24.4相似三角形的判定(3)
上海市静安区实验中学九年级上学期沪教版五四制第二十四章24.4相似三角形的判定
EAB C DCDA BGA B CDFDEB CABED§24.4（1）相似三角形的判定1、已知一个三角形内角分别为︒︒70,30，另一个三角形内角分别为︒︒70,80，则这两个三角形…… ( )(A)一定相似 (B) 不一定相似 (C) 一定不相似 (D) 不能确定 2、如图，∠ADE=∠ACD=∠ABC,图中相似三角形共有…… ( ) (A)1对 (B) 2对 (C) 3对 (D) 4对3、如图(1)，△ABC 中，DG 、DF 、EG 分别平行于BC 、AC 、AB ，图中与△ADG 相似的三角形共有 个4、如图(2)，△ABC 中，D 在AB 上，若∠ACD=∠B,AD=4,AB=6,则AC=5、如图(3),E 是□ABCD 的边BA 延长线上的一点，CE 交AD 于点F ，图中 对相似三角形。
图（1） 图（2） 图（3）6、如图，矩形ABCD 中，BP⊥PQ，(1)求证: △ABP ∽△DPQ; (2)写出对应边成比例的式子.7、已知：在△ABC 中，点D 、E 分别在AC 、AB 边上，且∠ADE=∠B,若AE=2,BE=3,AD=3,求CD 的长。
§24.4（2）相似三角形的判定A BCD EABCPABCDE1、下列能判定△ABC 和△DEF 相似的是（ ） （A ）∠A=40°，∠B =∠E=58°，∠D=82°；（B ）∠A=∠E ，AB DFBC EF=； （C ）∠A=∠B ，∠D =∠E ； （D ）AB=BC=DE=EF. 2、如图，AD 和BE 分别是三角形的高，则图中相似三角形有（ ） （A ）4对； （B ）5对； （C ）6对； （D ）7对. 3、如图，点P 是△ABC 边AB 上一点（AB>AC ），下列条件不一定能 使△AC P ∽△ABC 的是（ ） （A ）AC AP AB AC =； （B ）PC ACBC AB=； （C ）∠A CP =∠B ； （D ）∠A PC =∠A CB. 4、下列说法中，正确的是（ ）①有两边成比例且一对内角相等的两个三角形相似；②有一对锐角相等 的两个直角三角形相似；③有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形 相似；④一条直线截三角形两边所得的三角形与原三角形相似. （A ）①，②；（B ）②，③；（C ）③，④；（D ）①，④.第2题图 第3题图 第5题图5、如图，在△ABC 中，DE∥BC，13AD BD =，则△ABC∽ ，其相似比为 . 6、如图，一张长8cm ，宽6cm 的矩形纸片，将它沿某直线折叠使得A 、C 重合，求折痕EF 的长.OADFO7、如图，∠C=90°，AC=CD=DE=BE，试找出图中的一对相似三角形，并加以证明.§24.4 （3）相似三角形的判定1、在△ABC中，直线DE分别与AB、AC相交于点D、E，下列条件不能推出△ABC与△ADE相似的是（）（A）AD AEBD EC=；（B）∠ADE=∠ACB；（C）AE﹒AC=AB﹒AD；（D）AD DE AB BC=.2、已知△ABC和△ADC均为直角三角形，点B、D位于AC的两侧，∠ACB=∠ACD=90°，BC=a，AC=b，AB=c，要使△ADC和△ABC相似，CD可以等于（）（A）2ac；（B）2ba；（C）a bc；（D）2bac.3、下列各组图形有可能不相似的是（）（A）各有一个角是45°的两个等腰三角形；（B）各有一个角是60°的两个等腰三角形；（C）各有一个角是105°的两个等腰三角形；（D）两个等腰直角三角形.4、点D在△ABC的边AB上，且AC2=AD﹒AB，则△ABC∽△ACD，理由是 .5、如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，已知AB=6，AC=9，BC=12，AD=3，AE=2，那么DE= .6、在△ABC中，D为AB上一点，且AD=1，AB=4，AC=7，若AC上有一点E，且△ADE 与原三角形相似，则AE= .7、如图，D为△ABC内一点，E为△ABC外一点，且满足AB BC AC AD DE AE==，求证：△ABD∽△ACE.AB C EDABCDEAB CDE§24.4 （4）相似三角形的判定1、RT △ABC，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于点D ，下列等式成立的是（ ） （A ）AD 2=AB ﹒AC ； （B ）AC 2=AB ﹒AD ； （C ）AB ﹒AC=BD ﹒DC ； （D ）AB ﹒CD=BD ﹒AC.2、在RT △ABC 和RT △DEF 中，∠C =∠F=90°，由下列条件判定△ABC ∽△DEF 的是（ ）①∠A=55°，∠D=35°；②AC=3，BC=4，DF=6，DE=8；③AC=9，BC=12， DF=6，EF=8；④AB=10，AC=8，EF=9，DE=15.（A ）1个； （B ）2个； （C ）3个； （D ）4个.3、点P 是RT △ABC 的斜边BC 上异于B 、C 的点，过点P 作直线截△ABC，使截得的三角形与原三角形相似，满足这样的直线共有 条.4、如图1，在直角梯形ABCD 中，DC ∥AB ，DA ⊥DC ，DC=6，AD=8， AC ⊥BC ，则AB= .5、如图2，在矩形ABCD 中，AB=2，CB=1，E 是DC 上一点，∠DAE= ∠BAC ，则EC 的长为 .6、如图，AB ⊥AD ，BD ⊥DC ，且BD 2=AB ﹒BC.求证：∠ABD=∠DBC.7、如图，在正方形ABCD 中，E 是CD 上的一点，F 是BC 的延长线上的一点，且CE=CF ，BE 的延长线交DF 于点G ，求证：△B GF ∽△DCF.§24.4 （5）相似三角形的判定1、将一张矩形纸片对折后裁下，得到两张大小完全一样的矩形纸片，已知它们都与原来的矩形相似，那么原来矩形长与宽的比为（ ）AB CD图1ABCDE图2A B CDABCD EFG（A ）2:1； （B ）：1； （C ）3:1； （D ）：1.2、下列命题中，假命题是（ ）（A ）正方形都相似； （B ）对角线和一边对应成比例的矩形相似； （C ）等腰直角三角形都相似； （D ）底角为60°的两个等腰梯形相似. 3、在△ABC 中，D 为AB 上一点，过点D 作一条直线截△ABC，使截得 的三角形与△ABC 相似，这样的直线可以作（ ）（A ）2条； （B ）3条； （C ）4条； （D ）5条. 4、如图1，在△ABC 中，DE ∥BC ，则= .5、如图2，在RT △ABC 中，∠ACB=90°，BA=12cm ，AD 、BE 是两条中线，F 为其交点，那么CF= cm.6、如图3，D 为AB 上一点，且AD=2BD ，∠ACD=∠B ，那么= .7、如图，在四边形ABCD 中，∠B=∠D=90°，过点D 作对角线AC 的垂线，交AC 于点E ，交BC 于点F ，求证：CD 是CF 和CB 的比例中项.8、 如图，DF 为RT △ABC 斜边AB 的中垂线，交BC 及AC 的延长线于点E 、F ，已知CD=6，DE=4，求DF 的长.§24.4（1）相似三角形的判定 1.答案：AA BCDE图1ABCDFE图2ABCD 图3ABCDE F解析：两个内角对应相等的两个三角形相似2.答案：C解析：△ADE∽△ACD∽△ABC3.答案：5解析：图中所有其他的三角形都与△ADG相似4.答案：解析：AC2=AD×AB=24，AC=5.答案：3解析：△AEF∽△FCD∽△EBC6.答案：（1）证明过程如解析（2）AP AB BP== DQ PD PQ解析：（1）∵矩形ABCD，BP⊥PQ∴∠A=∠D=∠BPQ=90°∴∠ABP+∠APB =90°，∠DPQ+∠APB =90 ∴∠ABP=∠DPQ∴△ABP∽△DPQ（2）AP AB BP== DQ PD PQ7.答案：CD的长为3解析：∵∠ADE=∠B，∠A=∠A ∴△ADE∽△ABC∴AE AD= AC AB∴23= AC5∴AC=10 3∴CD=1 3§24.4（2）相似三角形的判定1.答案：A解析：两个内角对应相等的两个三角形相似2.答案：C解析：△AOE∽△BOD∽△ACD∽△BCE3.答案：B解析：有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，而B不是夹角相等4.答案：B解析：①必须是夹角，④必须是第三边的平行线5.答案：△A DE ；4解析：∵13AD BD =，∴1A 4AD B =6.答案：EF 的长为152解析：联结CF ∵翻折 ∴AF=CF设AF=x ，则DF=8-x2226(8)x x +-=254x =∵OC=5 ∴OF=154可证OE=OF ∴EF=1527.答案：△ADE ∽△BDA解析：∵∠C=90°，AC=CD=DE=BE∴，BD=2CD ∴ED AD AD BD == ∵∠ADB=∠ADB ∴△ADE ∽△BDA§24.4 （3）相似三角形的判定1.答案：D解析：有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，而D不是夹角相等2.答案：B解析：CD AC AC BC=3.答案：A解析：45°有可能是顶角，也有可能是底角4.答案：有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似解析：AD ACAC AB=且∠A=∠A5.答案：DE=4解析：∵AD ACAC AB=13=，∠A=∠A∴△ADE∽△ACB∴13 ED BC=∴DE=46.答案：74AE=或47AE=解析：分类讨论i.AE ADAC AB=，74AE=ii .AE ADAB AC=，47AE=7.答案：证明过程如解析解析：∵AB BC AC AD DE AE==∴△ADE∽△ABC∴∠DAE=∠BAC ∴∠DAB=∠EAC∵AB AD AC AE∴△ABD∽△ACE§24.4 （4）相似三角形的判定1.答案：B解析：射影定理2.答案：C解析：①③④是正确的，②没有边对应成比例3.答案：4解析：A字型或斜交型各2个4.答案：50 3解析：DC AC=AC AB，610=10AB，50AB=35.答案：3 2解析：ED AD=BC AB，ED1=12，1DE=2，3CE=26.答案：证明如解析解析：∵AB⊥AD，BD⊥DC∴△ABD和△DBC都是Rt△∵BD2=AB﹒BC∴AB BD= BD BC∴Rt△ABD∽Rt△DBC ∴∠ABD=∠DBC7.答案：证明如解析解析：∵正方形ABCD∴∠DCB=∠DCF=90°，DC=BC∵CE=CF∴△DCF ≌△ECB∴∠CDF =∠CBE∵∠CDF ＋∠F=90°∴∠CBE ＋∠F=90°∴∠BGF=90°=∠DCF∴△B GF ∽△DCF§24.4 （5）相似三角形的判定1.答案：B解析：设矩形长2a ，宽b ，则b =b 2a a ，=b a ，2b 1a =2.答案：B解析：B 没说清楚一边是矩形的长还是宽3.答案：C解析：A 字型或斜交型各2个4.答案：=AB AD AE AC解析：三角形一边的平行线性质定理推论5.答案：4解析：AB 上的中线长为6cm ，因为点F 是重心，所以CF 长为2643⨯=cm6.答案：3解析：∵∠ACD=∠B ，∠A=∠A∴△ACD ∽△ACB ∴=BC DC AD AC AC AB= ∴2AC AD AB =⋅ 223AC AB AB =⋅ 2223AC AB =AC AB =∴=BC DC 37.答案：证明如解析解析：∵∠ACD= ∠ACD ，∠DEC=∠CDA∴△DEC ∽△CDA∴2CD CE AC =⋅同理可得△FEC ∽△CBA ∴=BC CE CF AC∴CF CB CE AC ⋅=⋅∴2CD CF CB =⋅∴CD 是CF 和CB 的比例中项8.答案：9解析：∵DF 为RT △ABC 斜边AB 的中垂线∴∠BDE =90°，6AD BD CD ===∵DE=4∴BE =∵∠ACB= ∠BDE ，∠B=∠B∴△ACB ∽△BDE ∴=AC DE BE AB∴2413AC =∴3613BC =同理可得△ADF ∽△CBA∴=AC AD DFBC∴DF=9A B C D E F。
24.4(5)相似三角形的判定
相似三角形与全等三角形判定方法的联 系
全等的 判定
SAS
SSS
AAS(ASA) 直角三角形
相似的 两边成 三边对 判定 比例夹 应成
角相等
两角相等 一直角边与 斜边 比例 对应成比例
4、相似三角形的判定定理的作用：
①可以用来判定两个三角形相似； ②间接证明角相等、线段成比例； ③间接地为计算线段的长度及角的大小创造 条件.
5、判定两三角形相似的基本图形： 判定两三角形相似的基本图形： 判定两三角形相似的基本图形 平行型：如图1 ①平行型：如图1，“A”型即公共角对的边平 行，“×”型即对顶角对的边平行，都可推出两个 型即对顶角对的边平行， 三角形相似； 三角形相似； 相交线型：如图2 公共角对的边不平行， ②相交线型：如图2，公共角对的边不平行， 即相交或延长线相交或对顶角所对边延长相交. 即相交或延长线相交或对顶角所对边延长相交.图 中几种情况只要配上一对角相等，或夹公共角（ 中几种情况只要配上一对角相等，或夹公共角（或 对顶角）的两边成比例， 对顶角）的两边成比例，就可以判定两个三角形相 似.
1、
M A1
4、如图，在△ABC中，AD、 BE分别是BC、AC上的高，AD、 BE相交于H，则图中相似的三角形 共有( )对
A.3
B.4
C.5
D.6
练习5如图，D是△ABC一边BC上的 一点，△ABC∽△DBA的条件是( )
练习6 、已知过平行四边形ABCD 的顶点C作一直线CF交BD于点E， 交DA的延长线于点F，交AB于点M. 求证： 2 = EF • EM EC
D E A M F B C
课堂小结 1.关于三角形的判定方法 2.判定定理的适用范围 3.相似三角形与全等三角形判定方 法的联系 4、相似三角形的判定定理的作用 5、三角形相似的基本图形
市北资优九年级分册 第24章 24.4 相似三角形+林经武
24.4 相似三角形的判定在相似多边形中，最为简单的就是相似三角形．我们可以依据相似多边形的判定方法，给出相似三角形的定义 如果两个三角形的三个角对应相等，三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形．相似用符号“∽”来表示，读作“相似于”．如图24.4.1所示的两个三角形中，C'B图24.4.1∠A ＝∠A ′，∠B ＝∠B ′，∠C ＝∠C ′，AB BC CAA B B C C A ==''''''． 即△ABC 与△A ′B ′C ′相似，记作△ABC ∽△A ′B ′C ′，读作“△ABC 相似于△A ′B ′C ′”． 如果记AB BC CAk A B B C C A===''''''，那么这个比值k 就表示这两个相似三角形的相似比．根据相似三角形的定义，我们可以得出：相似三角形的传递性 如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似． 相似三角形的性质 相似三角形的对应边成比例，对应角相等．通过相似三角形的定义来判定两个三角形是否相似并不方便，我们能否找到更为简捷的判定相似三角形的方法呢？在上一节学习比例线段时，我们知道三角形一边的平行线性质定理的推论，即平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．此时截得的三角形的三个角也与原三角形的三个角对应相等，因此这两个三角形是相似三角形．于是，我们得到：相似三角形的预备定理 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似．根据三角形内角和等于180°，我们知道如果两个三角形有两对角分别对应相等，那么第三对角也一定对应相等．那么，在这种情况下，这两个三角形的边对应成比例吗？如图24.4.2，在△ABC 与△DEF 中，∠A ＝∠D ，∠B ＝∠E ，你能证明DE DF EFAB AC BC==吗？EBC图24.4.2可以过点A 在射线AB 上截取AE ′＝DE ，过点E ′做E ′F ′∥BC ，则可以证明△AE ′F ′∽△DEF ．又根据E ′F ′∥BC ，AE AF E F AB AC BC ''''==，因此DE DF EFAB AC BC==．因此，如果两个三角形有两对角分别对应相等，不仅第三对角也一定对应相等，这两个三角形的三条边也对应成比例．于是，我们得到：相似三角形的判定定理 1 如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．例1已知：如图24.4.3，在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，点E、F分别是AB、BC的中点，EF 与BD相交于点M．（1）求证：△EDM∽△FBM；（2）若DB＝6，求BM．A B图24.4.3证明（1）∵点E是AB的中点，∴AB＝2EB．∵AB＝2CD，∴CD＝EB．又∵AB∥CD，∴四边形CBED是平行四边形．∴CB∥DE．∴△EDM∽△EBM（相似三角形的预备定理）．解（2）∵△EDM∽△EBM，∴DM DEBM BF（相似三角形的对应边成比例）．∵点F是BC的中点，∴DE＝BC＝2BF．∴DM＝2BM．∴BM＝13DB＝2．例2已知：如图24.4.4，在△ABC中，AB＝AC，DE∥BC，点F在边AC上，DF与BE相交于点G，且∠EDF＝∠ABE．B C图24.4.4求证：（1）△DEF∽△BDE；（2）DG·DF＝DB·EF．分析（1）要证明△DEF∽△BDE，已经有∠EDF＝∠ABE，再证一对角相等即可．又利用等腰三角形及DE∥BC，则有∠BDE＝∠DEF，即得到△DEF∽△BDE．（2）要证明等积式a·b＝c·d，可以通过证明比例式a dc b=，或通过a·b＝m·n，c·d＝m·n来得到，本题可从后者入手证明．证明（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．∵DE∥BC，∴∠ABC＋∠BDE＝180°，∠ACB＋∠CED＝180°．∴∠BDE＝∠CED．∵∠EDF＝∠ABE，∴△DEF∽△BDE（两角对应相等，两三角形相似）．（2）由△DEF∽△BDE，得DB DEDE EF=（相似三角形的对应边成比例）．∴DE2＝DB·EF．由△DEF∽△BDE，得∠BED＝∠DFE（相似三角形的对应角相等）．∵∠GDE＝∠EDF，∴△GDE∽△EDF（两角对应相等，两三角形相似）．∴DG DEDE DF=（相似三角形的对应边成比例）．∴DE2＝DG·DF．∴DG·DF＝DB·EF．练习24.4（1）1．如图，在△ABC中，如果EF∥AB，DE∥BC．那么你能找出哪几对相似三角形？2．如图，∠1＝∠2＝∠3，那么图中相似的三角形有哪几对？B3．已知：如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，点O是AC边上一点，联结BO交AD于点F，OE⊥OB交BC边于点E．求证：△ABF∽△COE．4．已知：如图，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F．求证：FB FDFD FC．FEC B5．如图，在△ABC中，AB＝AC＝12，BC＝6，点D在边AB上，点E在线段CD上，且∠BEC＝∠ACB，BE的延长线与边AC相交于点F．（1）求证：BE·CD＝BD·BC；（2）设AD＝x，AF＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域．AC在全等三角形的判定中，有“边角边”的判定方法．那么，在相似三角形中，如果两边对应比成比例，且夹角相等，是否能得到这两个三角形相似呢？如图24.4.5，在△ABC与△DEF中，∠A＝∠D，DE DFAB AC=，你能证明△ABC∽△DEF吗？FEB C图24.4.5可以过点A在射线AB上截取AE′＝DE，过点E′作E′F′∥BC，则AE AFAB AC''=．又根据DE DFAB AC=且AE′＝DE，则AF′＝DF．于是△AE′F′≌△DEF．显然△ABC∽△AE′F′，因此△ABC∽△DEF．于是，我们又得到：相似三角形的判定定理2 如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．例3已知：如图24.4.6，在△ABC中，AB AC＝3，D是边AC上一点，且AD∶DC＝1∶2，联结BD．。
相似三角形的判定
相似三角形的判定相似三角形是指具有相同形状但尺寸不同的两个三角形。
在几何学中，判定两个三角形是否相似是非常重要的，它们的相似性质可以帮助我们解决许多几何问题。
本文将介绍相似三角形的判定方法，涵盖三个常用的相似性条件。
一、边比例相等法边比例相等法是最简单且常用的相似三角形判定方法。
根据边比例相等的性质，如果两个三角形的各边长度成比例，则它们是相似的。
具体来说，如果在两个三角形ABC和DEF中，对应边的比值相等，即AB/DE = BC/EF = AC/DF，那么它们就是相似的。
二、角度相等法角度相等法是判定相似三角形的另一种常用方法。
根据角度相等的性质，如果两个三角形的对应角度相等，则它们是相似的。
具体来说，如果在两个三角形ABC和DEF中，对应角度的度数相等，即∠A =∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F，那么它们就是相似的。
三、边角对应相等法边角对应相等法是一种综合利用边长和角度信息的相似三角形判定方法。
根据边角对应相等的性质，如果两个三角形的一个角度和与其对应的两条边的比值相等，则它们是相似的。
具体来说，如果在两个三角形ABC和DEF中，存在一个角度相等，且它与两个对应边的比值相等，即∠A = ∠D，AB/DE = AC/DF 或 AB/DE = BC/EF 或 AC/DF = BC/EF，那么它们就是相似的。
相似三角形的判定对于解决实际问题具有重要意义。
例如，我们可以利用相似三角形的性质测量无法直接测量的高度，计算远离的距离以及解决一些实际建筑和工程问题。
在解决这些问题时，我们可以利用上述相似三角形判定方法来确定是否存在相似性。
然而，在应用相似三角形判定方法时，我们需要注意以下几点：1. 注意约定符号：在比较边长或角度大小时，确保使用相同的单位，并始终遵循约定的符号规范。
2. 角度的对应性：在进行边角对应相等法判定时，确保对应的边与对应的角度匹配，以免出现误判。
3. 正确标记相似标志：在证明或应用相似三角形时，可以使用符号“∼”来表示相似，例如ΔABC ∼ΔDEF。
新思路辅导与训练数学九年级全册-2019版答案
参考答案第二十四章 相似三角形 24.1放缩与相似形1.形状相同的两个2.长度成比例相等3.不一定4.略5.有一组角对应相等6.207.C8.B9.B 10.2(102)210(05)S x x x x x =-=-+<< 11.（1）不相似.A B = 30，28A B ''=BC = 20，18B C ''=而28183020≠ （2）由题意，得3022023020x --=. 解方程，得x = 1.5，或30220x-. 解方程，得x = 9 12.不一定相似。
因为多边形相似不仅要对应边成比例，还要对应角相等。
梯形可能，但是如果按照题中的顺序则不可能24.2（1）比例的性质22173511.2. 7.53.4.135. 3 i.636.27.8.9.15146x a b y a b +=--1310.15 11.12:1312.±厘米14.D 15.1207厘米 16.11 17.（1）5:4:1(2)17 18. 891719三、四 20 x = 2，24.2（2）面积比与线段比的相互转化、黄金分割1.0.52. 22333.24.215.12.36厘米69-7.3:21008.C 9.B 10.C 1.D12.∵AD∥B∥CF ,,,DMEWDDHFCHDQE FBE CHBS SSSS S S∆∆===∴,2FHE DEFBEFS SS∆=∴=13. 1111,,,,222AB AC x BD ED AD x ====∴=+在Rt △ABD 中，由勾股定理，得2222211111,1,12244x x x x x ⎛⎫⎛⎫+=+∴++=+∴=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭221(1),x x AC AB BC∴=⋅-∴=⋅AC BCAB AC=，即点C 是线段AB 的一个黄金分割点。
在21x x =-中，整理，得2110,2x x x -±+-=∴=AC 为线段长，只能取正，AC 10.618,0.6182ACx AB-+=≈∴≈黄金比约为0.618 24.3（1）三角形一边的平行线（性质定理）1.32.53.4米∴..25.2厘米 6.5:17.A 8.0.5，解略9.∴EF ∥DC →AEBC =AF :DF ,DE ∥BC →AD :BD = AE :BC ，∴AF :FD = AD :DB 10.提示：PQ PR PS PI ==PBPD 在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∴AO :OC = OD :O B.又CE ∥AB ，则BO :OEAO :OC ，∴BO :OE = AO :CC = OD :OB ，即OD :OB = BO :O .又OB = 6，OD = 4，即4：6 = 6：OE ，解得OE = 9.又OD = 4，∴DE24.3（2）三角形一边的平行线（性质定理的推论、重心性质） 1.重心 2.这个顶点对边中点距离 3.404.45.4.56(1)1411（2）207.88.3:59.1:210.211.①③④12.C 13.B 14.（1）∵AD ∥BC ，∴DE FDBC FC=FD = 2，112,. 6.624(2)//,33ED DE FEFC DC AD BC BC FC BC FB=∴=∴=∴=-=∴=AE EGBC GB∴=E 是AD 中点，∴AE = DE FE EGFB GB=EF ·GB = C ·BF 15.EF mnm n=+16.略17.（1）延长BE 交AD 的延长线于点M ,AD ∥BC ，,DE DM AF AMEC BC FC BC∴==∵点E 为边DC 的中点，DM = B C.∵BC = 2AD ，∴DM =2AD，∴AM=AD +DM=3AD333(2)///,, 1.222AF AD FM AM EM DE BMAD BC FC AD BF BC BE EC BF∴==∴====∴=5251,,,2144BM BE EF BE BF BF =∴=∴= 24.3（3）三角形一边的平行线的判定及推论 1.平行AD AEBD CE= 2.1:43.5:34.不一定平行5.2:36.67.A 8.B 9.略10.略11.略12.（1）∵AB ⊥AC ,EE ⊥AC ,PD ⊥AB ，∴PE ∥AB ,PD ∥AC ，ENBN∴=,.,,//(2)EP EM EC EN EMPE EC DB DP NM BC PNM BD PM DPBN PM===∴=∴∠=PMM ，∴PN = PM = 213.（1）如图（a ），延长AC 至点E ，使CE = CA ，连接BE .∵C 为OB 中点，∴△BCE ≌△OC A.∴E = OA ，∠E = ∠OA C.∴B ∥OAAP ADEP EB∴=又D 为OA 中点，OA =OB 12AP AD EP AO ∴==1.222AP AP APEP PC AP PC∴==∴=+（2）如图（b ）延长AC 至点H ，使CH = CA ，连接BH .∵∴C 为OB 中点，∴△BCH ≌△CCA ，∠CBH = ∠O = 90°，BH = OA AD AO =14，设AD = t ,OD = 3t ，则BH = OA = OB = 4t .在Rt △BOD中，5BD t=4//,4BP BH tOA BH DP AD t∴===1.:1:15PD BP AD DP ∴=∴=(3) :BC BP n =24.3（4）平行线分线段成比例定理、平行线等分线段定理 1.48112.真3.5:34.51020335. (1) 83(2)1636.D7.A8.B9.（1）AB = 4，BC = 10（2）BE = 910.（1）略（2）∵AD ∥BC ，DG ADBG BE∴=四边形ACED 是平行四边形，CF ∥DE ,AD = CE DF CE DG DFBD BE BG BD∴=⋅∴=11.过A 作FK ∥BC 交CE ,BD 的延长线于点F ,K ，,DA AK EA AFCD BC EB BC∴==两式相加，得到AD AE FK CD BE BC +=，再证KF = 2MN = ,1AD AEBC CD BE +=12.（1）略(2) 233(04)4y x x x =-<<阶段训练11.10:111:102.478620553. 4.235. 1) 26. 8137. 23a 8. 8 9. 110.211.6:112.D 13.B 14.A 15.B 16.略17.略18.略19.（1）证明略(2)221155510210(2)1022222PEFSEF DH t t t t t ⎛⎫=⋅=-⋅=-+=--+ ⎪⎝⎭∴当t = 2秒时，PEFS存在最大值，最大值为10，此时BP = 3 = 6厘米（3）存在理由如下：①若点E 为直角顶点，如图（a ）所示，此时FE ∥AD ,PE = DH = 2，BP = 3.…∴FE ∥AD PF BP AD BD ∴=2385t t=此比例式不成立，故此种情形不存在②若点F 为直角顶点，如图（b ）所示，此时PE ∥AD ,PF = DH = 2t ,BP = 3，CP 10-3t .∵FF ∥AD PF CP AD CD ∴=210385t t-=③若点P 为直角顶点，如图（c ）所示。
相似三角形判断条件
相似三角形判断条件相似三角形是指两个三角形，他们彼此的所有内角和外角都相等。
相似三角形的几何原理是三角形具有相似性的基本原理，它指的是两个三角形所有内角和外角都相等。
在几何原理中，最重要的一点是如何证明两个三角形是相似的。
下面我们就来详细看看相似三角形的判断条件。
首先，相似三角形的判断条件是：（1）两个三角形的外角是相等的。
（2）两个三角形的内角是相等的。
（3）两个三角形的边长比相等。
假设三角形ABC，DEF两者的所有角和边长都是已知的，那么在证明他们是否为相似三角形的时候，可以用到几何定理，如半周长定理：两个三角形的半周长比等于它们的定点外角的正弦值的乘积；三角形外角公式：所有三角形的外角之和是180°；三角形内角公式：任何三角形的内角之和是180°；三角形边长比公式：任意一条边的长度比等于两两比的其他两边的比值的乘积；以及内部三角形内外角公式：内部三角形的外角是内角的两倍。
由以上几何定理可以推出，相似三角形存在条件即：（1）两个三角形的外角都相等。
（2）两个三角形的内角都相等。
（3）两个三角形的边长比都相等。
另外，如果有一个相似三角形，它的定点坐标（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），可以用三个定点距离来证明它的相似性，即用三个定点距离的比值等于三角形的边比的平方；用定点外角的正弦值的比值等于三角形的边比。
总之，判断两个三角形是否为相似三角形的原则是：它们的所有外角和内角都相等，它们的边比都相等，或者可以用三个定点距离的比值等于三角形的边比的平方，用定点外角的正弦值的比值等于三角形的边比来证明它们的相似性。
综上所述，相似三角形的判断条件就包括了三角形的外角、内角和边比都相等，以及可以用三个定点距离的比值等于三角形的边比的平方，用定点外角的正弦值的比值等于三角形的边比来证明它们的相似性。
相似三角形是几何原理中的基本概念，在几何中有很多应用。
例如，它可以用于解决以下问题：（1）最小外接圆半径：给定三角形ABC，找出最小外接圆半径；（2）最大内接圆半径：给定三角形ABC，求出最大内接圆半径；（3）多边形面积计算：给定由三角形ABC的共同点组成的多边形，计算多边形的面积；（4）共轭多边形：给定三角形ABC，求出其共轭多边形；（5）三角形的中心：给定三角形ABC，找出它的中心点；（6）三角形的重心：给定三角形ABC，找出它的重心；以及（7）三角形的切线：给定三角形ABC，求出三条切线。
24.4(3)相似三角形的判定定理3
B
A1 D A
E
C
△ADE∽△ABC △ADE≌△A1B1C1 △ABC∽△A1B1C1
B1 C1ห้องสมุดไป่ตู้
辅助线写法
• 相似三角形判定定理3: • 如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成 比例,那么这两个三角形相似.(简称:三边对应成比例,两三 角形相似) • 数学语言表达:
AB BC CA A1 B1 B1C1 C1 A1 ABC ~ A1 B1C1
• 例题:已知:如图,D、E、F分别是△ABC的边BC、 A CA、AB的中点. • 求证： △DEF∽ △ABC E
F C B D
AB BC AC 如图已知 ， AD DE AE
试说明∠BAD=∠CAE.
B
A E
D
C
如图在正方形网格上有A1 B1C1和A2 B2C2， 它们相似吗？如果相似，写出证明过程， 并求出相似比；如果不相似，请说明理由。
24.4(3)相似三角形的判定定理3
复习相似三角形的判定定理
定理1:两角对应相等,两三角形相似 定理2:两边对应成比例且夹角相等,两 三角形相似
A B C
A’
B’
C’
AB BC CA 问题 : 在ABC与A1B1C1中, 如果 , A1B1 B1C1 C1 A1 那么ABC与A1B1C1相似吗 ? 为什么?
要作两个形状相同的三角 形框架,其中一个三角形 的三边的长分别为4、5、 6,另一个三角形框架的一 边长为2,怎样选料可使这 两个三角形相似?
A A1
B1 B C
C1
例1:根据下列条件，判断△ABC与△A’B’C’是否相似， 并说明理由． (1)∠A=1200,AB=7cm,AC=14cm.
相似三角形的判定方法五种
相似三角形的判定方法五种
1、两角分别对应相等的两个三角形相似。
2、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
3、三边成比例的两个三角形相似。
4、一条直角边与斜边成比例的两个直角三角形相似。
5、用一个三角形的两边去比另一个三角形与之相对应的两边，分别对应成比例，如果三组对应边相比都相同，则三角形相似。
相似三角形介绍
三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
相似三角形是几何中重要的证明模型之一，是全等三角形的推广。
全等三角形可以被理解为相似比为1的相似三角形。
相似三角形其实是一套定理的集合，它主要描述了在相似三角形是几何中两个三角形中，边、角的关系。
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答案是2:1
要作两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形 的三边的长分别为4、54:2=5:x=6:y ②4:x=5:2=6:y ③4:x=5:y=6:2
4
5
6
2
相似三角形的判定方法
平行于三角形一边的直线与其他两边相
交,所构成的三角形与原三角形相似;
.
△ABC与△A’B’C‘的三组对应边 的比不等，它们不相似．
1.根据下列条件,判断△ABC与△A’B’C’是否相似, 并说明理由:
(1)∠A=400,AB=8,AC=15, ∠A’=400,A’B’=16,A’C’=30; (2)AB=10cm,BC=8cm,AC=16cm,
A’B’=16cm,B’C’=12.8cm,A’C’=25.6cm.
A
A’
C
B
B’
C’
A' B' AB
B' C' BC
A' C' AC
△ABC∽△A’B’C’
如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么 这两个三角形相似.
简单地说:三边对应的比相等,两三角形相似.
例1:根据下列条件，判断△ABC与△A’B’C’是否 相似，并说明理由． (1)∠A=1200,AB=7cm,AC=14cm.
2.图中的两个三角形是否相似?
如图已知
AB AD
BC DE
AC AE
， 试说明∠BAD=∠CAE.
证明
AB AD
BC DE
AC AE
A E D
∴Δ ABC∽Δ ADE B ∴∠BAC=∠DAE ∴∠BAC━∠DAC=∠DAE━∠DAC 即∠BAD=∠CAE
C
如图在正方形网格上有A1 B1C1和A2 B2C2， 它们相似吗？如果相似，求出相似比；如果 不相似，请说明理由。
类似于判定三角形全等的方法，我们 还能不能通过三边来判断两个三角形相似 呢？
A
三边对应成 比例
A’
B’
B
A' B' AB B' C' BC
C
A' C' AC
C’
是否有△ABC∽△A’B’C’？
已知:如图△ABC和△ A B C 中, 求证:△ABC∽△A`B`C`
A B AB
∠A’=1200,A’B’=3cm,A’C’=6cm.
(2)AB=4 cm,BC=6cm,AC=8cm,
A’B’=12cm,B’C’=18cm,A’C’=21cm.
解 : (1 ) AB A' B ' ABC
( 2) AC A' C ' AB A' B ' AB A' B ' 8 21
A C AC
B C BC
A`
证明:在△ABC的边AB(或延长线)上截取AD=A′B′,
过点D作DE∥BC交AC于点E.
∴ △ADE∽△ABC , ∴ ∵ 又 ∴
A D A B , AD AB A B AB
AD AB AE AC DE BC
B` A
C`
A B AB
DE
A C AC
B C BC
D
B C E A C A , BC BC CA CA
E
.
因此 D E B C , E A C A . ∴△ADE≌△A B C
∴△
A B C ∽△ABC
B
C
要证明 △ABC∽△A’B’ C’，可以先作一 个与△ABC全等 的三角形，证明 它△A’B’C’与相 似．这里所作的 三角形是证明的 中介，它把 △ABC△A’B’C’ 联系起来．
AB A' B '
7 3
,
AC A'C '
14 6
7 3
,
AC A ' C '.
又 A A',
∽
4 12 . BC B' C ' 1 ,
A' B 'C '
BC 6 18 1 3 ,
要使两三角形相 似，不改变的 AC长，A’C’的 长应改为多少？
3 B' C '
AC A' C '
三边对应成比例,两三角形相似.