2018年春八年级数学北师大版下课件：1.4 角平分线(第1课时)
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八年级数学下册1.4角平分线(第1课时)课件(新版)北师大版
∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL).
∴CF=EB.
(2)在 Rt△ADC 与 Rt△ADE 中,
∵
������������ = ������������, ������������ = ������������,
∴△ADC≌△ADE(HL).
∴AC=AE.
∴AB=AE+BE=AC+EB=AF+CF+EB=AF+2EB.
2.如图,在△ABC中,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分
别是E,F,BE=CF.
求证:AD是△ABC的角平分线.
证明:∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴Rt△BDE 和 Rt△CDF 是直角三角形.
∵
BD = DC, BE = CF,
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL). ∴DE=DF. 又∵DE⊥AB,DF⊥AC, ∴AD 是△ABC 的角平分线.
1.角平分线的性质定理:角平分线上的点到这个角的_两__边__的__距__离_ 相等.
2.角平分线的判定定理:在一个角的内部,且_到__角__的__两__边__距__离__相_等_ 的点,在这个角的平分线上.
Байду номын сангаас
第一章 三角形的证明
1.4 角平分线
第1课时
1.会证明角平分线的性质定理和判定定理. 2.能应用角平分线的性质定理解决问题.
如图,107国道OA和320国道OB在某市相交于点O,在∠AOB 的内部有工厂C和D.现要修建一个货站P,使P到国道OA和OB的距 离相等,且到工厂C,D的距离也相等.如果你是设计师,你会怎样 解决这个问题呢?
1.如图,在△ABC中,∠C=90° AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于
北师大版八年级数学下册第一章《角平分线(一) 》课件
这是一个真命题吗?
用心想一想，马到功成
已知：在∠AOB内部有一点P，且PD⊥OA，PE⊥OB，D
、E为垂足且PD=PE，
A
求证：点P在∠AOB的角平分线上．
D
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB， O
1 2
∴∠PDO=∠ PEO=90°．
在Rt△ODP和Rt△OEP中
OP=OP，PD=PE
∴Rt△ODP ≌ Rt△OEP(HL)．
用心想一想
还记得线上的点到角两边的距离相等．
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，
PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E．
A
求证：PD=PE．
D
O
1 2
P C
证明：∵∠1=∠2，OP=OP， ∠PDO=∠PEO=90°， ∴△PDO≌△PEO(AAS)． ∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)
成读 的书
两，
件要
事么
。旅
。行
，
身
体
和
灵
魂
总
要
我们，还在路上……
课堂小结, 畅谈收获：
(一)角平分线的性质定理 角平分线上的点到角两边的距离相等． (二)角平分线的判定定理 在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这 个角的平分线上． (三)用尺规作角平分线．
有古
一人
个云
在：
路“
上读
。万
”卷
从书
古，
至行
今万
，里
学路
习。
和”
旅今
行人
都说
是：
相“
辅要
相么
You made my day!
∴∠1=∠2(全等三角形对应角相等)．
用心想一想，马到功成
已知：在∠AOB内部有一点P，且PD⊥OA，PE⊥OB，D
、E为垂足且PD=PE，
A
求证：点P在∠AOB的角平分线上．
D
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB， O
1 2
∴∠PDO=∠ PEO=90°．
在Rt△ODP和Rt△OEP中
OP=OP，PD=PE
∴Rt△ODP ≌ Rt△OEP(HL)．
用心想一想
还记得线上的点到角两边的距离相等．
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，
PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E．
A
求证：PD=PE．
D
O
1 2
P C
证明：∵∠1=∠2，OP=OP， ∠PDO=∠PEO=90°， ∴△PDO≌△PEO(AAS)． ∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)
成读 的书
两，
件要
事么
。旅
。行
，
身
体
和
灵
魂
总
要
我们，还在路上……
课堂小结, 畅谈收获：
(一)角平分线的性质定理 角平分线上的点到角两边的距离相等． (二)角平分线的判定定理 在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这 个角的平分线上． (三)用尺规作角平分线．
有古
一人
个云
在：
路“
上读
。万
”卷
从书
古，
至行
今万
，里
学路
习。
和”
旅今
行人
都说
是：
相“
辅要
相么
You made my day!
∴∠1=∠2(全等三角形对应角相等)．
北师大版八年级数学下册1.4角平分线课件(第1课时27张)
4.如图所示,在△ABC中,P为BC上一点,PR⊥AB,垂足为
R,PS⊥AC,垂足为S,AQ=PQ,PR=PS.下面三个结论:
①AS=AR;②QP∥AR;③△BRP≌△CSP.正确的是( A )
A.①和②
B.②和③
C.①和③
D.全对
课堂检测
能力提升题
1.4 角平分线/
1、如图,BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB于点E,△ABC的 面积是30 cm2,AB=18 cm,BC=12 cm,则DE=____2__cm.
课堂检测
1.4 角平分线/
能力提升题
2、如图,△ABC的两条外角平分线AP,CP相交于点P,PH⊥AC
于H;如果∠ABC=60°,
则下列结论:①∠ABP=30°;②∠APC=60°;③PB=2PH;④
∠APH=∠BPC,
其中正确的结论个数是 ( D )
A.1
B.2
C.3
D.4
课堂检测
拓广探索题
1.4 角平分线/
S
D
C
素养目标
1.4 角平分线/
3.能够应用这两个定理解决一些简单的实际问 题.
2.能利用三角形全等，证明角平分线的性质 定理，并理解和掌握定理及其逆定理.
1.会叙述角平分线的性质定理及判定定理.
探究新知
1.4 角平分线/
知识点1 角平分线的性质定理
实验：OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点. 操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作
解： CPDB PD PB DB
PC PB DB
A
BC DB AD DB
AB 14
B D
P
C =
课堂小结 性质定理
北师大版八年级下册 第一章 1.4.1 角平分线 课件(共30张PPT)
PDO＝PEO(已证) ∵ １＝２（已证） OP＝OP (公共边 )
∴ △OPD≌△OPE (AAS)
∴ PD=PE（ 三角形全等对应边相等）
一个命题被证明是正确之后，怎么直接使用？
角平分线性质定理 定理 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
几何语言
∵ OC是∠AOB的平分线 PD⊥OA , PE⊥OB ∴ PD=PE（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）
A．PA＝PB
B．PO平分∠APB
C．OA＝OB D．AB垂直平分OP
随堂检测
４.如图，AD，AE分别是△ABC中∠A的内角平
分线和外角平分线，它们有什么关系？
分析：
AD是线段 AF是射线
AD，AF存在数量关系？
拓展提升
１.如图,在△ABC中，AD是它的角平分线，BD＝CD,
DE丄AB， DF丄AC ，垂足分别为E，F，
求证 ：EB＝FC （1）还有哪些新的发现？ （2）连接 EF 后又有那些新发现？ 请说出成立的理由
拓展提升
２.如图,在△ABC中，∠BAC＝60°，点D在BC上，
AD＝10，DE丄AB， DF丄AC ，垂足分别为E，F，
DE＝DF，求DE的长.
分析：DE 丄 AB， DF 丄 AC ，
DE＝DF，
PDO＝PEO=90 ( 已证) PD＝PE（已知） OP＝OP (公共边 )
∴ △OPD≌△OPE (AAS) ∴ ∠1= ∠2（ 三角形全等对应边相等）
∴OP平分∠AOB
随堂检测
１.如图，点P是∠AOB平分线OC上一点， PD⊥OB，垂足为D，若PD＝2，则点P到边OA 的距离是( A ) A．2 B．3 C.
北师大版八年级下册1.4角平分线(第1课时)课件
合作探究
1.角平分线的性质
已知:如图,OC是∠AOB的平分线,
P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是
D,E.
求证:PD=PE.
DA
1 O2
P C
E B
你会证明吗？
分析:要证明PD=PE,只要证明它 们所在的△OPD≌△OPE，如何 O 证明两三角形全等呢？
A D
1
P
2
C
E B
∵PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别
A
E
F
B
D
C
第一章 三角形的证明
第一章 三角形的证明
1.4 角平分线（第1课时）
学习目标
1、会证明角平分线的性质定理及逆定理； （重点）
2、会运用角平分线的性质定理及逆定理解 决有关的数学问题.（难点）
复习导入
你能利用尺规作出角平分线吗? 你还记得角平分线上的点有什么性质吗? 角平分线上的点到这个角的两边距离相等 怎么证明这一结论。
逆定理 在一个角的内部,且到角的两边距离
相等的点,在这个角的平分线上.
A
D 如图,
∵PD=PE, PD⊥OA,PE⊥OB, 垂 足 分 别是D,E(已知),
O
1 2
P C
∴ 点 P 在 ∠ AOB 的 平 分 线 上 .( 在 一
E
个角的内部,且到角的两边距离相
B
等的点,在这个角的平分线上).
老师提示:这个结论又是经常用来证明点在直线 上(或直线经过某一点)的根据之一.
例题讲授
例1. 如图，在△ABC中，∠BAC=60°，点D在BC上， AD=10 ， DE⊥AB ， DF⊥AC ， 垂 足 分 别 为 E ， F ， 且 DE=DF，求DE的长.
北师大版八年级数学下册课件1.4角平分线(第1课时)
新知新授
课堂检测
O
1.如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂 足分别是C，D，则下列结论错误的是（ D）
A.∠COP＝∠DOP B.PC＝PD C.OC＝OD D.∠COP＝∠OPD
2.如图，OC 平分∠AOB，若点C到OB的距离是2.4，OD=4.则
△OCD的面积等于（ B ）
逆命题
利用角平分线的性质及判定解决实际问题,培养学生解决问题的能力.
三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 你认为上面这种说法正确吗？为什么？
到角两边距离相等的点在这个角的
如图，点 P是平面内一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，点P在∠AOB的角平分线上吗？
定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等
认真阅读课本第29页例1，体会角平分线 通过上面的逻辑推理验证，得到如下定理：
已知：如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，∠BAD与∠CDA的平分线交于点M，点M在BC上.
的判定定理在解题中的应用。 求证：AD=AB+DC
如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（ ） 你能用逻辑推理的方法来证明角平分线的这条性质吗? ∴MC=MN（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等） 角平分线上的点到这个角两边的距离相等 上面逆命题的准确说法应该怎样说？ 第1课时 角平分线的性质及判定 ∴OP平分∠AOB（在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上） 通过上面的逻辑推理验证，得到如下定理： 求证：DM平分角ADC. 如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D，则下列结论错误的是（ ） 三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
北师大版八年级下册数学：1.4角平分线课件
则∠BAP__________∠CAP.
如图，AD为△ABC的角平分线,
∠B=90°，DF⊥AC，垂足为F，DE
E 如图，AD为△ABC的角平分线,
∠B=90°，DF⊥AC，垂足为F，DE
角平分线上的点到这个角的 两边的距离相等．
相信自己 探究尝试
如图（1），AD平分∠BAC，点P在AD上，
若PE⊥AB，PF⊥AC，则PE__________PF.
课堂检测
1.如图（1），AD平分∠BAC，点P在AD上， 若PE⊥AB，PF⊥AC，则PE__________PF. 2.如图（2），PD⊥AB，PE⊥AC，且PD=PE， 则∠BAP__________∠CAP. 3.如图（3），∠BAC=60°，AP平分∠BAC，
PD⊥AB，PE⊥AC，若AD= 3 ，则PE=____.
E B
角平分线的性质定理 A
角平分线上的点到这个角的 D 两边的距离相等．
O
)1 )2
P C
几何语言：
∵OC平分∠AOB，PD⊥OA， PE⊥OB ∴PD=PE(角平分线上的点到这 个角的两边距离相等).
E B
你会用吗?
巩固训练.
已知:如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD，
DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F.
D
几何语言： ∵PD=PE， PD⊥OA，PE⊥OB ∴点P在∠AOB的平分线上。
O
) )
E
P C
B
典型例析
例题：在△ABC中，∠BAC =60°，点D 在BC上，AD =10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足 分别为 E，F，且 DE=DF，求DE的长.
解： ∵DE ⊥ AB，DF ⊥ AC，DE=DF ∴AD平分∠BAC 又∵ ∠BAC=60°，∴ ∠BAD=30° 在Rt △ADE中， ∠AED=90°，AD=10 ∴DE=1/2AD=1/2×10=5.
北师大版八年级数学下册 1.4 角平分线课件(共18张PPT)
A D
求证:点P在∠AOB的平分线上.
P
O
证明： ∵ PD⊥OA,PE⊥OB
∴ ∠ODP= ∠OEP=90°
E
在Rt△ODP和Rt △OEP中
B
DP= EP, OP＝ OP
∴ Rt△ODP ≌Rt △OEP(HL)
∴ ∠AOP= ∠BOP，点P在∠AOB的平分线上.
逆定理： 在一个角的内部, 到角的两边距离相等 的点在这个角的平分线上.
4.如图，在四边形OACB 中,CM⊥OA于点M,若∠1 =∠2,∠3+∠4= 180° 求证:CA=CB.
习题1.9答案 1.解如图,结论:三角形的三个 内角的平分线交于一点,并且 这个点到三角形的三边的距离相等.
2.证明∵AD平分∠BAC且 DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF.
又BD=DC,∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL). ∴BE=CF.
∴DE=DC. ∵在Rt△DCF和Rt△DEB中,
∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL).
2．如图，点E是∠AOB的平分线上一点， EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C，D.求证： (1)∠ECD＝∠EDC； (2)OC＝OD； (3)OE是线段CD的垂直平分线．
证明：(1)∵点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，
又∵∠C=90°,BE=BE, ∴Rt△BDE≌Rt△BCE(HL). ∴∠DBE=∠CBE ∴BE平分∠ABC.
4.解作法:如图,(1)作∠AOB的平分线OM; (2)连接CD; (3)作CD的垂直平分线交OM于点P,则P点即 为所求.
������������ = ������������,
∴△EBD≌△FCD(AAS). ∴DE=DF.
∴点D在∠BAC的平分线上(在一个角的内部,到角
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