板壳分析

∂w ∂w ∂ w [ χ ] = − 2 ; − 2 ; −2 [ N] de = [ B] de ∂x ∂y ∂xy [ B] = [ B]1 [ B]2 [ B]3 [ B]4
弹性薄板矩形（R12） 弹性薄板矩形（R12）单元
薄板的单元列式 在前面已导出
∂w ∂w ∂ w [ χ ] = − 2 ; − 2 ; −2 ∂y ∂xy ∂x
2 2 2 T
Q1 1 My1
Mx1
4 x w3
θx3 θy3
2 y z
3
将位移模式代入可得形变矩阵为
2 2 2 T
2
∂x
;v = −z
∂y
2
; w = w( x, y)
y向曲率 向曲率
扭率
2
他们完全确定板的变形， 他们完全确定板的变形，因此称他们组成的矩 阵为形变矩阵，记作[χ ， 阵为形变矩阵，记作 χ]，也即
∂w ∂w ∂w ε x = −z 2 ;ε y = −z 2 ;γ xy = −2z ∂x ∂y ∂xy
2) 形函数的确定 龙驭球院士指出利用对 薄板的形函数可以用广 称性可减少确定广义坐标 义坐标法， 义坐标法，也可以用试凑 的工作量， 的工作量 法得到。 ，但是仍然不很 法得到。由于单元自由度 方便。为此 介绍试凑法， 介绍试凑法， 方便，因此可有12个广义 。为此,介绍试凑法 为12，因此可有 个广义 2 首先引入自然坐标ξ=x/a, 坐标， 坐标，位移模式可设为如 η=y/b。 。 下不完全四次多项式
∂w ∂w ∂ w [χ] = − 2 ;− 2 ;−2 ∂y ∂xy ∂x
2 2 2
T
弹性薄板基本知识
由此可得薄板应变矩阵为[ 由此可得薄板应变矩阵为 ε]=z[χ]。 χ。 薄板内力和总势能 1) 设平面应力弹性矩阵为 设平面应力弹性矩阵为[D]’，则薄板应力矩阵 ， 为 [σ]=-z[D]’ [χ]。 2) 薄板内力 χ。 微元体如图所示。 微元体如图所示。 h/2 x 由图可得 τ xy zdydz ∫-h/2 h/2 ∫-yh/2 σ x zdydz τ xydydz h/2 σ x dydz τ yx zdxdz ∫
弯矩 扭矩
M = ∫ σ xzdzdy
M'y = ∫ σ yzdzdx
M = ∫ τ xyzdzdy
' xy -h/2
-h/2 h/2
M = ∫ τ yxzdzdx
' yx -h/2
h/2
弹性薄板基本知识
由此可得薄板单位长度内力为M 由此可得薄板单位长度内力为 x、My、Mxy= Myx (dx=dy=1)，依此顺序排列的列阵称内力矩 ， 记作[M]。 阵，记作 将应力应变关系代入并对z进行积分 进行积分， 将应力应变关系代入并对 进行积分，可得 [M]=[D][χ] χ [D]=（h3/12）[D]’ 式中 （ ） 称作薄板的弹性矩阵。 称作薄板的弹性矩阵。 3) 薄板的应变能
Q1 1 My1 w3 3 y z Mx1 4 x
θx3 θy3
w = a1 + a2 x + a3 y + a4 x2 + a5 xy + a6 y2 + a7 x3 + a8 x2 y + a9 xy2 + a10 y3 + a11x3 y + a12 xy3
利用12个结点位移条件， 利用 个结点位移条件，由广义坐标法可建 个结点位移条件 立形函数，显然十分麻烦。 立形函数，显然十分麻烦。
w = ∑[N]i d i = [N] d e
i =1
4
[]
[]
是非完全协调的。 教材上有更严密的数学证明 教材上有更严密的数学证明) 是非完全协调的。(教材上有更严密的数学证明
弹性薄板矩形（R12） 弹性薄板矩形（R12）单元
5) 非完全协调元的收敛性
4 i =1
w = ∑[N]i d i = [N] d e
弹性板壳单元分析初步
弹性板壳单元分析初步
弹性薄板基本知识 弹性薄板矩形（R12） 弹性薄板矩形（R12）单元 三角形（T9） 三角形（T9）单元 拟协调元和广义协调元 矩形平板壳体单元 平板壳体程序的使用 有限单元法I 有限单元法I的结束语
弹性薄板基本知识
弹性薄板基本概念 所谓薄板是指板厚h比板 所谓薄板是指板厚 比板 最小尺寸b在如下范围的平 最小尺寸 在如下范围的平 y 1 1 h 1 1 板 ~ < < ~
？
弹性薄板矩形（R12） 弹性薄板矩形（R12）单元
4 2-1) 试凑形函数 1 试凑形函数N 1 x My1 由形函数性质， 由形函数性质，对N1有: N1(1)=1；N1(j)=0，j=2,3,4 ； ， w3 θx3 3 N1对x，y的偏导数在结点 2 ， 的偏导数在结点 y θy3 z 处均为零。 处均为零。 考虑到挠度是非完全四此式， 考虑到挠度是非完全四此式，为使自动满足 它点为零N 它点为零 1(j)=0 ，可设 Q1 Mx1
弹性薄板基本知识
由克希霍夫假定c) 可推得w与 无 由克希霍夫假定 忽略应变ε z可推得 与z无 等于零,再加上中面无变形 再加上中面无变形, 由 可知 关， b)可知γ zx和γ yz等于零 再加上中面无变形 最终可得 位移只与挠度w有关 ∂w ∂w 位移只与挠度 有关
u = −z
由此结果可得 x向曲率 向曲率
N1 = (1 −ξ )(1−η)(a + b + cη + dξ 2 + eη2 ) ξ
利用所有点N 的导数为零条件， 利用所有点 1的导数为零条件，P.171~172 经式 (c)~(l)的推导 可得 的推导,可得 再由本点处位移的条件,可得 可得d=-1/8,由此 的推导 再由本点处位移的条件 可得 由此
4 因此， 因此，边线的挠度和转角可 1 x 由两端点的挠度和沿边线导数 My1 对应的转角唯一地确定。 对应的转角唯一地确定。 w3 θx3 3 但是， 但是，边界法向转角只 2 y θy3 z 有两端两个法向转角位移 条件，当然无法唯一地确定， 条件，当然无法唯一地确定，所以相邻单元法向 转角位移不协调。 转角位移不协调。 由此可见， 由此可见，由形函数所建立的挠度场 Q1 Mx1
对于薄板等位移场非完全协调的位移模式,如 对于薄板等位移场非完全协调的位移模式 如 何才能保证收敛呢? 何才能保证收敛呢 Irons 给出了小片检验准则： 给出了小片检验准则： 用待检验的单元组成一小片，在无荷载、 用待检验的单元组成一小片，在无荷载、单 元结点位移满足“常应变”状态位移条件时， 元结点位移满足“常应变”状态位移条件时，如 果各结点能够保持平衡且获得“常应力” 果各结点能够保持平衡且获得“常应力”受力状 态，则这种位移模式对应的单元在如此网格下一 定收敛。 定收敛。
Q1 1 My1 w3 3 y z Mx1 4 x
Ni = (1+ξ0 )(1+η0 )
θx3 θy3
2
×(2 +ξ0 +η0 −ξ 2 −η2 )/8 相关的形函数， 对于转角θxi相关的形函数，同样思路推导可得
相关的形函数， 对于转角θyi相关的形函数，可推导得 ，
Nxi = −bηi (1 + ξ0 )(1 +η0 )(1-η )/8
[]
[]
弹性薄板矩形（R12） 弹性薄板矩形（R12）单元
小片检验的具体做法 • 取某一单元小片，对小片的每一结点给以对应 取某一单元小片， 并在小片的边界上给出对 于完全二次多项式的结点位移。 于完全二次多项式的结点位移。 。 应于完全二次多项式的边界条件。 应于完全二次多项式的边界条件 • 每一单元按 e=keδe求单元结点力，式中）单元、 • 每一单元按F 按此位移模式进行（在无荷载作用下的 单元、 按此位移模式进行求单元结点力，式中ke为对 （在无荷载作用下的） 应所考察位移模式的单元刚度矩阵。 应所考察位移模式的单元刚度矩阵。 整体分析，并在上述位移边界条件下求解。 整体分析，并在上述位移边界条件下求解。 • 检验小片内部结点处是否均满足结点的自平 • 若所求得的结点位移构造的小片上的挠度为 衡条件，若条件均成立， 衡条件，若条件均成立，则单元位移模式能通 一完全二次多项式， 一完全二次多项式，则单元的位移模式通过分 过小片检验。 过小片检验。 片检验。 片检验。 当程序无法计算 P.173 给出了 已知支座位移问题时 给出了R12检查例子。请大家自己看一看。 检查例子。 检查例子 请大家自己看一看。
弹性薄板矩形（R12） 弹性薄板矩形（R12）单元
薄板单元位移模式 4 1 设局部编号1、 、 、 ， x 设局部编号 、2、3、4，x 、 My1 y方向长度分别为 、2b的矩 方向长度分别为2a 方向长度分别为 的矩 w3 θx3 形板单元如图所示。 形板单元如图所示。 2 3 y θy3 z 图中还给出了各结点位移和结 ∂w ∂w 点力的示意图。 点力的示意图。 ;θ y = − θx = ∂y ∂x 1) 结点位移和结点力矩阵
T i i xi yi T i i xi
Q1 Mx1
[d] = [w θ θ ] [F] = [Q M [d] = [[d] [d] [d] [d] ] [F] = [[F] [F] [F] [F] ]
T 2 T 3 T T 4 e 1 T T 2 T 3 T T 4 e 1
Myi
]
T
弹性薄板矩形（R12） 弹性薄板矩形（R12）单元
]
θx3 θy3
⋅⋅⋅
4
[N]4 ]
则薄板的挠度场可由结点位移表示为
w = ∑[N]i d i = [N] d e
i =1
[]
[]
4) 单元间位移的协调性 可以证明,上述 上述w在边线上任意一点的挠度和 可以证明 上述 在边线上任意一点的挠度和 转角都是三次多项式。 转角都是三次多项式。