第九章 电路的复频域分析法.
电路复频域分析PPT课件
1
∞ e(sa)t
sa
0
1 sa
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14-2 拉普拉斯变换的基本性质
1.线性性质
若 L [f1(t)] F1(s) , L [f2 (t)] F2 (s) 则 L A1 f1(t) A2 f2(t) A1L f1(t) A2L f2(t)
A1F1(s) A2F2 (s)
1
1 e
sT
F1 ( s)
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L
[
f
(t
)]
1
1 e sT
F1(s)
对于本题脉冲序列
T
f1(t) ε(t) ε(t 2 )
F1 ( s)
(1 s
1 s
e sT
/
2
)
L
[
f
(t)]
1 1 esT
(1 1 esT /2) ss
1 s
( 1
1 e sT
/2
)
5.拉普拉斯的卷积定理
解
设f1(t)为一个周期的函数
f(t) 1
...
L [ f1(t)] F1(s)
t
O T/2 T
因为 f (t) f1(t) f1(t T )ε(t T )
f1(t 2T )ε(t 2T )
L [ f (t)] F1(s) esT F1(s) e2sT F1(s)
F1(s)[esT e2sT e3sT ]
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一些常用的变换 ① 对数变换
乘法运算变换为加法 运算
A B AB
lg A lg B lg AB
② 相量法
动态电路的复频域分析-运算法
THANKS.
分析方法
基于传递函数的极点分布，判断 系统是否稳定。若极点全部位于 复平面的左半部分，则系统稳定； 否则，系统不稳定。
分析步骤
首先求出传递函数，然后找出传 递函数的极点，最后根据极点的 位置判断系统的稳定性。
运算法在动态电路分
06
析中的应用
运算法的基本原理和步骤
01
基本原理：运算法基于复频域分析，通过拉普拉斯变换将 时域电路转换为复频域电路，从而简化动态电路的分析过 程。
时域分析的局限性
复杂度高
对于复杂电路，时域分析需要解高阶微分方程，计算量大且容易出 错。
频率特性不明确
时域分析难以直观反映电路的频率特性，如谐振频率、带宽等。
不便于系统设计
在电路设计和分析中，通常需要了解系统的频率响应和稳定性等特 性，时域分析难以直接提供这些信息。
复频域分析的基本原
03
理
拉普拉斯变换的定义和性质
结论与展望
07
研究成果总结
提出了基于复频域分析的动态电路运算法，该方法能够有效地解决动态电 路的时域分析问题，提高了计算效率和精度。
通过实验验证了该方法的可行性和有效性，结果表明该方法具有较高的准 确性和稳定性，适用于各种不同类型的动态电路分析。
该方法不仅可以应用于电路仿真和设计中，还可以为电路故障诊断和性能 优化提供有力的支持。
03
频域方程
电路在正弦激励下的稳态响应， 通过复数形式的傅里叶变换表示。
电路元件在复频域中的阻抗特性， 包括电阻、电感和电容的复数形 式。
描述电路在复频域中行为的数学 方程，通常通过拉普拉斯变换得 到。
元件的复频域模型
电阻元件
在复频域中，电阻的阻抗为实数，与频率无 关。
第二节 拉普拉斯反变换的部分分式展开法动态电路的复频域分析.
第二节 拉频拉斯反变换的部 第九章 动态电路的复频域分析 分分式展开法 s3 F ( s ) 2 例9-9求 ( s 1)(s 2s 5) 的原函数f(t) 。
* K1 K2 K2 解：F ( s) ( s 1) ( s 1 j ) ( s 1 j ) s3 1 3 K1 [ F ( s )(s 1)]s 1 [ 2 ] | s 1 0.5 s 2s 5 1 2 5 s3 K 2 [ F ( s )(s 1 j 2)]s 1 j 2 [ ] |s 1 j 2 ( s 1)(s 1 j 2)
Kn K1 K2 F ( s) ... s p1 s p2 s pn
(9-3)
式中K1、 K2、 ... Kn、是待定系数。 确定系数，将上式两边同乘(s- p1)得
令s=p1
Kn K2 ( s p1 ) F ( s) K1 ( s p1 )( ... ) s p2 s pn
2
电路基本分析 第九章 动态电路 的复频域分析
第二节 拉频拉斯反变换的部 第九章 动态电路的复频域分析 分分式展开法 1 4 4 所以 F ( s ) s 1 s 2 s 3 原函数 f (t ) 1et 4e2t 4e3t
2 s 2 5s 5 的原函数f(t)。 例9-8 求 F ( s) 2 s 3s 2 2 2 2s 5s 5 2( s 3s 2) s 1 解：F ( s) 2 2 2 s 3s 2 s 3s 2 s 3s 2 s 1 K1 K2 2 2 ( s 1)(s 2) s 1 s 2 s 1 11 K1 [(s 1) ]t 1 2 ( s 1)(s 2) 1
《简明电路》第9章 动态电路的复频域分析
f (t)est dt (t)est dt
0
0
F ( s)
f (t)est dt (t)est dt
0
0
根据冲击函数的取样性质有
(t ) f (t )dt
0
(t ) f (0)dt f (0)
0
(t ) dt f (0)
首页
知识点 拉普拉斯变换及性质 拉普拉斯反变换 s域的电路模型 线性动态电路的复频域分析法
重点和难点 拉氏变换的含义、求象函数 由象函数求原函数 用部分分式法求原函数 将电路的时域模型转换为复频域模型 线性动态电路的复频域解法
首页
第1节 拉普拉斯变换及其基本性质
一、拉普拉斯变换 二、拉普拉斯变换的性质
1 j t 1 1 1 j t L sin t L (e e ) 2 j 2 j s j s j 2 s 2
(2) 根据欧拉公式及线性性质，可求出
1 1 j t j t 1 1 L cos t L (e e ) 2 2 s j s j s 2 s 2
t 0 (t ) 0 t 0 (t )dt 1
0
st e e st dt K ( ) s
0
K s
δ(t)函数意义:t≠0时,δ(t)=0 。当t=0 时是一个面积
为1，但宽度极为窄小而幅度极大的脉冲。
δ(t) 的象函数为
结论：时间函数一阶导数的象函数是时间函数 的象函数乘复频率s，再减初始值。
电路复频域 频域 时域 相量关系 分析
哈为啥有这些呢，产生这些概念的前提：正弦量被广泛采用，原因如下1. 电力工程，发电输电用电，正弦量使设备简单，效率高，经济2. 实验室易于产生标准的正弦量3. 有一套成熟的正弦电路的算法4. 正弦量可以利用傅里叶级数分解为不同频率的正弦量对于正弦的使用以及电路分析有这样的解释：对电路的分析其实就是对电路的建模，包括对每个元器件的建模。
纯阻性元件的数学模型很简单，只有一个方程。
而理想电感的方程会复杂一点，电压电流满足一个微分方程，而且还有关于磁链的方程。
对于非线性的二极管等等，就有更复杂的数学模型。
数学模型建立起来之后就要求解。
在求解过程中，人们发现，只有e^x和正弦函数具有一个特殊的性质，那就是不管求导多少次，都满足函数的相似性。
人们就开始研究，能否把输入都用正弦信号或者指数信号的叠加代替，带入电路的数学模型之后，计算非常简便，得到输出之后，再把输出恢复成实际的信号。
这就是傅立叶和拉普拉斯解法。
在用正弦信号求解的时候，指数函数和正弦函数又有一个牛逼的公式将两者联系起来，这就是欧拉公式，这样正弦函数的相位信息就可以放到指数函数中去。
/question/23290060/answer/24128688（转自知乎）所以与其相关的算法如期而至首先，时域算法，最容易理解，首先描述正弦量的是时域的算法（其定义的时候就是用的时间，随时间按正弦规律变化的电压和电流就是正弦量）基本的单位有：频率，周期，角频率，瞬时值，最大值，有效值相位（瞬时值变化进程）初相位相位差（前提，频率相同，反映了两个正弦量变化进程差异，而非产生波形先后，超前滞后同相反相正交）①时域——相量（将时域分析换为频域分析）细节一点，在时域的正弦表示中，根据欧拉公式，转化为了相量的形式，这其中，相量形式保持了原来正弦量的幅值、初相位信息，即两者联系为通过欧拉公式实数范围的正弦时间函数和复数范围的复指数常数一一对应但是需要注意的是，此时，我们取到的仅仅是复指数的实数部分，而且不研究旋转因子e^jwt ,原因是，在线性的电路中，全部的稳态响应也是同频率的正弦函数，没有新的频率，w显然不是研究问题的中心，也就在相量分析中放在了一边。
动态电路的复频域分析
例1.9 试求 e及t sin t 的e拉t氏co变s换t 。
解：
ℒ
[sin t]
s2
2
ℒ
[cost]
s
s2 2
根据频移性质可求得
ℒ
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
[et
sin
t]
(s
)2
2
ℒ
[et cost] s (s )2 2
六、初值定理
若ℒ[f(t)] = F(s)，且lim sF(s存) 在，则 s
1拉普拉斯变换及其性质
1.1 拉普拉斯变换的定义
设时域函数f(t)在区间 [0，∞ )内的定积分为
f (t)estdt 0-
式中，s=σ+jω为复频率。若该定积分在s某一域内收敛，
则由此积分确定的复频域函数可表示为
F(s) f (t)estdt 0-
8
cos t
9
et sin t
t
ℒ[ f (])d 0
1 F(s) s
拉氏变换的积分性质表明，时域中由0到t的积分运算，对
应于复频域中除以s的运算
例1.6 试求电感元件电压——电流关系的复频域形式。 解：在时域中线性非时变电感元件
iL
iL (0 )
1 L
t
0 uL ( )d
对电感电压、电流进行拉氏变换，并由积分性质和线 性性质可得
例2.3 试求
F (s)
(s2
s的2 原3s函数7 f(t)。
4s 13)(s 1)
解： F(s)极点分别为p1 = 2+j3，p2 = 2 j3， 则F(s)的p部3 =分分1式。展. 开式
电路复频域 频域 时域 相量关系 分析
哈为啥有这些呢，产生这些概念的前提：正弦量被广泛采用，原因如下1. 电力工程，发电输电用电，正弦量使设备简单，效率高，经济2. 实验室易于产生标准的正弦量3. 有一套成熟的正弦电路的算法4. 正弦量可以利用傅里叶级数分解为不同频率的正弦量对于正弦的使用以及电路分析有这样的解释：对电路的分析其实就是对电路的建模，包括对每个元器件的建模。
纯阻性元件的数学模型很简单，只有一个方程。
而理想电感的方程会复杂一点，电压电流满足一个微分方程，而且还有关于磁链的方程。
对于非线性的二极管等等，就有更复杂的数学模型。
数学模型建立起来之后就要求解。
在求解过程中，人们发现，只有e^x和正弦函数具有一个特殊的性质，那就是不管求导多少次，都满足函数的相似性。
人们就开始研究，能否把输入都用正弦信号或者指数信号的叠加代替，带入电路的数学模型之后，计算非常简便，得到输出之后，再把输出恢复成实际的信号。
这就是傅立叶和拉普拉斯解法。
在用正弦信号求解的时候，指数函数和正弦函数又有一个牛逼的公式将两者联系起来，这就是欧拉公式，这样正弦函数的相位信息就可以放到指数函数中去。
/question/23290060/answer/24128688（转自知乎）所以与其相关的算法如期而至首先，时域算法，最容易理解，首先描述正弦量的是时域的算法（其定义的时候就是用的时间，随时间按正弦规律变化的电压和电流就是正弦量）基本的单位有：频率，周期，角频率，瞬时值，最大值，有效值相位（瞬时值变化进程）初相位相位差（前提，频率相同，反映了两个正弦量变化进程差异，而非产生波形先后，超前滞后同相反相正交）①时域——相量（将时域分析换为频域分析）细节一点，在时域的正弦表示中，根据欧拉公式，转化为了相量的形式，这其中，相量形式保持了原来正弦量的幅值、初相位信息，即两者联系为通过欧拉公式实数范围的正弦时间函数和复数范围的复指数常数一一对应但是需要注意的是，此时，我们取到的仅仅是复指数的实数部分，而且不研究旋转因子e^jwt ,原因是，在线性的电路中，全部的稳态响应也是同频率的正弦函数，没有新的频率，w显然不是研究问题的中心，也就在相量分析中放在了一边。
线性动态电路的复频域
复频域具有线性性、时移性、频移性、微分性、积分性等基本性质，这些性质使得在复频域中对电路进行分析和 计算更为方便。
拉普拉斯变换及其性质
拉普拉斯变换定义
拉普拉斯变换是一种线性积分变换，它将一个实数函数或复数函数转换为另一个复数函数，通过选择 合适的变换核，可将时域函数转换为复频域函数。
拉普拉斯变换性质
线性动态电路复频域
03
模型建立
元件复频域模型建立
电阻元件
在复频域中，电阻元件的阻抗为实数，与频 率无关，表示为$R$。
电感元件
电感元件在复频域中的阻抗为$jomega L$，其中 $omega$为角频率，$L$为电感值。
电容元件
电容元件在复频域中的阻抗为$1/( jomega C)$，其中$C$为电容量。
频率特性
线性动态电路的频率特性是指电 路对不同频率信号的响应特性， 这对于分析和设计滤波器、振荡 器等电路具有重要意义。
线性动态电路分析方法
时域分析法
时域分析法是通过求解电路的时域微分方程来分析电路的动态行为，这种方法适用于简单电路的分析和设计。
复频域分析法
复频域分析法是通过将电路的微分方程转换为复数域的代数方程来分析电路的动态行为，这种方法适用于复杂电路的 分析和设计。复频域分析法具有计算简便、物理概念清晰等优点，被广泛应用于线性动态电路的分析和设计。
复杂网络复频域模型建立
串联与并联
在复频域中，元件的串联和并联规则与 实数域相同，阻抗相加或倒数相加。
VS
复杂网络
对于复杂网络，可以通过节点电压法和回 路电流法等方法建立复频域模型。
状态变量法建立复频域模型
状态变量选择
选择一组能够完全描述系统动态行为的状态变 量。
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反变换
0 积分下限从0 开始，称为0 拉氏变换 。 0 + 开始，称为0+ 拉氏变换 。 积分下限从 0 0
今后讨论的拉氏变换均为 0 拉氏变换,计及t=0时f(t) 包含的冲击。
F ( S ) 简写 f (t )
注
1
f (t ) 1 F ( S )
第九章 电路的复频域分析法
重点
1. 拉普拉斯变换的基本原理和性质; 2. 掌握用拉普拉斯变换分析线性电路的方法和步骤; 3. 电路的时域分析变换到频域分析的原理; 4. 网络函数的概念;
5.网络函数的极点和零点;
6.网络函数的极点和零点分布与时域响应和频域 响应的联系。
9.1 引 言
1. 拉氏变换法 拉氏变换法是一种数学积分变换，其核心是把时间函 数f(t)与复变函数F(s)联系起来，把时域问题通过数学变 换为复频域问题，把时间域的高阶微分方程变换为复频域 的代数方程以便求解。
e st dt (t )e dt 0
st
(2)单位冲激函数的象函数
f (t ) (t )
F ( s) [ (t )] 0 (t )e dt 0 ( t )e st dt
st
0
e s0 1
(3)指数函数的象函数
st 0
正变换
反变换
st
F ( S ) 0 f ( t )e dt 0 f ( t )e dt 0 f ( t )e st dt
在t＝0 至t＝0＋ f(t)=(t)时此项 0
2
象函数F(s) 用大写字母表示,如I(s)，U(s)。 原函数f(t) 用小写字母表示，如 i(t), u(t)。
求 : f (t ) sin( t )的象函数
F (s)
sin(t )
1 j t j t 2 j ( e e )
1 1 1 2 2 j S j S j S 2
② 微分性质
① 时域导数性质
[ f 2 ( t )] F2 ( S )
A1 F1 ( S ) A 2 F2 ( S )
st A f ( t ) A f ( t ) e dt 证： A1 f1 ( t ) A 2 f 2 ( t ) 0 1 1 2 2
0 A1 f1 ( t )e dt 0 A 2 f 2 ( t )e dt
总可以找到一个合适的s值使上式积分为有限值， 即f(t)的拉氏变换式F(s)总存在。
3.典型函数的拉氏变换
F (S)
f (t ) (t )
0
f ( t )e
st
dt
(1)单位阶跃函数的象函数
F ( s) [ (t )] 0
1 st 1 e s s 0
3
象函数F(s) 存在的条件：
0
f ( t )e
st
dt
e st 为收敛因子
如果存在有限常数M和c使函数f(t)满足：
f ( t ) Me ct t [0, )
则
0
f (t ) e dt Me
st 0
(s c ) t
dt
M sC
若： f (t ) F ( S )
则
udv
uv vdu
df ( t ) sF ( s ) f (0 ) dt
df ( t ) 证： dt
0
e f (t )
st
st df ( t ) st e dt 0 e df ( t ) dt
0
0 e f ( t )( s )dt
st
f (0 ) sF (s)
例1
求 : f (t ) cos( t )的象函数
dsin(ωt ) 1 dsin(ωt ) 解 ωcos(ωt ) cos(ωt ) dt ω dt 1 d [cosωt ] (sin( ωt ) ω dt s s 0 2 2 2 s s 2
f (t ) e
F( s )
at
e
at
0
e e dt
at
st
1 ( s a )t e sa 0
1 sa
4.拉普拉斯变换的基本性质
①线性性质
若
则
A
[ f1 ( t )] F1 ( S ) ,
1
f1 ( t ) A 2 f 2 ( t ) A1 f1 ( t ) A2 f 2 ( t )
简写 F (s)
s为复频率
f ( t )
s j
应用拉氏变换进行电路分析称为电路的复频域分析 法，又称运算法。
2. 拉氏变换的定义
t < 0 , f(t)=0
正变换
F (s) f (t )e st dt 0 1 c jห้องสมุดไป่ตู้st F (s)e ds f (t ) 2j c j
例2 解
求 : f (t ) δ( t )的象函数
1 dε( t ) [ε( t )] δ( t ) s dt 1 d δ(t ) [ ε(t )] S 1 S dt
例
熟悉的变换 把乘法运算变换为加法运算
①对数变换
A
B AB
lg A lg B lg AB
②相量法
把时域的正弦运算变换为复数运算
正弦量 i1 i2 i 相量
拉氏变换： 时域函数f(t)(原函数)
I I I 1 2
对应
复频域函数F(s)(象函数)
st st
A1 F1 ( S ) A 2 F2 ( S )
根据拉氏变换的线性性质，求函数与常数相乘及几个 函数相加减的象函数时，可以先求各函数的象函数再进行 计算。
例1 解 例2 解
求 : f (t ) U ( t )的象函数
U F (s) [U ( t )] U ( t ) S