第五节 含参积分
含参变量积分(课件+例题+论文)
含参量反常积分
0
cos 1
xy x2
dx
在 (,) 上一致收敛.
例2 : 证明含参量反常积分 e xy sin x dx
0
x
在 [0,d] 上一致收敛.
证 : 由于反常积分 sin xdx 收敛
0x
(当然，对于参量y,它在[0, d ]上一致收敛)
函数g(x, y) exy对每个x [0, d ]单调且对任何
u 一致收敛的柯西准则:
含参量反常积分 f (x, y)dy 在 [a,b]上一致收敛的充要 c
条件是 0, M c,A1, A2 M ,x [a,b],都有
A2 f (x, y)dy . A1
u 一致收敛的充要条件;
含参量反常积分 f (x, y)dy 在 [a,b]上一致收敛的充要 c
解 :
记I ( )
1
1
dx x2
2
.
由于
,1
,
1
1 x2
2
都是和x的连续函数，
所以I( )在 0处连续，从而
lim
0
1
dx
1 x2 2
I(0)
1 dx 0 1 x2
. 4
例2 : 解:
求 I 1 xb x a dx (b a 0).
c
f
( x,
y)g( x,
y)dy
在[a , b]上一致收敛 .
例1 :
证明反常积分
0
cos 1
xy x2
dx
在 (,)上一致收敛.
证:
由于y R有
含参积分的求导
含参积分的求导在数学中，含参积分是一种常用的求解数学问题的技术，在科学、工程、物理方面也影响甚大。
本文主要介绍含参积分的求导的基本概念、原理和技术，以及含参积分的几个应用。
一、含参积分的求导含参积分也叫复合积分，是指在不同参数的函数中，用一种统一的方法进行多次积分的过程，它与一次积分就可以解决问题的积分名义上不同。
含参积分求导中，我们以积分公式∫f(x,θ)dx为例，其中θ是一个参数，要求θx∫f(x,θ)dx，也可以写成θxF（x），其中F（x）代表积分结果。
由于参数θ依赖于x，所以要计算上述导数，需要用到链式求导法则，即F（x）x=θxF（x）+F（x）θ，根据这个法则，可以将含参积分求导拆分成两部分，即求θ的变化量和求F（x）的变化量。
这里的技巧就是，可以将θ的参数求导和F（x）的积分求导分别处理，先求θ的导数，再求F（x）的导数，最后将两个结果相乘，便得到了：θx∫f(x,θ)dx的结果。
二、含参积分的应用1、几何学几何学是数学的一个分支，它研究各种图形，在几何学中有许多含参积分的应用。
例如，在微积分中，曲线的振幅方程多用来对曲线求解，其中积分可以看作是一个复杂的变量，而这个变量又可以用含参积分来求解。
2、推进力学推进力学是研究空间物体运动及其影响的实用科学，它需要利用含参积分来研究不同情况下空间物体的运动规律，例如以恒定加速度推进物体，根据相关物理学原理，可以用含参积分来分析物体经过某一时刻的位移和速度。
3、量子力学量子力学是研究微观粒子的一门科学，它被认为是物理学的基本理论，它的内容涉及电磁学、核力学、量子动力学等，这些都需要用到含参积分来解决，例如，如果要计算一个系统的能量，则必须对相应的波函数进行积分，而这就要用到含参积分。
三、结论从上述介绍可以看出，含参积分是一种非常重要的技术，它在数学中的应用比较多，而且在几何学、推进力学、量子力学等科学领域也都有用处。
含参积分的求导也是一项比较复杂的技术，它需要熟练掌握相关的数学知识和技巧，才能解决具体的问题。
含参定积分
含参定积分含参定积分在高等数学中是一个非常重要的概念，它经常出现在微积分、常微分方程等数学分支中。
在含参定积分中，我们需要将一种特定的函数作为参数插入到另一种函数当中，以求得包含参数的积分。
这种方法虽然相对较为复杂，但其应用非常广泛，是现代科学研究中的一个基础性工具。
首先，我们需要明确含参定积分的概念。
含参定积分，顾名思义，就是在对函数进行积分时，将一个特定的函数作为参数插入到被积函数中。
其基本公式如下：∫ f(x,k)dx其中，f(x,k)表示含有参数k的被积函数，x为积分变量，dx为微元。
需要注意的是，含参定积分的结果并不是一个确定的值，而是一个与参数k有关的函数。
对于含参定积分的求解，最常用的是变量代换法和分部积分法。
变量代换法是指我们将被积函数中的变量x用参数k的函数表示出来，然后将其代换到积分式中。
例如，对于下面的例子：∫ x²sin(kx)dx我们可以先令t=kx，然后将x表示为x=t/k，代入被积函数中得：∫[t/k]²sin(t)dt/k这个式子更容易求解，因为其中不再含有参数k。
我们可以对其进行积分求得：(1/k³)∫t²sin(t)dt这就是含参定积分的结果，是一个仅与参数k有关的函数。
另一个常用的方法是分部积分法。
我们将含参积分式写成如下形式：∫ u(x,k)v'(x)dx然后对其进行分部积分，得到如下形式：∫u(x,k)v'(x)dx = u(x,k)v(x) - ∫u'(x,k)v(x)dx这个式子中，u(x,k)和v(x)是被积函数的两个部分，可以根据具体情况进行选择。
这个方法的优点在于，可以将比较复杂的积分式化简为简单的计算式子，更易于求解。
在应用上，含参定积分可以用于求解各种不同的问题。
其中一个比较常见的应用是求解区域体积。
我们可以将一个区域表示为由一条曲线旋转而成的旋转体，然后采用含参定积分的方法进行求解。
含参量积分的定义论文
1 含参量积分的定义：设函数),(y x f 定义在无界区域R={(x,y)|x ∈I,c ≤y<+∝}上，其中I 为一区间。
若对每都收x 在I 上取值的函数，当记这个函数为Φ（x)时，则有⎰∝+∈=ΦcI x dy y x f x ,,),()( (2)则称（1）式为定义在I 上的含参量x 的无穷限反常积分，或简称含参量反常积分。
2 含参量反常积分的性质定理1（连续性） 设 ),(y x f 在I ×[c,+∝)上连续，若含参量反常⎰∝+=Φcdy y x f x ),()(（2.1）在I 上一致收敛，则)(x Φ在I 上连续。
推论 设),(y x f 在I ×[c,+∝)上连续，若⎰∝+=Φcdy y x f x ),()(在I 上内闭一致收敛，则)(x Φ在I 上连续。
定理2（可微性） 设f （x,y)与 ),(y x fx在区域I ×[c,+∝)上连续。
若⎰∝+=Φcdy y x f x ),()(在I 上收敛，),(y x c xf⎰∝+在I 上一致收敛，则)(x Φ在I 上可微， 且dy y x x cxf),()('⎰Φ∝+= （2.2 ）推论 设f （x,y)与),(y x fx在区域I ×[c,+∝)上连续，若)(x Φ在I 上收敛，而dy y x cxf),(⎰∝+在I 上内闭一致收敛，则)(X Φ在I 上可微，且dy y x cxfx ),()('⎰Φ∝+= （2.3）定理3 （可积性） 设),(y x f 在[a,b]×[c,+∝)上连续，若⎰∝+=Φcdy y x f x ),()(在[a,b]上一致收敛，则)(x Φ在[a,b]上可积， 且 ⎰⎰⎰⎰∝+∝+=b accbadx y x f dy dy y x f dx ),(),( （2.4）定理4 设),(y x f 在[a,+∝）×[c,+∝)上连续，若（i)⎰∝+adx y x f ),(关于y 在[c,+∝)上内闭一致收敛，⎰+cdy y x f ),(关于x 在[a,+∝)上内闭一致收敛。
高等数学 含参变量的积分
4
因此得
I ln 2
8
2020/8/2
重积分
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二、积分限含参变量的积分
在实际问题中, 常遇到积分限含参变量的情形, 例如,
设 f (x, y) 为定义在区域
(x) y (x)
D: axb
上的连续函数, 则
(x)
(x) f (x, y) d y ( x)
y y (x)
D
y (x)
oa
bx
也是参变量 x 的函数 , 其定义域为 [ a , b ] .
利用前面的定理可推出这种含参积分的性质.
2020/8/2
重积分
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定理4.(连续性) 若 f (x, y) 在区域
D :{(x, y) (x) y (x), a x b}
时, 求导与求积运算是可以交换顺序的 .
2020/8/2
重积分
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例1. 求 I 1 xb xa d x (0 a b). 0 ln x
解: 由被积函数的特点想到积分:
b a
xy d
y
xy ln x
b a
xb xa ln x
I
1
dx
b xy d y
a
D f (x, y) d x d y
推论: 在定理2 的条件下, 累次积分可交换求积顺序,
即
2020/8/2
重积分
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定理3. (可微性) 若 f (x, y) 及其偏导数 fx (x, y) 都在
矩形域
R
[a,b][, ]上连续, 则(x)
微积分课程含参定积分
0
0 1 cos x
后者是三角有理式，利用换元 t tan x 可以变为以 t 为自变量的有理函数的积分。当 0 时， 2
F( ) 2 arctan t t
t0
2
1 2 arctan
t
1 1 t t0
π
yk
yk
因此 G 可微，且是 C1 的。对 G((y), ( y), y) 用链索法则，得到
( y)
f (x, y)dx
( y) f
(x, y)dx f ( ( y), y) ( y) f (( y), y) ( y) 。■
yk ( y)
(2)
f yk
(x,
y)
关于
y
在
y0
U
处连续，且这连续性对积分变量
x [a,b]
一致。
则 F(y)
b a
f
(x,
y)dx
关于
yk
在
y0
U
处可导，且
yk
b
f (x, y)dx
a y y0
b a
f yk
(x,
y0 )dx
。
证明：对任意 0 ，当 t ( ) 时，对任意 x [a,b] 及任意 0 s 1 ， y0 stek y0 st t ，
存 在 仅 由 决 定 的 正 数 ( ) 使 得 当 y U 满 足 y y0 ( ) 时 ， 对 任 意 x [a,b] 都 有
f ( x, y) f ( x, 0y ) 。
则 F(y)
b a
f
5_含参变量的积分
2007年8月 南京航空航天大学 理学院 数学系
(1)
3
由于 f ( x , y )在闭区域 R上连续，从而一致连续. 因此对于任意取定的 0 ,存在 0,使得对于 R内 的任意两点( x1 , y1 ) 及( x2 , y2 ) ,只要它们之间的距离 小于 ,即
2007年8月 南京航空航天大学 理学院 数学系 12
( x x ) ( x )
其中 0 1 ， 可小于任意给定的正数 ，只要 x 小于某个正数 . 因此
( x , y , x )dy dy ( ) ( x ),
( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 ,
就有
f ( x2 , y2 ) f ( x1 , y1 ) .
因为点( x x , y )与 ( x , y ) 的距离等于 x ,所以当 x 时,就有
f ( x x , y ) f ( x , y ) .
2007年8月
南京航空航天大学 理学院 数学系
7
定理3
R(a x b, y ) 上连续，又函数 ( x ) 与 ( x ) 在区间 [a , b]上连续，
并且 ( x )
如果函数 f ( x , y ) 在矩形
, ( x )
(a x b),
( x x )
( x)
x x
( x x ) ( x)
f ( x x , y )dy f ( x x , y )dy
含参积分极限与积分不可交换的例子
含参积分极限与积分不可交换的例子1. 引言含参积分是微积分中的一个重要概念，它在数学中有着广泛的应用。
然而，在某些情况下，含参积分与极限运算的交换是不成立的，即积分与极限不可交换。
本文将通过一些具体的例子，来说明含参积分与极限不可交换的情况。
2. 例子1：函数列的积分极限考虑函数列f_n(x) = nxe^(-nx)，我们想要计算它的积分极限lim(n->∞)∫[0,1]f_n(x)dx。
首先，我们可以进行积分运算，得到∫[0,1]nxe^(-nx)dx = [-xe^(-nx)]_[0,1] + ∫[0,1]e^(-nx)dx = -e^(-n) + 1/n。
然后，我们再计算极限lim(n->∞)-e^(-n) + 1/n。
由于极限运算与积分运算是可交换的，我们可以得到lim(n->∞)∫[0,1]f_n(x)dx = lim(n->∞)-e^(-n) + 1/n = 0 + 0 = 0。
这个结果表明积分极限为0。
然而，如果我们先计算极限lim(n->∞)-e^(-n) + 1/n，再进行积分运算，即lim(n->∞)∫[0,1]nxe^(-nx)dx = lim(n->∞)0 = 0。
这与之前的结果相同。
因此，在这个例子中，含参积分与极限运算是可交换的。
3. 例子2：含参极限下的积分考虑函数f(x, a) = sin(ax)/x，其中a是一个常数。
我们想要计算积分∫[0,1]lim(x->0)f(x, a)dx。
首先，我们可以计算极限lim(x->0)f(x, a) = lim(x->0)(sin(ax)/x) = a。
然后，我们再进行积分运算，得到∫[0,1]a dx = a。
这个结果表明积分为a。
然而，如果我们先进行积分运算，再计算极限，即∫[0,1]lim(x->0)f(x, a)dx = ∫[0,1]adx = a。
这与之前的结果相同。
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( x)
( x)
( x)
f ( x, y ) d y
在 [a, b] 上连续. 证: 令 y ( x) t [ ( x) ( x)] , t [0, 1] , 则
( x ) f ( x,
0
1
)
由于被积函数在矩形域[a, b] [0, 1] 上连续, 由定理1知, 上述积分确定的函数 ( x) 在 [a, b] 上连续.
x 1 ( x) ( x t ) n 2 f (t ) d t 即 (n 2) ! 0 x 1 n 3 ( x) 同理 0 ( x t ) f (t ) d t , (n 3) !
于是
( n 1)
( x) f (t ) d t
0
x
( n ) ( x) f ( x)
b
d y x y d x a
b a
x y 1 1 dy y 1 0
1 b 1 d y ln y 1 a 1
ln(1 x) 例2. 求 I d x. 2 0 1 x 解: 考虑含参变量 t 的积分所确定的函数 1 ln(1 t x ) (t ) d x. 2 0 1 x ln(1 t x) 在[0,1] [0,1] 上连续 , (0) 0, (1) I , 显然, 1 x2 1 x 由于 (t ) dx 2 0 (1 x )(1 t x )
1
1 1 x t t d x 2 0 2 2 1 t 1 x 1 x 1 t x
故
1 1 1 2 ln(1 x ) t arctan x ln(1 t x) 2 0 1 t 2 1 1 ln 2 t ln(1 t ) 2 4 1 t 2 1 1 1 ln 2 t ln(1 t ) d t I (1) (0) 2 0 1 t 2 4 1 1 1 ln(1 t ) 1 2 dt ln 2 arctan t ln(1 t ) 2 0 1 t 2 8 0 0
( x) H ( x, , ) f ( x, y ) d y, ( x), ( x)
利用复合函数求导法则及变限积分求导, 得
H H H ( x) ( x) ( x) x
( x)
( x)
( x)
( x)
f ( x, y ) d y
( x)
( x)
( x)
f x ( x, y ) d y f ( x, ( x)) ( x)
f ( x, ( x)) ( x)
证: 把 ( x) 看作复合函数 , 令
( x) H ( x, , ) f ( x, y ) d y, ( x), ( x)
f x ( x, y ) d y f ( x, ( x)) ( x)
f ( x, ( x)) ( x)
例3. 设 ( x)
x2
x 2 sin xy x
y
d y , 求 ( x).
sin x 3
sin x 2 1 解: (x) cos x y d y 2x x x x2 x2 2 sin x 3 sin x 2 sin x y x x x x
lim f ( x, y ) d y
同理可证, 若 f ( x, y ) 在矩形域 R [a, b] [ , ] 上连 续, 则含参变量的积分
( y ) f ( x, y ) d x
a
b
也在[ , ] 上连续.
由连续性定理易得下述可积性定理:
定理2. (可积性) 若 f ( x, y ) 在矩形域 R [a, b] [ , ]
上连续, 则 ( x)
f ( x, y ) d y 在[a, b] 上可积 , 且
f ( x, y ) d x d y
D
同样, ( y ) f ( x, y ) d x 在[ , ] 上可积 , 且
a
b
f ( x, y ) d x d y
D
推论: 在定理2 的条件下, 累次积分可交换求积顺序,
( x)
f ( x, y ) d y
也是参变量 x 的函数 , 其定义域为 [ a , b ] . 利用前面的定理可推出这种含参积分的性质.
定理4.(连续性) 若 f ( x, y ) 在区域
D : {( x, y ) ( x) y ( x), a x b}
上连续, 其中 ( x), ( x) 为[a, b] 上的连续函数 , 则函数
①
x 称为参变量, 上式称为含参变量的积分.
含参积分的性质 — 连续性, 可积性, 可微性 :
定理1.(连续性) 若 f ( x, y ) 在矩形域 R [a, b] [ , ]
上连续, 则由 ① 确定的含参积分在[a, b]上连续.
证: 由于 f ( x, y ) 在闭区域R上连续, 所以一致连续, 即 任给 0, 存在 0 , 对R内任意两点 ( x1, y1 ) , ( x2 , y2 ) ,
即
定理3. (可微性) 若 f ( x, y ) 及其偏导数 f x ( x, y ) 都在
矩形域 R [a, b] [ , ] 上连续, 则 ( x) f ( x, y ) d y
在[a, b] 上可微 , 且 d ( x) f ( x, y ) d y f x ( x, y ) d y dx
证: 令 g ( x)
x
f x ( x, y ) d y, 则g ( x) 是 [a, b] 上的连续
x
函数, 故当x [a, b] 时,
a g ( x) d x a
f x ( x, y ) d y d x
f ( x, y ) d x d y
xb x a d x (0 a b ) . 例1. 求 I 0 ln x 解: 由被积函数的特点想到积分:
1
a
b
x dy
y b a
x y b xb x a ln x a ln x
I d x x y d y
0 b 1 a 0
1
Hale Waihona Puke ( x y 在[0,1] [a, b] 上连续)
定理5. (可微性) 若 f ( x, y ) 及其偏导数 f x ( x, y ) 都在
矩形域 R [a, b] [c, d ] 上连续, ( x), ( x)为定义在
[a, b] 上 其值域含于 [c, d ] 中的可微函数, 则
( x)
在[a, b] 上可微 ， 且
f ( x x, y ) f ( x, y ) d y
这说明 ( x) 在[a, b] 上连续.
定理1 表明, 定义在闭矩形域上的连续函数, 其极限运
算与积分运算的顺序是可交换的.即对任意 x0 [a, b] ,
x x0
lim
f ( x, y ) d y
x x0
x a x
a g ( x) d x f ( x, y) f (a, y) d y
x
( x) ( a )
且有 因上式左边的变上限积分可导,因此右边 (x) 可微，
( x) g ( x) f x ( x, y ) d y
此定理说明, 被积函数及其偏导数在闭矩形域上连续 时, 求导与求积运算是可以交换顺序的 .
3 sin x 3 2 sin x 2 x
例4. 设 f ( x) 在 x 0 的某邻域内连续 , 验证当 x 充 分小时, 函数 x 1 ( x) ( x t ) n 1 f (t ) d t (n 1) ! 0
的 n 阶导数存在, 且 ( n ) ( x) f ( x) . 证: 令 F ( x, t ) ( x t ) n1 f (t ) , 显然 , F ( x, t ) 及 Fx ( x, t ) 在原点的某个闭矩形邻域内连续, 由定理5 可得 x 1 ( x) (n 1)( x t ) n 2 f (t ) d t (n 1) ! 0 1 ( x x) n1 f ( x) (n 1) !
*第五节 含参变量的积分
一、被积函数含参变量的积分 二、积分限含参变量的积分
第九章
一、被积函数含参变量的积分
设 f ( x, y) 是矩形域 R [a, b] [ , ]上的连续函数,
则积分
记作
f ( x, y ) d y 确定了一个定义在[a, b]上的函数,
( x ) f ( x, y ) d y
因此得
4
ln 2 I I
8
ln 2
二、积分限含参变量的积分
在实际问题中, 常遇到积分限含参变量的情形, 例如,
设 f ( x, y ) 为定义在区域 ( x) y ( x) D: a xb
上的连续函数, 则
y
y (x)
( x)
( x)
D y (x) o a bx
只要
就有
x1 x2 ,
y1 y2
f ( x1 , y1 ) f ( x2 , y2 )
因此, 任给 0, 存在 0 , 当 x 时 , 就有