2019年高中数学1-2任意角的三角函数1-2-2单位圆与三角函数线同步训练新人教B版必修4
高中数学1-2任意角的三角函数1-2-2单位圆与三角函数线自我小测新人教B版必修4
高中数学1-2任意角的三角函数1-2-2单位圆与三角函数线自我小测新人教B 版必修4自我小测1．若角α的正切线位于第一象限，则角α是( )A ．第一象限的角B ．第一、二象限的角C ．第三象限的角D ．第一、三象限的角2．下列不等式中，成立的是( )A ．sin>sinB ．cos<cos 18π⎛⎫-⎪⎝⎭10π235π⎛⎫- ⎪⎝⎭174π⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．cos 4>cosD ．tan <tan75π25π⎛⎫- ⎪⎝⎭3．若θ∈，则sin θ＋cos θ的一个可能值是()02π⎛⎫ ⎪⎝⎭，A ．B ．C ．D ．127π4．如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x ，y)，我们把叫做α的正割，记作sec α；把叫做α的余割，记作cscα，则＝()2s e c32c s c 3ππA ．－B ．C ．－ D5．已知sin α>sin β，那么下列命题成立的是( )A．若α，β是第一象限的角，则cos α>cos βB．若α，β是第二象限的角，则tan α>tan βC．若α，β是第三象限的角，则cos α>cos βD．若α，β是第四象限的角，则tan α>tan β6．利用三角函数线求cos 2 040°的函数值是__________．7．已知集合E＝{θ|cos θ<sin θ，0≤θ<2π}，F＝{θ|tan θ<sin θ，0≤θ<2π}，则E∩F＝__________．8．求下列函数的定义域：(1)y＝；(2)y＝lg(3－4sin2x)9．利用三角函数线证明：若0<α<β<，则有β－α>sin β－sin α．参考答案1．解析：由正切线的定义知，当角α是第一、三象限的角时，正切线都在第一象限．答案：D 2．答案：B3．解析：由θ∈，知sin θ＋cos θ>1，四个选项中仅有>1，故选C ．02π⎛⎫ ⎪⎝⎭，答案：C 4．答案：A 5．答案：D 6．答案：－ 7．答案：2ππ⎛⎫⎪⎝⎭， 8．解：(1)如图甲，因为2cos x －1≥0，所以cos x≥．所以x∈ (k∈Z)．2,233k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦(2)如图乙，因为3－4sin2x>0， 所以sin2x<．所以－<sin x<所以x∈∪ (k∈Z)．2,233k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭242,233k k ππππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭9．证明：如图，单位圆O与x轴正半轴交于点A，与角α，β的终边分别交于点Q，P，过点P，Q分别作OA的垂线，设垂足分别是M，N，则由三角函数定义可知：sin α=NQ，sin β=MP．作QH⊥MP于点H，则HP=MP-NQ=sin β-sin α．由直观图可知HP<=-=β-α，即β-α>sin β-sin α．。
【必做练习】高中数学第一章三角函数1.2任意角的三角函数1.2.2同角三角函数的基本关系成长训练新人教A版必
答案 : B
10. 若 tan θ =-1, 则 sin θ -cos θ =_____________.
解析 : tan θ =-1, 则
sin θ =-cos θ. 又因为
sin
2
2
θ +cos θ =1,
sin
所以
cos
2
,
sin
2或
2 , cos
2
2 ,
2
2 .
2
所以 sin θ-cos θ =± 2 .
15.(2006 福州质检 ) 已知 sin α = 5 ( ＜ α ＜ π), 则 tan α =_____________. 52
解析 : ∵sin α= 5 , ＜α ＜ π , 52
∴cos α =
1
5
2
=-
5.
25 5
∴tan α = sin
= 5×
51
=- .
cos 5 2 5 2
答案 : - 1 2
=
2
2 cos
sin 2
-(1+
2
cos
sin 2 )
3 sin 4
=
cos 4
2 cos2 2sin 2 2 cos2
2 sin 2 cos 2
3 (sin 2
=
cos2 ) 2(sin 2 2 cos2
cos2 )
22 2 cos 2 =0,
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所以 3
sin 4
4 3
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5
5
7
7
A.
B.
C.
D.
【2019最新】高中数学1-2任意角的三角函数1-2-2单位圆与三角函数线课后导练新人教B版必修4
【2019最新】高中数学1-2任意角的三角函数1-2-2单位圆与三角函数线课后导练新人教B 版必修4 单位圆与三角函数线课后导练基础达标1.若角α终边上有一点P （-2，0），则下列函数值不存在的是（ ）A.sin αB.cos αC.tan αD.cot α 答案：D2.若角θ的终边过点P （a,8）且cos θ=53-，则a 的值是（ ） A.6 B.-6 C.10 D.-10解析：由任意角的三角函数定义可知53822-=+a a,解得a=±6.显然a=6时不成立, 所以a=-6.答案：B3.若角α为第二象限角，则下列各式恒小于零的是（ ）A.sin α+cos αB.tan α+sin αC.cos α-tan αD.sin α-tan α解析：如右图，作出sin α、cos α、tan α的三角函数线，显然△OPM∽△OTA,且|MP|<|AT|， ∵MP>0,AT<0,∴MP<-AT.∴MP+AT<0，即sin α+tan α<0.答案：B4.已知sin θ·cos θ<0，且|cos θ|=cos θ,则P （tan θ,sec θ）一定在（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：∵sin θ·cos θ<0且|cos θ|=cos θ,∴sin θ<0,cos θ>0,即r y <0,r x >0. ∴y<0,x>0.∴tan θ=xy <0,sec θ=x r >0, 即点P （tan θ,sec θ）在第二象限.答案：B5.如右图，你从图中可读出什么信息？（1）P 点的坐标是_________；（2）若Q 点坐标是（-21,23），那么∠xOQ=_________rad,G 点坐标为_________. 答案：（1）（21,23） (2)32π (21,-23) 6.已知角α的正弦线是单位长度的有向线段,那么角α的终边在_________上. 解析:正弦线的长度为1,所以α的终边应在y 轴上.答案:y 轴7.不等式cos α≤21的解集为_________. 解析:画出单位圆,然后画出直线y=21,从图形中可以看出. 答案:［2k π+3π,2k π+35π］(k∈Z ) 8.判定下列各式的符号.(1)tan250°·cot(-350°);(2)sin105°·cos230°;(3)tan191°-cos191°;(4)csc320°·sec820°.解:(1)∵tan250°>0,cot(-350°)>0,∴tan250°·cot(-350°)>0.(2)∵sin105°>0,cos230°<0,∴sin105°·cos230°<0.(3)∵tan191°>0,cos191°<0,∴tan191°-cos191°>0.(4)∵csc320°<0,sec820°<0,∴csc320°·sec820°>0.综合运用9.根据下图回答下列问题：（1）在图（a ）中，390°角的正弦值是________，P 点坐标为________；（2）在图（b ）中，-30°角的正弦值是________，P 点坐标是________；（3）sin(6π+2π)=________; (4)sin(π+6π)=________. 答案：(1)21 (23,21) (2)-21 (23,-21) (3)23 (4)-21 10.在半径为30 m 的圆形广场中央上空,设置一个照明光源,射向地面的光呈圆锥形,且其轴截面顶角为120°,若光源恰好照亮整个广场,则其高度应为________ m(精确到0.1 m). 解析:如图,△AOB 为圆锥的轴截面,顶角为120°,底面半径为30 m,依三角函数定义,cot60°=ADh ,即h=AD·cot60°=30×33=310≈17.3(m).答案:17.311.设θ∈［0，2π］，利用三角函数线求θ的取值范围.（1）tan θ>-1;(2)cos θ<23; (3)-21≤sin θ<23. 解：如图（1）tan θ>-1⇒θ∈［0,2π)∪(43π,23π)∪(47π,2π). (2)cos θ<23⇒θ∈(6π,611π).(3)-21≤sin θ<23⇒θ∈［0，3π)∪(32π,67π］∪［611π,2π］.拓展探究12.设角α=x(rad),且0<x<2π,于是x,sinx,tanx 都是实数,请你给x 一个具体值,比较这三个实数的大小;然后想一想,你得到的大小关系是否对区间(0,2π)上的任意x 都成立? 解:(1)不妨取x=4π,于是x=4π,sinx=22,tanx=1,显然sinx<x<tanx. (2)如图,设角α的终边与单位圆交于点P,单位圆与x 轴的正半轴的交点为A,过A 点作圆的切线交OP 的延长线于点T,连结AP,则sinx=MP,tanx=AT.在△AOP 中,=x·OP=x.由图易得S △POA <S 扇形POA <S △AOT ,即21OA·MP<21·OA<21OA·AT, 所以MP<<AT, 即sinx<x<tanx,即对区间(0,2π)上的任意x 都成立.。
(优选)2019年高中数学第一章三角函数1.2任意的三角函数1.2.2同角三角函数的基本关系优化练习
第1课时 三角函数的诱导公式一～四[课时作业] [A 组 基础巩固]1．若sin α＝45，且α是第二象限角，则tan α的值等于( )A ．－43B.34 C ．±34D ．±43解析：因为α是第二象限角，sin α＝45，所以cos α＝－1－sin 2α＝－35，所以tan α＝sin αcos α＝－43.答案：A2．已知sin α－2cos α3sin α＋5cos α＝－5，那么tan α的值为( )A ．－2B ．2 C.2316D ．－2316解析：由sin α－2cos α3sin α＋5cos α＝－5，分子分母同除以cos α得：tan α－23tan α＋5＝－5，解得tan α＝－2316.答案：D3．化简：1－2sin 10°·cos 10°＝( ) A ．cos 10°－sin 10° B ．sin 10°－cos 10° C ．sin 10°＋cos 10° D ．不确定解析：原式＝sin 210°－2sin 10°·cos 10°＋cos 210° ＝sin 10°－cos 10°2＝|sin 10°－cos 10°|＝cos 10°－sin 10°答案：A 4．已知sin α＝55，则sin 4α－cos 4α的值为( ) A ．－15B ．－35C.15D.35解析：sin 4α－cos 4α＝(sin 2α＋cos 2α)(sin 2α－cos 2α) ＝sin 2α－cos 2α＝2sin 2α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫552－1＝－35. 答案：B5．已知sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，则sin θcos θ的值是( )A.34 B ．±310C.310D ．－310解析：由题意得sin θ＋cos θ＝2(sin θ－cos θ)，∴(sin θ＋cos θ)2＝4(sin θ－cos θ)2，解得sin θcos θ＝310.答案：C6．化简(1＋tan 2α)·cos 2α＝________.解析：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋sin 2αcos 2 α·cos 2 α＝cos 2 α＋sin 2α＝1.答案：17．已知sin α·tan α＝1，则cos α＝________.解析：sin 2α＋cos 2α＝1，由sin αtan α＝1，得sin 2α＝cos α，令cos α＝x ，x >0，则1－x 2＝x ，解得x ＝－1＋52.答案：－1＋528．若非零实数m ，n 满足tan α－sin α＝m ，tan α＋sin α＝n ，则cos α等于________．解析：已知两等式联立，得⎩⎪⎨⎪⎧tan α－sin α＝m ，tan α＋sin α＝n ，解得tan α＝m ＋n2，sin α＝n －m2，则cosα＝sin αtan α＝n －m n ＋m .答案：n －mm ＋n9．求证：tan α·sin αtan α－sin α＝tan α＋sin αtan α·sin α.证明：左边＝sin 2αsin α－sin α·cos α＝sin α1－cos α，右边＝sin α＋sin α·cos αsin 2α＝1＋cos αsin α. ∵sin 2α＝1－cos 2α＝(1＋cos α)(1－cos α)， ∴sin α1－cos α＝1＋cos αsin α，即左边＝右边，∴原式成立．10．已知在△ABC 中，sin A ＋c os A ＝15.(1)求sin A ·cos A 的值；(2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形； (3)求tan A 的值．解析：(1)由sin A ＋cos A ＝15，两边平方，得1＋2sin A ·cos A ＝125，所以sin A ·cos A ＝－1225.(2)由(1)得sin A ·cos A ＝－1225<0.又0<A <π，所以cos A <0，所以A 为钝角．所以△ABC 是钝角三角形． (3)因为sin A ·cos A ＝－1225，所以(sin A －cos A )2＝1－2sin A ·cos A ＝1＋2425＝4925，又sin A >0，cos A <0， 所以sin A －cos A >0，所以sin A －cos A ＝75.又sin A ＋cos A ＝15，所以sin A ＝45，cos A ＝－35.所以tan A ＝sin A cos A ＝45－35＝－43.[B 组 能力提升]1．已知α是三角形的一个内角，且sin α＋cos α＝23，那么这个三角形的形状为( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形解析：(sin α＋cos α)2＝49∴2sin αcos α＝－59＜0又∵α∈(0，π)，sin α＞0. ∴cos α＜0 ∴α为钝角． 答案：B2．已知sin α－cos α＝2，则tan α＝( ) A ．－1 B ．－22 C.22D ．1解析：将等式sin α－cos α＝2两边平方，得到2sin αcos α＝－1，整理得1＋2sin αcos α＝0，即sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α＝0，所以(sin α＋cos α)2＝0，所以sin α＋cos α＝0，由sin α－cos α＝2和sin α＋cos α＝0， 解得sin α＝22，cos α＝－22，故tan α＝sin αcos α＝－1. 答案：A3．已知sin α，cos α是方程3x 2－2x ＋a ＝0的两根，则实数a 的值为________． 解析：由Δ≥0知，a ≤13.又⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝23 ①sin α·cos α＝a3②由①式两边平方得：sin αcos α＝－518，所以a 3＝－518，所以a ＝－56.答案：－564．在△ABC 中，2sin A ＝3cos A ，则角A ＝________. 解析：由题意知cos A >0，即A 为锐角．将2sin A ＝3cos A 两边平方得2sin 2A ＝3cos A .∴2cos 2A ＋3cos A －2＝0，解得cos A ＝12或cos A ＝－2(舍去)，A ＝π3.答案：π35．已知sin α＋cos α＝13，α∈(0，π)，求tan α的值．解析：∵sin α＋cos α＝13，①将其两边同时平方， 得1＋2sin αcos α＝19，∴2sin αcos α＝－89.∵α∈(0，π)，∴cos α<0<sin α.∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝179，∴sin α－cos α＝173.② 由①②得sin α＝1＋176，cos α＝1－176.∴tan α＝sin αcos α＝－9＋178.6．已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋2m ＝0的两根为sin θ和cos θ(θ∈(0，π))，求： (1)m 的值；(2)sin θ1－cot θ＋cos θ1－tan θ的值(其中cot θ＝1tan θ)； (3)方程的两根及此时θ的值． 解析：(1)由根与系数的关系可知， sin θ＋cos θ＝3＋12，① sin θ·cos θ＝m .②将①式平方得1＋2sin θ·cos θ＝2＋32，所以sin θ·cos θ＝34， 代入②得m ＝34. (2)sin θ1－cot θ＋cos θ1－tan θ＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos 2θcos θ－sin θ＝sin 2θ－cos 2θsin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ＝3＋12. (3)因为已求得m ＝34，所以原方程化为2x 2－(3＋1)x ＋32＝0，解得x 1＝32，x 2＝12. 所以⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝32，cos θ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝12，cos θ＝32.又因为θ∈(0，π)， 所以θ＝π3或π6.。
2019-2020学年度高中数学1-2任意角的三角函数1-2-3同角三角函数的基本关系式课后训练新人教B版必修4
——教学资料参考参考范本——2019-2020学年度高中数学1-2任意角的三角函数1-2-3同角三角函数的基本关系式课后训练新人教B版必修4______年______月______日____________________部门1．已知，且＜θ＜2π，那么的值为( ) A ． B ． C ． D ．3434-5343- 2．化简的值为( )212sin10cos10sin101sin 10-︒︒︒--︒A ．1B ．－1C ．2D ．－23．(20xx·黑龙江哈尔滨期末)已知cos α＝3sin α，则( )3223sin sin cos cos sin cos αααααα-+=A ．B ．C ．D ．137271913274．设，且α是第二象限的角，则等于( )4sin 25α=tan 2α A ． B ． C ． D ．433443±34± 5．已知α∈，且，则sin α＋cos α的值是( )3π,π4⎛⎫⎪⎝⎭12sin cos 25αα-＝ A ． B ． C ． D ．1515-15±75± 6．化简的结果是__________．23π1sin 5- 7．已知sin θ＋cos θ＝，θ∈(0，π)，则cot θ的值是__________．158．若，且tan α＞0，则__________.3cos 5α-＝3tan cos 1sin ααα=-9．化简：.1sin 1sin 1cos 1cos 1sin 1sin 1cos 1cos αααααααα⎛⎫⎛⎫+-+--⋅- ⎪ ⎪⎪ ⎪-+-+⎝⎭⎝⎭10．已知sin θ，cos θ是关于x 的方程x2－ax ＋a ＝0的两个根(a∈R)，求tan θ＋的值．1tan θ参考答案1．解析：由sin2θ＋cos2θ＝1，得.2sin 1cos θθ=±- 因为＜θ＜2π，故sin θ＜0，3π2所以，243sin 155θ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭所以.sin 3tan cos 4θθθ==- 答案：B2．解析：原式＝＝＝＝－1.222sin 102sin10cos10cos 10sin10cos 10︒-︒︒+︒︒-︒2(sin10cos10)sin10cos10︒-︒︒-︒(sin10cos10)sin10cos10-︒-︒︒-︒答案：B 3．答案：B4．解析：∵α是第二象限的角，∴2k π＋＜α＜2k π＋π(k∈Z)，∴k π＋＜＜k π＋(k∈Z)，∴是第一或第三象限的角．而，∴是第一象限的角．π2π42απ22α4sin 025α=>2α由，得，22sin cos 122αα+=23cos1sin 225αα=-=∴.sin42tan23cos2ααα== 答案：A5．解析：因为(sin α＋cos α)2＝，且sin α＋cos α＜0，24112525-=所以sin α＋cos α＝，故选B ．15- 答案：B6．解析：因为，所以是第二象限的角，π3ππ25<<3π5所以，3πcos05< 故.223π3π3π3π1sin cos cos cos 5555-===- 答案：3πcos5- 7．解析：因为sin θ＋cos θ＝，①15两边平方，得1＋2sin θcos θ＝，125所以2sin θcos θ＝.2425-因为θ∈(0，π)，所以cos θ＜0＜sin θ. 由于(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝，4925所以sin θ－cos θ＝.②75联立①②，解得，，4sin 5θ＝3cos 5θ-＝所以.31cos 35cot 4tan sin 45θθθθ-====-答案：34-8．解析：33sin cos tan cos cos 1sin 1sin ααααααα⋅=-- ＝22sin cos sin (1sin )1sin 1sin αααααα-=-- ＝sin (1sin )(1sin )1sin αααα-+-＝sin α(1＋sin α)．又由，tan α＞0，可知α为第三象限的角，3cos 5α-＝ 故，4sin 5α-＝因此sin α(1＋sin α)＝.44415525⎛⎫-⨯-=- ⎪⎝⎭答案：425-9．解：原式＝·＝·.2222(1sin )(1sin )cos cos αααα⎡⎤+--⎢⎥⎢⎥⎣⎦2222(1cos )(1cos )sin sin αααα⎡⎤+--⎢⎥⎢⎥⎣⎦1sin 1sin |cos ||cos |αααα⎛⎫+-- ⎪⎝⎭1cos 1cos 2sin 2cos |sin ||sin ||cos ||sin |αααααααα⎛⎫+--=⋅ ⎪⎝⎭故当α为第一、三象限的角时，原式＝4；当α为第二、四象限的角时，原式＝－4.10．解：依题意，知Δ≥0，即(－a)2－4a≥0， 解得a≤0或a≥4，且sin cos ,sin cos .a a θθθθ+=⎧⎨=⎩①②由①2－②×2，得a2－2a －1＝0， 解得a ＝1－或a ＝1＋(舍)．22故sin θ＋cos θ＝sin θcos θ＝1－.2 tan θ＋＝，1tan θsin cos 1121cos sin sin cos 12θθθθθθ+===---因此tan θ＋＝.1tan θ21--。
【高中数学】《1.2 任意角的三角函数(2)》测试题
【高中数学】《1.2 任意角的三角函数（2）》测试题【高中数学】《1.2任意角的三角函数（2）》测试题一、多项选择题1.角的正、余弦线的长度相等，且正，余弦符号相异，那么的值为().a、 B.c.d.或考查目的：考查正、余弦三角函数线的概念与分类讨论思想.回答：D解析：角正、余弦三角函数线的长度相等，方向相反，即且，故时，；当时，，∴答案应选d.2.如果，和，值范围为（）a.b.c.d.目的：用三角函数线检验三角函数的取值范围与相应角度之间的关系答案：d.解析：∵, ∧ 再一次∴，∴答案应选d.3.根据三角函数线做出以下四个判断：⑴；⑵；⑶；⑷.其中，正确的判断是（）a.1个b.2个c.3个d.4个检查目的：用三角函数线检查三角函数值答案：b.分析：从三角函数线可以看出（2）（4）是正确的二、填空题4.信息系统的规模关系考查目的：考查用三角函数线比较同角三角函数的大小.答复:解析：∵，画出三角函数线可知：.5.如果使用三角函数线，则值范围为考查目的：考查用余弦线求角的余弦函数值的取值范围.答复:解析：∵，∴.6.确定的值范围为考查目的：利用三角函数线考查三角函数值的大小与对应角的关系.答复:解析：∵，∴通过画出三角函数线可知，.三、回答问题7.已知角的终边经过点，且，试判断角所在的象限，并求和的值.目的：研究任意角度三角函数的定义和分类答案：当时，；当时，.分析：尤德若在第二象限，，此时；如果在第三象限，此时8.求函数的定义域.目的：考察对数函数的定义域，讨论三角函数的取值范围与对应角的关系解析：∵，∴，∴.。
2019年高中数学第一章三角函数1.2任意的三角函数1.2.2同角三角函数的基本关系优化练习
第1课时 三角函数的诱导公式一～四[课时作业][A 组 基础巩固]1．若sin α＝45，且α是第二象限角，则tan α的值等于( ) A ．－43B.34 C ．±34D ．±43解析：因为α是第二象限角，sin α＝45， 所以cos α＝－1－sin 2 α＝－35， 所以tan α＝sin αcos α＝－43. 答案：A2．已知sin α－2cos α3sin α＋5cos α＝－5，那么tan α的值为( ) A ．－2B ．2 C.2316 D ．－2316 解析：由sin α－2cos α3sin α＋5cos α＝－5，分子分母同除以cos α得：tan α－23tan α＋5＝－5，解得tan α＝－2316. 答案：D3．化简：1－2s in 10°·cos 10°＝( )A ．cos 10°－sin 10°B ．sin 10°－cos 10°C ．sin 10°＋cos 10°D ．不确定 解析：原式＝sin 2 10°－2sin 10°·cos 10°＋cos 2 10° ＝sin 10°－cos 10°2＝|sin 10°－cos 10°|＝cos 10°－sin 10°答案：A4．已知sin α＝55，则sin 4α－cos 4α的值为( ) A ．－15 B ．－35C.15D.35 解析：sin 4 α－cos 4 α＝(sin 2 α＋cos 2 α)(sin 2 α－cos 2 α)＝sin 2 α－cos 2 α＝2sin 2 α－1＝2×⎝⎛⎭⎪⎫552－1＝－35. 答案：B5．已知sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，则sin θcos θ的值是( ) A.34 B ．±310 C.310 D ．－310 解析：由题意得sin θ＋cos θ＝2(sin θ－cos θ)，∴(sin θ＋cos θ)2＝4(sin θ－cos θ)2，解得sin θcos θ＝310. 答案：C6．化简(1＋tan 2 α)·cos 2α＝________. 解析：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋sin 2 αcos 2 α·cos 2 α＝cos 2 α＋sin 2 α＝1. 答案：17．已知sin α·tan α＝1，则cos α＝________.解析：sin 2α＋cos 2α＝1，由sin αtan α＝1，得sin 2α＝cos α，令cos α＝x ，x >0，则1－x 2＝x ，解得x ＝－1＋52. 答案：－1＋528．若非零实数m ，n 满足tan α－sin α＝m ，tan α＋sin α＝n ，则cos α等于________．解析：已知两等式联立，得⎩⎪⎨⎪⎧ tan α－sin α＝m ，tan α＋sin α＝n ，解得tan α＝m ＋n 2，sin α＝n －m 2，则cos α＝sin αtan α＝n －m n ＋m. 答案：n －m m ＋n9．求证：tan α·sin αtan α－sin α＝tan α＋sin αtan α·sin α. 证明：左边＝sin 2αsin α－sin α·cos α＝sin α1－cos α， 右边＝sin α＋sin α·cos αsin 2α＝1＋cos αsin α. ∵sin 2α＝1－cos 2α＝(1＋cos α)(1－cos α)，∴sin α1－cos α＝1＋cos αsin α，精 品 试 卷 即左边＝右边，∴原式成立．10．已知在△ABC 中，sin A ＋c os A ＝15.(1)求sin A ·cos A 的值；(2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形；(3)求tan A 的值．解析：(1)由sin A ＋cos A ＝15，两边平方，得1＋2sin A ·cos A ＝125，所以sin A ·cos A ＝－1225.(2)由(1)得sin A ·cos A ＝－1225<0.又0<A <π，所以cos A <0，所以A 为钝角．所以△ABC 是钝角三角形．(3)因为sin A ·cos A ＝－1225，所以(sin A －cos A )2＝1－2sin A ·cos A ＝1＋2425＝4925，又sin A >0，cos A <0，所以sin A －cos A >0，所以sin A －cos A ＝75.又sin A ＋cos A ＝15，所以sin A ＝45，cos A ＝－35.所以tan A ＝sin A cos A ＝45－35＝－43.[B 组 能力提升]1．已知α是三角形的一个内角，且sin α＋cos α＝23，那么这个三角形的形状为() A ．锐角三角形 B ．钝角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形解析：(sin α＋cos α)2＝49∴2sin αcos α＝－59＜0 又∵α∈(0，π)，sin α＞0.∴cos α＜0∴α为钝角．答案：B2．已知sin α－cos α＝2，则tan α＝( )A ．－1B ．－22 C.22 D ．1解析：将等式sin α－cos α＝2两边平方，得到2sin αcos α＝－1，整理得1＋2sin αcos α＝0，即sin 2 α＋cos 2α＋2sin αcos α＝0，所以(sin α＋cos α)2＝0，所以sin α＋cos α＝0，由sin α－cos α＝2和sin α＋cos α＝0，解得sin α＝22，cos α＝－22，故tan α＝sin αcos α＝－1. 答案：A3．已知sin α，cos α是方程3x 2－2x ＋a ＝0的两根，则实数a 的值为________．解析：由Δ≥0知，a ≤13. 又⎩⎪⎨⎪⎧ sin α＋cos α＝23 ①sin α·cos α＝a 3 ②由①式两边平方得：sin αcos α＝－518， 所以a 3＝－518，所以a ＝－56. 答案：－564．在△ABC 中，2sin A ＝3cos A ，则角A ＝________.解析：由题意知cos A >0，即A 为锐角．将2sin A ＝3cos A 两边平方得2sin 2A ＝3cos A .∴2cos 2A ＋3cos A －2＝0，解得cos A ＝12或cos A ＝－2(舍去)，A ＝π3. 答案：π35．已知sin α＋cos α＝13，α∈(0，π)，求tan α的值． 解析：∵sin α＋cos α＝13，① 将其两边同时平方，得1＋2sin αcos α＝19， ∴2sin αcos α＝－89. ∵α∈(0，π)，∴cos α<0<sin α.∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝179， ∴sin α－cos α＝173.② 由①②得sin α＝1＋176，cos α＝1－176. ∴tan α＝sin αcos α＝－9＋178. 6．已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋2m ＝0的两根为sin θ和cos θ(θ∈(0，π))，求：(1)m 的值； (2)sin θ1－cot θ＋cos θ1－tan θ的值(其中cot θ＝1tan θ)； (3)方程的两根及此时θ的值．解析：(1)由根与系数的关系可知，sin θ＋cos θ＝3＋12，① sin θ·cos θ＝m .②将①式平方得1＋2sin θ·cos θ＝2＋32， 所以sin θ·cos θ＝34， 代入②得m ＝34. (2)sin θ1－cot θ＋cos θ1－tan θ＝sin 2 θsin θ－cos θ＋cos 2 θcos θ－sin θ＝sin 2 θ－cos 2 θsin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ＝3＋12. (3)因为已求得m ＝34，所以原方程化为2x 2－(3＋1)x ＋32＝0，解得x 1＝32，x 2＝12.所以⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＝32，cos θ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＝12，cos θ＝32.又因为θ∈(0，π)，所以θ＝π3或π6.。
【2019最新】高中数学1-2任意角的三角函数1-2-3同角三角函数的基本关系式课后导练新人教B版必修4
【2019最新】高中数学1-2任意角的三角函数1-2-3同角三角函数的基本关系式课后导练新人教B 版必修4 同角三角函数的基本关系式课后导练基础达标1.若α是三角形的一个内角且sin α+cos α=32,则这个三角形是（ ） A.正三角形 B.直角三角形C.锐角三角形D.钝角三角形解析：sin α+cos α=32, ∴平方得2sin αcos α=95-<0. ∵sin α>0,∴cos α<0.∴α为钝角.答案：D2.已知1+sin θθ2cos 1-+cos θθ2sin 1-=0,则θ的取值范围为（ ） A.第三象限B.第四象限C.2k π+π≤θ≤2k π+23π(k∈Z ) D.2k π+23π≤θ≤2k π+2π(k∈Z ) 解析：原式=1+sin θ|sin θ|+cos θ|cos θ|=0,∴角θ可能为第三象限角或角θ的终边在x 轴、y 轴的非正半轴.答案：C3.化简4cos 4sin 21-的结果是（ ）A.sin4+cos4B.sin4-cos4C.cos4-sin4D.-sin4-cos4解析：原式=|sin4-cos4|,而sin4<cos4<0,∴原式=cos4-sin4.答案：C4.已知θ是第三象限角，且sin 4θ+cos 4θ=95,则sin θ·cos θ的值是（ ） A.32 B.-32 C.31 D.31- 解析：∵sin 4θ+cos 4θ=(sin 2θ+cos 2θ)2-2sin 2θcos 2θ=1-2(sin θcos θ)2,∴(sin θcos θ)2=92,即sin θcos θ=±32. 又θ是第三象限角，即θ∈(2k π+π,2k π+23π),k∈Z . ∴sin θ<0,cos θ<0.∴sin θcos θ>0.∴sin θcos θ=32. 答案：A 5.已知a∈(0,1),x 是三角形的一个内角，tanx=122-a a ,则cosx 的值是（ ） A.122+a a B.1122+-a a C.1122+-a a D.±1122+-a a 解析：∵0<a<1, ∴tanx=122-a a <0. 又x 是三角形的内角，∴90°<x<180°.又cos 2x=)11(tan 11222+-=+a a x 2,cosx<0, ∴cosx=1122+-a a . 答案：C6.若sin θ、cos θ是关于x 的方程4x 2+2mx+m=0的两个根，则m 的值（ ） A.m∈［34-,0） B.m=1-5 C.m=1±5 D.m=1+5解析：由根与系数关系得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∙-=+)2.(4cos sin )1(,2cos sin m m θθθθ①2-②×2，得1=242m m -, 即m 2-2m-4=0.∴m=1±5.又由①得22-≤m≤22,∴m=1-5.答案：B7.已知f(x)=x x +-11,若α∈（2π,π）,则f(cos α)+f(-cos α)=________. 解析：f(cos α)+f(-cos α)=αααααααα2222sin )cos 1(sin )cos 1(cos 1cos 1cos 1cos 1++-=-+++- |sin cos 1||sin cos 1|αααα++-=. ∵α∈(2π,π),∴sin α>0,1-cos α>0,1+cos α>0. ∴原式=αααααsin 2sin cos 1sin cos 1=++-. 答案：αsin 2 8.分式αααα6644sin cos 1sin cos 1----化简后的最简结果是______________________. 解析：原式=αααααααα6622244222sin cos )sin (cos sin cos )sin (cos --+--+ 32)sin (cos sin cos 3sin cos 2222222=+=αααααα. 答案：32 9.若sin α+3cos α=0，则ααααsin 3cos 2sin 2cos -+的值为_______________--. 解析：由条件可知tan α=-3,原式=1159261tan 32tan 21-=+-=-+αα 答案：115- 10.若A 为锐角，lg(1+cosA)=m,lg Acos 11-=n,则lgsinA=_____________--. 解析：两式相减m-n=lg(1+cosA)(1-cosA)=lg(1-cos 2A)=lgsin 2A=2lgsinA(sinA>0), ∴lgsinA=2n m -. 答案：2n m -综合运用11.(2006湖北武汉模拟) 设0<α<π,sin α+cos α=137,则ααtan 1tan 1+-的值为( ) A.717 B.177 C.717- D.177- 解析:由勾股数知sin α=1312, cos α=⇒-135tan α=512-, 则7175121)512(1tan 1tan 1-=---=+-αα. 答案:C12.(2006重庆高考,文13) 已知sin α=552,2π<α<π,则tan α=____________. 解:∵sin α=552,2π<α<π, ∴cos α=-1-(55)552(12-=-, 而tan α=ααcos sin =-2. 答案:-213.已知tan α为非零实数，用tan α分别表示sin α,cos α.解：∵tan α为非零实数，∴α不是轴线角，即cos α≠0. 由αααα2222cos cos sin cos 1+==tan 2α+1,得cos 2α=α2tan 11+； 若cos α>0,则cos α=α2tan 11+,sin α=tan α·cos α=αα2tan 1tan +； 若cos α<0，则cos α=α2tan 11+-,sin α=αα2tan 1tan +-.14.已知sin α、cos α是关于x 的方程x 2-ax+a=0的两个根（a∈R ),(1)求sin 3θ+cos 3θ的值；（2）求tan θ+θtan 1的值. 解：依题意由Δ≥0,即（-a ）2-4a≥0,得a≤0或a≥4且⎩⎨⎧==+)2.(cos sin )1(,cos sin a a θθθθ ①2+②×2,得a 2-2a-1=0,∴a=1-2或a=1+2(舍）.∴sin θ+cos θ=sin θcos θ=1-2. (1)sin 3θ+cos 3θ=(sin θ+cos θ)(sin 2θ-sin θcos θ+cos 2θ) =(1-2)［1-(1-2)］=2-2.(2)tan θ+θtan 1=12211cos sin 1sin cos cos sin --=-==+θθθθθθ, ∴tan θ+θtan 1=12--. 拓展探究 15.已知sin θ+cos θ=32(0<θ<π),求tan θ的值. 解法一：将已知等式两边平方，得sin θcos θ=187-, ∴2π<θ<π. 故sin θ-cos θ=34cos sin 21)cos (sin 2=-=-θθθθ. 解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+;34cos sin ,32cos sin θθθθ得sin θ=642+,cos θ=642-. ∴tan θ=7249cos sin --=θθ. 解法二：由sin θ+cos θ=32,得sin θcos θ=187-.于是sin θ>0,cos θ<0.设以sin θ，cos θ为根的一元二次方程为x 2-32x-187-=0, 解得x 1=sin θ=642+, x 2=cos θ=642-. ∴tan θ=7249642642cos sin --=-+=θθ. 16.若25π<θ<3π,求323log tan ∙θ+1224tan tan +⨯-θθ的值. 解：∵25π<θ<3π, ∴θ为第二象限角.∴tan α<0.∴2tan θ<20=1.原式=（323log ）tan θ+122)2(tan 2tan +∙-θθ=2tan θ+|2tan θ-1|=1.。
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2019年高中数学1-2任意角的三角函数1-2-2单位圆和三角函数线同步训练新人教B版必修4
知识点一：单位圆和三角函数线
1．下列判断中错误的是
A．α一定时，单位圆中的正弦线一定
B．单位圆中，有相同正弦线的角相等
C．α和2π＋α具有相同的正切线
D．具有相同正切线的两个角终边在同一条直线上
2．已知角α的终边和单位圆的交点为P，则点P的坐标为
A．(sinα，cosα) B．(cosα，sinα) C．(sinα，tanα) D．(tanα，sinα) 3．如图，在单位圆中，角α的正弦线、正切线完全正确的是
→
A．正弦线P，正切线A′T′
→
B．正弦线M，正切线A′T′
C．正弦线M，正切线AT→
D．正弦线P，正切线A T→
4．对三角函数线，下列说法正确的是
A．对任何角都能作出正弦线、余弦线和正切线
B．有的角正弦线、余弦线和正切线都不存在
C．任何角的正弦线、正切线总是存在，但余弦线不一定存在
D．任何角的正弦线、余弦线总是存在，但是正切线不一定存在
5．已知角α的正弦线的长度为单位长度，那么角α的终边在__________.
知识点二：三角函数线的简单使用
6．依据三角函数线，作出如下四个判断：
①sin＝sin；②cos(－)＝cos；③tan>tan；④sin>sin.其中判断正确的有
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
7．在(0,2π)内，使sinα>cosα成立的α的取值范围为
A．(，)∪(π，)
B．(，π)
C．(，)
D．(，π)∪(，)
8．若角α为第二象限角，则下列各式恒小于零的是
A．sinα＋cosα B．tanα＋sinα
C．cosα－tanα D．sinα－tanα
9．借助三角函数线比较下列各组值的大小．(由大到小排列)
(1)sin，sin，sin：__________；
(2)cos，cos，cos：__________；
(3)tan，tan，tan：__________.
10．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线：
(1)；(2)－.
能力点一：利用三角函数线比较三角函数值大小
11．如果0<α<，那么下列不等式成立的是
A．cosα<sinα<tanαB．tanα<sinα<cosα
C．sinα<cosα<tanαD．cosα<tanα<sinα
12．若－<α<－，从单位圆中的三角函数线观察sinα，cosα，tanα的大小是__________．
13．用三角函数线比较sin1和cos1的大小结果是__________．能力点二：利用三角函数线确定角的范围
14．使sinx≤cosx成立的x的一个变化区间是
A．[－，] B．[－，]
C．[－，] D．[0，π]
15．角α(0<α<2π)的正弦线和余弦线长度相等且符号相同，那么α的值为
A.或
B.或7π
4
C.或
D.或7π
4
16．y＝的定义域为__________．
17．在单位圆中画出适合下列条件的角α终边的范围，并由此写出角α的集合：
(1)sinα≥；(2)cosα≤－.
能力点三：三角函数线的综合使用
18．已知点P(sinα－cosα，tanα)在第一象限内，若α∈[0,2π)，求α的取值范围．
19．当α＝3 rad时，利用三角函数线分析点P(sin3－cos3，sin3＋cos3)在第几象限．
20．求函数y＝＋lg(2cosx－1)的定义域．
21．利用三角函数线证明若0<α<β<，则有β－α>sinβ－sinα.
答案和分析
基础巩固
1．B 2.B 3.C 4.D 5.y轴上
6．B 分别作出各个角的三角函数线，由图知sin＝－sin，cos(－)＝cos，tan<tan，sin>sin，故②④正确．
7．C 当α的终边在直线y＝x上时，直线y＝x和单位圆的交点为(，)，(－，－)．
此时，α＝和，如图所示．
当α∈(，)时，恒有MP>OM，
而当α∈(0，)∪(，2π)时，
则有MP<OM，因此选C.
8．B 如下图，作出sinα、cosα、tanα的三角函数线，显然△OPM∽△OTA，且|MP|<|AT|，
∵MP>0，AT<0，
∴MP<－AT.
∴MP＋AT<0，即sinα＋tanα<0.
9．(1)sin>sin>sin9π
10
(2)cos>cos>cos9π
10
(3)tan>tan>tan3π
5
10．解：作图如下．
(1)
所以，的正弦线为M，余弦线为O，正切线为A.
(2)
所以，－的正弦线为M，余弦线为O，正切线为A.
能力提升
11．C
12．tan α>cos α>sin α
13．sin1>cos1
14．A
15．C
16．[2k π－，2k π＋](k∈Z) 由函数有意义，x 需满足1＋2cosx≥0，即cosx≥－.
根据单位圆中的三角函数线，可得满足条件的角x 的范围是2k π－≤x≤2k π＋(k∈Z)．
17．解：(1)作直线y ＝交单位圆于A 、B 两点，连接OA 、OB ，则OA 和OB 围成的区域即为角α的终边的范围．
故满足条件的角α的集合为{α|2k π＋≤α≤2k π＋，k∈Z}．
(2)作直线x ＝－交单位圆于C 、D 两点，连接OC 和OD ，则OC 和OD 围成的区域即为角α的终边的范围．
故满足条件的角α的集合为{α|2k π＋≤α≤2k π＋，k∈Z}．
18．解：∵点P 在第一象限内，
∴⎩⎪⎨⎪
⎧ sin α－cos α>0，tan α>0.
∴⎩⎪⎨⎪⎧ sin α>cos α，tan α>0.
结合单位圆(如图所示)中三角函数线且0≤α<2π，
可知<α<或π<α<.
19．解：因为<3<π，作出单位圆如图所示，
设M ，O 的数量分别为a ，b ，
所以sin3＝a>0，cos3＝b<0，所以sin3－cos3>0.
因为|MP|<|OM|，即|a|<|b|，
所以sin3＋cos3＝a ＋b<0.
故当α＝3 rad 时，P(sin3－cos3，sin3＋cos3)在第四象限．
20．解：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋2sinx≥02cosx －
1>0⎩⎪⎨⎪⎧ sinx≥－12cosx>1
2
⎩⎪⎨⎪⎧ 2k π－π6≤x≤2k π＋7π
62k π－π3<x<2k π＋
π
32k π－≤x<2k π＋(k∈Z)．
sinx≥－，cosx>的解如图阴影部分．
故所求函数的定义域为{x|2k π－≤x<2k π＋，k∈Z}．
拓展探究
21．证明：如图，单位圆O 和x 轴正半轴交于点A ，和角α、β的终边分别交于点Q 、P ，过P 、Q 分别作OA 的垂线，设垂足分别是M 、N ，则由三角函数定义可知：
sin α＝NQ ，sin β＝MP.
过点Q 作QH⊥MP 于H ，
则HP ＝MP －NQ ＝sin β－sin α.
由图可知HP<－＝β
－α，
即β－α>sin β－sin α.。