从分数到分式

分式是两个整式相除的商式。 对于任意一个分式，分母都不为零。 分数线有除号和括号的作用，如： x 1 x 3 可表示为（x -1) ÷ (x -3) . 单项式 整式 多项式 有理式 分式
下列各式中，谁是整式？ 谁是分式？ 1
b
；
2x
1 5
分 式
5 x y x y 3 x
整 式
xy
类比分数，分式的概念及表达形式:
被除数÷除数=商数 被除式÷除式=商式
如: 3 ÷ 5
3 = 5
v-v 如: 0 t (v-v ) = 类比 0 ÷ t A) 分式 ( 整式(A) 整式(B) B
整数 整数 分数
【分式】如果整式A除以整式B, 可以表示成 A 的 B A 形式.且除式B中含有字母，那么称式子 B 为分式 其中，A叫做分式的分子 ，B叫做分式的分母 。 整式和分式 统称有理式。 关于分式的几点说明
2x 1 x2 ⑵ 当x =2 时，分式2 x 1 的值为零。
2
2x k 4、已知，当x=5时，分式 的值等于零， 3x 2 则k =-10
当x为任意实数时，下列分式一定有意义 的是（ B ）
2 （A） 2 x
1 （B） 2 x 2 ( C)
1 2 x
1 （D） 1 x
在分式 分式有意义？分式的值为零？
x 3 中，当 x 为何值时， x 3
拔高练习
1.下列各式中，无论x取何值，分式都有意 义的是（ ）
D
x A． 2x 1 3x 1 C． 2 x
1 B． 2x 1
D．
x 2 2x 1
2
拔高练习
2.当x取什么值时，下列分式有意义？ （ 1） x x2
x5 (3) 2 x 1
(2)
所以当x=2时，分式
| x | 2 2x 4
的值是零
随堂练习
2 (1)当x _____ 0 时, 分式 有意义 . 3x
x (2)当x _____ 有意义 . 1 时, 分式 x 1
1 1 时, 分式 2 有意义. (4)当x _____ x 1
5 1 (3)当b _____ 3 时, 分式 5 3b 有意义.
做一做
n 2 180
（1）正n边形的每个内角为 度。 n （2）文林书店库存一批图书, 其中一种图书的原价是 每册 a元，现降价 x 元销售，当这种图书的库存全部售 出时，其销售额为b元。降价销售开始时，文林书店这 种图书的库存量是 _________
b 册 ax
思考填空
1.长方形的面积为10cm² ，长为7cm。
试用用类似分数的形式表示下列整式的除法：
90 ⑴ 90÷x 可以用式子x 来表示。 60÷(x-6)可以用式子 60 来表示。 x6 n
(2) n公顷麦田共收小麦m吨,平均每公顷产量可以 用式子 m 吨来表示.
问题 :
一艘轮船在静水中的最大航速是20千米/时, 它沿江以最大船速顺流航行100千米所用时间， 与以最大航速逆流航行60千米所用的时间相等。 江水的流速是多少？
2

2x
3 4

判断：下面的式子哪些是分式？
2 bs
4 5b c
3000 300 a
2 7
2
V S
S 32
2
1 2x 5
2
5
5x 7
x xy y 2x 1
3x 1
2
分式:
类比 分数 来 学习 分 式
1、分数
5 0
，有意义吗？ 0
a1 2、分式 2a 成立有条件吗？ 有什么条件？ a1 3、分式 2a 中 ，a 可取多少值？ a1 4、计算a=1, a=2时，分式 值分别是多少？ 2a
随堂练习
x y x y (5)当x、y满足关系______ 时, 分式 有意义. x y
| x | 1 1 时, 分式 2 (6)当x _____ 的值等于 0. x 3x 2
随堂练习
当x取什么值时，下列分式有意义？
8 ; （ 1） x 1
解⑴：由分母x－1≠0，得 x≠1 8 所以当x≠1时，分式 x 1 有意义
整式
多项式:几个单项式的和
注意:代数式包括整式，也就是说整式是代数式但代数 式就不一定是整式了．
问题情景:
我们学过的代数式中有单项式、多项式、整式，
正确 （1）2x是单项式，也是整式 （ ） 1 正确 （2） 2 和0都是单项式，也都是整式 （ ） （3）2x-1是多项式，也是整式 （ ） 正确
如果设江水的流速为v千米/时。
最大船速顺流航行 100千米所用时间
100 20 v

=
以最大航速逆流航行 60千米所用的时间
60 20 v
从 环境保护 说起
实际每月造林的面积 =原计划每月造林的面 面对日益严重的土地 沙化问题, 某县决定分期分 积+30公顷; 批固沙造林. 一期工程计划 原计划完成工程的时间 在一定的期限内固沙造林 —实际完成的时间=4个月.
当x 当x
3x 1 时， 的值为负； 2 x
3x 1 时， 2 的值为正. - x -1
归纳小结（3个+2点）
★ 学习内容：分式的概念 数学思想：类比
A 1.分式 B A 2.分式 B A 3.分式 B A 4.分式 B A 5.分式 B
有意义的条件是__________．
无意义的条件是__________．
2、什么叫做分பைடு நூலகம்？
A 可以表示成 B 的形式.
其中，A叫做分式的 ，B叫做分式的分母 。 分子
整式和分式 统称有理式。
一般地，如果A、B都表示整式，且B中含有 A 字母，那么称 为分式。其中A叫做分式的分子， B B为分式的分母。
分式定义
注意：分式是不同于整式的另一类有理式，且 分母中含有字母是分式的一大特点。
例. 已知分式 x 4 , x2 (3) 当x为何值时，分式的值为零? 解：(３)当分子等于零而分母不 等于零时,分式的值为零。 则 x2 - 4=0 ∴ x= 又∵ ±2 x+2≠０ ∴ x ≠ -2 x 2 4 ∴当x = 2时分式 x 2 的值为零。 (4) 当x= - 3时，分式的值是多少 ? 2 (3) 4 解： 原式 5 3 2
10 宽应为____cm; 7
S 长方形的面积为S，长为a，宽应为______; a
S
a
?
2、把体积为200cm³ 的水倒入底面积为 33cm²
200 的圆柱形容器中,水面高度为_____cm; 33
把体积为V的水倒入底面积为S的圆柱形
v 容器中,水面高度为______; s
S
V
议一议
分式、有理式的定义
1 （ 2） 2 x 9
(2)：由分母 x2－9≠0，得 x≠±3 1 所以当x 3 时，分式 2
x 9
有意义
小测试
1、在下面四个有理式中,分式为(B ) 2x 5 1 x8 A、 B、 C、 7 3x 8
1 x D、 - + 4 5
２、当x=-1时，下列分式没有意义的是( C ) A、x 1 B、 x C、 2 x D、 x 1 x x 1 x 1 x 1 x 2 ３、⑴当x ≠ 时，分式 有意义。
n 2 180
,
1、上面的问题出现了代数式:
b . n a x 它们有什么共同特征？类似分数 , 分母中都有字母. 他们与整式有什么不同？整式的分母中不含有字母.
90 , 60 , m , 2400, 2400 , x x6 n x x 30
如果整式A除以整式B, A 且除式B中含有字母，那么称式子 B 为分式(fraction).
(2)当分母不等于零时,分式无意义。 即 x+2≠0 ∴ x ≠- 2 ∴ 当x ≠-2时，分式有意义
探究
思考 : 归纳
A 分式 B 在什么条件下值为0？
仅仅是 A 0 就可以了吗？ 分式的值要为0，需满足的条件是：
分子的值等于0（A=0）且分母值不为0（B≠0） x2 当 x是什么值时，分式的 2 x 5 值是0？
2
补充例题
例 例1 当x取什么值时，下列分式有意义？ x 1 2x x ⑴ x2 ⑵ 4x 1 ⑶ | x | 3
解⑴： 由分母 x－2≠0，得 x≠2 x 所以当 x≠2时，分式 x 2 有意义 1 ⑵ ：由分母 4x+1≠0，得 x≠ - 4
1 x 1 分式 有意义。 所以当 x≠- 4 时， 4x 1 ⑶ ：由分母|x|－3≠0，得 x≠±３ 2x 所以当x≠ ±３时， 分式 | x | 3 有意义
补充例题
例 例2、当 x 取什么值时，下列分式的值为零 : | x | 2 x2 , (2) (1) . 2x 5 2x 4
解⑴： 由分子x+2=0，得 x=-2 而当 x=-2时，分母 2x－5=-4－５≠0 x2 所以当x=-2时，分式 2 x 5的值是零 ⑵ ：由分子|x|－2=0，得 x=±2 当x=2时，分母 2x+4=4+4≠0 当x=-2时，分母 2x+4=-4+4=0
新 人 A ( B中含有字母且 B 0) 教 B 版 你有手就能学得好 数 学 课 信心、毅力、勇气三者具备， 件 则天下没有做不成的事。
四川省武胜县街子初级中学
宋志友
abcd l 180 像10a+2b， t ， 4 ，2a² 这
样含有字母的数学表达式称为代数式.
单项式:数与字母或字母与字母的积
2400公顷, 实际每月固沙造 林的面积比原计划多30公顷, 结果提前4个月完成原计划 任务. 原计划每月固沙造林多少公顷? 这一问题中有哪些等量关系? 如果设原计划每月固沙造林x公顷, 那么原计划完成一期工程需要 2400 个月,