2016-2017年江西省抚州市南城一中高二上学期数学期中试卷带答案(理科)

2016-2017学年江西省抚州市南城一中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）“x＞0”是“＞0”成立的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．非充分非必要条件D．充要条件2．（5分）已知五个数3，5，7，4，6，则该样本标准差为（）A．1 B．C．D．23．（5分）已知命题p：∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≥0，则￢p 是（）A．∃x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≤0 B．∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≤0C．∃x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0 D．∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜04．（5分）若P（A+B）=1，则事件A与B的关系是（）A．A、B是互斥事件B．A、B是对立事件C．A、B不是互斥事件D．以上都不对5．（5分）与圆（x﹣3）2+（y﹣3）2=8相切，且在x、y轴上截距相等的直线有（）A．4条 B．3条 C．2条 D．1条6．（5分）设l是直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β7．（5分）若=（2x，1，3），=（1，﹣2y，9），如果与为共线向量，则（）A．x=1，y=1 B．x=，y=﹣C．x=，y=﹣D．x=﹣，y=8．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，P分别是B1B，B1C1，CD 的中点，则MN与D1P所成角的余弦值为（）A．B．C．D．9．（5分）如图，G是△ABC的重心，，则=（）A．B．C．D．10．（5分）如图是计算+++…+的值的一个程序框图，其中在判断框中应填入的条件是（）A．i＜10 B．i＞10 C．i＜20 D．i＞2011．（5分）现有五个球分别记为A，B，C，D，E，随机放进三个盒子，每个盒子只能放一个球，则C或E在盒中的概率是（）A．B．C．D．12．（5分）有以下命题：①如果向量，与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么，的关系是不共线；②O，A，B，C为空间四点，且向量，，不构成空间的一个基底，则点O，A，B，C一定共面；③已知向量，，是空间的一个基底，则向量+，﹣，也是空间的一个基底；④△ABC中，A＞B的充要条件是sinA＞sinB．其中正确的命题个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分13．（5分）若直线x+ay+2=0和2x+3y+1=0互相垂直，则a=．14．（5分）设函数f（x）=x2﹣x﹣2，x∈[﹣5，5]，那么任取一点x0，使f（x0）≤0的概率为．15．（5分）在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形的面积之和的，且样本容量为160，则中间一组的频数为．16．（5分）①一个命题的逆命题为真，它的否命题也一定为真；②在△ABC中，“∠B=60°”是“∠A，∠B，∠C三个角成等差数列”的充要条件．③是的充要条件；④“am2＜bm2”是“a＜b”的充分必要条件．以上说法中，判断错误的有．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知命题p：|m+1|≤2 成立．命题q：方程x2﹣2mx+1=0有实数根．若￢P为假命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．18．（12分）将甲、乙两颗骰子先后各抛一次，a、b分别表示抛掷甲、乙两颗骰子所出现的点数﹒图中三角形阴影部分的三个顶点为（0，0）、（4，0）和（0，4）．（1）若点P（a，b）落在如图阴影所表示的平面区域（包括边界）的事件记为A，求事件A的概率；（2）若点P（a，b）落在直线x+y=m（m为常数）上，且使此事件的概率P最大，求m和P的值﹒19．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a+b+c=16．（1）若a=4，b=5，求cosC的值；（2）若sinA+sinB=3sinC，且△ABC的面积S=18sinC，求a和b的值．20．（12分）如图，三棱锥P﹣ABC中，PB⊥底面ABC，∠BCA=90°，PB=BC=CA=2，E为PC的中点，M为AB的中点，点F在PA上，且2PF=FA．（1）求证：BE⊥平面PAC；（2）求证：CM∥平面BEF；（3）求平面ABC与平面BEF所成的二面角的平面角（锐角）的余弦值．21．（12分）已知圆，圆．（1）求两圆公共弦所在直线的方程；（2）直线ι过点（4，﹣4）与圆C1相交于A，B两点，且，求直线ι的方程．22．（12分）已知数列{a n}的前n项和是S n，且S n+a n=1（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=log4（1﹣S n+1）（n∈N*），T n=++…+，求使T n≥成立的最小的正整数n的值．2016-2017学年江西省抚州市南城一中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）“x＞0”是“＞0”成立的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．非充分非必要条件D．充要条件【解答】解：当x＞0时，x2＞0，则＞0∴“x＞0”是“＞0”成立的充分条件；但＞0，x2＞0，时x＞0不一定成立∴“x＞0”不是“＞0”成立的必要条件；故“x＞0”是“＞0”成立的充分不必要条件；故选：A．2．（5分）已知五个数3，5，7，4，6，则该样本标准差为（）A．1 B．C．D．2【解答】解：数据3，5，7，4，6的平均数为=（3+5+7+4+6）=5方差为S2=[（3﹣5）2+（5﹣5）2+（7﹣5）2+（4﹣5）2+（6﹣5）2]=2∴标准差为故选：B．3．（5分）已知命题p：∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≥0，则￢p 是（）A．∃x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≤0 B．∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≤0C．∃x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0 D．∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0【解答】解：命题p：∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≥0是一个全称命题，其否定是一个特称命题，故¬p：∃x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0．故选：C．4．（5分）若P（A+B）=1，则事件A与B的关系是（）A．A、B是互斥事件B．A、B是对立事件C．A、B不是互斥事件D．以上都不对【解答】解：∵P（A+B）=1，∴当A，B是互斥事件或对立事件时，P（A+B）=P（A）+P（B）=1；当A，B不是互斥事件时，P（A+B）=P（A）+P（B）﹣P（AB）=1．∴选项A，B，C都不一定正确．故选：D．5．（5分）与圆（x﹣3）2+（y﹣3）2=8相切，且在x、y轴上截距相等的直线有（）A．4条 B．3条 C．2条 D．1条【解答】解：由圆的方程（x﹣3）2+（y﹣3）2=8，可得圆心坐标为C（3，3），半径是r=2，由|OC|==3＞r，故原点在圆外．当所求直线的方程的截距为0时，直线过原点，显然有两条直线满足题意．当截距不为0时，设所求直线的方程为：x+y=a（a≠0）则圆心到直线的距离d==e=2，由此求得a=2，或a=10，由于满足题意a的值有2个，所以满足题意的直线有2条．综上可得，与圆（x﹣3）2+（y﹣3）2=8 相切，且在两坐标轴上截距相等的直线中，过原点的切线有两条，斜率为﹣1的切线也有两条；共4条，故选：A．6．（5分）设l是直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β【解答】解：对于A．若l∥α，l∥β，则α∥β或α，β相交，故A错；对于B．若l∥α，l⊥β，则由线面平行的性质定理，得过l的平面γ∩α=m，即有m∥l，m⊥β，再由面面垂直的判定定理，得α⊥β，故B对；对于C．若α⊥β，l⊥α，则l∥β或l⊂β，故C错；对于D．若α⊥β，l∥α，若l平行于α，β的交线，则l∥β，故D错．故选：B．7．（5分）若=（2x，1，3），=（1，﹣2y，9），如果与为共线向量，则（）A．x=1，y=1 B．x=，y=﹣C．x=，y=﹣D．x=﹣，y=【解答】解：∵=（2x，1，3）与=（1，﹣2y，9）共线，故有==．∴x=，y=﹣．故选：C．8．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，P分别是B1B，B1C1，CD 的中点，则MN与D1P所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：如图所示，建立空间直角坐标系．不妨设正方体的棱长AB=2．则D（0，0，0），P（0，1，0），D1（0，0，2），M（2，2，1），N（1，2，2）．∴，．∴===﹣．∴MN与D1P所成角的余弦值为．故选：B．9．（5分）如图，G是△ABC的重心，，则=（）A．B．C．D．【解答】解：∵，====，则向量用基底{，，}可以表示为故选：D．10．（5分）如图是计算+++…+的值的一个程序框图，其中在判断框中应填入的条件是（）A．i＜10 B．i＞10 C．i＜20 D．i＞20【解答】解：根据算法的功能是计算+++…+的值，∴终止程序运行的i=11，∴判断框中应填入的条件是：i＞10或i≥11．故选：B．11．（5分）现有五个球分别记为A，B，C，D，E，随机放进三个盒子，每个盒子只能放一个球，则C或E在盒中的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：将5个不同的球随机放进三个盒子，每个盒子只能放一个球，所有的放法有A53=60，C、E都不在盒中的放法有A33=6，设“C或E在盒中”为事件A，则P（A）=1﹣=．故选：D．12．（5分）有以下命题：①如果向量，与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么，的关系是不共线；②O，A，B，C为空间四点，且向量，，不构成空间的一个基底，则点O，A，B，C一定共面；③已知向量，，是空间的一个基底，则向量+，﹣，也是空间的一个基底；④△ABC中，A＞B的充要条件是sinA＞sinB．其中正确的命题个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：对于①，如果向量，与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么，的关系是共线，所以不正确．对于②，O，A，B，C为空间四点，且向量，，不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C一定共面；这是正确的．对于③，已知向量，，是空间的一个基底，所以因为三个向量非零不共线，则向量+，﹣，也不共线，也是空间的一个基底，这是正确的．对于④，△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔2RsinA＞2RsinB⇔sinA＞sinB，所以正确．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分13．（5分）若直线x+ay+2=0和2x+3y+1=0互相垂直，则a=．【解答】解：∵直线x+ay+2=0和2x+3y+1=0互相垂直，∴×=﹣1，∴a=﹣，故答案为﹣．14．（5分）设函数f（x）=x2﹣x﹣2，x∈[﹣5，5]，那么任取一点x0，使f（x0）≤0的概率为．【解答】解：由题意，本题符合几何概型，区间[﹣5，5]长度为10，使f（x0）≤0即x2﹣x﹣2≤0的区间为[﹣1，2]，长度为3，由几何概型公式得到，使f（x0）≤0的概率为；故答案为：．15．（5分）在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形的面积之和的，且样本容量为160，则中间一组的频数为32．【解答】解：设中间一个小长方形的面积为x，其他10个小长方形的面积之和为y，则有：，解得：x=0.2，∴中间一组的频数=160×0.2=32．故填：32．16．（5分）①一个命题的逆命题为真，它的否命题也一定为真；②在△ABC中，“∠B=60°”是“∠A，∠B，∠C三个角成等差数列”的充要条件．③是的充要条件；④“am2＜bm2”是“a＜b”的充分必要条件．以上说法中，判断错误的有③④．【解答】解：根据题意，依次分析4个命题：①、一个命题的逆命题与其否命题互为逆否命题，则若其逆命题为真，其否命题也一定为真，①正确；②、若∠B=60°，则∠A+∠C=120°，有∠A+∠C=2∠B，则∠A，∠B，∠C三个角成等差数列，反之若∠A，∠B，∠C三个角成等差数列，有∠A+∠C=2∠B，又由∠A+∠B+∠C=180°，则∠B=60°，故在△ABC中，“∠B=60°”是“∠A，∠B，∠C三个角成等差数列”的充要条件，②正确；③、当x=，y=，则满足，而不满足，则是的不必要条件，③错误；④、若a＜b，当m=0时，有am2=bm2，则“am2＜bm2”是“a＜b”的不必要条件，④错误；故答案为③④．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知命题p：|m+1|≤2 成立．命题q：方程x2﹣2mx+1=0有实数根．若￢P为假命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．【解答】解：因为“¬p”为假，所以命题p是真命题．（2分）又由“p∧q”为假命题，所以命题q是假命题．（4分）当p为真命题时，则得﹣3≤m≤1；（5分）当q为假命题时，则△=4m2﹣4＜0，得：﹣1＜m＜1（8分）当p是真命题且q是假命题时，得﹣1＜m＜1．（12分）18．（12分）将甲、乙两颗骰子先后各抛一次，a、b分别表示抛掷甲、乙两颗骰子所出现的点数﹒图中三角形阴影部分的三个顶点为（0，0）、（4，0）和（0，4）．（1）若点P（a，b）落在如图阴影所表示的平面区域（包括边界）的事件记为A，求事件A的概率；（2）若点P（a，b）落在直线x+y=m（m为常数）上，且使此事件的概率P最大，求m和P的值﹒【解答】解：（1）基本事件总数为6×6=36﹒…（2分）当a=1时，b=1，2，3；当a=2时，b=1，2；当a=3时，b=1﹒共有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（3，1）6个点落在条件区域内，∴P（A）═﹒…（6分）（2）当m=7时，…（9分）（1，6），（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1）共有6种，此时P==最大﹒…（12分）19．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a+b+c=16．（1）若a=4，b=5，求cosC的值；（2）若sinA+sinB=3sinC，且△ABC的面积S=18sinC，求a和b的值．【解答】解：（1）由题意可知c=16﹣（a+b）=7…（2分）由余弦定理得…（6分）（2）由，可得，化简得sinA+sinAcosB+sinB+sinB•cosA=4sinC即sinA+sinB+sin（A+B）=4sinC，sinA+sinB=3sinC即a+b=3c…（8分）又a+b+c=16∴a+b=12，由于…（10分）∴，即a=b=6…（12分）20．（12分）如图，三棱锥P﹣ABC中，PB⊥底面ABC，∠BCA=90°，PB=BC=CA=2，E为PC的中点，M为AB的中点，点F在PA上，且2PF=FA．（1）求证：BE⊥平面PAC；（2）求证：CM∥平面BEF；（3）求平面ABC与平面BEF所成的二面角的平面角（锐角）的余弦值．【解答】证明：（1）∵BP=BC，EP=EC，∴BE⊥PC．∵PB⊥底面ABC，∴PB⊥AC，又AC⊥BC，PB∩BC=B，∴AC⊥平面PBC，∴AC⊥BE．又PC∩AC=C，∴BE⊥平面PAC．（2）取AF得中点Q，连接CQ，MQ．∵2PF=FA，∴点F为PQ的中点，由三角形的中位线定理可得EF∥CQ，BF∥MQ，又CQ∩MQ=Q，∴平面BEF∥平面CMQ，∴CM∥平面BEF．（3）建立如图所示的空间直角坐标系，则B（0，0，0），P（0，0，2），C（2，0，0），A（2，2，0），E（1，0，1），F．，．设平面BEF的法向量为=（x，y，z），则，令x=1，则z=﹣1，y=1．∴=（1，1，﹣1）．取平面ABC的法向量．则===﹣．∴平面ABC与平面BEF所成的二面角的平面角（锐角）的余弦值为．21．（12分）已知圆，圆．（1）求两圆公共弦所在直线的方程；（2）直线ι过点（4，﹣4）与圆C1相交于A，B两点，且，求直线ι的方程．【解答】解：（1）因为圆，圆．作差得，两圆公共弦所在直线的方程为：2x﹣y+4=0．（2）设过点（4，﹣4）的直线斜率为k，所以所求直线方程为：y+4=k（x﹣4），即kx﹣y﹣4k﹣4=0．圆，的圆心（2，1），半径为：，因为圆心距、半径、半弦长满足勾股定理，所以弦心距为：=2；所以，k=﹣，令一条直线斜率不存在，直线方程为：x=4或21x+20y+4=0所求直线方程为：x=4或21x+20y+4=0．22．（12分）已知数列{a n}的前n项和是S n，且S n+a n=1（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=log4（1﹣S n+1）（n∈N*），T n=++…+，求使T n≥成立的最小的正整数n的值．【解答】解：（Ⅰ）当n=1时，a1=S1，由S1+a1=1⇒a1=，当n≥2时，S n+a n=1①，S n﹣1+a n﹣1=1②，①﹣②，得=0，即a n=a n﹣1，∴{a n}是以为首项，为公比的等比数列．故a n==3（n∈N*）；（Ⅱ）由（1）知1﹣S n==，+1b n=log4（1﹣S n+1）==﹣（n+1），=，T n=++…+=（）+（）+…+（）=，≥⇒n≥2014，故使T n≥成立的最小的正整数n的值n=2014．赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：AB正方形ABCD 中，∠EAF =45° ∠1=12∠BAD 推导说明：1.1在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠FAE ＝45°，求证：EF ＝BE +DF45°DEa +b-a45°A1.2在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC、CD 上，且EF ＝BE +DF ，求证：∠FAE ＝45°E-aaBE挖掘图形特征：x-a a-a运用举例：1．正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点,且∠EDF=45°.将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM.（1）求证：EF=FM（2）当AE=1时，求EF的长．DE2.如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°．以D为顶点3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝CD＝2AD＝4，E为线段CD上一点，∠ABE＝45°.（1）求线段AB的长；（2）动点P从B出发，沿射线．．BE运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t，则t为何值时，△ABP为等腰三角形；（3）求AE－CE的值.变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．ABFEDCF第21页（共21页）。