数学之友2010年高考特刊基础篇第三章§3.4解不等式

第三章 数列、不等式、复数
江苏新高考非常注重数列的考查，除了大题考论证，小题还常考计算，即“等差、等比数列基本量(首项、公差、公比、通项、和式)的求解”，如2009年江苏卷的最后一道小题就是求公比。

新课程增加了《推理与证明》一章，如何在高考中体现？数列是一个合适的载体，2008年江苏卷的“数阵猜想”题就很有新意。

不等式的证明在新课程中被分散到《推理与证明》、《系列4：不等式选讲》内。

所以对必修5教材的考查淡化了不等式证明。

前两年江苏新高考“解不等式与集合”一起考，“基本不等式与函数”一起考，由于基本不等式在《考试说明》中列入C 要求，所以是考查重点。

复数小题比较容易，江苏新高考连续两年都考到了。

§3.4 解不等式
【例1】设集合A ＝{x|log 2x<1},B={x|x －1x+2
<0},则A ⋂B=_______ (09湖北文13) [解]由已知，A ＝{x|0<x<2},B={x|－2<x<1}，所以A ⋂B={x|0<x<1}
[解题回顾]不等式x －a x －b <0与不等式(x －a)(x －b)<0同解，不等式x －a x －b
≤0与不等式⎩⎨⎧(x －a)(x －b)≤0x －b ≠0
同解. 【例2】已知关于x 的不等式ax －1x+1<0的解集为(－∞,－1)⋃(－12
,+∞)，则a=________ (09湖北理11)
[解]由题意知a<0且a=－2，其理由如下：
因ax －1x+1<0与(ax －1)(x+1)<0同解，又因其解集为(－∞,－1)⋃(－12
,+∞) 所以方程(ax －1)(x+1)=0的两根为x 1=－1,x 2=1a =－12
，所以a=－2 [解题回顾]二次不等式f(x)>0(或f(x)<0)的解集的端点实质上是二次方程f(x)=0的两根，也是二次函数y=f(x)的零点，分析中要密切关注二次项系数的正负。

【例3】若关于x 的不等式(2x －1)2<ax 2的解集中的整数恰有3个，则实数a 的取值范围是_
(09天津文16)
[解]展开，移项合并同类项后，原不等式可变形为(4－a)x 2－4x+1<0
若其解集中恰有3个整数，则必有⎩⎨⎧4－a>0∆=(－4)2－4(4－a)>0且4－∆2(4－a)
<x<4+∆2(4－a) 即0<a<4且12+a <x<12－a ，又因0<12+a
<1，所以解集中的3个整数必是1，2，3 所以3<12－a
≤4，解之得259<a ≤4916，又0<a<4,所以a ∈(259,4916] [解题回顾]解二次不等式要与二次方程及二次函数图象联系起来思考，要依据不等式
ax 2+bx+c<0的解的情况判断系数a 与判别式∆的符号，必要时还要估算根取值的大致范围。

【例4】若不等式9－x 2≤k(x+2)－2的解集为区间[a,b]，且b －a=2，则k=_______
(09江西理15)
[解]此不等式属根式不等式，两边平方后再解较繁，现从数形结合寻求突破
设y 1=9－x 2,y 2=k(x+2)－2，则在同一直角坐标系中作出其图象草图如下所示 y 1图象为一圆心在原点，半径为3的圆的上半部分，y 2图象为过
定点A(－2,－2)的直线。

据此，原不等式解集可理解为：半圆上圆
弧位于直线下方时圆弧上点的横坐标x 所对应的集合。

观察图形，结合题意知b=3,又b －a=2，所以a=1，即直线与半圆
交点N 的横坐标为1,代入y 1=9－x 2=22，所以N(1, 22)
由直线过定点A 知直线斜率k=22－(－2)1－(－2)
= 2 [解题回顾]数形结合是研究不等式解的有效方法，数形结合使用的
前提是：掌握形与数的对应关系。

基本思路是：①构造函数f(x)(或
f(x)与g(x))，②作出f(x) (或f(x)与g(x))的图象，③找出满足题意的曲线(部分)，曲线上点的横坐标为题目的解，并研究解的特性来确定解题的切入点。

【例5】设函数f(x)=|x －1|+|x －a|
⑴若a=－1，解不等式f(x)≥3；
⑵如果∀x ∈R ，f(x)≥2，求a 的取值范围。

(09辽宁理24)
[解]⑴当a=－1时，f(x)=|x －1|+|x+1|，由f(x)≥3有|x －1|+|x+1|≥3 思路一——依零点讨论去绝对值符号，解得解集为(－∞,－32]⋃[32
,+∞) 思路二——据绝对值几何意义求解，|x －1|+|x+1|≥3几何意义，是数轴上表示实数x 的点距离实数1，－1表示的点距离之和不小3，画出数轴，数形结合，观察分析知，数轴
上表示实数－32左侧的点与表示实数32
右侧的点与表示实数－1与1的点距离之和不小3，所以所求不等式解集为(－∞,－32]⋃[32
,+∞) ⑵若a=1，f(x)=2|x －1|,则由f(x)≥2知x 非一切实数，即不满足题设条件；
若a<1，f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧－2x+a －1，x ≤a
1－a ，a<x<12x －(a+1)，x ≥1
，此时f(x)最小值为1－a ； 若a>1，f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧－2x+a+1，x ≤1
a －1，1<x<a 2x －(a+1)，x ≥a
，此时f(x)最小值为a －1； 所以，综上知“∀x ∈R ，f(x)≥2”的充要条件是|a －1|≥2，从而a(－∞,－1]⋃[3,+∞)
1.不等式x+1x －2
>0的解集是________ (06江苏文15) 2.若A={x ∈R||x|<3}，B={x ∈R|2x >1}，则A ⋂B=___________ (09重庆理11)
3.不等式|2x ―1|―x<1的解集是_______ (07浙江理13)
4.已知f(x)=⎩⎨⎧1 (x ≥0)－1 (x<0)
，则不等式x+(x+2)·f (x+2)≤5的解集是______ (04年浙江理13) 5.设a>0，a ≠1，函数f(x)=log a (x 2－2x+3)有最小值，则不等式log a (x －1)>0的解集为______
(06重庆文15)
6.不等式log 2(x+1x
+6)≤3的解集为_______ (06江苏16) 7.不等式x －1x+2
>1的解集是______ (08北京文10) 8.不等式231x x +-≤12的解集为_______ (08江西理14)
9.若不等式|3x －b|<4的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b 的取值范围为______
(08山东理16)
10.不等式|2x ―1|―|x ―2|<0的解集为________
(09山东理13) 【参考答案】
1.{x|x<－1或x>2}
2.(0,3)
3.(0,2)
4.(－∞,32)
5.(2,+∞)
6.(－3－22,－3+22)⋃{1}
7.(－∞,－2)
8.(－∞,－3)⋃(0,1]
9.(5,7)
10.(－1,1)。