Chapter 4习题答案 频域仿真建模方法学

写成递推形式：
[ y(k) = 1 (2aT + bT 2 )u(k) − 2bT 2u(k −1) + (bT 2 − 2aT )u(k − 2) 4 + 2cT + 8y(k −1) − (4 − 2cT ) y(k − 2)]
z z
− +
11)⎢⎣⎡(T2
z z
− 1) +1
+
c⎥⎦⎤
=
2aT
+ bT 2 − 2bT 2 z −1 + (bT 2 − 2aT )z −2 4 + 2cT − 8z −1 + (4 − 2cT )z −2
= Y(z) U (z)
则Y (z) = G(z)U (z) ，有：
[ ] [ ] U (z) 2aT + bT 2 − 2bT 2 z −1 + (bT 2 − 2aT )z −2 = Y (z) 4 + 2cT − 8z −1 + (4 − 2cT )z −2
)
(z
−
e −T
z2 )(z
−
e −2T
)
由： G(z)
=
Kz
(z
− e −T
z2 )(z
− e−2T
)
=
Y (z) U (z)
故：[z 2 − (e−T + e−2T )z + e−3T ]Y (z) = K z z 2U (z)
所以差分方程为：
y(k + 2) = (e−T + e−2T ) y(k + 1) − e−3T y(k) + K zu(k + 2)
U (z)(2aT + bT 2 ) − 2bT 2 z −1U (z) + (bT 2 − 2aT )z −2U (z) = Y (z)(4 + 2cT ) − 8z −1Y (z) + (4 − 2cT )z −2Y (z)
差分方程为:
(2aT + bT 2 )u(k) − 2bT 2u(k −1) + (bT 2 − 2aT )u(k − 2) = (4 + 2cT ) y(k) − 8y(k −1) + (4 − 2cT ) y(k − 2)
的 z = 1单位圆内，因此 G(s) 是稳定的， G(z) 也是稳定的
（2）：对于 Z 平面上的单位圆内部，有 z < 1，即 z 2 < 1 ，故：
z2
=
(Tσ
1 − 1)2 + Ω 2T 2
< 1 ，即 (Tσ −1)2 + Ω 2T 2
>1
也就是：
(σ − 1 ) 2 + Ω 2 > ( 1 ) 2
Tz
（1）：由 z 2 = 1，得：
z2 =
1
(Tσ − 1)2 + Ω 2T 2
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S 平面
0
s = z −1 Tz
Z 平面
-1
1
0
显然：当σ < 1时， z < 1，故在 s = z − 1 变换下相当于把左半 s 平面映射成了 z 平面 Tz
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1. 教材P87第1题
试求 s 在作用函数 u(t) 的作用下，输出 y(t) 的差分方程（采用虚拟采样开关和零阶 s +1
保持器）。
解：加入虚拟采样开关和零阶保持器后
G(s) = 1 − e−Ts s = 1 − e−Ts s s +1 s +1
=
Kz
(z
− e−T
z2 )(z
− 1(t) ，有：
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y(∞)
=
lim[sG(s)U (s)]
s →0
=
⎡ lsi→m0 ⎢⎣s
(s
1 + 1)(s
+
2)
1⎤
s
⎥ ⎦
=
1 2
y(∞)
=
lim[ z
z →1
4. 双线性变化法
已知一个系统的传递函数是： G(s) = as + b ，取采样周期为 T ，用双线性替换法求该 s(s + c)
系统的差分方程。
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解：令 s = 2 z −1 ，代入 G(s) ，则有 T z +1
G(z) =
(2 T
a( 2 z −1) + b T z +1
3. 教材P88第5题
用 s = z −1 的关系对 G(s) 进行替换，试问 Tz
（1） G(s) 是稳定的， G(z) 也是稳定的吗？
（2） G(z) 是稳定的， G(s) 也一定是稳定的吗？
解：令 s = σ + jΩ ，则由 s = z −1 ，有 (Tσ − 1)z + jΩTz = −1
T
T
Z 平面
S 平面
s = z −1 Tz
-1
1
0
2
0
1/T T
在 s = z −1 变换下相当于把 z 平面的 z = 1单位圆内部映射成了 s 平面上以 ( 1 , j0)
Tz
T
为圆心， 1 为半径的圆外部，即有可能映射到 s 左半平面，也有可能映射到 s 右半平面。所 T
以 G(z) 是稳定的， G(s) 不一定是稳定的。
（1）
则：
G(z)
=
Z[G(s)]
=
Z
⎡1 ⎢ ⎣
− s
e −Ts +1
⎤ ⎥ ⎦
=
(1
−
z
−1
)
z
z − e −T
=
z −1 z − e−T
则 Y (z)
=
G(z)U (z)
=
z −1 z − e−T
U (z)
因此：Y (z)(z − e−T ) = U (z)(z −1)
所以差分方程：
y(k + 1) = e−T y(k) + u(k + 1) − u(k)
−1 G(z)U (z)] z
=
⎡z
lim
z →1
⎢ ⎣
−1 z Kz
(z
− e −T
z2 )(z
− e −2T
)
z
z⎤ − 1⎥⎦
=
Kz
(1 − e−T
1 )(1 −
e −2T
)
因此： K z
=
1 (1 − e−T )(1 − e−2T ) 2
所以：
G(z)
=
1 2
(1 −
e −T
)(1 −
e −2T
（2） （3） （4） （5）
2. 教材P87第2题
用根匹配法求 G(s) =
1
的差分模型（加单位阶跃输入）。
(s + 1)(s + 2)
解：
（1）由 G(s)
=
1 (s + 1)(s + 2)
，则
p1
=
−1,
p2
=
−2, n
=
2, m
=
0
（2） p1′ = e−T , p2′ = e−2T
（3） G(z)