北师大版八年级下册因式分解
北师大版数学八年级下册4.因式分解-提取公因式课件
③确定字母次数：相同字母的最低次数
探索新知
问题3：对照乘法分配律的逆运算，你能将 + 写成几个因
式的乘积情势吗？
解：4x3+ 12x2
=4x2∙x+4x2∙3
=4x2(x2+3)
提公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把
这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的情势，这
b是公因式
(2) 3x2 +x
x是公因式
(3) abx-aby
ab是公因式
多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。
探索新知
问题1：找 2 + 4 3 − 6;的公因式。
2
定系数
mb
定字母
2
公因式是2mb
定指数
问题2：如何确定一个多项式的公因式呢？
①确定数字系数：各项系数的最大公约数
(3) - x2+xy-xz = - x(x+y-z)
= - x(x-y+z)
提出负号时括号里的项没变号
错误
随堂测验
2.多项式-6ab2+18a2b2-12a3b2c的公因式是（ C ）
A.-6ab2c
B-ab2
C.-6ab2
D.-6a3b2C
3.若多项式-6ab+18abx+24aby的一个因式是-6ab，那么另一个因式
种因式分解的方法叫做提公因式法.
典例分析
例1
把7 3 − 21 2 分解因式
解： = 7 2 ∙ − 7 2 ∙ 3
2
= 7 ( − 3)
例2 把−24 3 + 12 2 − 28因式分解
北师大版八年级数学下册第四章因式分解小结与复习课件
⑸(2x+y)2-2(2x+y)+1
（6) (x-y)2 - 6x +6y+9
解：原式=(2x+y-1)2
解：原式=(x-y)2-6(x-y)+9 =(x-y-3)2
(8) (x+1)(x+5）+4
解：原式=(x-y)2-6(x-y)+9 =(x-y-3)2
2. 若 100x2-kxy+49y2 是一个完全平方式, 则k= （ ±140）
3.计算(-2)101+(-2)100
解：原式=（-2)(-2)100+ (-2)100
=(-2)100(-2+1) =2100·(-1)=-2100
4.已知：2x-3=0，求代数式x(x2-x)+x2(5-x)-9的值
解：原式=x3-x2+5x2-x39
=4x2-9 =(2x+3)(2x-3) 又∵ 2x-3=0, ∴ 原式=0
三分 ③再考虑分组分解法
四查 ④检查：特别看看多项式因式 是否分解彻底
课堂小结
因 式 分 解
概念
与整式乘法的关系
提公因式法
方法 公式法
平方差公式
完全平方差公式
提：公因式 步骤 运：运用公式
查：检测结果是否彻底
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随堂训练
1.把下列各式分解因式：
(1) 4x2-16y2
(2) x2+xy+ y2.
第四章 因式分解
小结与复习
知识 归纳
复习点一 （一）分解因式的概念：
把一个多项式化成几个整式的积的情势， 叫做多项式的分解因式。也叫做因式分解。
即：一个多项式 →几个整式的积
北师大版八年级下册数学《因式分解》PPT教学课件
合作探究
探究点三 问题1：因式分解：把一个多项式化成几个 整式 的 积 的形式，这种变形叫 做因式分解.因式分解也可称为 分解因式 . 问题2：你能说明因式分解与整式的乘法有什么关系吗? 多项式的因式分解与整式的乘法互为逆变形过程. 因此可以用整式的乘法来检验分解因式是否正确.
合作探究
探究点四 例1：已知多项式x2－4x＋m因式分解的结果为(x＋a)(x－6)，求2a－m的值 解：(x＋a)(x－6)
课程讲授
1 因式分解的定义
问题1：
完成下列题目： x(x-2)=__x_2_-_2_x_ (x+y)(x-y)=__x_2-_y_2__ (x+1)2=_x_2_+_2_x_+_1_
根据左空，解决下列问题： x2-2x=( x )( x-2 ) x2-y2=( x+y )( x-y ) x2+2x+1=( x+1 )2
4.1 因式分解
八年级下册
学习目标
1 经历从分解因数到分解因式的类比过程. 2 了解因式分解的意义，以及它与整式乘法的相互关系. 3 感受因式分解在解决相关问题中的作用.
前置学习
1．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是( D )
A．a(x－y)＝ax－ay
B．x²＋2x＋1＝x(x＋2)＋1
整式乘法
(x+1)(x-1)
课程讲授
1 因式分解的定义
归纳：因式分解与整式乘法是互逆运算，二者是一个 式子的两种不同表现形式．因式分解的等号右边是两个 或几个因式积的形式，整式乘法的等号右边是多项式的 形式．
随堂练习
1. 下列各式中从左到右的变形属于分解因式的是（ C ） A. a(a+b-1)=a2+ab-a B. a2-a-2=a(a-1)-2 C. -4a2+9b2=(-2a+3b)(2a+3b) D.2x +1=x(2+ 1 )
北师大版八年级数学下册_因式分解：分组分解法
把一个多项式化成几个整式的积的形式， 这种式子变形叫做把这个多项式因式分 解，也叫做把这个多项式分解因式。
2、已经学过那些分解因式的方法？
提公因式法；
公式法——平方差公式，完全平方公式。
(a+b)(m+n)
整 am+an+bm+bn 因
=a(m+n)+b(m+n) 式 =a(m+n)+b(m+n) 式
(6) x2-x2y+xy2-x+y-y2
解： = (x2-y2)-(x2y-xy2)-(x-y) = (x-y)(x+y)-xy(x-y)-(x-y) = (x-y)(x+y-xy-1) = (x-y)[(x-xy)+(y-1)] = (x-y)[x(1-y)-(1-y)] = (x-y)(1-y)(x-1)
=am+an+bm+bn
乘 法
=(a+b)(m+n)
分 解
定义：
这种把多项式分成几组来分解因式的方法
叫分组分解法。
注意：如果把一个多项式的项分组并提出公因式 后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项 式就可以用分组分解法来分解因式。
例１ 把 a2-ab+ac-bc 分解因式
分析：把这个多项式的四项按前两项与后两项 分成两组，分别提出公因式a与c后，另一个因 式正好都是a-b，这样就可以提出公因式a-b 。
公因式x-5y。
解： 2ax-10ay+5by-bx =(2ax-10ay)+(5by-bx) =(2ax-10ay)+(-bx +5by） =2a(x-5y)-b(x- 5y) =(x-5y)(2a-b)
北师大版八年级数学下册课件：因式分解
993－99
＝99×992－99×1
993－99还能被
＝99(992－1)
哪些正整数整除？
＝99×9 800
＝98×99×100.
所以，993－ 99能被100整除.
在这里，解决问题的关键是把一个数式化成了几个数
的积的情势.
议一议
你能尝试把a3－a化成几个整式的乘积的情势吗？
与同伴交流.
解： a3-a =a·a2-a·1
整式乘法与因式分解的关系：
整式乘法与因式分解一个是积化和差，
另一个是和差化积，是两种互逆的变形．
即：多项式 因式分解
整式乘法
因式分解 和差化积
x2-1 整式乘法 积化和差
整式乘积． (x+1)(x-1)
例题讲授
例1 下列各式从左到右的变形属于因式分解的是( D ) A．a2＋1＝a(a＋ 1 )
3.下列多项式因式分解的结果是2x(x-3)的是( C )A.6x-
2x2
B.2x2+6x
C.2x2-6x
D.-2x2-6x
3. 因为(a－2)2＝a2－4a＋4，所以a2－4a＋4可因式分解为_(_a_－__2_)_2__ ．
4. 把多项式x2＋ax＋b分解因式，得(x＋1)(x－3)， 则a= -2 ，b=_-3__
a
B．(x＋1)(x－1)＝x2－1 C．a2＋a－5＝(a－2)(a＋3)＋1 D．x2y＋xy2＝xy(x＋y)
分解因式的要求： 1.分解的结果最后是积的情势； 2.每个因式必须是整式，且每个因式的次 数都必须低于多项式的次数； 3.必须分解到每个因式不能再分解为止
例2 若多项式x2+ax+b分解因式的结果为a(x﹣2)(x+3)， 求a，b的值. 解：∵x2+ax+b=a(x﹣2)(x+3)
北师大版八年级下册数学《4.1 因式分解》教学设计
北师大版八年级下册数学《4.1 因式分解》教学设计一. 教材分析《4.1 因式分解》是北师大版八年级下册数学的一章内容。
本章主要介绍了因式分解的概念、方法和应用。
因式分解是初中学过的最复杂的整式运算，也是中学数学中重要的思想方法。
本章内容对于学生来说，既是对之前所学知识的巩固，也是为之后学习更高级数学打下基础。
二. 学情分析学生在学习本章内容之前，已经掌握了整式的加减、乘法、除法等基本运算，同时也学习过一些简单的因式分解方法。
但是，对于八年级的学生来说，因式分解仍然是一个比较困难的问题，需要通过实例讲解和练习来进一步理解和掌握。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解因式分解的概念，掌握因式分解的方法，能够运用因式分解解决实际问题。
2.过程与方法：通过实例讲解和练习，培养学生观察、分析、归纳的能力，提高解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的耐心和毅力，使学生感受到数学的美丽和实用性。
四. 教学重难点1.重点：因式分解的概念和方法。
2.难点：如何运用因式分解解决实际问题。
五. 教学方法采用讲解法、示例法、练习法、讨论法等教学方法，通过实例讲解、练习和讨论，使学生理解和掌握因式分解的方法和应用。
六. 教学准备1.准备相关教学材料，如PPT、教案、练习题等。
2.准备黑板、粉笔等教学工具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引出因式分解的概念和方法。
例如，讲解“分解因数”的概念，让学生初步了解因式分解的意义。
2.呈现（15分钟）讲解因式分解的基本方法，如提公因式法、公式法等。
通过示例，让学生观察和分析因式分解的过程，引导学生主动思考和探究。
3.操练（15分钟）让学生分组进行练习，互相讨论和交流因式分解的方法。
教师巡回指导，解答学生的疑问，及时给予反馈和评价。
4.巩固（10分钟）让学生独立完成一些因式分解的题目，巩固所学知识。
教师选取部分学生的作业进行讲解和分析，指出其中的错误和不足。
北师大版八年级数学下册课件：--因式分解
因式分解 整式乘法 整式乘法
因式分解 整式乘法 因式分解 因式分解
1.检验下列因式分解是否正确：
1m 2 nm m m n 正确 2a 2 b2 a ba b 正确 3x 2 x 2 x 2x 1 不正确
2.分解因式.
(1) am+bm
1.检验下列因式分解是否正确：
1m 2 nm m m n 正确
2a2 b2 a ba b
正确
3x 2 x 2 x 2x 1 不正确
2.智力抢答
1 872 87 13 8787 13 87100 8700
利用了因式分解
21012 992 101 99101 99 200 2 400
第四章 因式分解
1 因式分解
忆一忆
1.在小学里,我们学过: 2×3×5=30 ( 整数乘法 ) 30 = 2×3×5 ( 因数分解 )
2.第三章里,我们学过:
x (x + y) = x2 + xy( 整式乘法 )
x2 + xy = x (x + y) ( 因式?分解 )
学习目标
1.理解因式分解的定义；并能用几何图形解 释因式分解的意义； 2.初步体会因式分解与整式乘法的关系； 3.感受类比与互逆的思想方法解决问题。
下列 代数式变形中,哪些是因式分解?哪些不是?为什么?
① 3a(a+2)=3a²+6a ② 3a²+6a= 3a(a+2)
③ x²-4=(x+3x=(x+2)(x- 2)+3x
⑤a²-2ab+b²= (a-b)² ⑥2a²b-ab = ab(2a-1)
北师大版初二数学下册数学八年级下北师大第四章因式分解
6.(x+y+z)²-(x-y-z)²=(x+y+z+x-y-z)(x+y+z-x+y+z) =2x(2y+2z)
7.4xy²-4x²y-y³=y(4xy-4x²-y²)
8.x²-6x+8=(x-2)(x-4)
1.把下列各式分解因式. （1） 5a²-20b²； （2） p²(a-1)+p(1-a)²； （3）a²(x-y) + 9b²（y-x）; （4）(a²-4)²+6(a²-4)+9 .
1. b²- 2b-8=b (b-2 ) – 8; 2. 2x3 4x 2 2x =2x(x²+2x); 3.x(x+y)(x-y)-x(x+y)²=x(x+y)(x-y-x-y); 4.p4 - 1=(p²+1)(p²-1); 5.mn(m-n)-m(n-m)²=mn(m-n)+m(m-n)²
提公因式法 运用公式法
平方差公式 a2 b2 (a b)(a b)
完全平方公式 a2 2ab b2 (a b)2
如果把乘法公式反过来，那 么就可以用来把某些多项式 分解因式，这种分解因式的 方法叫做运用公式法。
下列各式的因式分解是否正确？如果不正确， 应怎样改正？你能从中得到什么启示？
2.你能把下列各式分解因式吗？
（1）x²-y²-2y-1 (2) m²-4mn+3n²
解:(1)原式=x²-(y²+2y+1 ) =x²-(y+1) ² =（x+y+1)(x-y-1)
(2)原式= m²-4mn+4n²-n² =(m-2n) ²-n² =(m-2n+n)(m-2n-n) =(m-n)(m-3n)
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第四章因分解式
3．公式法（一）
游凤中学李军
一、学生起点分析
学生的知识技能基础：学生在上几节课的基础上，已经基本了解整式乘法运算与因式分解之间的互逆关系，在七年级的整式的乘法运算的学习过程中，学生已经学习了平方差公式，这为今天的深入学习提供了必要的基础．
学生活动经验基础：通过前几节课的活动和探索，学生对类比思想、数学对象之间的对比、观察等活动形式有了一定的认识与基础，本节课采用的活动方法是学生较为熟悉的观察、对比、讨论等方法，学生有较好的活动经验．
二、教学任务分析
学生在学习了用提取公因式法进行因式分解的基础上，本节课又安排了用公式法进行因式分解，旨在让学生能熟练地应对各种形式的多项式的因式分解，为下一章分式的运算以及今后的方程、函数等知识的学习奠定一个良好的基础。
本节课的具体教学目标为：
1．知识与技能：
（1）理解平方差公式的本质：即结构的不变性，字母的可变性；
（2）会用平方差公式进行因式分解；
（3）使学生了解提公因式法是分解因式首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解2．过程与方法：经历探索利用平方差公式进行因式分解的过程，发展学生的逆向思维，渗透数学的“互逆”、换元、整体的思想，感受数学知识的完整性．3．情感与态度：在探究的过程中培养学生独立思考的习惯，在交流的过程中学会向别人清晰地表达自己的思维和想法，在解决问题的过程中让学生深刻感受到“数学是有用的”。
三、教学过程分析
本节课设计了八个教学环节：复习回顾——探究新知——范例学习——落实基础——能力提升——巩固练习——联系拓广——自主小结．
第一环节 复习回顾
活动内容：填空：
（1）（x+5）（x –5） = ；
（2）（3x+y ）（3x –y ）= ；
（3）（3m +2n ）（3m –2n ）= ．
它们的结果有什么共同特征？
尝试将它们的结果分别写成两个因式的乘积：
活动目的：学生通过观察、对比，把整式乘法中的平方差公式进行逆向运用，发展学生的观察能力与逆向思维能力．
注意事项：由于学生对乘法公式中的平方差公式比较熟悉，学生通过观察与对比，能很快得出第一组式子与第二组式子之间的对应关系．
第二环节 探究新知
活动内容：谈谈你的感受。
结论：整式乘法公式的逆向变形得到分解因式的方法。
这种分解因式的方法称为运用公式法。
活动目的：引导学生从第一环节的感性认识上升到理性认识，区别整式乘法与分解因式的同时，认识学习新的分解因式的方法——公式法。
.____________________49_;____________________9__;
____________________2522222=-=-=-n m y x x
注意事项：能正确理解两者的联系与区别即可。
活动内容：
说一说 找特征
))((22b a b a b a -+=-
(1)公式左边：（是一个将要被分解因式的多项式）
★被分解的多项式含有两项，且这两项异号，并且能写成（ ）２－（ ）２的形式。
(2) 公式右边:（是分解因式的结果）
★分解的结果是两个底数的和乘以两个底数的差的形式。
试一试 写一写
下列多项式能转化成（ ）２－（ ）２的形式吗？
如果能，请将其转化成（ ）２－（ ）２的形式。
活动目的：让学生通过自己的归纳找到因式分解中平方差公式的特征，并能利用相关结论进行实例练习。
注意事项：在老师的指导下，完善学生对公式特征的相关描述并得出结论。
同时要求学生对于不能利用平方差公式进行分解因式的式子给出相应的解释。
第三环节 范例学习
活动内容：例1把下列各式因式分解：
（1）25–16x 2 （2）9a 2–24
1b 活动目的：教师例题讲解，明确思维方法，给出书写范例。
注意事项: 使学生明确运用平方差公式进行分解因式的实质是找到“a”和“b”．
第四环节 落实基础
活动内容：
1、判断正误：
（1）x 2+y 2=（x+y ）(x –y ) ( )
（2）x 2–y 2=（x+y ）(x –y ) ( )
（3）–x 2+y 2=–（x +y ）(x –y ) ( )
（4）–x 2–y 2=–（x+y ）(x –y ) ( )
2、把下列各式因式分解：
活动目的：通过学生的反馈练习，使教师能全面了解学生对平方差公式的特征是否清楚，对平方差公式分解因式的运用是否得当，因式分解的步骤是否真正了解，以便教师能及时地进行查缺补漏．
注意事项：落实基础此环节的练习设置均比较基础，就作为全体学生完成的目标．最后一题分解因式强调分解需彻底。
第五环节 能力提升
活动内容：例2把下列各式因式分解：
活动目的：进一步让学生理解平方差公式中的a 、b 不仅可以表示具体的数，而且可以表示其它代数式（注意使用整体方法进行教学），只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解。
同时让学生明白分解因式的结果必须彻底。
总结分解因式的一般步骤：一提二套，多项式的因式分解要分解到不能再分解为止。
注意事项：在讲解使用整体法进行分解因式时，需注意强调括号前的系数变化和去括号后的符号变化，这往往是大多数学生容易出现的错误情况。
249)1(x
+-2224
1)2(z y x -2212125.0)3(p
q -1
)4(4-p 2)2(254)1(n m --22)()(9)2(n m n m --+2
394)3(xy x -
第六环节巩固练习
教学内容：
1.把下列各式分解因式：
2.简便计算
活动目的：本课时设置的第二个练习反馈环节，旨在训练学生对整体换元思想的实际应用能力。
注意事项：在教师的引导下，规范书写步骤，避免在化简过程中出现不必要的错误．第七环节联系拓广
教学内容：
例3、如图，在一块边长为a的正方形纸片的四角，各剪去一个边长为
b的正方形．用a与b表示剩余部分的面积，并求当a=3.6，b=0.8时
的面积．
问题解决：如图，大小两圆的圆心相同，已知它们的半径分别是R cm
和r cm，求它们所围成的环形的面积。
如果R=8.45cm,r=3.45cm呢？
活动目的：本课时的第3个例题讲解环节，旨在对因式分解进行实际应
用问题讲解，同时设计了一道同类的同心圆面积的求解进而了解学生掌
握情况。
注意事项：在实际应用中，部分学生对于例题因式分解的实际应用不能理解，他们没有采用因式分解的方法，而是利用计算器硬生生地计算出来．
第八环节自主小结
活动内容：从今天的课程中，你学到了哪些知识？掌握了哪些方法？
活动目的：通过学生的回顾与反思，强化学生对整式乘法的平方差公式的与因式分解的
平方差公式的互逆关系的理解，发展学生的观察能力和逆向思维能力，加深对类比数学思想的理解．
注意事项：学生认识到了以下事实：
（1）有公因式（包括负号）则先提取公因式；
（2）整式乘法的平方差公式与因式分解的平方差公式是互逆关系；
（3）平方差公式中的a与b既可以是单项式，又可以是多项式；
课后作业：完成课本习题。