2020-2021学年海南省华中师范大学琼中附属中学高一上学期期中考试数学试题(解析版)

2020-2021学年海南省华中师范大学琼中附属中学高一上学期期中考试数学试题一、单选题 1．函数y x=的定义域为（ ） A ．312x x ⎧⎫-<≤⎨⎬⎩⎭ B ．312x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭ C ．3{|12x x -≤≤且0}x ≠ D ．3{|12x x -≤<且0}x ≠ 【答案】C【分析】根据偶次根式被开放非负分母不为0列式可解得结果.【详解】由函数y x =有意义得230100x x x +≥⎧⎪-≥⎨⎪≠⎩，解得312x -≤≤且0x ≠.故选：C【点睛】方法点睛：已知函数解析式，求函数定义域的方法： 1、有分式时：分母不为0；2、有根号时：开奇次方，根号下为任意实数，开偶次方，根号下大于或等于0；3、有指数时：当指数为0时，底数一定不能为0；4、有根号与分式结合时，根号开偶次方在分母上时：根号下大于0；5、有指数函数形式时：底数和指数都含有x ，指数底数大于0且不等于1；6、有对数函数形式时，自变量只出现在真数上时，只需满足真数上所有式子大于0，自变量同时出现在底数和真数上时，要同时满足真数大于0，底数要大0且不等于1.2．已知全集为R ，集合2{|20}A x x x =+-<，{|0B x x =<或1}x >，则()UA B ⋃=（ ）A ．(,2)[1,)-∞-⋃+∞B ．(,0)(1,)-∞⋃+∞C ．(2,1]-D ．(]1,1-【答案】C 【分析】求出集合UB ，化简集合A ，根据并集的概念运算可得解.【详解】因为{|0B x x =<或1}x >，所以{|01}UB x x =≤≤，又{|21}A x x =-<<， 所以()UA B ⋃={|21}x x -<≤.故选：C【点睛】关键点点睛：掌握补集和并集的概念是解题关键. 3．“2x >”是“24x >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】解不等式24x >后，根据集合的包含关系可得解. 【详解】因为24x >等价于2x >或2x <-， 所以“2x >”是“24x >”的充分不必要条件. 故选：A【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含． 4．设命题p ：2,25n N n n ∃∈>+，则p 的否定为（ ） A ．2,25n N n n ∀∈>+ B ．2,25n N n n ∀∈≤+ C ．2,25n N n n ∃∈≤+ D ．2,25n N n n ∃∈=+ 【答案】B【分析】本题根据题意直接写出命题p 的否定即可. 【详解】解：因为命题p ：2,25n N n n ∃∈>+， 所以p 的否定p ⌝：2,25n N n n ∀∈≤+， 故选：B【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，是基础题.5．函数()f x =是（ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．既奇又偶函数D ．非奇非偶函数【答案】A【分析】首先求出函数的定义域，然后利用奇偶性定义判断即可.【详解】解：因为()|3|3f x x =+-所以240330x x ⎧-≥⎪⎨+-≠⎪⎩解得22x -≤≤且0x ≠，故函数的定义域为[)(]2,00,2-，定义域关于原点对称，所以()f x =，[)(]2,00,2x ∈-,又()()f x f x -===-所以函数为奇函数； 故选：A【点睛】本题考查函数的奇偶性的判断，判断函数的奇偶性按照两步：①求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称；②计算()f x -判断与()f x 之间的关系； 6．如果函数f (x )=x 2+2(a -1)x +2在区间(-∞，4]上单调递减，那么实数a 的取值范围是（ ） A ．(-∞，-3] B ．[-3，+∞)C ．(-∞，5]D ．[5，+∞)【答案】A【分析】根据二次函数的单调性列式可解得结果. 【详解】依题意可得对称轴14x a =-≥，解得3a ≤-. 故选：A【点睛】关键点点睛：掌握二次函数的单调性是解题关键.7．一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店里购买10克黄金，售货员先将5克的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5克的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.顾客实际购买的黄金（ ） A ．大于10克 B ．小于10克 C ．等于10克 D ．不能判断大小【答案】A【分析】设天平的左右臂长分别为,m n (m n ≠)，第一次加黄金x 克，第二次加黄金y 克，则根据物理知识可得5m xn =，5my n =，根据基本不等式可得10x y +>克. 【详解】设天平的左右臂长分别为,m n (m n ≠)，第一次加黄金x 克，第二次加黄金y 克，则根据物理知识可得5m xn =，且(5)(5)y m x n +=+，即5my n =，所以555()510m n m n x y n m n m +=+=+≥⨯=，当且仅当m n =时等号成立，因为m n ≠，所以等号不成立，所以10x y +>克. 故选：A【点睛】易错点点睛：本题在利用基本不等式时，容易忽视等号成立的条件导致错选C . 8．已知不等式20ax bx c ++>的解集为{}21x x -<<，那么不等式20cx ax b -+>的解集为（ ）A ．112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭B ．1{|2x x <-或1}x > C ．112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭D ．{|1x x <-或1}2x >【答案】D【分析】根据不等式20ax bx c ++>的解集求出0a <，2c a =-，b a =，代入20cx ax b -+>可解得结果.【详解】因为不等式20ax bx c ++>的解集为{}21x x -<<， 所以0a <，且2-和1是一元二次方程20ax bx c ++=的两个实根， 所以21ba，21c a -⨯=，即2c a =-，b a =，所以不等式20cx ax b -+>可化为220ax ax a --+>， 因为0a <，所以2210x x +->，分解因式得(21)(1)0x x -+>， 解得12x >或1x <-. 故选：D【点睛】关键点点睛：根据一元二次不等式的解集得到二次项系数的符号以及对应的一元二次方程的两个实根是解题关键.二、多选题9．若0,0,2a b a b >>+=，则下列不等式中恒成立的是（ ）A ．1ab ≤B ≤C ．222a b +≥D ．112a b+≥ 【答案】ACD【分析】利用基本不等式逐一分析四个结论的正误，可得答案． 【详解】解：0a >，0b >，2a b +=，22a b ab ∴+=，即1ab ，即1ab ，故A 正确；2()22()4a b a b ab a b +=+++=，故2a b +，故B 错误；222()2422a b a b ab +=+--=，故C 正确；1111111()()1()122222b a a b a b a b a b +=++=+++⨯=，故D 正确； 故选：ACD.10．方程22()x x k k R -=∈的解的个数可能为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】BCD【分析】转化为判断函数2|2|y x x =-与函数y k =的图象的交点的个数，作出函数2|2|y x x =-的图象，根据图象可得解.【详解】方程22()x x k k R -=∈的解的个数等价于函数2|2|y x x =-与函数y k =的图象的交点的个数，作出函数2|2|y x x =-的图象如图：由图可知，当0k <时，函数2|2|y x x =-与函数y k =的图象无交点，方程22()x x k k R -=∈的解的个数为0；当0k =或1k >时，函数2|2|y x x =-与函数y k =的图象有2个交点，方程22()x x k k R -=∈的解的个数为2；当1k =时，函数2|2|y x x =-与函数y k =的图象有3个交点，方程22()x x k k R -=∈的解的个数为3；当01k <<时，函数2|2|y x x =-与函数y k =的图象有4个交点，方程22()x x k k R -=∈的解的个数为4；故答案为：BCD【点睛】关键点点睛：作出函数2|2|y x x =-的图象，观察图形得解是解题关键. 11．当(1,)x ∈+∞时，幂函数a y x =的图像在直线y x =的下方，则a 的值可能为（ ） A ．12B ．1-C ．3D ．2【答案】AB【分析】转化为当1x >时，a x x <恒成立，可得1a <，由此可得解. 【详解】根据题意得当1x >时，a x x <，可知1a <， 故选：AB【点睛】关键点点睛：由不等式a x x <(1)x >得出1a <是解题关键.12．对于实数x ，符号[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[]3,[2.5]2,[ 1.4]2π==-=-，定义函数()[]f x x x =-，则下列命题中正确的是（ ） A ．( 3.9)(4.1)f f -= B ．函数()f x 的最大值是1 C ．函数()f x 的最小值是0 D ．方程1()02f x -=没有实数根 【答案】AC【分析】根据[]x 的定义可知，A 正确；根据[]x 的定义可知，()[0,1)f x ∈，B 错误，C 正确；根据1( 1.5)2f -=，可知D 错误，由此可得解. 【详解】根据[]x 的定义可知，( 3.9) 3.9[ 3.9] 3.9(4)0.1f -=---=---=，(4.1) 4.1[4.1] 4.140.1f =-=-=，故A 正确；当x 为整数时，[]x x =，所以()[]0f x x x =-=，当x 不为整数时，0[]1x x <-<，所以()[0,1)f x ∈，故B 错误，C 正确；1()02f x -=可化为1()[]2f x x x =-=，因为1( 1.5) 1.5(2)2f -=---=，故D 错误. 故选：AC【点睛】关键点点睛：理解并运用[]x 的定义是解题关键.三、填空题13．已知()()2240()40x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩，若()2(2)f a f a ->，则实数a 的取值范围是____________. 【答案】(2,1)-【分析】判断函数()f x 的单调性，利用单调性()2(2)f a f a ->转化为自变量的不等式，即可求解.【详解】()f x 在区间(,0],(0,)-∞+∞都是增函数， 并且在0x =处函数连续，所以()f x 在R 上是增函数，()2(2)f a f a ->等价于222,20a a a a >+-<-，解得21a -<<. 故答案为:(2,1)-【点睛】本题考查函数的单调性，并利用单调性解不等式，属于中档题. 14．已知正实数x ，y 满足2x ＋y ＝2，则21x y+的最小值为______． 【答案】92【分析】将题目所给已知变为()1212x y +=，乘给21x y +，展开后用基本不等式求得最小值.【详解】∵正实数x ，y 满足2x ＋y ＝2， 则21x y +＝12(2x ＋y )21x y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝12219552222y x x y y ⎛⎛⎫++≥+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当且仅当x ＝y ＝23时取等号．∴21x y +的最小值为92.【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求和式的最小值，方法是利用“1”的代换的方法，属于基础题.15．定义在[,]a b 上的偶函数2()(5)f x x a x b =+++的最大值为_________. 【答案】30【分析】先根据函数()f x 在[,]a b 上是偶函数，求得a ，b ，再利用二次函数的性质求解. 【详解】因为函数2()(5)f x x a x b =+++定义在[,]a b 上的偶函数，所以0,50a b a +=+= ， 解得5,5a b =-=，所以函数[]2()5,5,5f x x x =+∈- ，所以函数()f x 的最大值为2(5)5530f =+=，故答案为：30.16．已知函数2()f x x x a =-+与直线1y =的图像有四个不同的交点，则实数a 的取值范围是_________. 【答案】514a <<【分析】转化为2()||g x x x =-与直线1y a =-有四个不同的交点，作出图形，由图列式可得结果.【详解】因为函数2()f x x x a =-+与直线1y =的图像有四个不同的交点， 所以方程2||1x x a -=-有四个不同的实根，所以2()||g x x x =-与直线1y a =-有四个不同的交点， 作出函数()g x 的图象如图：由图可知，1104a -<-<，解得514a <<.故答案为：514a <<【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解四、解答题17．全集U =R ，若集合A ={x |3≤x <8}，B ={x |2<x ≤6}. （1）求A ∩B ，A ∪B ；（2）若集合C ={x |x >a }，A ⊆C ，求a 的取值范围.【答案】（1）{}{}36,28A B x x A B x x ⋂=≤≤⋃=<<；（2）3a <. 【分析】（1）直接根据交集与并集的概念进行计算可得结果； （2）根据子集关系列式可得结果.【详解】（1）A ∩B {|36}x x =≤≤，{|28}A B x x ⋃=<<； （2）因为集合C ={x |x >a }，A ⊆C ， 所以3a <【点睛】关键点点睛：掌握交集、并集和子集的概念是解题关键. 18．当k 取什么值时，一元二次不等式23208kx kx +-<对一切实数x 都成立. 【答案】30k -<<【分析】对k 分k ＜0和k ＞0两种情况讨论，即得解. 【详解】解：当0k <时，要使一元二次不等式23208kx kx +-<对一切实数x 都成立， 则二次函数2328y kx kx =+-的图象在x 轴下方， 即234208k k ⎛⎫∆=-⨯⨯-< ⎪⎝⎭，得30k -<<. 当0k >时，二次函数2328y kx kx =+-的图象开口向上，一元二次不等式23208kx kx +-<不可能对一切实数x 都成立.综上可知，30k -<<.【点睛】本题主要考查一元二次不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19．已知函数()21221f x x x =+-．（1）判断函数()f x 的奇偶性；（2）试判断()f x 在区间()2,+∞上的单调性，并用单调性定义证明； （3）求函数()f x 在区间[]3,1--上的最值．【答案】（1）非奇非偶函数.（2）增函数；证明见解析 （3）见解析.【分析】（1）根据解析式，即可求出()f x 的定义域，其不关于原点对称,即可说明()f x 为非奇非偶函数.（2）利用单调性的定义：取值-作差-变形-判断正负号-得出结论.（3）由（2）知函数()f x 在区间[]3,1--上单调递减，即()()max 3f x f =-，()()min 1f x f =-，解出即可.【详解】解：（1）()f x 的定义域为{}|1x x ≠,不关于原点对称 所以函数()f x 为非奇非偶函数.（2）任取()12,2,x x ∈+∞，且12x x <，则()()2212121212122121f x f x x x x x -=+---- ()()()()12121212211x x x x x x ⎡⎤=-+-⎢⎥--⎣⎦，因为120x x -<，124x x +>，()()12111x x -->，所以()()()1212120211x x x x +->--，所以()()12f x f x <， 即函数()f x 在区间()1,+∞上是增函数. （3）函数()f x 在区间[]3,1--上单调递减， 所以()()max 34f x f =-=，()()min 112f x f =-=-. 【点睛】本题考查函数的奇偶性，利用函数单调性的定义证明单调性,函数在定区间上的值域.属于基础题.其中函数奇偶性的判断：①定义域关于原点对称;②()()f x f x -=为偶函数，()()f x f x -=-为奇函数.证明函数的单调性步骤为：取值-作差-变形-判断正负号-得出结论.20．若()f x 是定义在(0,)+∞上的增函数，且对一切x ，0y >，满足()()()x f f x f y y=-. （1）求f （1）的值；（2）若f （6）1=，解不等式1(3)()23f x f +-<.【答案】（1）0；（2）(3,9)-.【分析】（1）令1x y ==可得(1)0f =；（2）利用2(6)(6)f f =+，将1(3)()23f x f +-<化为3()2x f f +<（6），再根据函数的单调性和定义域列式可解得结果.【详解】（1）在()()()x f f x f y y=-中，令1x y ==，得f （1）f =（1）f -（1）， f ∴（1）0=.（2）f （6）1=，1(3)()23f x f f ∴+-<=（6）f +（6）， (39)f x f ∴+-（6）f <（6）， 即：3()2x f f +<（6）， ()f x 是(0,)+∞上的增函数， ∴302362x x +⎧>⎪⎪⎨+⎪<⎪⎩，解得39x -<<. 故不等式1(3)()23f x f +-<的解集为(3,9)-.【点睛】本题考查了利用单调性解抽象函数的不等式，属于基础题.21．某工厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为C (x )，当年产量不足80千件时，C (x )＝13x 2＋10x (万元)．当年产量不小于80千件时，C (x )＝51x ＋10000x－1 450(万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．（1）写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；（2）当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？【答案】（1）L (x )＝2140250,0803100001200,80x x x x x x ⎧-+-<<⎪⎪⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩；（2）100千件. 【分析】（1）根据题意，分段求得函数的解析式，即可求得()L x ；（2）根据（1）中所求，结合基本不等式，求得()L x 的最大值即可.【详解】（1）因为每件商品售价为0.05万元，则x 千件商品销售额为0.05×1 000x 万元，依题意得：当0<x <80时，L (x )＝(0.05×1 000x )－21103x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭－250＝－213x ＋40x －250. 当x ≥80时，L (x )＝(0.05×1 000x )－10000511450x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭－250＝1 200－10000x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 所以L (x )＝2140250,0803100001200,80x x x x x x ⎧-+-<<⎪⎪⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩（2）当0<x <80时，L (x )＝－()21603x -＋950. 此时，当x ＝60时，L (x )取得最大值L (60)＝950万元．当x ≥80时，L (x )＝1 200－10000x x ⎛⎫+⎪⎝⎭≤1 200－＝1 200－200＝1 000. 此时x ＝10000x，即x ＝100时，L (x )取得最大值1 000万元． 由于950<1 000，所以当年产量为100千件时，该厂在这一商品生产中所获利润最大，最大利润为1 000万元．【点睛】本题考查分段函数模型的实际应用，涉及利用基本不等式求函数最值，属综合基础题.22．已知函数2()26f x x mx =+-在区间[1,2]-上是单调函数.（1）求实数m 的所有取值组成的集合A ；（2）试写出()f x 在区间[1,2]-上的最大值()g m ；（3）设()1h x x =+，令(),()(),R g m m A F m h m m A∈⎧=⎨∈⎩，若对任意127,[,]2m m a ∈-，总有12()()3F m F m a -≤+，求a 的取值范围.【答案】（1）(,2][1,)-∞-+∞；（2）42,1()25,2m m g m m m -≥⎧=⎨--≤-⎩；（3）403a ≤≤. 【分析】（1）根据二次函数的单调性列式可解得结果；（2）由（1）知，2m ≤-或m 1≥，分类讨论并根据二次函数的单调性求出最大值可得解；（3）求出()F m ，将问题转化为当7[,]2m a ∈-时，max min ()()3F m F m a -≤+恒成立，然后对a 分类讨论求出()F m 的最大最小值代入max min ()()3F m F m a -≤+可解得结果.【详解】（1）对称轴为x m =-，所以2m -≥或1m -≤-，所以(,2][1,)A =-∞-+∞ （2）由（1）知，2m ≤-或m 1≥，当2m ≤-时，函数()f x 在[1,2]-上递减，所以()(1)25g m f m =-=--； 当m 1≥时，函数()f x 在[1,2]-上递增，所以()(2)42g m f m ==-，所以42,1()25,2m m g m m m -≥⎧=⎨--≤-⎩. （3）由(,2][1,)A =-∞-+∞得(2,1)R A =-，()1h m m =+，所以42,1()1,2125,2m m F m m m m m -≥⎧⎪=+-<<⎨⎪--≤-⎩， 问题转化为当7[,]2m a ∈-时，max min ()()3F m F m a -≤+恒成立. ①当722a -≤≤-时，()F m 为递减函数，所以max min 7()()2,()()252F m F F m F a a =-===--， 由2(25)3a a ---≤+解得4a ≤-.与722a -≤≤-矛盾. ②当21a -<<时，()F m 在7[,2]2--上递减，在(2,]a -上递增，因为7()2()12F F a a -=>=+，所以max min 7()()2,()(2)12F m F F m F =-==-=-， 由2(1)3a --≤+解得0a ≥，则01a ≤<，③当1a ≥时，()F m 在7[,2]2--上递减，在(2,1)-上递增，在[1,]a 上递增， 因为7()2()422F F a a -=≤=-，所以max min ()()42,()(2)1F m F a a F m F ==-=-=-，由42(1)3a a ---≤+解得413a ≤≤， 综上可知：403a ≤≤。