二元一次方程的解法-代入法1
二元一次方程组的解法
二元一次方程组的解法在数学学科中，解方程是一个非常重要的内容。
而二元一次方程组是解方程的一种特殊形式，它由两个二元一次方程组成。
解决二元一次方程组的问题可以帮助我们更好地理解和应用代数知识。
下面，我将为大家详细介绍二元一次方程组的解法。
一、代入法代入法是解决二元一次方程组的最常用方法之一。
它的基本思想是将一个方程的其中一个未知数表示为另一个方程中的未知数，然后代入另一个方程进行求解。
例如，我们有以下二元一次方程组：方程1：2x + y = 5方程2：3x - y = 1我们可以先将方程1中的y表示为方程2中的未知数：y = 3x - 1然后将y的值代入方程1，得到：2x + (3x - 1) = 5化简后，我们可以得到一个一元一次方程：5x - 1 = 5解这个方程，我们可以得到x的值为2。
将x的值代入方程1，我们可以求得y 的值为1。
因此，这个二元一次方程组的解为x=2，y=1。
二、消元法消元法是解决二元一次方程组的另一种常用方法。
它的基本思想是通过对方程组进行加减运算，消去其中一个未知数，然后求解另一个未知数。
例如，我们有以下二元一次方程组：方程1：2x + y = 5方程2：3x - y = 1我们可以将方程1乘以3，方程2乘以2，得到：方程1：6x + 3y = 15方程2：6x - 2y = 2然后将方程2的两倍加到方程1上，得到：9y = 17解这个一元一次方程，我们可以得到y的值为17/9。
将y的值代入方程1，我们可以求得x的值为5/3。
因此，这个二元一次方程组的解为x=5/3，y=17/9。
三、图像法图像法是解决二元一次方程组的另一种可视化方法。
它的基本思想是将方程组转化为直线的图像，通过观察直线的交点来求解方程组的解。
例如，我们有以下二元一次方程组：方程1：2x + y = 5方程2：3x - y = 1我们可以将这两个方程转化为直线的形式：方程1对应的直线为：y = -2x + 5方程2对应的直线为：y = 3x - 1我们可以在坐标系中画出这两条直线，并观察它们的交点。
二元一次方程组的解法
二元一次方程组的解法在代数学中，二元一次方程组是由两个未知数和两个方程组成的方程组。
解决这种方程组的方法有很多种，下面将介绍其中三种常见的解法。
方法一：代入法代入法是一种比较简单直观的解二元一次方程组的方法。
假设有如下二元一次方程组：{ Equation1{ Equation2首先将其中一个方程（不妨设为方程1）的其中一个未知数表示为另一个未知数的函数，然后代入另一个方程（方程2）中消去这个未知数，从而得到一个只包含一个未知数的一次方程。
例如，假设方程组为：{ 2x + 3y = 7 Equation1{ 5x - y = 1 Equation2我们可以通过将方程2中y表示为x的函数（y = 5x - 1），将其代入方程1中，得到：2x + 3(5x - 1) = 7然后将这个一次方程化简，求解得到x的值。
将x的值代入方程2中，即可得到y的值。
最终得到方程组的解。
方法二：消元法消元法是解二元一次方程组的常用方法之一。
它通过逐步消去一个未知数，将方程组化为只含有一个未知数的一次方程，然后求解得到解。
例如，假设方程组为：{ 2x + 3y = 7 Equation1{ 5x - y = 1 Equation2我们可以通过将方程1乘以5，将方程2乘以2，然后将两个方程相减，消去y的系数，得到一个只含有x的一次方程：10x + 15y = 3510x - 2y = 2--------------17y = 33通过化简这个一次方程，求解得到y的值。
将y的值代入方程1或方程2中，即可得到x的值。
最终得到方程组的解。
方法三：Cramer法则Cramer法则是一种基于行列式的解二元一次方程组的方法。
假设有如下二元一次方程组：{ Equation1{ Equation2首先计算系数矩阵A的行列式值D，然后在D中用方程组右边的常数项替换掉A的某一列，得到矩阵Dx。
同理，用方程组右边的常数项替换掉A的另一列，得到矩阵Dy。
二元一次方程组解法-代入法练习题
二元一次方程组解法（一）—-代入法（基础）巩固练习【巩固练习】一、选择题1．用代入消元法解方程组323211x yx y-=⎧⎨+=⎩①②代入消元法正确的是（)。
A ．由①②得y ＝3x+2，代入②,得3x＝11—2(3x+2）B．由②得1123yx-=,代入①，得11231123yy-=-C．由①得23yx-=，代入②，得2—y＝11—2yD．由②得3x＝11-2y，代入①，得11-2y-y＝22．用代入法解方程组34225x yx y+=⎧⎨-=⎩①②使得代入后化简比较容易的变形是（）.A．由①得243yx-=B．由①得234xy-=C．由②得52yx+=D．由②得y＝2x-53．对于方程3x—2y—1＝0，用含y的代数式表示x,应是（）。
A．1(31)2y x=-B．312xy+=C．1(21)3x y=-D．213yx+=4．已知x+3y＝0，则3232y xy x+-的值为（).A．13B．13-C．3 D．—35.一副三角板按如图摆放,∠1的度数比∠2的度数大50°，若设，，则可得到方程组为（）.A. B.C。
D.6．已知21x y =⎧⎨=⎩是二元一次方程组71ax by ax by +=⎧⎨-=⎩的解．则a -b 的值为（ ）。
A ．-1B ．1C ．2D ．3二、填空题7．解方程组523,61,x y x y +=⎧⎨-=⎩①②若用代入法解,最好是对方程________变形,用含_______的代数式表示________．8．如果-x+3y ＝5,那么7+x -3y ＝________．9．方程组525x y x y =+⎧⎨-=⎩的解满足方程x+y —a ＝0，那么a 的值是________． 10。
若方程3x -13y ＝12的解也是x -3y ＝2的解,则x ＝________，y ＝_______． 11.小刚解出了方程组332x y x y -=⎧⎨+=⎩▲的解为4x y =⎧⎨=⎩▉,因不小心滴上了两滴墨水，刚好盖住了方程组中的一个数和解中的一个数，则▲＝________，▇＝________。
二元一次方程的解法
二元一次方程的解法二元一次方程是指形如ax + by = c的方程，其中a、b、c为已知常数，x、y为未知数。
解法一：代入法代入法是一种常用且直观的解二元一次方程的方法。
步骤如下：1. 从其中一个方程中解出一个未知数，以便用于代入另一个方程。
假设我们从第一个方程中解出x，得到x = (c1 - by) / a。
2. 将解出的x代入第二个方程中，得到一个只含有一个未知数y的方程。
3. 解出y的值。
4. 将得到的y值代入第一个方程中，得到x的值。
解法二：消元法消元法是另一种常用的解二元一次方程的方法。
步骤如下：1. 将两个方程中的系数调整成相等或相差一个倍数，并将两个方程相减，使其中一个未知数被消去。
2. 解出剩下的未知数的值。
3. 将得到的未知数的值代入任意一个原方程，解出另一个未知数。
4. 得到二元一次方程的解。
解法三：矩阵法矩阵法是一种利用矩阵运算求解二元一次方程组的方法。
步骤如下：1. 将二元一次方程组写成矩阵形式，例如：[ a1 b1 ] [ x ] [ c1 ][ ] * [ ] = [ ][ a2 b2 ] [ y ] [ c2 ]2. 求解矩阵的行列式，如果行列式不为零，则方程有唯一解；如果行列式为零，则方程组无解或有无穷多解。
3. 如果有解，则使用伴随矩阵法求解，即：x = ( b1 * c2 - b2 * c1 ) / ( a1 * b2 - a2 * b1 )y = ( a1 * c2 - a2 * c1 ) / ( a1 * b2 - a2 * b1 )解法四：图解法图解法是一种通过绘制方程的图形来求解二元一次方程组的方法。
步骤如下：1. 将两个方程转化成直线的形式。
2. 绘制两个方程所对应的直线。
3. 直线的交点即为二元一次方程的解。
需要注意的是，以上解法都是基于二元一次方程的前提下进行的。
如果方程不是二元一次方程，则需要采用其他的解法。
二元一次方程组的解法(一)代入法
二元一次方程组的解法（一）——代入法一、知识互动1、消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，将二元一次方程组转化为熟悉的一元一次方程，我们就可以先解出一个未知数，然后再设法求另一个未知数。
这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想。
2、代入法：把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。
这种方法叫做代入消元法，简称代入法。
3、用代入法解二元一次方程组的一般步骤：（1）从方程组中选一个系数较简单的方程，将这个方程中一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来；（2）把变形后的方程代入另一个方程，得到一个一元一次方程；（3）解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；（4）把求得的未知数的值代入变形后的方程，求出另一个未知数的值；（5）写出方程组的解。
4、热身：把方程872=-y x （1）写成用含x 的代数式表示y 的形式； 7872-=x y （2）写成用含y 的代数式表示x 的形式。
427+=y x二、例题讲解例1 用代入法解二元一次方程组（1）⎩⎨⎧=+=+1341632y x y x （2）⎪⎩⎪⎨⎧=+=-142732y x y x 解：⎩⎨⎧==25y x ⎩⎨⎧-==610y x例2 用整体代入法解二元一次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+11)1(2231y x y x 解：⎩⎨⎧==15y x例3 甲、乙两人同求方程7=-by ax 的整数解，甲求出的一组解为⎩⎨⎧==43y x ，而乙把7=-by ax 中的7错看成1，求出一组解为⎩⎨⎧==21y x ，求a 、b 的值。
解：将解代入得⎩⎨⎧=-=-12743b a b a ，解得⎩⎨⎧==25b a三、课堂检测 1、用代入法解方程组⎩⎨⎧=--=421y x x y 代入正确的是（ C ） A 、42=--x x B 、422=--x xC 、422=+-x xD 、42=+-x x2、用代入法解方程组⎩⎨⎧=-=+)2(,52)1(,243y x y x 下列变形中，化简较容易的是（ D ）A 、由（1），得342yx -= B 、由（1），得432xy -=C 、由（2），得25+=y x D 、由（2），得52-=x y2、若关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧=+=-n my x my x 2的解是⎩⎨⎧==12y x ，则n m -为（ D）A 、1B 、3C 、5D 、24、用代入法解二元一次方程组：（1）⎩⎨⎧+==+173x y y x （2）⎩⎨⎧=-=+3252y x y x （3）⎩⎨⎧=+=+743725y x y x解：⎩⎨⎧==21y x ⎩⎨⎧==11y x ⎩⎨⎧==11y x5、用整体代入法解二元一次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--=--yx y x 211)3(2032)3( 解：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==1011548y x6、如果573+n m b a 与m n b a 4218--是同类项，求n m -的值。
二元一次方程的解法-代入法1
小结: 小结
x =5− y x = 2 ; (1) ; (2) 3x +2y = 4 2x+4y =7
6 x + 3 y = 7 (4) 3x + 3 y = 5;
通过本节课的研究,学习, 通过本节课的研究,学习,你有 哪些收获？ 哪些收获？
x − y = 3 (3) 3x − 2 y = 5;
1
1、练习：解方程组 练习：
2 x − 3 y = 7 (1) 4 x + y = − 1; 2 y − 7 x = 8 ( 2) 3 x − 8 y − 10 = 0 .
2
看看你掌 握了吗？
2、已知（2x+3y- 4）+∣x+3y-7∣=0 、已知（ ） ∣ ∣ －3 ，y= 1 0 。 则x=
由两个一次方程组成， 由两个一次方程组成，并且含有两个未知数的方程组
问题3 什么是二元一次方程组的解。 问题3：什么是二元一次方程组的解。 使二元一次方程组中的两个方程左右两边的值都相 等的两个未知数的值（即两个方程的公共解）。 等的两个未知数的值（即两个方程的公共解）。
1你能把下列方程写成用含x的式子表示y的形式吗？ 你能把下列方程写成用含x的式子表示y的形式吗？
知识拓展
1.
x = 1 bx+ay = 5 已知 y = 2 是二元一次方程组 ax+by = 7
的解， 的解，则 a= 1 ，b= 3 。
2.已知 (a+2b-5)2+|4a+b-6|=0， 已知 ， 的值. 求a和b的值 和 的值
a=1 b=1
思考题 2x2x-y=3 3.若方程组 3.若方程组 的解与方程组 3x+2y=8
二元一次方程的解法
二元一次方程的解法在数学中，二元一次方程是一个含有两个未知数的一次方程。
求解二元一次方程是数学学习中重要的一环，掌握解法可以帮助我们解决实际问题，提高数学解题能力。
本文将介绍二元一次方程的几种常用解法。
方法一：代入法代入法是最直观的解法之一。
我们可以将一个未知数用另一个未知数的值进行代入，从而将二元方程转化为一个含有一个未知数的一元方程，进而求解。
以下是一个示例：假设有如下二元一次方程组：2x + 3y = 10 ----(1)x - y = 2 ----(2)我们可以对方程(2)进行变形，得到：x = y + 2将该式代入方程(1)中，得到：2(y + 2) + 3y = 10继续进行展开和合并同类项的运算，得到一个一元方程：2y + 4 + 3y = 105y + 4 = 105y = 6y = 6/5将求得的y的值代入方程(2)中，可以计算出x的值：x = 6/5 + 2因此，方程组的解为x = 16/5，y = 6/5。
方法二：消元法消元法是另一种常用的解法。
基本思路是通过消去一个未知数，得到一个只含有一个未知数的方程，进而求解。
以下是一个示例：假设有如下二元一次方程组：2x + 3y = 10 ----(1)x - y = 2 ----(2)我们可以将方程(2)两边同时乘以2，得到：2(x - y) = 4进一步展开和合并同类项，得到：2x - 2y = 4现在我们有两个方程：2x + 3y = 10 ----(1)2x - 2y = 4 ----(3)将方程(3)的两倍加到方程(1)上，得到一个只含有x的方程：(2x + 3y) + (2x - 2y) = 10 + 44x = 14x = 14/4将求得的x的值代入方程(2)中，可以计算出y的值：14/4 - y = 2因此，方程组的解为x = 7/2，y = 5/2。
方法三：Cramer法则Cramer法则是利用行列式的性质来解二元一次方程组的方法。
二元一次方程的解法
二元一次方程的解法在代数学中，二元一次方程是一种形式为ax + by = c 的方程，其中a、b是已知的数，x、y是未知数，c是已知的数。
求解二元一次方程的目标是确定x和y的值，使得方程左右两边相等。
下面将介绍常见的两种解法：代入法和消元法。
一、代入法代入法是一种简单而直观的解方程的方法。
它的基本思想是通过将一个变量的表达式代入另一个变量的方程，从而得到一个只包含一个未知数的方程，进而求解出该未知数的值。
我们以一个具体的例子来说明代入法的步骤：假设有以下二元一次方程组：2x + 3y = 84x - 2y = 10第一步，选择其中一个方程，将其中一个变量的表达式代入另一个方程。
在本例中，我们选择第一个方程，并将式中的2x代入第二个方程，得到4(2x) - 2y = 10。
第二步，将方程简化为只包含一个未知数的方程。
我们将上式中的变量y列出来，得到y = 4 - 2x。
第三步，将第二步的结果代入原方程中。
我们将y = 4 - 2x代入第一个方程中，得到2x + 3(4 - 2x) = 8。
第四步，解出方程得到未知数的值。
我们根据第三步的方程，进行运算和整理，得到2x + 12 - 6x = 8，再化简为-4x + 12 = 8，继续整理得到-4x = -4，最后得到x = 1。
第五步，将x = 1代入第二步的结果，求解出y的值。
我们将x = 1代入y = 4 - 2x，得到y = 4 - 2(1)，最后得到y = 2。
所以，该二元一次方程组的解为x = 1，y = 2。
二、消元法消元法是求解二元一次方程组的另一种常见方法。
它通过适当调整两个方程之间的关系，使得方程中的某个变量相互抵消，从而得到一个只包含一个未知数的方程。
以下是消元法的步骤：假设有以下二元一次方程组：2x + 3y = 84x - 2y = 10第一步，选择一个系数相同且相邻的变量，通过加减运算将其系数变为0。
在本例中，我们选择第一个方程的y和第二个方程的y。
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基本思路: 消元: 二元 一元 用含一个未知数的代数式表示另一个未知数 主要步骤： 代入另一个方程消去一个元；分别求 出两个未知数的值；写出方程组的解。
变形技巧： 选择系数比较简单的方程进行变形。
巩固延伸
请写出一个二元一次方程组，
使它的解是 x = 7
y=1
3x+4y=25
5x+2y=37
2x-5y=9 2x+5y=19
1
Байду номын сангаас
作
业
二元一次方程的解法
——用代入法解二元一次方程组 （第1课时）
问题1：什么是二元一次方程？ 含有两个未知数，并且所含未知数的项 的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。 问题2：什么是二元一次方程组？
由两个一次方程组成，并且含有两个未知数的方程组
回顾与思 考
问题3：什么是二元一次方程组的解。 使二元一次方程组中的两个方程左右两边的值都相 等的两个未知数的值（即两个方程的公共解）。
x y 11 3 x y 7
3x 2 y 9 4 x 2 y 3
知识拓展
1.
x 1 bx+ay = 5 已知 y 2是二元一次方程组 ax+by = 7
的解，则 a= 1 ，b= 3 。
2.已知 (a+2b-5)2+|4a+b-6|=0，
6 x 3 y 7 (4) 3x 3 y 5;
x 5 y (2) ; 2 x 4 y 7
通过本节课的研究,学习,你有 哪些收获？
x y 3 (3) 3x 2 y 5; 3x 2 y 5 (5) 4 x 3 y 1.
y= – 1
把y= – 1代入③，得 x=2
求
3、把这个未知数的值代入上 面的式子，求得另一个未知数 的值；
4、写出方程组的解。
x =2 写 ∴方程组的解是 y = -1
能力检验
解二元一次方程组
y 2x 1、 x y 12
y 5 x 2 2 4 x 3 y 65
1你能把下列方程写成用含x的式子表示y的形式吗？
（1）2 x （2）3 x
y3
y 2x 3
y 1 0 y 3x 1 2.已知二元一次方程 4 x 5 y 4
4 4x y 4 用含ｘ的式子表示ｙ为_______________.
4 5y x 4 用含ｙ的式子表示ｘ为_______________.
求a和b的值.
a=1 b=1
思考题 2x-y=3 3.若方程组 的解与方程组 3x+2y=8
ax+by=1
bx+3y=a
的解相同,求a,b的值.
知识梳理
• 这节课我们学习了 什么知识?
代入消元法
1、二元一次方程组
一元一次方程
2、代入消元法的一般步骤：
变
代
求
写
1
3、思想方法：转化思想、代入消元思想、 方程（组）思想.
x=y-1
代入消元法
x –y = 3 ① 例2 解方程组 3x -8 y = 14 ②
解： x = 3+ y ③ 由①得： 把③代入②得： 3（3+y）– 8y= 14 9+3y– 8y= 14 – 5y= 5
说说方法:
用代入法解二元一次 方程组的一般步骤
变 代
1、将方程组里的一个方程变 形，用含有一个未知数的式子 表示另一个未知数； 2、用这个式子代替另一个方 程中相应的未知数，得到一个 一元一次方程，求得一个未知 数的值；
累死我 了
你还累？这 么大的个，才 比我多驮两个！ 我从你背上拿来一 个，我的包裹就是 你的2倍。 真的？
想一想：小马和老牛各驮了几个包裹？
2y – 3x = 1 ① 分析 例1 解方程组 2 y – 3 (y-1) x =1 x=y-1 ②
谈谈思路:
解： 把②代入①得： 2y – 3（y – 1）= 1 2y – 3y + 3 = 1 2y – 3y = 1 - 3 -y=-2 y= 2 把y = 2代入②，得 x=y–1=2–1=1 =1 ∴方程组的解是 x y=2
1、练习：解方程组
2 x 3 y 7 (1) 4 x y 1; 2 y 7 x 8 (2) 3 x 8 y 10 0.
2
看看你掌 握了吗？
2、已知（2x+3y- 4）+∣x+3y-7∣=0
3
10 － 3 则x= ，y= 。
2 x 3 y 7① (1) 4 x y 1②
解：由②得,y =－1－4x ③ 把③代入①得,2x－3(－1－4x )= 7 2 解得,x= 7 2 2 15 把x= 代入③得 y=－1－4× = 7 7 7 2 x 7 ∴原方程组的解为 y 15 7
8 7 x 把③代入②得,7 x 8 10 0 2 解得,
把
8 7x 解:由①得,y 2 ③
① 2 y 7 x 8 (2) ② 7 x 8 y 10 0 .
x 2 8 7 (2) x 2 代入③得,y 3
x 2 ∴原方程组的解为 y 3
2
小结:
x 2 (1) ; 3x 2 y 4