2018高中数学第1章立体几何初步第二节点、直线、面的位置关系7点到面的距离和线面角学案苏教版必修2
高中数学第一章立体几何初步1.2点、线、面之间的位置关系1.2.3第1课时直线与平面垂直高一数学
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②垂直于同一直线的两个平面平行(证明面面平行的方法).
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自我(zìwǒ)检测
1.若直线l不垂直于平面α,那么(nà me)平面α内( ) C (A)不存在与l垂直的直线
(B)只存在一条与l垂直的直线
(C)存在无数条直线与l垂直
(D)以上都不对
解析(jiě xī):直线与平面不垂直也可以垂直于平面内的无数条直线,这些直线都相 互平行.故选C.
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类型(lèixíng直)二线与平面(píngmiàn)垂直的性质
【例2】 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E、F分别(fēnbié)在A1D、AC上,且EF⊥A1D,EF⊥AC. 求证:EF∥BD1.
证明:如图所示,
连接AB1,B1C、BD,B1D1, 因为DD1⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,所以DD1⊥AC. 又因为AC⊥BD且BD∩DD1=D,所以AC⊥平面BDD1B1. 因为BD1⊂平面BDD1B1,所以BD1⊥AC. 同理可证BD1⊥B1C,又B1C∩AC=C,所以BD1⊥平面AB1C. 因为EF⊥A1D,A1D∥B1C,所以EF⊥B1C. 又EF⊥AC且AC∩B1C=C,所以EF⊥平面AB1C,所以EF∥BD1.
与平面ABCD的关系是
.
解析:因为PA=PC,PB=PD,O为AC,BD中点,
所以(suǒyǐ)PO⊥AC,PO⊥BD,
又AC∩BD=O, 所以PO⊥平面ABCD.
精品学习2018高中数学 第1章 立体几何初步 第二节 点、直线、面的位置关系7 点到面的距离和线面
点到面的距离和线面角（答题时间：40分钟）**1. 若正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60°角，则A1C1到底面ABCD的距离为________。
**2. 如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1，底面三角形的边长为1，则BC1与侧面ACC1A1所成的角是________。
**3. △ABC的三条边长分别是5、12、13，△ABC所在平面外一点P到三点的距离都等于7，那么P到平面ABC的距离为________。
*4. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，（1）直线A1B与平面ABCD所成的角是________；（2）直线A1B与平面ABC1D1所成的角是________；（3）直线A1B与平面AB1C1D所成的角是________。
**5. 如图，在底面为菱形的四棱锥P－ABCD中，PA＝AB＝a，PB＝PD a，AC＝a，则直线PC与底面ABCD所成角的大小为________。
*6. 正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1C1与平面ABC1D1所成角的正弦值为________。
**7. 如图，已知AB是圆O的直径，C为圆上一点，AB＝2，AC＝1，P为⊙O所在平面外一点，且PA垂直于圆O所在平面，PB与平面所成的角为45°。
（1）求证：BC⊥平面PAC；（2）求点A到平面PBC的距离。
**8. 如图，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，DF垂直平分SC于点F且交AC于点D，若SA＝AB，SB＝BC，求BF与平面SAC所成的角的余弦值。
***9. 已知P为矩形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，Q为AP的中点，AB＝3，BC＝4，PA＝2。
求：（1）点Q到直线BD的距离；（2）点P到平面BQD的距离。
1. 3解析：依题可知∠B 1AB ＝60°，平面A 1B 1C 1D 1∥平面ABCD ，A 1C 1⊂平面A 1B 1C 1D 1，∴B 1B 即为A 1C 1到底面ABCD 的距离，B 1B ＝3。
高中数学 第1章 立体几何初步 1.2 点、线、面之间的位置关系 1.2.2 空间两条直线的位置关系
公理4及等角定理的应用 在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，E，F，E1，F1 分别是 棱 AB，AD，B1C1，C1D1 的中点． 求证：(1)EF 綊 E1F1；
(2)∠EA1F＝∠E1CF1. (链接教材 P26 例 1，P27 例 2)
[证明] (1)如图，连结 BD，B1D1，在△ABD 中，因为 E，F 分别为 AB，AD 的中点，所以 EF 綊12BD. 同理，E1F1 綊12B1D1.
1．如图所示，AB，CD是两异面直线，求证：直线AC，BD 也是异面直线．
证明：法一：假设AC和BD不是异面直线，则AC和BD在同一 平面内，设这个平面为α， 由AC⊂α，BD⊂α，知A，B，C，D∈α.故AB⊂α，CD⊂α. 这与AB和CD是异面直线矛盾，
所以假设不成立，则直线AC和BD是异面直线． 法二：由题图可知，直线AB、AC相交于点A， 所以它们确定一个平面为α. 由直线AB和CD是异面直线，则D∉α， 即直线BD过平面α外一点D与平面α内一点B. 又AC⊂α，B∉AC，所以直线AC和BD是异面直线．
在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，BB1 綊 DD1，所以四边形
BB1D1D 为平行四边形，所以 BD 綊 B1D1，又 EF 綊12BD，E1F1 綊12B1D1，所以 EF 綊 E1F1.
(2)取 A1B1 的中点 M，连结 F1M，BM，则 MF1 綊 B1C1.
∴DAEE∉∈∉F⊂αDα，F，α.，
∴AE 和 DF 是异面直线．
法二：(反证法)若AE和DF不是异面直线，则AE和DF共面， 设过AE，DF的平面为β. ①若E，F重合，则E是BC的中点，从而有AB＝AC，这与题 设AB≠AC相矛盾． ②若E，F不重合，∵B∈EF，C∈EF，EF⊂β， ∴BC⊂β. 又A∈β，D∈β，∴A，B，C，D四点共面，这与题设ABCD 是空间四边形相矛盾． 综上，AE和DF不是异面直线不成立． 故AE和DF是异面直线．
高中数学 第一章 立体几何初步 1.2 点、线、面之间的位置关系 1.2.3 直线与平面的位置关系教
高中数学第一章立体几何初步1.2 点、线、面之间的位置关系1.2.3 直线与平面的位置关系教案3 苏教版必修2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第一章立体几何初步1.2 点、线、面之间的位置关系1.2.3 直线与平面的位置关系教案3 苏教版必修2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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1。
2 点、线、面之间的位置关系 1.2.3 直线与平面的位置关系教学目标 了解直线和平面所成角的概念和范围;能熟练地运用直线和平面垂直的判定定理和性质定理. 重点难点直线与平面所成角的概念．引入新课1．通过观察一条直线与一个平面相交，思考如何量化它们相交程度的不同．2．平面的斜线的定义： ； 叫做斜足； 叫做这个点到平面的斜线段． 3．过平面外一点P 向平面α引斜线和垂线，那么过斜足Q 与垂足P 的直线就是 ； 线段Q P 1就是线段PQ ． 4．斜线与平面所成的角的概念 ，其范围是 ．指出右上图中斜线PQ 与平面α所成的角是 ，你能证明这个角是PQ 与平面α内经过点Q 的直线所成的所有角中最小的角吗？一条直线垂直于平面时，这条直线与平面所成的角是 ； 一条直线与平面平行或在平面内，我们说他们所成的角是 ．思考:直线与平面所成的角的范围是 ． 例题剖析例 1 如图：已知AC ，AB 分别是平面α垂线和斜线，B C ，分别是垂足和斜足，a ⊂α,a ⊥BC ，求证:a ⊥AB ．能用文字语言表述这个结论吗？P Q1Pα AB Cαa例2 如图,∠BAC 在平面α内，点P ∉α,∠PAB=∠PAC ．求证:点P 在平面α内的射影在∠BAC 的平分线上．[思考］:（1）若∠PAB=∠PAC=60°，∠BAC =90°，则直线PA 与α所成角的大小__________．（2）从平面α外同一点引平面的斜线段长相等，那么它们在α内射影长相等吗?反之成立吗?（3）若将例2中条件“∠PAB=∠PAC "改为“点P 到∠BAC 的两边AB 、AC 的距离相等”，结论是否仍然成立?(4）你能设计一个四个面都是直角三角形的四面体吗？巩固练习1．如图，︒=∠90BCA ，（1）与PC 垂直的直线有：（2）与AP 垂直的直线有： 2．在正方体1111D C B A ABCD -中，直线1AD 与平面ABCD所成的角是3．如果PA 、PB 、PC 两两垂直， 那么P 在平面ABC 内的射影一定是△ABC 的 ( ) A ．重心 B ．内心 C ．外心 D ．垂心 4．如图，一块正方体木料的上底面内有一点E ，要经过点E 在上底面内画一条直线与CE 垂直，应怎样画？课堂小结APO CBαPCAE平面的斜线及斜线在平面内的射影的概念;直线与平面所成的角概念、范围．课后训练一基础题1．若直线a与平面α不垂直,那么在平面α内与直线a垂直的直线（）.A只有一条.B有无数条.C是平面α内的所有直线.D不存在2．设PA、PB、PC是从点P引出的三条射线，每两条的夹角都等于60°,则直线PC与平面APB所成角的余弦值是．3．在三棱锥P—ABC中，顶点P在平面ABC内的射影是△ABC的外心，则三条侧棱PA、PB、PC大小关系是_________________．二提高题4．在四棱锥ABCDP-中,ABCD是矩形,⊥PA平面ABCD．（1)指出图中有哪些三角形是直角三角形，并说明理由；（2）若ABADPA==，试求PC与平面ABCD所成角的正切值．5．求证：如果平面内的一条直线与这个平面的一条斜线垂直，那么这条直线就和这条斜线在这个平面内的射影垂直．三能力题6．在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC上的射影O是△ABC的垂心,求证：PA⊥BC．AOPC BA B D CP。
近年高中数学第1章立体几何初步第二节点、直线、面的位置关系1平面的基本性质及推论学案苏教版必修2(
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平面的基本性质及推论一、考点突破知识点课标要求题型说明平面的基本性质及推论1。
借助实例，直观了解平面的概念、画法，会用图形与字母表示平面；2。
会用符号语言规范地表述空间点、直线、平面之间的位置关系;3。
能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理，理解三个公理的地位与作用填空平面的基本性质及推论是立体几何的基础,确定平面，判定共线、共点的依据，尤其是注意三种语言的相互转化需认真练习二、重难点提示重点：平面的概念及其表示，平面的基本性质—-三大公理及其推论，注意它们的条件、结论、作用，图形、符号、文字语言的相互转化.难点：平面的基本性质—-三大公理及其推论，图形、符号、文字语言的相互转化。
考点一：平面的概念及表示1. 平面的概念平面是从现实世界中抽象出来的几何概念,它没有厚薄，是无限延展的。
2. 平面的表示(1)图形表示平面通常用平行四边形来表示。
当平面水平放置的时候，一般用水平放置的正方形的直观图作为平面的直观图.【要点诠释】也可以根据需要用其他平面图形表示平面,例如三角形、圆、矩形等。
（2）字母表示平面通常用希腊字母α、β、γ…表示，也可以用平行四边形的两个相对顶点的字母表示，如平面α、平面AC等.3. 平面的画法一般用平行四边形表示平面，当平面水平放置时,一边画成水平线,另一边与此边成45︒,且横边画成邻边的两倍;当平面竖直放置时,一边画成竖直，另一边与此边成45︒。
高中数学第一章立体几何初步1.2点线面之间的位置关系素材苏教版必修2
点、线、面之间的位置关系知识点一：空间中点、直线、平面之间的位置关系 （1）三个公理平面含义：平面是无限延展的平面的画法及表示：①平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图）②平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。
三个公理：公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内符号表示为A ∈LB ∈L => L α A ∈αB ∈α公理1作用：判断直线是否在平面内公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。
公理2作用：确定一个平面的依据。
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据（2）空间中直线与直线之间的位置关系①空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。
② 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线a ∥bc ∥b强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
③ 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.注意点：① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为了简便，点O 一般取在两直线中的一条上； ② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )；③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ；L A · α C · B· A · α P · α L β D C B A α 共面直线 =>a ∥c2④两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；⑤计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
高中数学第1章立体几何初步1.2点、线、面之间的位置关系1.2.4平面与平面的位置关系(3)课件苏教必修2
A
C
B
4．如图，P为Rt△ABC所在平面外一点，∠ABC＝90，且PA＝PB＝PC． 求证：平面PAC⊥平面ABC．
P 证明： 取AC的中点O，连PO，BO，
因为PA=PC，所以PO⊥AC.
又因为∠ABC＝90，
所以BO=AO.
又PB=PA，
A
所以△PBO≌△PAO.
则∠PBO= ∠PAO= 90， 即PO⊥BO.
∩＝l 求证a：a⊥
．
a⊥
a⊥l
*面面垂直线面垂直
Aa
证明：设a∩l＝O，在a上任取点A，
在平面内作BO⊥l，
l O
B
则∠AOB就是二面角-l-的平面角
由⊥可知AO⊥OB．
又AO⊥l，所以AO⊥．
数学应用：
例1．求证：如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于 第二个平面的直线在第一个平面内．
指求出证图：中平两面两 AB互C⊥相平垂面直A的C平D面．．
A
B
D
C
数学应用：
2．如图，已知四边形ABCD为矩形， PA⊥平面ABCD，请写出图中与面 PAB垂直的所有平面．
P
A D
B C
3．如图，S为三角形ABC所在平面外一点，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平 面SBC．求证：AB⊥BC．
S
D
O
C
B
所以PO⊥平面ABC.
又PO平面PAC，
所以平面PAC⊥平面ABC．
作业：
课本43页练习． 课本44页习题1．2(3)5，6．
已知：，A，AB．
求证：AB．
同一法
B
A B
B B
高中数学 第1章 立体几何初步 1.2 点、线、面之间的位置关系 1.2.3 第一课时 直线与平面平
直线与平面的位置关系
下面四个命题中正确命题的个数是____1____． ①如果a、b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一 个平面； ②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的任何一条 直线平行； ③如果直线a、b满足a∥α，b∥α，则a∥b； ④如果直线a、b和平面α满足a∥b,a∥α,b⊄α,那么b∥α. (链接教材P34练习T1)
第1章 立体几何初步
1．2.3 直线与平面的位置关系
第一课时 直线与平面平行
第1章 立体几何初步
学习导航
1.了解空间直线与平面的三种位置关系．
学习 目标
2．理解直线与平面平行的判定定理与性质定 理．(重点) 3．掌握直线与平面平行的定义、判定、性质及应
用．(难点)
通过观察图形，借助已有知识，在发现中学习， 学法 增强学习的积极性，进而掌握直线与平面平行的 指导 判定定理及性质定理，初步了解空间与平面互相
解析：①不可以。若b⊂α，a∥b.则a∥α或a⊂α；②不可以， 若b⊂α，c∥α，a∥b，a∥c，则a∥α或a⊂α；③不可以，若 满足此条件，则a∥α或a⊂α或a与α相交；④正确，恰好是判 定定理所具备的不可缺少的三个条件． 3．若直线a不平行于平面α，则下列结论： ①α内的所有直线都与直线a异面； ②α内不存在与a平行的直线； ③α内的直线都与a相交； ④直线a与平面α有公共点． 其中，不正确结论的所有序号为____①__②__③_____．
位置 关系
直线a在 平面α内
直线a在平面α外
直线a与平 面α相交
直线a与平 面α平行
符号表示 ____a_⊂_α______ ___a_∩__α_＝__A___ ____a_∥__α_____
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点到面的距离和线面角
二、重难点提示
重点：掌握点到面的距离和线面角的解法。
难点：如何寻找点在平面内的射影。
考点一：点到平面的距离 1. 点到平面的距离
从平面外一点引平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离。
2. 直线和平面的距离
一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线和这个平面的距离。
【要点诠释】
直线到平面的距离常常转化为点到平面的距离求解。
【规律总结】 求点面距离的常用方法
① 直接过点作面的垂线，求垂线段的长，通常要借助于某个直角三角形。
② 转移法：借助线面平行将点转移到直线上某一特殊点到平面的距离求解。
③ 体积法：利用三棱锥的特征转化位置来求解。
（后面章节）
考点二：直线和平面所成的角 1. 斜线
一条直线与一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线与平面的交点叫做斜足，斜线上一点与斜足间的线段叫做这个点到平面的斜线段。
2. 正投影
过平面α外一点P 向平面α引斜线和垂线，那么过斜足Q 和垂足P 1的直线就是斜线
在平面内的正投影（简称射影），线段P1Q就是斜线段PQ在平面α内的射影，如图所示。
3. 直线和平面所成的角
（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线与这个平面所成的角。
特别地：如果直线和平面垂直，那么就说这条直线与平面所成的角是直角；如果直线与平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°的角。
（2）范围：设直线与平面所成的角为θ，则0°≤θ≤90°。
（3）画法：如图所示，斜线AP与平面α所成的角是∠PAO。
【核心归纳】求解斜线和平面所成的角的一般步骤是：
① 确定斜线与平面的交点即斜足；
② 经过斜足上除斜足外任一点作平面的垂线，确定垂足，进而确定斜线在平面内的射影；
③ 求解由垂线、斜线及其射影构成的直角三角形。
【核心突破】
求线面角的关键是找直线在相应平面内的射影，其反映了空间问题平面化的思想。
【难点剖析】确定点的射影位置有如下几种方法：
① 斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上；
② 如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的角平分线上；
③ 利用某些特殊棱锥的有关性质，确定顶点在地面上的射影。
除此还有其他方法，需要用到后面所学内容。
【随堂练习】如图，∠BOC在平面α内，OA是平面α的斜线，若∠AOB＝∠AOC＝60°，OA ＝OB＝OC＝a，BC＝2a。
则OA与平面α所成的角为。
思路分析：
答案：如图，作AH⊥BC于点H，连接OH，
∵OA＝OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝60°，
△AOB与△AOC均为等边三角形，∴AB＝AC＝a，
又BC2，∴AB2＋AC2＝OB2＋OC2＝BC2，
∴△ABC 与△OBC 均为等腰直角三角形， ∴H 为BC 的中点，且OH ⊥BC ，
又AH 2
＋OH 2
）2a ）2＝a 2＝OA 2， ∴AH ⊥OH ，
∵BC ∩OH ＝H ，∴AH ⊥平面α，∴OH 为OA 在平面α内的射影，即∠AOH 为OA 与平面α所成的角，
Rt△OAH 中，sin∠AOH ＝
AH AO ＝2
，且∠AOH 为锐角， ∴∠AOH ＝45°，即OA 与平面α所成的角为45°。
技巧点拨：
1. 本题在判断AH 与OH 间的关系时，借助了勾股定理，通过数量关系证明AH ⊥OH 。
2. 解决线面垂直问题的常用方法 （1）利用勾股定理的逆定理。
（2）利用等腰三角形底边的中线就是底边的高线。
（3）利用线面垂直的定义。
（4）利用平行转化，即a∥b ，b ⊥c ，则a ⊥c 。
3. 对于线面角的计算，通常借助垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形求解。
例题1 （点面距离和线面距离）已知ABCD 是边长为4的正方形，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，GC 垂直于ABCD 所在的平面，且GC ＝2，求点B 到平面EFG 的距离。
思路分析：B 到平面EFG 的距离转化为O 到平面EFG 的距离，在三角形中计算长度。
答案：如图，连接EG 、FG 、EF 、BD 、AC ，
设EF 、BD 分别交AC 于点H 、O ，
∵四边形ABCD 是正方形，E 、F 分别是AB 、AD 的中点， 故EF ∥BD ，H 为AO 的中点， ∴BD ∥平面EFG ，
∴点B 到平面EFG 的距离就等于BD 到平面EFG 之间的距离， 过点O 作OK ⊥GH ，垂足为K ， ∵EF ∥BD ， ∴EF ⊥AC ，
易证GF ＝GE ，又H 为EF 的中点， ∴GH ⊥EF ，
∵GH 与AC 交于点H ， ∴EF ⊥平面GHC . ∴OK ⊥EF ，。