第24章 圆的复习 课件(1)

d
┐ 相离
1、直线和圆相交 2、直线和圆相切 3、直线和圆相离
d < r; d = r; d > r.

切线的判定定理
• 定理 经过半径的外端,并且垂直于这条半径的 直线是圆的切线. 如图 ∵OA是⊙O的半径, 且CD⊥OA, ∴ CD是⊙O的切线.
C
●
O
A
D
（１）定义
（２）圆心到直线的距离d＝圆的半径r （３）切线的判定定理：经过半径的外端, 并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
C
A
┗
●
B
O

M
●
由 ① CD是直径 ③ AM=BM
②CD⊥AB,
可推得
⌒ ⌒ ④AC=BC,
⌒ ⌒ ⑤AD=BD.
D
C
(1)直径 (过圆心的线)；(2)垂直弦； (3) 平分弦 ； (4)平分劣弧；
A
M└
●
B O
(5)平分优弧.
知二得三
注意: “ 直径平分弦则垂直弦.” 这句话对吗?
(错 )
D
例⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，
∴CD⊥OA.
C
A
切线的性质定理出可理解为
如果一条直线满足以下三个性质中的任意两个，那么
第三个也成立。①经过切点、②垂直于切线、③经过圆心。 如 ① ② ① ③ ② ③ ③
② ①
1、两个同心圆的半径分别为3 cm和4 cm，大圆的 弦BC与小圆相切，则BC=_____ cm； 2、如图2，在以O为圆心的两个同心圆 中，大圆的弦AB是小圆的切线，P为切点， 设AB=12，则两圆构成圆环面积为_____； 3、下列四个命题中正确的是（ ）．
D
A
●
B
O ①∠AOB=∠A′O′B′
可推出
┏ A′ D′ B′ 如由条件: ③AB=A′B′
②AB=A′B′
⌒ ⌒
④ OD=O′D′
三、圆周角定理及推论
D
B
●
C E O
C BA
O
O
A C
●
●
B
A
定理: 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这弧 所对的圆心角的一半. 推论:直径所对的圆周角是 直角 . 90°的圆周角所对的弦是 直径 . 判断: (1) 相等的圆心角所对的弧相等. (×) (2)相等的圆周角所对的弧相等. (3) 等弧所对的圆周角相等. (×) (√)
E
┓பைடு நூலகம்
1
B
E
C
B
C
• 1.如图：圆O中弦AB等于半径R，则这条弦所对的 60度 30或150度 圆心角是＿＿＿,圆周角是＿＿＿＿＿＿.
O
A
B
2：已知ABC三点在圆O上，连接ABCO， 如果∠ AOC=140 °，求∠ B的度数． D 解：在优弧AC上定一点D，连结AD、 CD. ∵ ∠ AOC=140 ° O A ∴ ∠ D=70 ° ∴ ∠ B=180 ° －70 ° =110 °
A P B O
①与圆有公共点的直线是该圆的切线 ； ②垂直于圆的 半径的直线是该圆的切线 ； ③到圆心的距离等于半径 的直线是该圆的切线 ；④过圆直径的端点，垂直于此 直径的直线是该圆的切线．
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
一、判断。 1、三角形的外心到三角形各边的距离相等； （ × ） 2、直角三角形的外心是斜边的中点． （ √ ） 二、填空： 1、直角三角形的两条直角边分别是5cm和12cm，则它的外接圆 半径 6.5cm ，内切圆半径 2cm ； 2、等边三角形外接圆半径与内切圆半径之比 2:1 ． 三、选择题： 下列命题正确的是（ C ） A、三角形外心到三边距离相等 B、三角形的内心不一定在三角形的内部 C、等边三角形的内心、外心重合 D、三角形一定有一个外切圆 四、一个三角形,它的周长为30cm,它的内切圆半径 30cm 为2cm,则这个三角形的面积为______．
3、圆内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D可 以是（ ）
A、1∶2∶3∶4 B、1∶3∶2∶4
C、4∶2∶3∶1
D、4∶2∶1∶3
练：有两个同心圆，半径分别为Ｒ和r， Ｐ是圆环内一点，则ＯＰ的取值 r<OP<R 范围是＿＿＿＿＿.
O
P
五.直线与圆的位置关系
r r
●
●
O ┐d
O
r
●
O
相交
d ┐ 相切
－－圆、与圆有关的位置关系（1）
圆的相关概念（略）
一、垂径定理
1.定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分 弦所的两条弧. C
A
M└
●
B O
若 ① CD是直径 ② CD⊥AB
③AM=BM,
可推得
⌒ ⌒ ④AC=BC,
⌒ ⌒ ⑤AD=BD.
D
重视：模型“垂径定理直角三角形”
2、垂径定理的逆定理
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.
A C E O m B n D
图1
A
O
图2
B
四、点和圆的位置关系
.o .p r
Op＜r Op=r Op＞r
.o
.p
.o .p
点p在⊙o内 点p在⊙o上 点p在⊙o外
不在同一直线上的三个点确定一个
圆
（这个三角形叫做圆 的内接三角形，这个圆叫做三角形的外接圆，圆心叫 做三角形的外心） 反证法的三个步骤： 1、提出假设 2、由题设出发，引出矛盾 3、由矛盾判定假设不成立，肯定结论正确
O
综合应用垂径定理和勾股定理可求得半径
6.如图：AB是圆O的直径，BD是圆O的弦， BD到C，AC=AB，BD与CD的大小有什么关系？
为什么？
A
补充：
若∠B=70 °,则 40 ° ∠DOE=＿＿＿．
E
O
C
D
B
7、如图,AB是圆O的直径,圆O过 AC的中点D,DE⊥BC于E． 证明:DE是圆O的切线.
B
C
3.平面上一点P到圆O上一点的距离最长为 2或4cm 6cm,最短为2cm,则圆O的半径为_______.
4.怎样要将一个如图所示的破镜 重圆？
5、 如图，AB是⊙O的任意一条弦，OC⊥AB， 垂足为P，若 CP=7cm，AB=28cm ，你能帮老师求出 这面镜子的半径吗？ C
7 14
P
B
A
实质
三角形的外心 三角形三边垂直平分线的交点
三角形的内心
三角形三内角角平分线的交点
性质
到三角形各顶点 的距离相等 到三角形各边的 距离相等
三角形的外心是否一定在三角形的内部？
A
A
●
A
●
O C B
┐
O
●
O C
B
C
B
锐角三角形的外心位于三角形内, 直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点, 钝角三角形的外心位于三角形外.
六.圆与圆的位置关系
交点个数
d R r
名称
d , R , r 的关系 d>R+r d=R+r R-r< d < R+ r d=R-r
0
外离
1
外切 相交
2
1
内切
内含 0 同心圆是内含的特殊情况
d<R-r
七.三角形的外接圆和内切圆：
A A
O C B B 三角形外接圆的圆心叫三角形的外心
I
C 三角形内切圆的圆心叫三角形的内心。
A．150°
B．130°
C．120°
D．60°
4、在△ABC中，∠A＝70°，若O为△ABC的外心， ∠BOC= ；若O为△ABC的内心，∠BOC= ．
C D A B
O
图1
图2
1、两个同心圆的直径分别为5 cm和3 cm，则圆环部分的宽 度为_____ cm；
2、如图1,已知⊙O，AB为直径，AB⊥CD，垂足为E，由 图你还能知道哪些正确的结论?请把它们一一写出 来 ； 3、为改善市区人民生活环境，市建设污水管网工程，某圆 柱型水管的直径为100 cm，截面如图2，若管内污水的面宽 AB=60 cm，则污水的最大深度为 cm； 4、已知、是同圆的两段弧，且=2，则弦AB与CD之间的关 系为（ ）．A.AB=2CD；B.AB<2CD；C.AB>2CD；D.不能确 定
1、如图1，AB是⊙O的直径，C为圆上一点，弧AC度数为60°， OD⊥BC，D为垂足，且OD=10，则AB=_____，BC=_____； 2、已知、是同圆的两段弧，且弧AB等于2倍弧AC，则弦AB与 CD之间的关系为（ ）； A.AB=2CD B.AB<2CD C.AB>2CD D.不能确定
3、 如图2，⊙O中弧AB的度数为60°，AC是⊙O的直径，那 么∠BOC等于 ( )；
切线的判定定理的两种应用
1、如果已知直线与圆有交点，往往要 作出过这一点的半径，再证明直线垂直 于这条半径即可； 2、如果不明确直线与圆的交点，往往要 作出圆心到直线的垂线段，再证明这条 垂线段等于半径即可．
切线的性质定理
圆的切线垂直于过切点的半径.
∵CD切⊙O于Ａ, OA是⊙O的 半径
●
O D
圆内接四边形的性质：
（1）对角互补；（2）任意一个外角都等于它的内
对角
1、⊙O的半径为R，圆心到点A的距离为d，且R、d分 别是方程x2－6x＋8＝0的两根，则点A与⊙O的位置关系是 （ ） A．点A在⊙O内部 C．点A在⊙O外部 B．点A在⊙O上 D．点A不在⊙O上
2、M是⊙O内一点，已知过点M的⊙O最长的弦为10 cm，最短的弦长为8 cm，则OM=_____ cm.