【新教材】新人教A版必修一 函数与方程 课时作业

1．在错误!，k∈Z上存在零点的函数是( )
A．y＝sin 2x B．y＝cos 2x
C．y＝tan 2x D．y＝sin2x
解析：选B 当x∈错误!，k∈Z时，
sin 2x＜0，sin2x＞0恒成立．故排除A，D，若tan 2x＝0，
则2x＝kπ,x＝错误!，k∈Z，所以y＝tan 2x在x∈错误!,k∈Z上不存在零点，当x ＝错误!＋2kπ,k∈Z时，cos 2x＝0,故选B．
2．若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)（x－b）＋(x－b)(x－c）＋(x－c）（x－a）的两个零点分别位于区间（）
A．（a，b）、（b，c)内
B．(－∞，a)、(a，b）内
C．（b，c）、(c，＋∞)内
D．(－∞，a）、(c，＋∞）内
解析：选A f(a）＝(a－b)(a－c)，f（b）＝(b－c）(b－a)，f(c)＝(c－a）（c－b)，∵a＜b＜c，∴f(a）＞0,f（b)＜0，f(c）＞0，即f（a)·f(b)＜0，f（b)·f（c）＜0，又∵f(x）在R上是连续函数，∴两零点分别位于区间（a，b)，(b，c）内．3．在下列区间中，函数f(x)＝3x－x2有零点的是（)
A．B．
C．D．
解析:选D ∵f（0）＝1，f（1)＝2，
∴f（0)f(1）＞0；
∵f(2)＝5,f（1）＝2,∴f（2）f（1)＞0；
∵f(－2)＝－35
9
，f（－1）＝－错误!，
∴f（－2)f(－1)＞0；
∵f（0）＝1，f(－1）＝－错误!，∴f(0)f（－1)＜0．
易知符合条件，故选D．
4．（2017·皖江名校联考）已知函数f(x)＝e x－2ax，函数g(x）＝－x3－ax2．若不存在x1，x2∈R，使得f′（x1)＝g′（x2），则实数a的取值范围为（）A．（－2，3) B．（－6,0)
C．D．
解析:选D 易得f′(x）＝e x－2a＞－2a，g′（x)＝－3x2－2ax≤错误!，由题意可知错误!≤－2a,解得－6≤a≤0．
5．函数y＝错误!ln x＋x－错误!－2的零点所在的区间为( ）
C．（2，e）D．(e,3）
解析：选C 由题意，求函数y＝错误!ln x＋x－错误!－2（x＞0)的零点，即为求曲线y＝错误!ln x与y＝－x＋错误!＋2的交点,可知y＝错误!ln x在(0,＋∞)上为单调递增函数，而y＝－x＋错误!＋2在(0,＋∞)上为单调递减函数，故交点只有一个，当x＝2时，错误!ln x＜－x＋错误!＋2，当x＝e时，错误!ln x＞－x＋错误!＋2，因此函数y＝错误! ln x＋x－错误!－2的零点在（2，e）内．故选C．
6．已知定义在R上的函数f（x）满足:①对任意x∈R，有f（x＋2）＝2f(x);②当x ∈时，f(x)＝错误!．若函数g（x)＝错误!则函数y＝f(x）－g（x）在区间（－4，5)上的零点个数是( ）
A．7 B．8
C．9 D．10
解析：选C 函数f（x）与g（x)在区间上的图象如图所示，由图可知，函数f（x)与g(x）的图象在区间（－4,5）上的交点个数为9，即函数y＝f(x）－g（x）在区间（－4，5）上零点的个数是9．
7．（2017·昆明两区七校调研)若f（x)＋1＝错误!，当x∈时，f（x）＝x，在区间（－1,1］内,g(x)＝f（x)－mx－错误!有两个零点,则实数m的取值范围是（）A．错误!B．错误!
C．错误!D．错误!
解析:选B 依题意,
f (x)＝错误!－1，
当x∈(－1,0）时，x＋1∈(0，1）,
f（x）＝错误!－1＝错误!－1，
由g（x)＝0得f（x）＝m错误!．
在同一坐标系上画出函数y＝f（x）与y＝m错误!在区间（－1，1］内的图象,
结合图象可知，要使g（x）有两个零点，只需函数y＝f（x）与y＝m错误!错误!在区间(－1，1]内的图象有两个不同的交点，
故实数m的取值范围是错误!，选B．
8．(2017·海口调研）若关于x的方程|x4－x3|＝ax在R上存在4个不同的实根，则实数a的取值范围为( ）
C ．错误!
D ．错误!
解析：选A 依题意，注意到x ＝0是方程|x 4－x 3|＝ax 的一个根．
当x ＞0时,a ＝|x 3－x 2
｜，
记f （x ）＝x 3－x 2，
则有f ′（x ）＝3x 2－2x ，
易知f （x )＝x 3－x 2在区间错误!上单调递减, 在区间（－∞，0)，⎝ ⎛⎭
⎪⎫23，＋∞上单调递增． 又f （1）＝0，
因此g (x ）＝错误!＝错误!的图象如图所示,由题意得直线y ＝a 与函数y ＝g （x )的图象有3个不同的交点时，a ∈错误!,选A ．
9．对于函数f （x )和g （x ),设α∈{x |f (x )＝0｝，β∈{x ｜g （x )＝0｝,若存在α，β，使得｜α－β｜≤1，则称f (x ）与g （x )互为“零点相邻函数"．若函数f (x ）＝e x －1＋x －2与g （x ）＝x 2－ax －a ＋3互为“零点相邻函数”，则实数a 的取值范围是( ）
A ．
B ．错误!
C ．错误!
D ． 解析:选D 函数f (x ）＝e
x －1＋x －2的零点为x ＝1, 设g (x ）＝x 2－ax －a ＋3的零点为b ，
若函数f (x )＝e x －1＋x －2与g （x ）＝x 2
－ax －a ＋3互为“零点相邻函数”， 则|1－b |≤1,∴0≤b ≤2．
由于g （x )＝x 2
－ax －a ＋3必经过点（－1,4）,
∴要使其零点在区间上，
则错误!即错误!
解得2≤a ≤3．
10．已知在区间上g （x )＝－错误!x 2－x ＋2，f (x )＝错误!
给出下列四个命题：
①函数y ＝f 有三个零点；
②函数y ＝g 有三个零点；
③函数y ＝f 有六个零点;
④函数y ＝g 有且只有一个零点．
其中正确命题的个数是（ )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析：选D 画出函数f(x），g（x)的草图，如图，
①设t＝g(x)，则由f＝0，得f（t）＝0，
则t＝g（x)有三个不同值,由于y＝g(x)是减函数，所以f＝0有3个解，
所以①正确；
②设m＝f(x)，若g＝0,即g(m）＝0,
则m＝x0∈（1,2)，所以f(x)＝x0∈(1，2)，
由图象知对应f（x)＝x0∈（1,2)的解有3个，
所以②正确；
③设n＝f(x)，若f＝0，
即f(n）＝0,n＝x1∈(－3，－2)或n＝0或n＝x2＝2，
而f（x）＝x1∈（－3,－2）有1个解，f(x)＝0对应有3个解，f（x）＝x2＝2对应有2个解，所以f＝0共有6个解,所以③正确；
④设s＝g(x）,若g＝0,即g(s）＝0，
所以s＝x3∈(1，2)，则g(x）＝x3，
因为y＝g（x)是减函数，所以方程g(x）＝x3只有1个解，所以④正确，故四个命题都正确．
11．已知函数f(x)＝错误!若函数f（x）的图象与x轴有且只有两个不同的交点，则实数m的取值范围为________．
解析:当x∈时，f′(x)＝6x2＋6x≥0，
则f(x）＝2x3＋3x2＋m在上单调递增，
因为函数f(x）的图象与x轴有且只有两个不同的交点,
所以在区间和（1，＋∞)内分别有一个交点，
则m＜0，且f(1)＝m＋5＞0,解得－5＜m＜0．
答案:(－5,0）
12．设函数f（x）＝错误!则函数y＝f（f(x）)－1的零点个数为________．
解析：①当x≤0时,
y＝f（f(x)）－1＝f(2x）－1＝log22x－1＝x－1，
令x－1＝0，则x＝1，
显然与x≤0矛盾，
所以此情况无零点．
②当x＞0时,分两种情况：
当x＞1时，log2x＞0，
y＝f(f(x））－1＝f（log2x)－1＝log2(log2x）－1,
令log2（log2x）－1＝0，得log2x＝2，
解得x＝4;
当0＜x≤1时，log2x≤0,
y＝f（f（x））－1＝f（log2x）－1＝2log2x－1＝x－1,
令x－1＝0，解得x＝1．
综上，函数y＝f（f（x))－1的零点个数为2．
答案：2
13．(2017·湖北优质高中联考)函数f（x）＝错误!｜x－1|＋2cos πx(－4≤x≤6）的所有零点之和为________．
解析：原问题可转化为求y＝错误!|x－1|与y＝－2cos πx在内的交点的横坐标的和，因为上述两个函数图象均关于x＝1对称,
所以x＝1两侧的交点关于x＝1对称，
那么两对应交点的横坐标的和为2,
分别画出两个函数在上的图象（如图）,
可知在x＝1两侧分别有5个交点,
所以所求和为5×2＝10．
答案：10
14．已知函数f(x）＝错误!与g(x）＝a（x＋1)的图象在（－1,1]上有2个交点，若方程x－错误!＝5a的解为正整数，则满足条件的实数a的个数为________．解析:在同一坐标系中作出函数f(x)与g（x)的图象，如图，结合图
象可知，实数a的取值范围是错误!．
由x－1
x
＝5a，可得x2－5ax－1＝0，
设h(x)＝x2－5ax－1，
当x＝1时，由h（1）＝1－5a－1＝0，可得a＝0，不满足题意;
当x＝2时，由h(2）＝4－10a－1＝0,
可得a＝错误!≤错误!，满足题意；
当x＝3时,由h（3）＝9－15a－1＝0
可得a＝错误!＞错误!，
不满足题意．
又函数y＝x－错误!在（0,＋∞)上单调递增，故满足条件的实数a的个数为1．
答案:1。