g′(x)
[f(x)g(x)]′＝ f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
两个函数的积的导数，等于第一个 函数的导数乘上第二个函数，加上 第一个函数乘上第二个函数的导数
答案： 1± 7 3
4．求下列函数的导数： 1 (1)y＝2x －x＋ x；(2)y＝2xtan x.
3
解析： (1) y′＝(2x
3
1 1 2 )′－x′＋ x ′＝6x －1－x2.
(2)y′＝(2xtan x)′＝(2x)′tan x＋2x(tan x)′ ＝2 ln 2tan x＋2
1.基本初等函数的导数公式
（1）若f(x)=c，则f′(x)=0；
nxn-1 ； （2）若f(x)=xn(n∈Q*)，则f′(x)=_____
（3）若f(x)=sinx，则f′(x)=_____ cosx ；
（4）若f(x)=cosx，则f′(x)=______; -sinx （5）若f(x)=ax，则f′(x)=_____( axlna a>0)； （6）若f(x)=ex，则f′(x)=__ ex； （7）若f(x)=logax，则f′(x)= 1 (a>0且a≠1)； (8)若f(x)=lnx，则f′(x)= 1 .
高中数学 第3章 导数及其应用 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)课件 新人教A版选修1
利用导数求函数解析式
[探究问题] 对于函数y＝f(x)而言，f′(x)与f′(a)相同吗？
提示：不同，f′(x)是函数y＝f(x)的导数，而f′(a)是f′(x)在x＝a处 的函数值．
【例3】
(1)已知函数f(x)＝
ln x x
＋2xf′(1)，试比较f(e)与f(1)的大
小关系；
(2)设f(x)＝(ax＋b)sin x＋(cx＋d)cos x，试确定常数a，b，c，d，
f′(1)＝( )
A．－e
B．－1
C．1
D．e
B [∵f(x)＝2xf′(1)＋ln x， ∴f′(x)＝2f′(1)＋1x， 又f′(1)＝2f′(1)＋1， ∴f′(1)＝－1，故选B．]
课堂 小结 提素 养
求函数的导数要准确把函数分割为基本初等函数的和、差、 积、商，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析出函 数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公 式．对于不具备导数运算法则结构形式的要进行适当恒等变形，转 化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬 时速度等问题．
1．本题主要考查导数的运算法则，导数的几何性质及二次函数 最值问题及求曲线的切线方程．
2．曲线的切线问题是这类问题的纽带和桥梁，如①求与坐标轴 围成的三角形面积问题；②求与切线垂直(平行)的直线方程问题； ③求与切线有关的定值问题等．
[跟进训练]
2．设函数f(x)＝x－
3 x
，求证曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直
f(x)＝2x3－9x2＋12x [因为f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，f′(1)＝0，f′(2) ＝0，f(1)＝5，
3a＋2b＋c＝0，
所以12a＋4b＋c＝0， a＋b＋c＝5，
3.2.2 导数公式及导数的运算法则 2
f ( x0 ) f ( x) x x0
3、求曲线 解：
9 y x
在点M(3,3)处的
切线的斜率及倾斜角．
9 y 2 x
代入x=3,得
y 1
斜率为-1,倾斜角为135°
基本初等函数的导数公式
公式1.若f ( x) c, 则f '( x) 0; 公式2.若f ( x) x n , 则f '( x) nx n 1 ; 公式3.若f ( x) sin x, 则f '( x) cos x; 公式4.若f ( x) cos x, 则f '( x) sin x; 公式5.若f ( x) a x , 则f '( x) a x ln a ( a 0); 公式6.若f ( x) e x , 则f '( x) e x ; 1 公式7.若f ( x) log a x, 则f '( x) ( a 0, 且a 1); x ln a 1 公式8.若f ( x) ln x, 则f '( x) ; x
例4:求曲线y=x3+3x－8在x=2 处的切线的方程.
解 : f ( x) ( x 3 x 8) 3 x 3
3 2
f (2) 3 2 3 15
2
又过点(2,6), 切线方程为: y 6 15( x 2),即 15x y 24 0
1 90% ;
298% .
解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用
函数的导数
1 5284 c( x) ( ) 5284 ( ) 100 x x 100
1 ( x 100) 1 ( x 100) 5284 ( x 100) 2
高中数学第三章导数及其应用3.2导数的计算(第二课时)导数的运算法则1数学教案
第二课时 导数的运算法则预习课本P83～85，思考并完成以下问题导数的四则运算法则是什么？在使用运算法则时的前提条件是什么？[新知初探]导数的四则运算法则(1)条件：f (x )，g (x )是可导的．(2)结论：①[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )． ②[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )．③⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x gx′＝f ′x g x －f x g ′x[g x ]2(g (x )≠0)． [点睛] 应用导数公式的注意事项(1)两个导数的和差运算只可推广到有限个函数的和差的导数运算．(2)两个函数可导，则它们的和、差、积、商(商的分母不为零)必可导．(3)若两个函数不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导．(4)对于较复杂的函数式，应先进行适当的化简变形，化为较简单的函数式后再求导，可简化求导过程．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)f ′(x )＝2x ，则f (x )＝x 2( )(2)函数f (x )＝x e x 的导数是f ′(x )＝e x(x ＋1)( ) (3)函数f (x )＝sin(－x )的导数为f ′(x )＝cos x ( ) 答案：(1)× (2)√ (3)×2．函数y ＝x 4＋sin x 的导数为( ) A ．y ′＝4x 3 B ．y ′＝cos x C ．y ′＝4x 3＋sin x D ．y ′＝4x 3＋cos x答案：D3．函数y ＝ln xx的导数是( )A ．－1xB.1＋ln x x2C.1－ln xx2D.1x －ln xx2答案：C4．若f (x )＝(2x ＋a )2，且f ′(2)＝20，则a ＝________. 答案：1利用导数四则运算法则求导[典例(1)y ＝x 2＋log 3x ；(2)y ＝x 3·e x；(3)y ＝cos xx.[解] (1)y ′＝(x 2＋log 3x )′＝(x 2)′＋(log 3x )′ ＝2x ＋1x ln 3.(2)y ′＝(x 3·e x )′＝(x 3)′·e x ＋x 3·(e x)′ ＝3x 2·e x ＋x 3·e x ＝e x (x 3＋3x 2)．(3)y ′＝⎝⎛⎭⎪⎫cos x x ′＝cos x ′·x －cos x ·x ′x 2＝－x ·sin x －cos x x2＝－x sin x ＋cos x x2. 求函数的导数的策略(1)先区分函数的运算特点，即函数的和、差、积、商，再根据导数的运算法则求导数．(2)对于三个以上函数的积、商的导数，依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算．[活学活用]求下列函数的导数：(1)y ＝sin x －2x 2；(2)y ＝cos x ·ln x ；(3)y ＝e xsin x .解：(1)y ′＝(sin x －2x 2)′＝(sin x )′－(2x 2)′＝cos x －4x .(2)y ′＝(cos x ·ln x )′＝(cos x )′·ln x ＋cos x ·(lnx )′＝－sin x ·ln x ＋cos xx.(3)y ′＝⎝⎛⎭⎪⎫e x sin x ′＝ex′·sin x －e x·sin x′sin 2x＝e x ·sin x －e x ·cos x sin 2x＝e xsin x －cos xsin 2x. 与切线有关的综合问题[典例] (1)设函数f (x )＝13x 3－a 2x 2＋bx ＋c ，其中a ＞0，曲线y ＝f (x )在点P (0，f (0))处的切线方程为y ＝1，则b ＝________，c ＝________.(2)若曲线y ＝x ln x 上在点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．[解析] (1)由题意得f ′(x )＝x 2－ax ＋b ，由切点P (0，f (0))既在曲线f (x )＝13x 3－a 2x 2＋bx ＋c 上又在切线y ＝1上知{ f ′0＝0，f 0＝1，即⎩⎨⎧02－a ·0＋b ＝0，13×03－a 2×02＋b ·0＋c ＝1，解得b＝0，c ＝1.(2)设P (x 0，y 0)，∵y ＝x ln x ， ∴y ′＝ln x ＋x ·1x＝1＋ln x .∴k ＝1＋ln x 0，又k ＝2，∴1＋ln x 0＝2，∴x 0＝e. ∴y 0＝eln e ＝e ，∴点P 的坐标是(e ，e)． [答案] (1)0 1 (2)(e ，e) [一题多变]1．[变结论]求本例(2)中的切线与直线2x －y ＋1＝0之间的距离．解：点P 处的切线与直线2x －y ＋1＝0之间的距离即为点P 到直线2x －y ＋1＝0的距离，由典例(2)知P (e ，e)，故所求的距离d ＝|2e －e ＋1|22＋－12＝5e ＋15.2．[变结论]试求本例(2)中过曲线上一点与直线y ＝－x 平行的切线方程．解：设切点为(x 1，y 1)，因为y ′＝ln x ＋1， 所以切线的斜率为k ＝ln x 1＋1， 又k ＝－1，得x 1＝1e 2，y 1＝－2e2，故所求的切线方程为y ＋2e 2＝－⎝⎛⎭⎪⎫x －1e 2，即e 2x ＋e 2y ＋1＝0.关于函数导数的应用及其解决方法(1)应用：导数应用主要有：求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以及涉及切线问题的综合应用．(2)方法：先求出函数的导数，若已知切点则求出切线斜率、切线方程﹔若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标．总之，切点在解决此类问题时起着至关重要的作用．1．已知函数f (x )＝ax 2＋c ，且f ′(1)＝2，则a 的值为( )A．1 B. 2 C．－1 D．0解析：选A ∵f(x)＝ax2＋c，∴f′(x)＝2ax，又∵f′(1)＝2a，∴2a＝2，∴a＝1.2．函数y＝(x＋1)2(x－1)在x＝1处的导数等于( )A．1 B．2 C．3 D．4解析：选D y′＝[(x＋1)2]′(x－1)＋(x＋1)2(x－1)′＝2(x＋1)(x－1)＋(x＋1)2＝3x2＋2x－1，∴y′|x＝1＝4.3．若y＝x2·4x，则y′＝( )A．x2·4x＋2x B．(2x＋x2)·4xC．(2x＋x2ln 4)·4x D．(x＋x2)·4x解析：选C y′＝(x2)′·4x＋x2(4x)′＝2x·4x＋x2·4x ln 4＝(2x＋x2ln 4)·4x，故选C.4．曲线y＝x3－3x2＋1在点(1，－1)处的切线方程为( ) A．y＝3x－4 B．y＝－3x＋2C．y＝－4x＋3 D．y＝4x－5解析：选B 因为点(1，－1)在曲线y＝x3－3x2＋1上，所以该点处切线的斜率为k＝y′|x＝1＝(3x2－6x)|x＝1＝3－6＝－3，∴切线方程为y＋1＝－3(x－1)，即y＝－3x＋2.5．设曲线f(x)＝ax－ln x在点(1，f(1))处的切线与y＝2x 平行，则a＝( )A．0 B．1 C．2 D．3解析：选D f ′(x )＝a －1x，由题意得f ′(1)＝2，即a －1＝2，所以a ＝3.6．(2017·全国卷Ⅰ)曲线y ＝x 2＋1x在点(1,2)处的切线方程为________．解析：设y ＝f (x )，则f ′(x )＝2x －1x2，所以f ′(1)＝2－1＝1.所以在(1,2)处的切线方程为y －2＝1×(x －1)， 即y ＝x ＋1. 答案：y ＝x ＋1 7．已知函数f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cos x ＋sin x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值为________．解析：∵f ′(x )＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4sin x ＋cos x ，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4×22＋22，得f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2－1. ∴f (x )＝(2－1)cos x ＋sin x ．∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1.答案：18．若曲线f (x )＝x sin x ＋1在x ＝π2处的切线与直线ax ＋2y＋1＝0互相垂直，则实数a ＝________.解析：因为f ′(x )＝sin x ＋x cos x ， 所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝sin π2＋π2cos π2＝1. 又直线ax ＋2y ＋1＝0的斜率为－a2，所以根据题意得1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝－1，解得a ＝2.答案：29．求下列函数的导数．(1)y ＝x －ln x ； (2)y ＝(x 2＋1)(x －1)；(3)y ＝x 2sin x ； (4)y ＝x ＋3x 2＋3.解：(1)y ′＝(x －ln x )′＝(x )′－(ln x )′＝12x －1x .(2)y ′＝[(x 2＋1)(x －1)]′＝(x 3－x 2＋x －1)′＝(x 3)′－(x 2)′＋(x )′－(1)′ ＝3x 2－2x ＋1. (3)y ′＝x 2′·sin x －x 2·sin x ′sin 2x＝2x sin x －x 2cos xsin 2x. (4)y ′＝1·x 2＋3－x ＋3·2x x 2＋32＝－x 2－6x ＋3x 2＋32.10．已知函数f (x )＝x ，g (x )＝a ln x ，a ∈R.若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )相交且在交点处有相同的切线，求a 的值及该切线的方程．解：f ′(x )＝12x，g ′(x )＝ax (x ＞0)，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ln x ，12x ＝a x，解得a ＝e 2，x ＝e 2，所以两条曲线交点的坐标为(e 2，e)． 切线的斜率为k ＝f ′(e 2)＝12e，所以切线的方程为y －e ＝12e (x －e 2)，即x －2e y ＋e 2＝0.层级二 应试能力达标1．函数y ＝sin x (cos x ＋1)的导数是( )A ．cos 2x －cos xB ．cos 2x ＋sin xC ．cos 2x ＋cos xD ．cos 2x ＋cos x解析：选C y ′＝(sin x )′(cos x ＋1)＋sin x (cos x ＋1)′ ＝cos x (cos x ＋1)＋sin x (－sin x ) ＝cos 2x ＋cos x ，故选C.2．若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)等于( )A ．－1B ．－2C ．2D ．0解析：选B ∵f ′(x )＝4ax 3＋2bx 为奇函数， ∴f ′(－1)＝－f ′(1)＝－2.3．曲线y ＝x 2e x在点(1,1)处切线的斜率等于( ) A ．2eB ．eC ．3eD ．1解析：选C 函数的导数为f ′(x )＝2x e x＋x 2e x＝e x (x 2＋2x )．当x ＝1时，f ′(1)＝3e ，即曲线y ＝x 2e x 在点(1,1)处切线的斜率k ＝f ′(1)＝3e ，故选C.4．若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )＞0的解集为( ) A ．(0，＋∞) B ．(－1,0)∪(2，＋∞) C ．(2，＋∞)D ．(－1,0)解析：选C ∵f (x )＝x 2－2x －4ln x ， ∴f ′(x )＝2x －2－4x＞0，整理得x ＋1x －2x＞0，解得－1＜x ＜0或x ＞2，又因为f (x )的定义域为(0，＋∞)，所以x ＞2.5．已知曲线y 1＝2－1x与y 2＝x 3－x 2＋2x 在x ＝x 0处切线的斜率的乘积为3，则x 0＝________.解析：由题知y ′1＝1x2，y ′2＝3x 2－2x ＋2，所以两曲线在x ＝x 0处切线的斜率分别为1x 20，3x 20－2x 0＋2，所以3x 20－2x 0＋2x 2＝3，所以x 0＝1. 答案：16．已知函数f (x )＝e x －mx ＋1的图象为曲线C ，若曲线C 存在与直线y ＝12x 垂直的切线，则实数m 的取值范围是________． 解析：∵f (x )＝e x －mx ＋1，∴f ′(x )＝e x －m ，∵曲线C 存在与直线y ＝12x 垂直的切线， ∴f ′(x )＝e x －m ＝－2成立，∴m ＝2＋e x＞2，故实数m 的取值范围是(2，＋∞)． 答案：(2，＋∞)7．偶函数f (x )＝ax 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e 的图象过点P (0,1)，且在x ＝1处的切线方程为y ＝x －2，求f (x )的解析式．解：∵f (x )的图象过点P (0,1)，∴e ＝1.又∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )．故ax 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e ＝ax 4－bx 3＋cx 2－dx ＋e .∴b ＝0，d ＝0.∴f (x )＝ax 4＋cx 2＋1.∵函数f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝x －2，∴切点为(1，－1)．∴a ＋c ＋1＝－1.∵f ′(1)＝4a ＋2c ，∴4a ＋2c ＝1.∴a ＝52，c ＝－92. ∴函数f (x )的解析式为f (x )＝52x 4－92x 2＋1. 8．设抛物线C ：y ＝－x 2＋92x －4，过原点O 作C 的切线y ＝kx ，使切点P 在第一象限．(1)求k 的值；(2)过点P 作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q 的坐标．解：(1)设点P 的坐标为(x 1，y 1)，则y 1＝kx 1，①y 1＝－x 21＋92x 1－4，② 由①②，得x 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫k －92x 1＋4＝0.∵点P 为切点，∴Δ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k －922－16＝0，得k ＝172或k ＝12. 当k ＝172时，x 1＝－2，y 1＝－17. 当k ＝12时，x 1＝2，y 1＝1. ∵点P 在第一象限，∴所求的斜率k ＝12. (2)过点P 作切线的垂线，其方程为y ＝－2x ＋5.③将③代入抛物线方程，得x 2－132x ＋9＝0. 设Q 点的坐标为(x 2，y 2)，即2x 2＝9，∴x 2＝92，y 2＝－4，∴Q 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫92，－4.。
原创1：3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)
§3.2 导数的计算
3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数 的运算法则（一）
掌握基本初等函数的导数公式，会求简单函数的导数.
1.本课重点是掌握基本初等函数的导数公式及应用. 2.本课的难点是利用基本初等函数的导数公式求简单函数的导 数与导数公式的简单应用.
基本初等函数的导数公式
9
27
此时公切线的斜率为k=2x1=64 .
27
综上所述，曲线C1，C2有两条公切线，其斜率分别为0，2674 ③. …………………………………………………………………12分
1.曲线y=xn在x=2处的导数为12，则n=( ) （A）1 （B）3 （C）2 （D）4 【解析】选B.∵y′=nxn-1,∴n×2n-1=12,可得n=3.所以选B.
（1）若f(x)=c，则f′(x)=0；
（2）若f(x)=xn(n∈Q*)，则f′(x)=_n_x_n_-1_；
（3）若f(x)=sinx，则f′(x)=__c_o_sx_；
（4）若f(x)=cosx，则f′(x)=__-_si_n_x_;
（5）若f(x)=ax，则f′(x)=_a_x_ln_a_(a>0)；
…………………………………………………………………4分
②当x=2 时，2x=3x2=4
3
3
.此时C1的切线方程为y-
4=
9
4(x-
3
)，2
3
而C2的切线方程为y- 8 = (4x- ).2显然两者不是同一条
27 3 3
切线，所以x= 2舍去.………………………………………6分
3
(2)当公切线切点不同时①，在曲线C1，C2上分别任取一点A
1 x；-23 1 1
高中数学第三章导数及其应用3.2导数的运算3.2.1常数与幂函数的导数3.2.2导数公式表bb
3．2 导数的运算
3．2.1 常数与幂函数的导数 3．2.2 导数公式表
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第三章 导数(dǎo shù)及其应用
1.了解基本初等函数的导数公式． 2.理解函数 y ＝C(C 为常数)、y＝x、y＝x2、y＝1x的导数公式的推导过 程． 3．掌握基本初等函数的导数公式的应用．
答案：(3，9)
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内容(nèiróng)总结
第三章 导数(dǎo shù)及其应用
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y＝f(x) y＝ex y＝logax(a>0，a≠1，x>0)
y＝ln x y＝sin x y＝cos x
y′＝f′(x) y′＝__e_x_
1 y′＝_x_l_n_a___
1 y′＝__x____ y′＝____c_o_s_x__ y′＝____－__s_in_x___
＝－12x－32＝－2 1x3，
所以 f′(1)＝－2×1 1＝－12，
所以函数 f(x)在 x＝1 处的导数为－12.
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利用导数公式研究切线问题 求曲线 y＝cos x 在(π4， 22)处的切线方程．
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【解】 因为 y′＝(cos x)′＝－sin x， 所以 y′|x＝π4＝－sinπ4＝－ 22. 所以曲线 y＝cos x 在(π4， 22)处的切线方程为 y－ 22＝－ 22(x－π4)， 即 x＋ 2y－1－π4＝0.
2017_2018学年高中数学第三章导数及其应用3_2_3导数的四则运算法则教学案新人教B版选修1_
3.2.3 导数的四则运算法则[学习目标] 1.明白得函数的和、差、积、商的求导法则.2.明白得求导法则的证明进程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．[知识链接]前面咱们已经学习了几个经常使用函数的导数和大体初等函数的导数公式，如此做起题来比用导数的概念显得额外轻松．咱们已经会求f(x)＝5和g(x)＝等大体初等函数的导数，那么如何求f(x)与g(x)的和、差、积、商的导数呢？答：利用导数的运算法则．[预习导引]法则语言叙述[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)续表[f(x)·g(x)]′＝f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x)两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数[Cf(x)]′＝Cf′(x)常数与函数积的导数，等于常数乘以函数的导数⎣⎢⎡⎦⎥⎤f xg x′＝f′x g x－f x·g′xg2x(g(x)≠0)两个函数的商的导数，等于分子的导数乘上分母减去分子乘上分母的导数，再除以分母的平方要点一利用导数的运算法则求函数的导数例1 求下列函数的导数：(1)y ＝(x 2＋1)(x －1)； (2)y ＝3x－lg x .解 (1)∵y ＝(x 2＋1)(x －1)＝x 3－x 2＋x －1， ∴y ′＝(x 3)′－(x 2)′＋x ′－(1)′＝3x 2－2x ＋1.(2)函数y ＝3x－lg x 是函数f (x )＝3x与函数g (x )＝lg x 的差．由导数公式表别离得出f ′(x )＝3x ln3，g ′(x )＝1x ln10，利用函数差的求导法则可得y ′＝(3x －lg x )′＝f ′(x )－g ′(x )＝3x ln3－1x ln10.规律方式 本题是大体函数和(差)的求导问题，求导进程要紧扣求导法则，联系大体函数求导法则，关于不具有求导法则结构形式的可先进行适当的恒等变形转化为较易求导的结构形式再求导数． 跟踪演练1 求下列函数的导数： (1)y ＝5－4x 3；(2)y ＝3x 2＋x cos x ；(3)y ＝e x·ln x ；(4)y ＝lg x －1x2.解 (1)y ′＝－12x 2；(2)y ′＝(3x 2＋x cos x )′＝6x ＋cos x －x sin x ；(3)y ′＝e x·ln x ＋e x x；(4)y ′＝1x ln10＋2x3. 要点二 导数的应用例2 求过点(1，－1)与曲线f (x )＝x 3－2x 相切的直线方程． 解 设P (x 0，y 0)为切点，则切线斜率为k ＝f ′(x 0)＝3x 20－2. 故切线方程为y －y 0＝(3x 20－2)(x －x 0) ① ∵(x 0，y 0)在曲线上，∴y 0＝x 30－2x 0 ② 又∵(1，－1)在切线上， ∴将②式和(1，－1)代入①式得 －1－(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(1－x 0)．解得x 0＝1或x 0＝－12.切线的斜率别离为1和－54.故所求的切线方程为y ＋1＝x －1或y ＋1＝－54(x －1)．即x －y －2＝0或5x ＋4y －1＝0.规律方式 (1，－1)尽管在曲线上，可是通过该点的切线不必然只有一条，即该点有可能是切点，也可能是切线与曲线的交点，解题时注意不要漏解．跟踪演练2 已知某运动着的物体的运动方程为s (t )＝t －1t2＋2t 2(位移单位：m ，时刻单位：s)，求t ＝3s 时物体的瞬时速度．解 ∵s (t )＝t －1t 2＋2t 2＝t t 2－1t 2＋2t 2＝1t －1t2＋2t 2，∴s ′(t )＝－1t 2＋2·1t 3＋4t ，∴s ′(3)＝－19＋227＋12＝32327，即物体在t ＝3s 时的瞬时速度为32327m/s.1．下列结论不正确的是( ) A ．若y ＝3，则y ′＝0B ．若f (x )＝3x ＋1，则f ′(1)＝3C ．若y ＝－x ＋x ，则y ′＝－12x ＋1D ．若y ＝sin x ＋cos x ，则y ′＝cos x ＋sin x 答案 D解析 利用求导公式和导数的加、减运算法则求解．D 项，∵y ＝sin x ＋cos x ， ∴y ′＝(sin x )′＋(cos x )′＝cos x －sin x .2．函数y ＝cos x1－x 的导数是( )答案 C解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 1－x ′＝－sin x 1－x －cos x ·－11－x 2＝cos x －sin x ＋x sin x1－x2. 3．曲线y ＝xx ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x ＋2 答案 A 解析 ∵y ′＝x ′x ＋2－x x ＋2′x ＋22＝2x ＋22，∴k ＝y ′|x ＝－1＝2－1＋22＝2，∴切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1.4．直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x (x >0)的一条切线，则实数b ＝________.答案 ln2－1解析 设切点为(x 0，y 0)，∵y ′＝1x ，∴12＝1x 0，∴x 0＝2，∴y 0＝ln2，ln2＝12×2＋b ，∴b ＝ln2－1.求函数的导数要准确把函数拆分为大体函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．在求导进程中，要认真分析出函数解析式的结构特点，依照导数运算法则，联系大体函数的导数公式展开运算．关于不具有导数运算法则结构形式的要进行适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题．。
高中数学 第三章 导数及其应用 3.2.1 常数与幂函数的导数 3.2.2 导数公式表学案 新人教B
高中数学第三章导数及其应用3.2.1 常数与幂函数的导数3.2.2 导数公式表学案新人教B版选修1-1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第三章导数及其应用3.2.1 常数与幂函数的导数3.2.2 导数公式表学案新人教B版选修1-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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3．2.1 常数与幂函数的导数3．2。
2 导数公式表1．会用导数的定义求函数的导数．(难点)2．会利用导数公式表解决一些简单的问题．（重点)［基础·初探]教材整理基本初等函数的导数公式阅读教材P86～P88例以上部分，完成下列问题．基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c f′（x)＝0f（x)＝xα(α∈Qf′(x）＝α·xα－1＊）f(x)＝sin x f′(x）＝cos_xf（x）＝cos x f′（x)＝－sin_xf（x）＝a x f′（x)＝a x ln_a(a〉0且a≠1)f(x）＝e x f′（x）＝e xf(x）＝log a x f′(x)＝错误!(a>0且a≠1)f（x）＝ln x f′（x)＝错误!判断(正确的打“√”，错误的打“×”）(1）（log3π）′＝错误!。
( ）（2)若f(x)＝错误!，则f′(x)＝ln x．（)(3)因为（sin x）′＝cos x，所以(sin π)′＝cos π＝－1。
( )【答案】（1）×(2)×（3)×[质疑·手记］预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_____________________________________________________解惑：______________________________________________________疑问2:_____________________________________________________解惑:______________________________________________________疑问3：_____________________________________________________解惑：_______________________________________________________[小组合作型]利用导数公式求函数的导数（0000（2）求下列函数的导数．①y＝x20；②y＝错误!；③y＝log6x.【自主解答】(1）由题意可知，f′(x0)＝1，又f′(x）＝2x，所以2x0＝1，所以x0＝错误!，y0＝错误!,x0＋y0＝错误!.【答案】错误!（2)①y′＝(x20)′＝20x20－1＝20x19.②y′＝(x－4）′＝－4x－4－1＝－4x－5。
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3.2.2 导数的运算法则
课时达标训练
1.已知f(x)=x3+3x+ln3,则f′(x)为()
A.3x2+3x
B.3x2+3x·ln3+
C.3x2+3x·ln3
D.x3+3x·ln3
【解析】选C.f′(x)=3x2+3x ln3.
2.函数y= 的导数是()
A.y′=-
B.y′=-sinx
C.y′=-
D.y′=-
【解析】选C.y′= ′=
= =- .
3.已知函数f(x)=x-4lnx,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为______.
【解析】函数f(x)=x-4lnx,所以函数f′(x)=1- ,切线的斜率为-3,切点为(1,1),
所以切线方程为:3x+y-4=0,
答案:3x+y-4=0
4.已知函数f(x)= ,则f′=________.
【解析】f′(x)=
= ,
则f′= =1.
答案:1
5.一质点沿直线运动,如果由始点起经过t秒后的位移为s(t)= t3- t2+2t,那么速度为零的时
刻是________.
1
【解析】s′(t)=t2-3t+2,令s′(t)=0,
得t=1或t=2.
答案:t=1s或t=2s
6.曲线f(x)=- (x<0)与曲线g(x)=lnx公切线(切线相同)的条数为________.
【解析】f(x)=- 的导数为f′(x)= ,g(x)=lnx的导数为g′(x)= ,
设公切线的切点为(x1<0),(x2,lnx2),则切线为y+ = (x-x1),y-lnx2= (x-x2),
两切线相同,
则有消去x2,
整理得+2ln(-x1)-1=0,
记h(x)= +2ln(-x)-1,
则h′(x)=- + = ,
当x<0时,h′(x)<0,h(x)递减,且h(-e)=2- -1>0,
h =-2e-3<0,
因此h(x)=0在(-∞,0)上只有一解,
即方程+2ln(-x1)-1=0只有一解,
因此所求公切线只有一条.
答案:1
7.求下列各函数的导数.
(1)y=xsinx+cosx.
(2)y=3x2-x+5.
【解题指南】本题求解时主要应用基本求导公式:(x n)′=nx n-1,(sinx)′=cosx,(cosx)′
=-sinx,及求导法则:[f(x)g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x).
【解析】(1)y=xsinx+cosx,
所以y′=sinx+xcosx-sinx=xcosx.
2
(2)y=3x2-x+5,所以y′=6x-1.
2。